(共22张PPT)
第一章：特殊平行四边形
第一节：菱形的性质
北师大版 九年级上
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教学目标
导入新课
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？与下图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？
这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫菱形。
教学目标
新课讲解
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。。
平行四边形
邻边相等
菱形
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.
教学目标
新课讲解
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形。
（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
教学目标
想一想
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。
探究性质
(2)结合手中的折纸得到的菱形ABCD，找出图中相等的角和线段。
由折纸过程和对称轴的性质可得
相等的角有：∠1=∠2；
∠3=∠4；
∠5=∠6；
∠7=∠8；
相等的线段有：
AB=BC=CD=DA.
探究性质
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
性质证明
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC
（菱形的对边相等）
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形
∴OB=OD
（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AO⊥BD
（2）∵AB=AD
即AC⊥BD
性质证明
菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等,对边平行且相等；
3、对角相等,邻角互补；
4、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形,
5、菱形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.
小结
例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB//DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
解析：根据菱形的性质：对角线互相垂直且平分得到C，D是正确的，再根据菱形的对边平行得到A是正确的，故选B.
B
教学目标
例题讲解
例2.已知如图，菱形ABCD的两条对角线BD，AC分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
解析：∵ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
AO=4 , BO=3
∴在Rt△AOB中，
菱形的边长为5cm,
故选C.
C
教学目标
例题讲解
例3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
分析：由菱形的性质得到AC⊥BD,AB=AD,结合题意，得到△ABD是等边三角形从而求出AB的长，再借助勾股定理求出AC的长。
教学目标
例题讲解
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
OB=OD= (菱形的对角线互相平分）
在等腰△ABC中
∵∠BAD=60°∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD=6 在Rt△AOB中，由勾股定理，得
∴
∴
教学目标
巩固提升
1.边长为3cm的菱形的周长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm
2．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
C
C
3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（ ）【
A．100° B．104°
C．105° D．110°
B
教学目标
巩固提升
教学目标
直击中考
1.（2017 益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
D
教学目标
直击中考
2.（2017 十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________．
20°
解： ∵四边形ABCD是菱形，∴DO=OB，∵DE⊥BC于E，∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，∴OE= BD
∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵∠ABC=140°，∴∠OBE=70°，∴∠OED=90°﹣70°=20°，故答案为：20°．
3.（2017 淮安）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．
教学目标
直击中考
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，
∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，
∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
AD=BC
∠ ADE= ∠ BCF
DE=CF
教学目标
课堂小结
边
角
对角线
对称性
菱形的两组对边平行
菱形的四边相等
菱形的两组对角相等
菱形的邻角互补
菱形的对角线互相平分，且每一组对角线平分一组对角
菱形的对角线互相垂直
菱形是中心对称图形，
对称中心是两条对角线的交点
菱
形
菱形是轴对称图形，
对称轴是两条对角线所在的直线
谢 谢！
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北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第1课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．
（2）.经历菱形概念的抽象过程，以及它的性质的探索、猜测与证明的过程，丰富数学活动 经验，进一步发展合情推理能力和演绎推理能力．【版权所有：21教育】
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
菱形的性质定理的证明
【教学难点】
菱形的性质定理的证明
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、导入新课
导语：面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？与下图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？21世纪教育网版权所有
这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫菱形。
二、探究新知
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质 吗？ （菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形）
你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
2.活动内容1：请同学们用你手中的菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。
（2）结合手中的折纸得到的菱形ABCD，找出图中相等的角和线段。
由折纸过程和对称轴的性质可得相等的角有：∠1=∠2；∠3=∠4；∠5=∠6；∠7=∠8；
相等的线段有：AB=BC=CD=DA.
处理方式：让学生利用课前准备的菱形纸片进行折叠，折叠的过程中，让学生回顾轴对称图形的意义及轴对称图形的性质，从而发现菱形的“特殊”性质，感受折纸过程对性质的初步验证.
设计意图：通过折纸这一过程，引导学生发现菱形的对称性，即菱形不只是中心对称图形，还是轴对称图形，在操作过程中验证菱形的特殊性质，鼓励学生通过多种方法验证发现的结论.
活动内容2：菱形性质定理的证明
如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？
已知：如图，在菱形ABCD中， AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD；（2）AC⊥BD．21cnjy.com
处理方式：让学生从平行四边形的性质出发，独立思考、分析证明思路.第（2）题多数学生可能会应用全等三角形的性质，想不到利用“等腰三角形的三线合一”性质，教师引导学生互相交流、确定证明思路，最后找一名学生板书证明过程，教师规范解题过程的书写.21·cn·jy·com
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）．
又∵AB=AD，
∴ AB=BC=CD=AD．
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵ 四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）．
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴ AO⊥BD．
即 AC⊥BD．
设计意图：通过对性质的分析与证明，一方面让学生养成独立思考问题的习惯，对于不能独立解决的问题，引导学生发挥小组合作的作用，提高学生的交流能力；另一方面通过解题过程的板书提高学生的书写能力，养成规范书写的习惯.2·1·c·n·j·y
教师强调：菱形的性质定理
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等,对边平行且相等；
3、对角相等,邻角互补；
4、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形,
5、菱形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.
例题讲解
例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( B )
A．AB//DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
解析：根据菱形的性质：对角线互相垂直且平分得到C，D是正确的，再根据菱形的对边平行得到A是正确的，故选B。【来源：21·世纪·教育·网】
例2.已知如图，菱形ABCD的两条对角线BD，AC分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ C ）www-2-1-cnjy-com
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
解析：∵ABCD是菱形
∴AC⊥BD， AO=4 , BO=3
∴在Rt△AOB中，
∴菱形的边长为5cm,
故选C.
例3. 在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.21·世纪*教育网
处理方式：教师引导学生根据已知条件说出菱形的性质，发现本题线段和角的有关结论，再独立组织本题的解题过程.然后让一名学生板演解题过程，师生共同评价．学生还有可能会应用“菱形的每条对角线平分一组对角”结合直角三角形的其它知识解决此题，教师都应给与肯定.
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD（菱形的四条边相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理得
,
∴.
∴AC=2OA=（菱形的对角线互相平分）.
设计意图：让学生通过此例题的思考与分析，初步应用菱形的性质定理解决有关问题，在应用的过程中明确菱形与平行四边形的关系，同时鼓励学生一题多解，理解菱形的性质定理.
例3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。 2-1-c-n-j-y
分析：由菱形的性质得到AC⊥BD,AB=AD,结合题意，得到△ABD是等边三角形从而求出AB的长，再借助勾股定理求出AC的长。www.21-cn-jy.com
四、巩固练习：
1.边长为3cm的菱形的周长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm
2．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（ ）【21*cnjy*com
A．100° B．104°
C．105° D．110°
直击中考
1.（2017 益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
2.（2017 十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________． 21教育网
解： ∵四边形ABCD是菱形，∴DO=OB，∵DE⊥BC于E，∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，∴OE= BD【出处：21教育名师】
∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵∠ABC=140°，∴∠OBE=70°，∴∠OED=90°﹣70°=20°，【来源：21cnj*y.co*m】
故答案为：20°．
（2017 淮安）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．21*cnjy*com
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，
∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，
∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
课堂总结
七、作业布置
1.习题1.1：知识技能第1，2两题
2.预习第二课时.
【板书设计】
§1.1 菱形的性质与判定(1)
菱形的定义： 菱形的性质定理：1.2. 例1 例2
【教学反思】
本节课出示多媒体图片引导学生，从而板书课题，演示让生观察得菱形定义，在掌握定义的基础上探究并证明菱形的性质，然后学习菱形性质的应用。同时，也为知识间的迁移作了伏笔。《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化、数形结合等数学思想。通过课堂检测，当堂评价学生，了解学生学习效果。21教育名师原创
作品
A
C
D
B
O
A
C
D
B
O
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