北师大版七年级数学下册第四章三角形4用尺规作三角形 学案（含答案）

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用尺规作三角形
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用尺规作三角形
（）用尺规作三角形，其实质可以归结为两个基本作图，即：①作一条线段__________；②__________等于已知角．
（）本节学到的用尺规作三角形，包括三种类型：
①已知__________作三角形；
②已知__________作三角形；
③已知__________作三角形．
【答案】（）①等于已知线段；②作一个角
（）①三角形的两边及其夹角；②三角形的两角及其夹边；③三角形的三条边
【解析】
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巩固基础
考点一：尺规作图
1．尺规作图的画图工具是（
）．
A．刻度尺、圆规
B．三角尺和量角器
C．直尺和量角器
D．没有刻度的直尺和圆规
【答案】D
【解析】
2．如图，用尺规作出，作图痕迹是（
）．
A．以点为圆心，长为半径的弧
B．以点为圆心，长为半径的弧
C．以点为圆心，长为半径的弧
D．以点为圆心，长为半径的弧
【答案】D
【解析】
3．根据下列已知条件，能唯一画出的是（
）．
A．，，
B．，，
C．，，
D．，
【答案】A
【解析】
考点二：用尺规作三角形
4．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知条件是（
）．
A．三角形的两条边和它们的夹角
B．三角形的三条边
C．三角形的两角和它们的夹边
D．三角形的三个角
【答案】A
【解析】
5．如图所示，已知一个三角形的两边分别为线段，，并且边上的中线为线段，求作此三角形．（要求：用尺规作图，写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法，要写结论）
【答案】见解析
【解析】解：已知；线段，，；求作；，使，，是的中点，且（或求作：，使，，边上的中线）．
结论：即为所求．
6．如图，已知线段，和，你能作出符合如下要求的唯一三角形吗？，，．若能，写出作法；若不能，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：能作出两个三角形．如图，所以不能作出唯一的符合要求的三角形．
理由：“”不能说明两个三角形全等，所以一般情况下，已知两边和其中一边的对角不能作出唯一的三角形．
7．（2015·黄岛区期末）已知：线段，和．求作：，使，，．
（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）如图，小敏做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2．（分）已知线段，，，求作，使，，，作法的合理顺序为__________．（填序号）
①分别以点，为圆心，以，的长为半径作弧，两弧交于点；
②连接，，则就是所求作的三角形；
③作一条线段．
【答案】③①②
【解析】
3．（分）（2015·北京校级期中）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图（图①）：作一个角的平分线，
已知：．
求作：的平分线．
小芸的作法如下：请你跟随小芸的叙述，在图②中完成这个尺规作图．
（）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
（）画射线，射线即为所求．
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是__________．
【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
4．（分）如图是数轴的一部分，其单位长度为．已知中，，，．
用直尺和圆规作出．（要求：使点，在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）
【答案】见解析
【解析】解：如图所示，即为所求．
5．（分）如图，已知线段和，只用直尺和圆规，求作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】解：如图所示，即为所示．
6．（分）已知：线段，．
求作：，使，．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】解：如图所示，即为所求．
7．（分）（拓展提升题）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．
（）请你画出一个满足题设条件的三角形．
（）你是否还能画出既满足题设条件，又与（）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作图作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】见解析
【解析】解：示例：（）如图①．
（）能．如图②．
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利用三角形全等测距离
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利用三角形全等测距离
（）在测量不能直接测量的两点之间的距离时，可以想办法构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质“全等三角形的__________”，将其转化为易于测量的线段．构造全等三角形时要满足全等三角形的判定方法：“”“”或“”．
（）如图所示，，在一水池的两侧，若，，，则水池宽
__________．
【答案】（）对应角相等
（）
【解析】
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考点：利用三角形全等测距离
1．要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使，，在一条直线上（如图所示），可以说明≌，通过全等三角形对应边相等，得出的长，判定≌最恰当的理由是（
）．
A．边角边
B．角边角
C．边边边
D．边边角
【答案】B
【解析】
2．某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，依据是（
）（数学思想链接：转化思想）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
3．如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使，，三点在一条直线上，这时测得__________的长就等于的长．
【答案】
【解析】
4．教室里有几盆花，如图①，要想测量这几盆花两旁的，两点间的距离不方便，因此，选点，都能到达的一点，如图②，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使．那么，，两点间的距离就是，两点间的距离．
理由：在和中，，
所以≌（__________）．
所以__________，所以只要测出，两点间的距离
就可知，两点间的距离．
【答案】，
【解析】
5．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱
与地面垂直，当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度，有何数量关系？为什么？
【答案】见解析
【解析】解：．
理由如下：因为是，的中点，
所以，．
在与中，
因为，，，
所以≌．
所以．
6．（2015·即墨28中期末）如图，，两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量，间距离的方案，并说明其中的道理．
（）测量方案：
（）理由：
【答案】见解析
【解析】解：（）测量方案：先在平地上取一个可直接到达，的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长．
（）理由：在和中，
因为，
所以≌，
所以（全等三角形的对应边相等），
所以的距离即为的长．
强化训练
综合演练
强化能力
1．（分）小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中框架的质量为克，的质量为克，则整个金属框架的质量为（
）．
A．克
B．克
C．克
D．克
【答案】D
【解析】
2．（分）（2015·胶州市期末变式）如图，，表示两根长度相等的铁条，若为，的中点，经测量，则容器内径为（
）．（数学思想链接：转化思想）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
3．（分）如图所示，，，，是四个村庄，，，在一条东西走向公路的沿线上，
千米，千米，村庄，与，间也有公路相连且千米，只有，之间由于间隔了一个小湖泊，所以无直接相连的公路，现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得千米，千米，那么建造的斜拉桥至少有__________千米．
【答案】
【解析】
4．（分）（2015·临沭县期中）如图，课间小明拿着老师的等腰三角尺玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为__________．
【答案】
【解析】
5．（分）如图，在新建的小区中，有一条“”字形绿色长廓，其中，在，，三段绿色长廊上各修一凉亭，，，且，点是的中点，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达．要想知道与的距离，只需要测出线段__________的长度．理由是：可以说明__________，从而由全等三角形的对应边相等得出__________．
【答案】，≌，
【解析】
6．（分）（2016·宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由步行到达处的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，，垂足为，已知米，请根据上述信息求标语的长度．
【答案】见解析
【解析】解：因为，所以．
因为，所以，
所以，即．
因为相邻两平行线间的距离相等，所以．
在与中，
因为，
所以≌，
所以米．
7．（分）（拓展提升题）（一题多解）已知，两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点可以到达，请你给出一个合适可行的方案，画出设计图，说明依据．
【答案】见解析
【解析】解：方案一：找能到达，两点的一点，连接并延长到点，使；
连接并延长到点，使，连接并测量出它的长度，的长就是的长（如图①）．
方案二：找两点，，使且，量出的长，即得的长[如图②，由≌得到]．
方案三：找一点，使，延长至点，使，连接．量得的长即得的长（如图③）．
尖子生成长计划5
全等三角形中常见的辅助线
一、翻折法
1．如图，在中，是的平分线，，垂足为．试说明：．
【答案】见解析
【解析】解：如图，延长交于点（相当于将边向下翻折，与边重合，点落在点处，折痕为）．
因为平分，所以．
因为，所以．
在和中，
因为，
所以≌．
所以．
又因为，
所以．
二、构造法
2．如图，在直角三角形中，，，，点为的中点，于点，其延长线交于点，连接．试说明：．
【答案】见解析
【解析】解：如图，过点作交的延长线于点．
因为，所以．
因为，所以，
所以．
所以．
在和中，
因为，
所以≌．
所以，．
因为点为的中点，所以，所以．
又因为，，
所以．
所以．
在和中，
因为，
所以≌．
所以．
所以．
三、旋转法
3．如图，在正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数．
【答案】见解析
【解析】解：如图，延长至点，使得．
因为，，
所以．
在和中，
因为，
所以≌．
所以，．
所以，
即．
因为，
所以，即．
在和中，
因为，
所以≌．
所以．
所以．
四、中线倍长法
4．如图，在中，为的中点．
（）试说明：．
（）若，，求的取值范围．
【答案】见解析
【解析】解；（）延长至点，使，连接．
因为为的中点，所以．
又因为，，
所以≌，
所以，因为，所以．
（）因为，
所以．
因为，，
所以．
所以．
五、截长补短法
5．（一题多解）如图，在中，，，为上任意一点，试说明：．
【答案】见解析
【解析】解：方法一（截长法）：如图①，在上截取，连接．
在和中，
因为，
所以≌，
所以．
因为在中，，
所以，
所以．
方法二（补短法）：如图②，延长至点，使，连接．
在和中，
因为，
所以≌．
所以．
因为在中，，
所以．