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北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第2课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
（2）.能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
菱形判定定理的发现与证明.
【教学难点】
菱形判定定理的应用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
菱形的定义；（2）菱形的特征；（3）菱形的性质；
提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是菱形？
二、探究新知
你知道菱形的判定方法吗？
1.菱形的判定1：定义法（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）
数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
2.菱形的判定2的探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
用一长一短的细木条，在它们的中点固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根皮筋，如图（1），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
做两条互相垂直的直线a、b，垂足为O，在直线a上截取OA=OB,在直线b上截取OC=OD,你得到的是平行四边形吗？是菱形吗？21世纪教育网版权所有
答：两条对角线互相垂直的平行四边形得到的是菱形.
处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2·1·c·n·j·y
探究总结：通过上面的活动，我们可以发现：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
数学语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
结论验证：已知:如图,在 ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形。 ∴AO=CO,∵AC⊥BD,∴BD是AC的垂直平分线
∴BA=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义）
探究2：先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，想一想，作图中，满足的条件是什么 猜一猜，这是什么四边形？
解析：作图过程中，满足的条件是四条边相等.得到的四边形是菱形
处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.
探究总结：四条边相等的四边形是菱形 数学语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
证明：∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
设计意图：由于要判定的是一个平行四边形，因此，若要考虑边，则容易想到定义，若要考虑对角线，则可能受到性质的启发，想到对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进而对这一命题进行严格证明，得到结论.21教育网
小结：菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
三、例题讲解
1、下列命题不正确的是（ ）
A、对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B、两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C、两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D、对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
【解析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．21cnjy.com
2.如图，AE∥BF，AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，且AC交BF于点C，BD交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形． 【来源：21·世纪·教育·网】
四、巩固练习：
如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD．则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
【解析】解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是：四边相等的四边形是菱形， 理由如下：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF是菱形，故选B．21·世纪*教育网
2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( )www.21-cn-jy.com
A．菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有（ ）
A.AC⊥BD B.AB=BC C、AC=BD D、∠1=∠2
4、在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是( )
A、四边形AEDF是平行四边形；
B、如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
C、如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形；
D、如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A.16 B.15 C.14 D.13
解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AF∥BE，∴∠FAE=∠BEA.
又∵AE平分∠BAD.
∴∠FAE=∠BAE.∴∠BEA=∠BAE.∴AB=BE.
同理可得AB=AF.∴四边形ABEF为平行四边形.
又∵AB=BE.∴四边形ABEF为菱形∴AE⊥BF.
又∵BF=12，AB=10.∴BO=6，A0=8.∴AE=16.故选：A
拓展提高
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形． 2-1-c-n-j-y
直击中考
1.（2017 河池）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ） 21*cnjy*com
A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60°
答案：B
2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBD；
（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．
证明：（1）如图，∵AD∥BC，∴∠1=∠DBC．
∵BC=DC，∴∠2=∠DBC．∴∠1=∠2．
∵BA⊥AD，BE⊥CD ∴∠BAD=∠BED=90°，
在△ABD和△EBD中
∴△ABD≌△EBD（AAS）；
（2）由（1）得，AD=ED，∠1=∠2．
∵EF∥DA∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EF=ED．∴EF=AD．
∴四边形AFED是平行四边形．
又∵AD=ED，∴四边形AFED是菱形．
七、课堂总结
菱形的三个判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
八、作业布置
1.习题1.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
【板书设计】
【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习菱形的性质，学生很容易可以猜想出菱形的判定。第二部分是合作探究证明菱形的判定。根据学生的猜想，让学生用菱形的定义来证明菱形的判定。第三部分是应用和检测。应用菱形的判定解决问题。 21·cn·jy·com
1.1.2菱形的性质与判定（二）
一、判定定理1： 判定定理2： 例1：
证明 证明
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第一章：特殊平行四边形
第二节：菱形的判定
北师大版 九年级上
教学目标
复习导入
1.___________________的平行四边形叫做菱形;
2.菱形的四条边__________菱形的对角线___________
邻边相等
相等
互相垂直
思考与讨论
我们可以怎样判定一个四边形是菱形？
教学目标
导入新课
你知道菱形的判定方法吗？
1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形
邻边相等
菱形
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
教学目标
新课讲解
动脑筋
除定义法之外，还能找到其他的判定方法吗？
教学目标
探究一
用一长一短的细木条，在它们的中点固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根皮筋，如图（1），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
解析：当两个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是菱形
教学目标
探究一
答：两条对角线互相垂直的平行四边形得到的是菱形.
做两条互相垂直的直线a、b，垂足为O，在直线a上截取OA=OB,在直线b上截取OC=OD,你得到的是平行四边形吗？是菱形吗？
教学目标
探究总结
通过上面的活动，我们可以发现：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
数学语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
教学目标
结论验证
已知:如图,在 ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形;
∴AO=CO,
∵AC⊥BD,
∴BD是AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义）
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，想一想，作图中，满足的条件是什么 猜一猜，这是什么四边形？
解析：作图过程中，满足的条件是四条边相等.
得到的四边形是菱形
教学目标
探究二
教学目标
探究总结
通过画图，我们可以发现：
四条边相等的四边形是菱形
数学语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
教学目标
结论验证
已知：在四边形 ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
证明:
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
∵AB=CD,AD=BC
菱形常用的判定方法：
教学目标
小结
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
教学目标
例题讲解
1、下列命题不正确的是（ ）
A、对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B、两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C、两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D、对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D
【解析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
教学目标
例题讲解
2.如图，AE∥BF，AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，且AC交BF于点C，BD交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD
∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．
教学目标
巩固练习
1.如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD．则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
【解析】解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是：四边相等的四边形是菱形， 理由如下：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF是菱形，故选B．
B
教学目标
巩固练习
2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( )
A．菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形
C
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有（ ）
A.AC⊥BD B.AB=BC C、AC=BD D、∠1=∠2
C
教学目标
巩固练习
4、在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是( )
A、四边形AEDF是平行四边形；
B、如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
C、如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形；
D、如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
C
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A.16 B.15 C.14 D.13
教学目标
巩固练习
解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AF∥BE，∴∠FAE=∠BEA.
又∵AE平分∠BAD.
∴∠FAE=∠BAE.∴∠BEA=∠BAE.∴AB=BE.
同理可得AB=AF.∴四边形ABEF为平行四边形.
又∵AB=BE.∴四边形ABEF为菱形∴AE⊥BF.
又∵BF=12，AB=10.∴BO=6，A0=8.∴AE=16.故选：A
A
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．
教学目标
拓展练习
证明：在△ADE和△CDF中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形．
教学目标
直击中考
1.（2017 河池）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60°
B
教学目标
直击中考
2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBD；
（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．
教学目
直击中考
证明：（1）如图，∵AD∥BC，∴∠1=∠DBC．
∵BC=DC，∴∠2=∠DBC．∴∠1=∠2．
∵BA⊥AD，BE⊥CD ∴∠BAD=∠BED=90°，
在△ABD和△EBD中｛
∴△ABD≌△EBD（AAS）；
（2）由（1）得，AD=ED，∠1=∠2．
∵EF∥DA∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EF=ED．∴EF=AD．
∴四边形AFED是平行四边形．
又∵AD=ED，∴四边形AFED是菱形．
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
教学目标
课堂总结
谢 谢！
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