北师大版七年级数学下册第四章三角形3探索三角形全等的条件 学案（含答案）

3
探索三角形全等的条件
第1课时
三角形全等的条件——边边边
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．三角形全等的条件（）
（）三边分别__________的两个三角形全等，简写为“边边边”或“__________”．
（）如图，已知，要使≌，则只需添加一个适当的条件是__________．（填一个即可）
【答案】（）相等；
（）
【解析】
2．三角形的稳定性
只要三角形三边的长度确定了，它的__________和__________就完全确定了，三角形的这个性质
叫做三角形的稳定性．
【答案】形状；大小
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：“边边边”
1．如图所示，中，，，，则根据“”能直接判定（
）．
A．≌
B．≌
C．≌
D．≌
【答案】C
【解析】
2．（一题多辨）（）如图①，已知，，点，，，在一条直线上，要利用“”说明≌，还可以添加的一个条件是（
）．
A．
B．
C．
D．以上都不对
（）如图②，在和中，，，要利用“”来判定和全等时，下面的个条件中：①；②；③；④，可利用的是（
）．
A．①或②
B．②或③
C．①或③
D．①或④
【答案】（）A
（）A
【解析】
3．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使≌，只需再添加的一个条件是__________．
【答案】
【解析】
考点二：“边边边”的应用
4．如图，，，，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．如图，已知，，，则下列结论中：①≌；②；③；④；⑤．正确的个数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
6．如图，是的中点，，．试说明：．
【答案】见解析
【解析】解：因为是的中点，
所以．
在和中，
因为，，，
所以≌，
所以（全等三角形对应角相等）．
考点三：三角形的稳定性
7．如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的
哪个性质？答：__________．（填“稳定性”或“不稳定性”）
【答案】稳定性
【解析】
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）如图所示，小龙的爸爸买了一张桌子，桌面下有两个三角形，即图中的和，设计两个三角形的主要原因是（
）．
A．使≌
B．利用三角形的稳定性使桌子稳固
C．使两个三角形是全等的直角三角形
D．对称美
【答案】B
【解析】
2．（分）如图，，，，，则的度数是（
）（数学思想链接：转化思想）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（分）如图，是不等边三角形，，以，为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与全等，这样的三角形最多可以作出（
）．
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【解析】
4．（分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有__________性．
【答案】稳定
【解析】
5．（分）如图，已知，，再由一个隐含条件__________，可得≌．
【答案】
【解析】
6．（分）如图，是的中点，，．和全等吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】解：≌．
理由：因为是的中点，
所以．
在和中，
因为，，，
所以≌．
7．（分）（2016·江岸区模拟）如图，是上一点，，，，试说明：．
【答案】见解析
【解析】解：在与中，
因为，
所以≌，
所以，
所以，
所以．
8．（拓展提升题）（分）（2016·河北）如图，点，，，在直线上（，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，．
（）试说明：≌．
（）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为，
所以，即．
在和中，
因为，
所以≌．
（），．
理由：因为≌，
所以，，
所以，．
第2课时
三角形全等的条件——角边角或角角边
自主学习
知识梳理
快乐学习
1．三角形全等的条件（2）
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．
【答案】角边角；
【解析】
2．三角形全等的条件（3）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．
【答案】角角边；
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：“角边角”
1．如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和全等的是（
）．
A．甲、乙
B．甲、丙
C．乙、丙
D．乙
【答案】C
【解析】
2．如图，线段，相交于点，若，为了用“”判定≌，则应补充条件（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．如图，在四边形中，，若用“”说明≌，需添加条件__________．
【答案】
【解析】
考点二：“角角边”
4．如图，己知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
5．（一题多辨）（）如图①，在上，在上，且，则下列条件中，无法判定
≌的是（
）．
A．
B．
C．
D．
（）如图②，已知，添加一个条件使≌（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是__________．
【答案】（）D
（）示例：
【解析】
6．如图，在中，，点是边上的一点，，且，过点作
交于点，则≌__________，理由是__________．
【答案】；（答案不唯一）
【解析】
考点三：“角边角”及“角角边”的应用
7．如图，，，是和的公共边，所以就可以判定
≌．你认为这种说法正确吗？如果不正确，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：不正确．因为虽然是和的公共边，但它们不是对应边．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）如图所示，，是的中点，直接应用“”说明≌，还需要的条件是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．（分）如图，已知，，那么要得到≌，还应给出的条件是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）如图，，，，，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
4．（分）小明不慎将一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应带去的一块是（
）．
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
【答案】B
【解析】
5．（分）如图，已知为直线上一点，，，请写出图中一组相等的线段__________．
【答案】示例：
【解析】
6．（分）如图所示，，，垂足分别为，，且，相交于点，．
图中全等的三角形共有__________对．
【答案】
【解析】
7．（分）（2016 济宁）如图，中，，，垂足分别为，，，交于点，请你添加一个适当的条件：__________，使≌．
【答案】示例：
【解析】
8．（分）（2015 黄岛区期末）如图，，，，，，，则__________．
【答案】
【解析】
9．（分）（拓展提升题）（2015 胶南市王台中学质检）是经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且．
（）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：
①如图①，若，，则__________；__________（填“>”“<”或“=”）；
②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件__________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（）如图③，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
【答案】见解析
【解析】解：（）①，；②所填的条件是：．
证明：在中，．
因为，
所以，
又因为，
所以．
又因为，，
所以≌，
所以，．
又因为，
所以．
（）猜想：．
第3课时
三角形全等的条件——边角边
自主学习
知识梳理
快乐学习
三角形全等的条件（4）
（）两边及其__________分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或__________．
（）判定条件“”用符号可表示为：如图所示，在和中，如果，__________，__________，则≌．
（）我们已经学习了四种说明两个三角形全等的方法，即__________、__________、__________和__________，
【答案】（）夹角，
（），
（），，，
【解析】
当堂达标
活学巧练
巩固基础
考点一：边角边
1．如图，，分别在，上，且，，则≌的依据是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．下列条件，不能判定两个三角形全等的是（
）．
A．两边及一角对应相等
B．两角及其中一角的对边对应相等
C．三边对应相等
D．两边及其夹角对应相等
【答案】A
【解析】
3．（一题多辨）（）如图①，在四边形中，，，若连接，相交于点，则图中全等三角形共有（
）．
A．对
B．对
C．对
D．对
（）（2016 成安县期末）如图②，于点，，图中共有全等三角形__________对．
【答案】（）C
（）
【解析】
4．如图，已知，，若要得到≌，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
考点二：“”的应用
5．如图，将两根弯曲的钢条，的中点连在一起，使，可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定≌的依据是（
）．
A．边角边
B．角边角
C．边边边
D．角角边
【答案】A
【解析】
6．（2015·胶南市王台中学质检）已知和都是等腰直角三角形，如图摆放使得一直角边重合，连接，．问：和有何位置关系？并说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：．理由如下：因为和都是等腰直角三角形，
所以，，．
在和中，
因为，
所以≌，
所以．
又因为，
所以，
所以，即．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）（2016·新疆）如图，在和中，，，添加下列一个条件后，仍然不能说明≌，这个条件是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2．（分）（2015·黄岛区期末）如图，，，以下条件中，不能推出≌
的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
3．（分）（2016·河北模拟）如图，在正方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值为（
）（数学思想链接：分类讨论思想）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】
4．（分）（2015·胶州市期末）如图，已知平分，要使≌，只需再添加一个条件就可以了，你选择的条件是__________，理由是__________．
【答案】示例：，
【解析】
5．（分）如图，已知米，于点，米，射线于点，点从点
向点运动，每秒走米，点从点问点运动，每秒走米，，同时从点出发，则出发__________秒后，在线段上有一点，使与全等．（方法链接：动点问题）
【答案】
【解析】
6．（分）如图，和相交于点，，，和平行吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】解：．理由：在和中，
因为，，，
所以≌，
所以，
所以．
7．（分）（2015 黄岛区期末）如图，在等腰中，，延长至点，使，连接，以为边作等腰，使，，连接交于点．
（）吗？请说明理由．
（）若，求的度数．
【答案】见解析
【解析】解：（）．理由如下：因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以≌，
所以．
（）因为，，
所以，由（）得：≌，
所以．
因为，，
所以．
8．（分）（拓展提升题）如图①，，，点是上一点，且，．
（）试判断与的位置关系，并说明理由．
（）如图②，若把沿直线向左平移，使的顶点与重合，此时问题（）中的位置关系还成立吗？请说明理由．（注意字母的变化）
【答案】见解析
【解析】解：（）．理由如下：因为，，
所以．又，，
所以≌．
所以．
因为，
所以，
所以．
所以．
（）问题（）中的位置关系还成立．理由：因为，，
所以．
又，，
所以≌．
所以．
又，
所以．
所以．
所以．