2.1.2指数函数及其性质
一、学习目标
1.理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.
2.培养学生实际应用函数的能力
二、学法指导：
1.
在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的
指数函数的图象,并且能够归纳出性质及其简单应用.
2.
指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3.
掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣
三、知识要点
1．指数函数的定义：函数
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是
2.指数函数的图象和性质：
的图象和性质
a>1
0
图象
性质
(1)
定义域：
（2）值域：
（3）过点（
），即x=
时，y=
（4）在
R
上是函数
（4）在R上是
函数
四、教学过程：
（一）复习：
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….
1个这样的细胞分裂
x
次后，得到的细胞个数
y
与
x
的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是.
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为
在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
（二）新课讲解：
1．指数函数的定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？
①若a=0，则当x>0时，=0；当x0时，无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义.
如，这时对于x=，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0.
因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究2：函数是指数函数吗？
指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k
(a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=
(a>0,且a1)，因为它可以化为y=，其中>0，且1
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.
列表如下：
x
…
-3
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
3
…
y=
…
0.13
0.25
0.5
0.71
1
1.4
2
4
8
…
y=
…
8
4
2
1.4
1
0.71
0.5
0.25
0.13
…
x
…
-1.5
-1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
1
1.5
…
y=
…
0.03
0.1
0.32
0.56
1
1.78
3.16
10
31.62
…
y=
…
31.62
10
3.16
1.78
1
0.56
0.32
0.1
0.03
…
我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质
a>1
0图象
性质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在
R上是增函数
（4）在R上是减函数
（三）．例题分析：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;
……
一般地，经过x年，剩留量
y=0.84
根据这个函数关系式可以列表如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半
评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现
例2
（课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：
①，；
②，；
③，
解：利用函数单调性
①与的底数是1.7，它们可以看成函数
y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=在R是增函数，而2.5<3，所以，<；
②与的底数是0.8，它们可以看成函数
y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，<；
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：>1；<1；>
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
求下列函数的定义域、值域：
⑴
⑵
⑶
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围
解（1）由x-1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x|x≠1}
由
，得y≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理
（2）由5x-1≥0得
所以，所求函数定义域为{x|}
由
≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
（3）所求函数定义域为R
由>0可得+1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性
五、课堂小练
⑴比较大小：
,
⑵81页练习1
⑶比较下列各数的大小：
，2.2.2对数函数及其性质
学习目的：使学生理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性：对于函数y=
当0＜a＜1时，在（0，＋∞）上是减函数；a＞1时在（0，＋∞）上是增函数。
学习重点：对数函数的定义、图象和性质。
学习难点：对数函数图象和性质的理解。
过程
一、复习提问
把指数函数y＝2和y＝写成对数式。
二、新课
一般地，我们把函数y=（a＞0，且a≠1）叫对数函数（logarithmic
function）
其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）。
研究函数y=和函数y=的图象和性质。
y=＝－，设点（x，y）在y=的图象上，则点（x，－y）在图象y=
上，而点（x，y）与（x，－y）关于x轴对称，所以y=的图象和y=的图
象关于x轴对称。（把x＝2分别代入两个函数，可得1和－1）
函数y=（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
（1）定义域：（0，＋∞）；
（2）值域：R；
（3）过定点（1,0）即x＝1时，y＝0；
（4）当0＜a＜1时，在（0，＋∞）上是减函数；a＞1时在（0，＋∞）上是增函数。
＊对比指数函数的图象和性质。
例7、求下列函数的定义域：
（1）y＝
定义域为：{x∣x≠0}
（2）y＝
定义域为：{x∣x＜4}
例8、比较下列各组数中两个值的大小：
（1），
（＜）
（2），
（＞）
（3），
（a＞0，且a≠1）
（a＞1时，＜，0＜a＜1时，＞）
分析：本题利用对数函数的性质来解决。注意（3）的分类讨论。
例9、溶液酸碱度的测量。
溶液酸碱度是通过PH画的。PH的计算公式为PH＝－lg［H＋］，其中［H＋］表
示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
（1）根据对数函数性质及上述PH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子
的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H＋］＝10－7摩尔/升，计算纯净水的PH。
解：（1）根据对数的运算性质，有
PH＝－lg［H＋］＝lg［H＋］－1＝＝
在（0，∞）上，随着［H＋］的增大，减小，相应地，也减小，即PH减
小。所以随着［H＋］的增大，PH值减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度
就越小。
（2）当［H＋］＝10－7时，PH＝－lg10－7＝7，所以纯净水的PH是7。
纯净水的PH应该在5.0――7.0之间。
y＝2x中，x是自变量，y是因变量。若y是自变量，x是因变量,x是y的函数吗？
把y＝2x由指数式写成对数式：x＝?，对于y∈（0，＋∞）时，通过式子
x＝可知，x在R中有唯一确定的值和它对应，因此，可以说若y是自变量，x
是因变量,x是y的函数，这时我们说
x＝（y∈（0，＋∞））是函数y＝2x（x∈R）的反函数（inverse
function）.
x＝习惯写成y＝
对数函数y＝（x∈（0，＋∞））是指数函数y＝2x（x∈R）的反函数。
它们是互为反函数。
对数函数（a＞0，且a≠1）和指数函数（a＞0，且a≠1）互为反函数。2.1.1指数与指数幂的运算学案
一、学习目标：
1．理解分数指数幂的概念
；
2.
掌握有理指数幂的运算性质；
3．会对根式、分数指数幂进行互化；
4．能够应用联系观点看问题
二、学法指导：
1．本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明“若a＞0，
p是一个无理数，则表示一个确定的实数”
2．在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出
一般规律.
3.
在掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由
此让体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
三、知识要点
1．规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是
；
（2）正数的负分数指数幂的意义是
=
.
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
四、教学过程：
（一）复习：（提问）
1．整数指数幂的运算性质：
2．根式的运算性质：①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
（二）新课讲解：
1．分数指数幂：
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，
例如：若，则，，
∴
．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；
（2）正数的负分数指数幂的意义是．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
（三）例题分析：
例1．求值：
，
，
，
．
例2．
用分数指数幂的形式表示下列各式：
，
，
.
解：=；
=；
=．
例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）；
（2）；
分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤
解（1）
=
=；
（2）
==．
例4．计算下列各式：
（1）
（2）．
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算
解：（1）==
==；
（2）=．
五、课堂小练
课本P76练习
1.用根式的形式表示下列各式(a＞０)
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1)
（２）（ａ＋ｂ＞０）
（３）
（４）（ｍ＞ｎ）
(5)（ｐ＞０）
(6)
六、课堂小结：
1．学习了分数指数幂的概念和运算性质；
2．会熟练的利用有理数指数幂的运算性质进行分数指数幂和根式的运算。2.3幂函数
1．幂函数的概念：一般地，我们把形如
的函数称为幂函数，其中
是自变量，
是
常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点
；
（2）当时，幂函数在上
；当时，幂函数在上
；
（3）当时，幂函数是
；当时，幂函数是
．
3．幂函数的性质：
（1）都过点
；
（2）任何幂函数都不过
象限；
（3）当时，幂函数的图象过
．
4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从
到
分布；
（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在
象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于
轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限
关于
对称．
例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解：（1）此函数的定义域为R，
∴此函数为奇函数．
（2）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数．
（3）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（4）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（5）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（6）
∴此函数的定义域为
∴此函数既是奇函数又是偶函数
变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：
（1）
（2）
（3）（4）（5）
分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．
解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．
（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，
在
上单调递减．
（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．
（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．
（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．
例2比较大小：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，
，∴
（3）∵在上是减函数，
，∴；
∵是增函数，，
∴；
综上，
（4）∵，，，
∴
变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．
解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．
变式训练3：证明幂函数在上是增函数．
分析：直接根据函数单调性的定义来证明．
证明：设，
则
即
此函数在上是增函数
1．注意幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质要熟练掌握
基础过关
典型例题
小结归纳