1.2 整式
一、整式的定义
和 统称为整式。
相关定义：
①代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式；单独的 或
也是代数式。
②同类项：所含字母相同，并且 也相同的项叫做同类项。
二、整式的运算
1.整式的加减是根据 法则和 法则计算：
进行整式的加减运算时，如果有括号先 ，再 。
2.整式的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：（m，n都是正整数）
（2）幂的乘方法则：（m，n都是正整数）
（3）积的乘方法则：（n是正整数）
（4）完全平方公式：
（5）平方差公式：
3.整式的除法
（1）同底数幂的除法法则：（m，n都是正整数）
（2）零指数幂：(a≠0)
（3）负整数指数幂：（a≠0，p是正整数）
三、因式分解
1.概念：一般地，把一个多项式化成几个 的形式，叫做因式分解。
2.因式分解的方法：
（1） （2）
四、整式化简求值：
①先化简，再求值；②由化简后的形式直接代数所求整式的值；
③式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中．
考点一：整式的相关概念
（2016·无棣县模拟）对于下列四个式子：①0.1；②；③；④。其中不是整式的是（ ）
A．① B.② C.③ D.④
【解析】解：0.1，，都是整式；的分母中有字母，不是整式，是分式。
【答案】C
【点评】此题考查整式的概念，注意一个数，π也是整式；整式与分式的区别是分母不含有字母。
变式跟进1（2016·佛山市南海区模拟）下列关于单项式的说法中，正确的是（ ）
A．系数是，次数是2 B. 系数是，次数是2
C. 系数是-3，次数是3 D. 系数是，次数是3
考点二：整式的运算
（2017?齐齐哈尔）下列算式运算结果正确的是（ ）
A．（2x5）2=2x10 B．（﹣3）﹣2= C．（a+1）2=a2+1 D．a﹣（a﹣b）=﹣b
【解析】解：A、（2x5）2=4x10，故A错误；
B、（﹣3）﹣2=，故B正确；
C、（a+1）2=a2+2a+1，故C错误；
D、a﹣（a﹣b）=a﹣a+b=b，故D错误；
【答案】B
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
变式跟进2（2017?济宁）计算（a2）3+a2?a3﹣a2÷a﹣3，结果是（ ）
A．2a5﹣a B．2a5﹣ C．a5 D．a6
考点三：整式的化简求值
（2017?长春）先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．
【解析】解：原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2，
当a=2时，原式=24+16﹣2﹣2=36．
【答案】3a3+4a2﹣a﹣2，36
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式跟进3（2016?菏泽）已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．
考点四：因式分解的意义及方法
（2017?常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【解析】解：A.该变形为去括号，故A不是因式分解；
B.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
D.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
【答案】C
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
变式跟进4（2016?潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
考点五：因式分解的应用
（2016?宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【解析】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），
∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，
∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，
【答案】C
【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
变式跟进5（2017?内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ．
一、选择题
1．（2017?无锡）若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2．（2017?宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（2a）2=4a C．a2?a3=a5 D．（a2）3=a5
3．（2016?长春）把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
4．（2017?青岛）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ）
A．﹣m B．﹣1 C． D．﹣
5．（2017?济宁）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2015?杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2 B．﹣x=
C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+1
7．（2016?台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（ ）
A．0 B．10 C．12 D．22
8．（2016?临夏州）若x2+4x﹣4=0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．18 D．30
9．（2016?杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
10．（2017?十堰）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（ ）
A．32 B．36 C．38 D．40
二、填空题
11．（2017?潍坊）因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）= ．
12．（2017?六盘水）计算：2017×1983= ．
13．（2015?甘南州）已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2015= ．
14．（2017?深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）?（1﹣i）= ．
15．（2016?百色）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．
16．（2015?铜仁市）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6= ．
三、解答题
17．（2017?荆门）先化简，再求值：（2x+1）2﹣2（x﹣1）（x+3）﹣2，其中x=．
18．（2015?茂名）设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．
19．（2017?枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
20．（2017?安徽）【阅读理解】
我们知道，1+2+3+…+n=，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 2n+1 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2= ．
【解决问题】
根据以上发现，计算：的结果为 ．
一、选择题
1．（2017?青岛四模）下列式子：x2+1，+4，，，﹣5x，0中，整式的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2017?莒县模拟）x的2倍与y的和的平方用代数式表示为（ ）
A．（2x+y）2 B．2x+y2 C．2x2+y2 D．2（x+y）2
3．（2017?临沂市兰山区模拟）一组按规律排列的式子：a2，，，，…，则第2017个式子是（ ）
A． B． C． D．
4．（2017?南平模拟）把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2 B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2 D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
5．（2017?东安县模拟）一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再打九折；若顾客要购买这种商品，最划算应到的超市是（ ）
A．甲或乙或丙 B．乙 C．丙 D．乙或丙
6．（2017?合肥市瑶海区模拟）若关于x，y的多项式0.4x2y﹣7mxy+0.75y3+6xy化简后不含二次项，则m=（ ）
A． B． C．﹣ D．0
7．（2016?昆山市一模）已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值范围有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2017?合肥市蜀山区校级模拟）（am）m?（am）2不等于（ ）
A．（am+2）m B．（am?a2）m C． D．（am）3?（am﹣1）m
9．（2017?福建模拟）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7 B．3，7，2 C．2，5，3 D．2，5，7
10．（2017?孝义市一模）如图（1），在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，可以拼出图（2）所示图形，上述过程可以验证等式（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
二、填空题
11．（2017?沂源县一模）因式分解（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1的结果为 ．
12．（2017?玉环县模拟）设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为 ．
13．（2016?南通一模）计算（a+b）（a2﹣ab+b2）= ．
14．（2015?广州市天河区一模）计算：（12a3﹣6a2）÷（﹣2a）= ．
15．（2016?菏泽市牡丹区模拟）对于任何实数，我们规定符号的意义是：=ad﹣bc，按照这个规定计算：当x2﹣3x+1=0时，的值为 ．
16．（2017?北京市西城区二模）《数学九章》中的秦九韶部算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：
3x3﹣4x2﹣35x+8=x（3x2﹣4x﹣35）+8=x[x（3x﹣4）﹣35]+8
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值1008．
请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为： ，当x=8时，这个多项式的值为 ．
三、解答题
17．（2016?江西模拟）化简：．
18．（2017?永修县一模）已知（a+2+）2与|b+2﹣|互为相反数，求（a+2b）2﹣（2b+a）（2b﹣a）﹣2a2的值．
19．（2017?广东模拟）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分多项式，形式如下：
+（a﹣3b）2=2a2+5b2
（1）求所捂的多项式；
（2）当a=﹣2，b=时，求所捂的多项式的值．
20．（2017?福建模拟）将下列各式因式分解：
（1）x2﹣9 （2）﹣3ma2+12ma﹣9m
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y） （4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
21．（2017?滦南县一模）数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：
2962=（300﹣4）2=3002﹣2×300×（﹣4）+42=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．
22．（2017?河北模拟）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（x＞9且x＜26，单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
x
x﹣5
2（9﹣x）
（1）说出这辆出租车每次行驶的方向．
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程？
23．（2017?重庆模拟）先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．
（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
1.2 整式
一、整式的定义
单项式和多项式统称为整式。
相关定义：
①代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式。
②同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
二、整式的运算
1.整式的加减是根据合并同类项法则和去括号法则计算：
进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。
2.整式的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：（m，n都是正整数）
（2）幂的乘方法则：（m，n都是正整数）
（3）积的乘方法则：（n是正整数）
（4）完全平方公式：
（5）平方差公式：
3.整式的除法
（1）同底数幂的除法法则：（m，n都是正整数）
（2）零指数幂：(a≠0)
（3）负整数指数幂：（a≠0，p是正整数）
三、因式分解
1.概念：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
2.因式分解的方法：
（1）提取公因式法 （2）公式法
四、整式化简求值：
①先化简，再求值；②由化简后的形式直接代数所求整式的值；
③式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中．
考点一：整式的相关概念
（2016·无棣县模拟）对于下列四个式子：①0.1；②；③；④。其中不是整式的是（ ）
A．① B.② C.③ D.④
【解析】解：0.1，，都是整式；的分母中有字母，不是整式，是分式。
【答案】C
【点评】此题考查整式的概念，注意一个数，π也是整式；整式与分式的区别是分母不含有字母。
变式跟进1（2016·佛山市南海区模拟）下列关于单项式的说法中，正确的是（ ）
A．系数是，次数是2 B. 系数是，次数是2
C. 系数是-3，次数是3 D. 系数是，次数是3
【解析】解：单项式中除字母外是，即是系数；
次数为所有字母次数的和，即为1+2=3；
故系数是，次数是3
【答案】D
【点评】此题考查单项式的概念，单项式是由数、字母的积组成的，除去它的字母部分就是它的系数，次数是所有字母的次数之和.
考点二：整式的运算
（2017?齐齐哈尔）下列算式运算结果正确的是（ ）
A．（2x5）2=2x10 B．（﹣3）﹣2= C．（a+1）2=a2+1 D．a﹣（a﹣b）=﹣b
【解析】解：A、（2x5）2=4x10，故A错误；
B、（﹣3）﹣2=，故B正确；
C、（a+1）2=a2+2a+1，故C错误；
D、a﹣（a﹣b）=a﹣a+b=b，故D错误；
【答案】B
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
变式跟进2（2017?济宁）计算（a2）3+a2?a3﹣a2÷a﹣3，结果是（ ）
A．2a5﹣a B．2a5﹣ C．a5 D．a6
【解析】解：（a2）3+a2?a3﹣a2÷a﹣3
=a6+a5﹣a5
=a6．
【答案】D
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
考点三：整式的化简求值
（2017?长春）先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．
【解析】解：原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2，
当a=2时，原式=24+16﹣2﹣2=36．
【答案】3a3+4a2﹣a﹣2，36
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式跟进3（2016?菏泽）已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．
【解析】解：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2
=﹣4xy+3y2
=﹣y（4x﹣3y）．
∵4x=3y，
∴原式=0．
【答案】﹣y（4x﹣3y），0
【点评】此题考查整式的化简求值，注意先化简，再代入求得数值即可．
考点四：因式分解的意义及方法
（2017?常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【解析】解：A.该变形为去括号，故A不是因式分解；
B.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
D.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
【答案】C
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
变式跟进4（2016?潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【解析】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），
a2+a=a（a+1），
a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），
（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，
∴结果中不含有因式a+1的是选项C；
【答案】C
【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
考点五：因式分解的应用
（2016?宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【解析】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），
∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，
∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，
【答案】C
【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
变式跟进5（2017?内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ．
【解析】解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
2x3﹣7x2+4x﹣2017
=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，
=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，
=6x﹣3x2﹣2017，
=﹣3（x2﹣2x）﹣2017
=﹣3﹣2017
=﹣2020，
【答案】﹣2020
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．
一、选择题
1．（2017?无锡）若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【解析】解：∵a﹣b=2，b﹣c=﹣3，
∴a﹣c=（a﹣b）+（b﹣c）=2﹣3=﹣1，
【答案】B
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2017?宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（2a）2=4a C．a2?a3=a5 D．（a2）3=a5
【解析】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A不符合题意；
B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C符合题意；
D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D不符合题意；
【答案】C
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．（2016?长春）把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
【解析】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2，
【答案】A
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2017?青岛）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ）
A．﹣m B．﹣1 C． D．﹣
【解析】解：原式=6m6÷（﹣8m6）
=﹣
【答案】D
【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．
5．（2017?济宁）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】解：由题意，得
m=2，n=3．
m+n=2+3=5，
【答案】D
【点评】本题考查了同类项，利用同类项的定义得出m，n的值是解题关键．
6．（2015?杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2 B．﹣x=
C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+1
【解析】解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，正确；
B、，错误；
C、x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，错误；
D、x÷（x2+x）=，错误；
【答案】A
【点评】此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法则计算．
7．（2016?台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（ ）
A．0 B．10 C．12 D．22
【解析】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，
可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．
∴a=﹣5，b=11，c=6，
则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．
【答案】C
【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．
8．（2016?临夏州）若x2+4x﹣4=0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．18 D．30
【解析】解：∵x2+4x﹣4=0，即x2+4x=4，
∴原式=3（x2﹣4x+4）﹣6（x2﹣1）=3x2﹣12x+12﹣6x2+6=﹣3x2﹣12x+18=﹣3（x2+4x）+18=﹣12+18=6．
【答案】B
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2016?杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【解析】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，
整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，
解得：a=0或b=0，正确；
②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4ac
a@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，
∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；
③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，
令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，
解得，a=0，b=0，故错误；
④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，
（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，
∴a2+b2+2ab≥4ab，
∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，
解得，a=b，
∴a@b最大时，a=b，故④正确，
【答案】C
【点评】本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10．（2017?十堰）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（ ）
A．32 B．36 C．38 D．40
【解析】解：∵a1=a2+a3
=a4+a5+a5+a6
=a7+a8+a8+a9+a8+a9+a9+a10
=a7+3（a8+a9）+a10，
∴要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，
取a8=2、a9=4，
∵a5=a8+a9=6，
则a7、a10中不能有6，
若a10=8，则a6=a9+a10=12，
∴a7=14，则a4=14+2=16、a2=16+6=22、a3=6+12=18、a1=18+22=40；
综上，a1的最小值为40，
【答案】D
【点评】本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a1取得最小值的切入点是解题的关键．
二、填空题
11．（2017?潍坊）因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）= ．
【解析】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．
故答案是：（x+1）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
12．（2017?六盘水）计算：2017×1983= ．
【解析】解：原式=（2000+17）（2000﹣17）
=20002﹣172
=4000000﹣289
=3999711．
【答案】3999711
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
13．（2015?甘南州）已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2015= ．
【解析】解：∵a2﹣a﹣1=0，
∴a2﹣a=1，
∴a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015=a﹣a+2015=2015，
【答案】2015
【点评】本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．
14．（2017?深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）?（1﹣i）= ．
【解析】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2
【答案】2
【点评】本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义，本题属于基础题型．
15．（2016?百色）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．
【解析】解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，
【答案】a2017﹣b2017
【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
16．（2015?铜仁市）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6= ．
【解析】解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【点评】此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
三、解答题
17．（2017?荆门）先化简，再求值：（2x+1）2﹣2（x﹣1）（x+3）﹣2，其中x=．
【解析】解：原式=4x2+4x+1﹣2x2﹣4x+6﹣2=2x2+5，
当x=时，原式=4+5=9．
【答案】2x2+5，9
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2015?茂名）设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．
【解析】解：原式=（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，
当y=ax，代入原式得（1+a）2x2=x2，
即（1+a）2=1，
解得：a=﹣2或0．
【答案】a=-2或0
【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
19．（2017?枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【解析】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【答案】（1）1 （2）15，26，37，48，59 （3）
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
20．（2017?安徽）【阅读理解】
我们知道，1+2+3+…+n=，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 2n+1 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2= ．
【解决问题】
根据以上发现，计算：的结果为 ．
【解析】解：【规律探究】
由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n=2n+1，
由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：
3（12+22+32+…+n2）=（2n+1）×（1+2+3+…+n）=（2n+1）×，
因此，12+22+32+…+n2=；
故答案为：2n+1，，；
【解决问题】
原式==×（2017×2+1）=1345，
故答案为：1345．
【答案】【规律探究】2n+1，， 【解决问题】1345
【点评】本题主要考查数字的变化类，阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律，并运用规律解决实际问题是解题的关键．
一、选择题
1．（2017?青岛四模）下列式子：x2+1，+4，，，﹣5x，0中，整式的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】解：整式有x2+1，，﹣5x，0，共4个，
【答案】C
【点评】本题考查了整式的定义，掌握整式的定义是解题的关键．
2．（2017?莒县模拟）x的2倍与y的和的平方用代数式表示为（ ）
A．（2x+y）2 B．2x+y2 C．2x2+y2 D．2（x+y）2
【解析】解：“x的2倍与y的和的平方”可以表示为：（2x+y）2．
【答案】A
【点评】本题考查了列代数式，主要是文字语言转化为数学语言的能力的考查．
3．（2017?临沂市兰山区模拟）一组按规律排列的式子：a2，，，，…，则第2017个式子是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：由题意，得
分子式a的n次方，分母是2n﹣1，
第2017个式子是，
【答案】C
【点评】本题考查了单项式，发现规律是解题关键．
4．（2017?南平模拟）把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2 B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2 D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
【解析】解：A、4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；
B、a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；
C、a2﹣2a﹣1无法运用公式分解因式，故此选项错误；
D、（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，是多项式乘法，故此选项错误；
【答案】A
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
5．（2017?东安县模拟）一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再打九折；若顾客要购买这种商品，最划算应到的超市是（ ）
A．甲或乙或丙 B．乙 C．丙 D．乙或丙
【解析】解：甲超市的实际售价为m×0.8×0.8=0.64m元；
乙超市的实际售价为m×0.6=0.6m元；
丙超市的实际售价为m×0.7×0.9=0.63m元，
∴最划算应到的超市是乙，
【答案】B
【点评】考查列代数式及代数式的计算；得到实际售价的关系式是解决本题的关键．
6．（2017?合肥市瑶海区模拟）若关于x，y的多项式0.4x2y﹣7mxy+0.75y3+6xy化简后不含二次项，则m=（ ）
A． B． C．﹣ D．0
【解析】解：原式=0.4x2y+0.75y3+（﹣7m+6）xy，
因为化简后不含二次项，
所以﹣7m+6=0，
解得m=．
【答案】B
【点评】此题考查并同类项的方法，关键是明确没有某一项的含义，就是这一项的系数为0．
7．（2016?昆山市一模）已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值范围有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：根据题意得：﹣15=﹣1×15=1×（﹣15）=﹣3×5=3×（﹣5），
可得﹣k=14，﹣14，2，﹣2，
解得：k=﹣14，14，﹣2，2，共4个，
【答案】D
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
8．（2017?合肥市蜀山区校级模拟）（am）m?（am）2不等于（ ）
A．（am+2）m B．（am?a2）m C． D．（am）3?（am﹣1）m
【解析】解：（am）m?（am）2=?a2m=，
（am+2）m=，故A选项不符合题意；
（am?a2）m=（am+2）m=，故B选项不符合题意；
（am）3?（am﹣1）m==，故D选项不符合题意；
【答案】C
【点评】本题考查了幂的乘方及同底数幂的乘法运算，掌握各部分的运算法则是解题关键．
9．（2017?福建模拟）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7 B．3，7，2 C．2，5，3 D．2，5，7
【解析】解：长为a+3b，宽为2a+b的长方形的面积为：
（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
【答案】A
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2017?孝义市一模）如图（1），在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，可以拼出图（2）所示图形，上述过程可以验证等式（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
【解析】解：图形的面积=a2﹣b2=（2b+2a）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．
【答案】C
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
二、填空题
11．（2017?沂源县一模）因式分解（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1的结果为 ．
【解析】解：（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1，
=（a+b）（a+b﹣1）﹣（a+b﹣1），
=（a+b﹣1）（a+b﹣1），
=（a+b﹣1）2．
【答案】（a+b﹣1）2
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，直接不能提取公因式，应将原式恒等变形，为下一步提公因式做好铺垫．
12．（2017?玉环县模拟）设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为 ．
【解析】解：∵a＜b＜0，a2+b2=4ab，
∴（a﹣b）2=2ab，（a+b）2=6ab，
∴a﹣b＜0，a+b＜0，
∴的值为：=．
【答案】
【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确配方得出是解题关键．
13．（2016?南通一模）计算（a+b）（a2﹣ab+b2）= ．
【解析】解：（a+b）（a2﹣ab+b2）
=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
=a3+b3．
【答案】a3+b3
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
14．（2015?广州市天河区一模）计算：（12a3﹣6a2）÷（﹣2a）= ．
【解析】解：（12a3﹣6a2）÷（﹣2a）=﹣6a2+3a．
【答案】﹣6a2+3a
【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是让多项式的每一项与单项式相除，再把所得的商相加．
15．（2016?菏泽市牡丹区模拟）对于任何实数，我们规定符号的意义是：=ad﹣bc，按照这个规定计算：当x2﹣3x+1=0时，的值为 ．
【解析】解：根据题中的新定义得：原式=（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2）=x2﹣1﹣3x2+6x=﹣2x2+6x﹣1=﹣2（x2﹣3x）﹣1，
由x2﹣3x+1=0，得到x2﹣3x=﹣1，
则原式=2﹣1=1，
【答案】1
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2017?北京市西城区二模）《数学九章》中的秦九韶部算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：
3x3﹣4x2﹣35x+8=x（3x2﹣4x﹣35）+8=x[x（3x﹣4）﹣35]+8
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值1008．
请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为： ，当x=8时，这个多项式的值为 ．
【解析】解：x3+2x2+x﹣1=x[x（x+2）+1]﹣1，
当x=8时，原式=647，
【答案】x[x（x+2）+1]﹣1；647
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，弄清题中的方法是解本题的关键．
三、解答题
17．（2016?江西模拟）化简：．
【解析】解：
=
=
=2x﹣4．
【答案】2x-4
【点评】本题考查单项式乘多项式，多项式除单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（2017?永修县一模）已知（a+2+）2与|b+2﹣|互为相反数，求（a+2b）2﹣（2b+a）（2b﹣a）﹣2a2的值．
【解析】解：∵（a+2+）2与|b+2﹣|互为相反数，
∴（a+2+）2+|b+2﹣|=0，
∴a=﹣2﹣，b=﹣2+，
则原式=a2+4ab+4b2﹣4b2+a2﹣2a2=4ab=4×（﹣2﹣）×（﹣2+）=4．
【答案】4
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2017?广东模拟）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分多项式，形式如下：
+（a﹣3b）2=2a2+5b2
（1）求所捂的多项式；
（2）当a=﹣2，b=时，求所捂的多项式的值．
【解析】解：（1）原式=（2a2+5b2）﹣（a﹣3b）2=2a2+5b2﹣a2+6ab﹣9b2=a2+6ab﹣4b2；
（2）当a=﹣2，b=时，原式=4﹣12﹣20=﹣16﹣12．
【答案】（1）a2+6ab﹣4b2 （2）﹣16﹣12
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
20．（2017?福建模拟）将下列各式因式分解：
（1）x2﹣9 （2）﹣3ma2+12ma﹣9m
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y） （4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
【解析】解：（1）x2﹣9=（x+3）（x﹣3）；
（2）﹣3ma2+12ma﹣9m
=﹣3m（a2﹣4a+3）
=﹣3m（a﹣1）（a﹣3）；
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）
=4x2﹣12xy+9y2，
=（2x﹣3y）2；
（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3
=（a+2b）2+2（a+2b）+1，
=（a+2b+1）2．
【答案】（1）（x+3）（x﹣3） （2）﹣3m（a﹣1）（a﹣3）
（3）（2x﹣3y）2 （4）（a+2b+1）2
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
21．（2017?滦南县一模）数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：
2962=（300﹣4）2=3002﹣2×300×（﹣4）+42=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．
【解析】解：错在“﹣2×300×（﹣4）”，
应为“﹣2×300×4”，公式用错．
∴2962=（300﹣4）2
=3002﹣2×300×4+42?
=90000﹣2400+16
=87616．
【答案】错在“﹣2×300×（﹣4）”，87616
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是了解完全平方公式的形式并正确的应用．
22．（2017?河北模拟）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（x＞9且x＜26，单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
x
x﹣5
2（9﹣x）
（1）说出这辆出租车每次行驶的方向．
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程？
【解析】（1）解：第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西．
（2）解：x+（﹣x）+（x﹣5）+2（9﹣x）=13﹣x，
∵x＞9且x＜26，
∴13﹣x＞0，
∴经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是向东（13﹣x）km．
（3）解：|x|+|﹣x|+|x﹣5|+|2（9﹣x）|=x﹣23，
答：这辆出租车一共行驶了（x﹣23）km的路程．
【答案】（1）第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西．
（2）向东（13﹣x）km （3）（x﹣23）km
【点评】本题考查了整式的加减，绝对值等知识点的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，用数学解决实际问题，题型较好．
23．（2017?重庆模拟）先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．
（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
【解析】（1）证明：∵为欢喜数，
∴a+c=b．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除．
（2）设m=，n=（且a1＞a2），
∵F（m）﹣F（n）=a1?c1﹣a2?c2=a1?（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，
∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），
∴m﹣n=99或m﹣n=297．
∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或297．
【答案】（1）证明：∵为欢喜数，
∴a+c=b．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除．
（2）99或297
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：（1）找出=99a+11b；（2）由F（m）﹣F（n）=3，求出a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
