1.6
三角函数模型的简单应用
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
课前预习
·
预习案
温馨寄语
志向和热爱是伟大行为的双翼。——歌德
学习目标
1．根据实际问题的图象如何求函数的解析式？
2．如何将实际问题抽象为三角函数模型？
3．如何利用搜集的数据作出散点图？
学习重点
用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题
学习难点
将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题
自主学习
1．三角函数的应用
(1)根据实际问题的图象求出函数解析式.
(2)将实际问题抽象为与
有关的简单函数模型.
(3)利用搜集的数据作出
，并根据
进行函数拟合，从而得到函数模型.
2．三角函数模型应用的步骤
(1)建模问题步骤：审读题意，→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.
(2)建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式.
预习评价
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在第一象限内是增函数.
(2)函数的最大值为3.
(3)直线是函数的一条对称轴.
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数的定义域为
.
(2)函数的最小正周期为
.
(3)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数)+20,x∈[4，16]，则该地区这一段时间内的温差为
.
知识拓展
·
探究案
合作探究
1．三角函数模型在物理学中的应用
如图为电流I与时间t的函数关系的图象，根据图象探求下面的问题：
(1)由图知电流强度I与时间t的函数关系式是哪种类型的函数？
(2)由图象可得A＝
，ω＝
，＝
.
2．结合三角函数的周期性，思考下列物理方面的知识哪些可以用三角函数模型解决？
①单摆；②和谐振动；③机械波；④电磁学；⑤力学.
3．三角函数在生活中的应用
下面是瓯江江心与屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，根据表格探究下列问题：
时间
0
1
3
6
8
9
12
15
18
21
24
水深
5
6.25
7.5
5
2.84
2.5
5
7.5
5
2.5
5
(1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？
(2)以时间为横坐标，以水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？
教师点拨
对三角函数在生活中的应用的两点说明
(1)三角函数与我们的日常生活和生产实践密切相关，在测量、计算与角有关的问题中，经常应用三角函数知识解决.
(2)实际生活中的海浪潮汐问题，轮子转动问题等，都可用三角函数模型进行模拟.
典例透析导悟
交流展示——三角函数在物理中的应用
1．如图是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是____.
2．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm
变式训练
如图，点P是半径为r
cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ωrad／s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点P的运动周期和频率.
交流展示——三角函数在生活中的应用
如图所示,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(ω>0),求8时的温度大约为多少
(精确到1
℃)
变式训练
某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大
学习小结
三角函数解决物理问题的三个关键量
(1)物体运动的初始位置，即初相.
(2)完成一次运动需要的时间，即周期.
(3)离开平衡位置的最大位移，即振幅.
当堂检测
1．如图是一向右传播的绳波
在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
2．已知f(x)=asinx+b+4(其中a、b为常数)，若f(2)=5，则f(-2)=
__________．
3．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数.
(Ⅰ)求这段时间的最大温差；
(Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式.
知识拓展
健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140
mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120／80
mmHg为标准值.
设某人的血压满足函数式p(t)＝115+5sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期.
(2)求此人每分钟心跳的次数.
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.
1.6
三角函数模型的简单应用
详细答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．(2)三角函数
(3)散点图
散点图
【预习评价】
1．(1)
(2)
(3)√
2．(1)因为的定义域为，故,解得.故所求函数的定义域为
答案
(2)由函数：的周期是直接套用公式可得.
答案
(3)由函数易知，当时函数取最大值，此时最高温度为30
℃，当时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以温差为
30-10
=
20(℃).
答案
20℃
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)由图知电流强度I与时间t的函数关系为三角函数模型，其解析式为形如y＝Asin(x＋)的三角函数式．
(2)由图可得：A＝300，＝100，＝.
2．由于物理学中的单摆，简谐振动，机械波，电磁学等知识都具有周期性，因此可以利用三角函数模型来研究．
3．：(1)发现水深最大值是7．5米，最小值为2．5米，水的深度由5米增加到7．5米，后逐渐减少到2．5米，又开始逐渐变深，增加到7．5米后，又开始减少．
(2)如图：
由图象知，该图象与三角函数模型y＝相似，可求得A＝＝2.5，k＝5,T＝12,＝,＝0,所以三角函数解析式为y＝2.5sin＋5.
【交流展示——三角函数在物理中的应用】
1．
【解析】设解析式为，由图象知，，所以，又，所以.所以函数解析式为
2．设需x秒上升100cm
.则
x=(秒)
【解析】本题主要考查函数的周期性.
【变式训练】
当质点从点转到点位置时，点转过的角度为，则.由任意角的三角函数得点的纵坐标为，即为所求的函数关系式.点的运动周期为，频率为.
【交流展示——三角函数在生活中的应用】
由题图可得b=20,A=10,T=14-6=8,
∴T=16,ω==,∴y=10sin(x+φ)+20.
∵最低点为(6,10),
∴10sin(×6+φ)+20=10,得sin(+φ)=-1,
于是+φ=-+2kπ,k∈Z,则φ=-+2kπ,k∈Z,
∴y=10sin(x-)+20,
当x=8时,y=10sin(-)+20=20-5≈13.
即8时的温度大约为13
℃.
【变式训练】
设出厂价波动函数为，易知，，，
所以.
设销售价波动函数为，易知，，，，
所以.
每件盈利
，
当时，，，此时取最大值.当时，即时，最大.所以估计6月份盈利最大.
【当堂检测】
1．C
2．3
【解析】由f(2)=
asin2+b+4=5得asin2+b；f(-2)=
asin(-2)+b+4=-(asin2+b)+4=3.
3．(Ⅰ)由图示知，这段时间的最大温差是()
(Ⅱ)图中从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，
∴，解得
由图示，
,这时
将，代入上式，可取
综上，所求的解析式为
，.
【解析】本题考查根据图象求三角函数解析式的方法.根据最值确定的值,根据取得最值的确定周期,进而求得,最后根据特殊点(通常选择最值点)的函数值确定的值.
【知识拓展】
（1）.（2）.
（3），
.
即收缩压为,舒张压为.此人的血压在血压计上的读数为，在正常值范围内.三角函数模型的简单应用
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2014·泰安高一检测)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B的周期为π，初相为，值域为[-1，3]，则其解析式的最简形式为 ( )
A.y=2cos+1
B.y=2cos-1
C.y=-2cos-1
D.y=2sin+1
【解析】选A.初相为，排除选项D，值域为[-1，3]，排除选项B，C.
2.(2014·三亚高一检测)已知某人的血压满足函数解析式f(t)=
24sin160πt+110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数
为 ( )
A.60
B.70
C.80
D.90
【解析】选C.由题意T==，所以频率f=80.
3.(2014·襄阳高一检测)函数y=sin的图象 ( )
A.关于x轴对称
B.关于原点对称
C.关于y轴对称
D.不具有对称性
【解题指南】利用函数的奇偶性的定义来判断出该函数是奇函数还是偶函数.
【解析】选C.因为x∈R，且f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x).所以函数y=sin是偶函数，图象关于y轴对称.
4.(2014·临沂高一检测)已知函数y=3cos(ω>0)的图象与直线y=3相邻的两个公共点之间的距离为，则ω的值为 ( )
A.3
B.
C.
D.
【解题指南】y=3cos的最大值为3，公共点处是最大值处，故相邻两公共点之间的距离即为一个周期，进而由T=求出ω.
【解析】选A.y=3cos的最大值为3，所以与直线y=3相邻的两个公共点之间的距离正好为一个周期，故ω=3.
5.已知简谐运动f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，<的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐运动的频率和初相分别是
( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【解析】选B.由题意可知，A=，32+=52，则T=8，ω==，y=sin，由sinφ=，所以sinφ=，因为<，所以φ=，因此频率是，初相为.
6.(2014·海淀高二检测)一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径为30m，AM=BP=2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)= ( )
A.30sin+30
B.30sin+30
C.30sin+32
D.30sin
【解析】选B.过点O作地面平行线ON，
过点B作ON的垂线BH交ON于H点.
点A在☉O上逆时针运动的角速度是=，
所以t分钟转过的弧度数为t，设θ=t，
当θ>时，∠BOH=θ-，h=OM+BH-BP
=30+30sin，
当0<θ<时，上述关系式也适合，
故h=30+30sin=30sin+30.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.如图所示是某个弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是 .
【解析】设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)，由图知A=2，T=0.8，所以ω===.
又函数图象过点(0.1，2)，
所以2=2sin(+φ)，所以φ=2kπ+，k∈Z，
不妨取φ=，则其函数解析式为y=2sin(x+).
答案：y=2sin
8.(2014·济宁高一检测)函数y=tan与y=-a(a∈R)的交点中距离最小为 .
【解析】y=tan与y=-a的交点中距离最小为一个最小正周期T=.
答案：
【误区警示】本题易误认为交点中距离最小为半个最小正周期的错误.注意正、余弦曲线与正切曲线的区别.
9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= ，其中t∈[0，60].
【解析】经过ts秒针转了trad.由图知sin=，
所以d=10sin，其中t∈[0，60].
答案：10sin
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2014·徐州高一检测)单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的关系式为s=6sin.
(1)作出它的图象.
(2)单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
【解析】(1)列表如下：
t
0
s
3
6
0
-6
0
描点作图：
(2)t=0时，s=3cm，此时离开平衡位置3厘米.
(3)离开平衡位置6厘米.
11.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式P(t)=115+25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期.
(2)求此人每分钟心跳的次数.
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.
【解析】(1)T===(min).
(2)f==80.
(3)P(t)max=115+25=140(mmHg)，
P(t)min=115-25=90(mmHg).
即收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg，比正常值稍高.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2014·泉州高一检测)函数f(x)的部分图象如图所示，
则下列选项正确的是 ( )
A.f(x)=x+sinx
B.f(x)=xcosx
C.f(x)=x
D.f(x)=
【解析】选B.观察图象知函数为奇函数，排除C，又在x=0时函数有意义，排除D，取x=，由图象知f=0，排除A.
2.如图为一半径r为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2，则有 ( )
A.ω=，A=3
B.ω=，A=3
C.ω=，A=5
D.ω=，A=5
【解析】选B.水轮每分钟旋转4圈，即每秒钟转πrad，所以ω=.又水轮上最高点离水面的距离为r+2=5(米)，即ymax=5，所以A=3.
3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数解析式为s=6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( )
A.2πs
B.πs
C.0.5
s
D.1
s
【解析】选D.单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，所以T==1(s).
4.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则d=f(l)的图象大致是
( )
【解析】选C.设AP中点为C，则d=2AC，
∠AOC=∠AOP=，所以d=2sin，故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2014·烟台高一检测)直线y=a与曲线y=sin(x+)在(0，2π)内有两个不同的交点，则实数a的取值范围是 .
【解析】y=sin的图象是由y=sinx向左平移个单位得到的，且x=0时y=，此时只有一个交点，所以a的取值范围是∪.
答案：∪
【误区警示】本题易忽视a≠而导致错误.可结合图象看交点个数，避免出错.
【变式训练】直线y=a与曲线y=sinx在(0，2π)内有两个不同的交点，则实数a的取值范围为
.
【解析】由y=sinx，x∈(0，2π)的图象得，a∈(-1，0)∪(0，1).
答案：(-1，0)∪(0，1)
6.(2014·九江高一检测)已知函数f(x)=sin(2x+φ)，对任意实数x都有f(x)≤，则f(x)的单调增区间是 .
【解题指南】由对任意实数x都有f(x)≤，可得x=时f(x)取最值，由此可确定出φ的值.
【解析】对任意实数x都有f(x)≤，所以x=时，f(x)取最值，即2×+φ=±+2kπ(k∈Z)，
又0<φ<，所以φ=，f(x)=sin，
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得，
单调增区间为(k∈Z).
答案：(k∈Z)
【变式训练】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)，其中ω>0，-π<φ≤π，若f(x)的最小正周期为6π，且当x=时，f(x)取得最大值，求f(x)的单调增区间.
【解析】因为T=6π，所以ω==，×+φ=2kπ+，k∈Z，又-π<φ≤π，所以φ=，
所以f(x)=2sin.
令-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)，-+6kπ≤x≤+6kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调增区间为(k∈Z).
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐.在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋.某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作：y=f(t)，下表是该港口在某季每天水深的数据.
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
10.0
13.1
9.9
7.0
10.1
13.0
10.0
7.0
10.0
经过长期观察y=f(t)的曲线可以近似地看作函数y=Asinωt+B(ω>0)的图象.
(1)根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式.
(2)一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)？
【解析】(1)因为函数y=f(t)可以近似地看作y=Asinωt+B(ω>0)，
所以由数据知它的周期T=12，振幅A=3，B=10.
因为=12，所以ω=，
故y=f(t)=3sint+10.
(2)该船进出港口时，水深应不小于6.5+5=11.5m，而在港口内，是安全的，
由3sint+10≥11.5得sint≥，
所以2kπ+≤t≤2kπ+，k∈Z，
所以12k+1≤t≤12k+5(k∈Z)，
在同一天内，取k=0，1，
则1≤t≤5或13≤t≤17，
故该船最早能在凌晨1时进港，最迟在下午17时离港，在港口内最多停留16小时.
8.如图，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ωrad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频率.
【解析】当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx=
ωt+φ.
由任意角的三角函数得点P的纵坐标为y=rsin(ωt+φ)，
即为所求的函数关系式.
点P的运动周期为T=，
频率为f==.1.6
三角函数模型的简单应用(1)
教学分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.
三维目标
1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.
2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.
3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.
重点难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.
思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么
③上述的数学模型是怎样建立的
④怎样处理搜集到的数据
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
③解决问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.
④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.
应用示例
例1
如图1,
某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.
图1
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.
题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20
℃.
(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,
∴A=(30-10)=10,b=
(30+10)=20.
∵·=14-6,
∴ω=.将x=6,y=10代入上式,解得φ=.
综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].
点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.?
例2
2007全国高考
函数y=|sinx|的一个单调增区间是(
)
A.(,)
B.(,)
C.(π,)
D.(,2π)
答案:C
例3
如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少
活动:
如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.
首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.
根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知
太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:
h0=htanθ.
由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.
图3
解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.
根据太阳高度角的定义,
有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,
所以MC＝=≈2.000h0,
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.
点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.
变式训练
某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？
图4
解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为
h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,
由于每层楼高为3米,根据以上数据,
所以他应选3层以上.
知能训练
课本本节练习1、2.
解答:
1.乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处.
点评:因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点,又因为在波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐标在变,横坐标不变,所以经过周期,乙点位置将移至它关于x轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同.
2.如CCTV—1新闻联播节目播出的周期是1天.
点评:了解实际生活中发生的周期变化现象.
课堂小结
1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.
作业
1.图5表示的是电流I与时间t的函数关系
图5
I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象.
(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少
解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－,0),第二个零点为(,0),
∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100πt+).
(2)依题意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ωmin=629.
2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.
解:如以下两例:
①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；
②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为一个周期可完整地脱落1次,称为蛇蜕.
设计感想
1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起相关学科的知识,尽量降低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.
2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价.
3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解.1.6
三角函数模型的简单应用
1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin
100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的周期是 ( )
A.
B.100
C.
D.50
【解析】选C.由题意知,T===.
2.函数y=sin
x与y=tan
x的图象在(-,)上的交点有 ( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】选D.当x=0时,sin
x=0,tan
x=0,(0,0)为两函数图象的交点,当x∈(0,)时,tan
x>sin
x,两函数图象无交点.当x∈(-,0)时,
tan
xx,两函数图象无交点,所以所求交点只有1个.
3.设y=f(t)是某港口水的深度关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.根据上述数据,函数y=f(t)的解析式为 ( )
A.y=12+3sin,t∈[0,24]
B.y=12+3sin(+π),t∈[0,24]
C.y=12+3sin,t∈[0,24]
D.y=12+3sin(+),t∈[0,24]
【解析】选A.由表中数据可得k=12,A=3,T=12,则ω==,将点(0,12)代入解析式可得φ=0,故函数解析式为y=12+3sin,t∈[0,24].
4.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和,则它的相位是 .
【解析】T==,所以ω==3π,所以相位ωx+φ=3πx-π.
答案:3πx-π
5.一根为L
cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3sin(t+),t∈[0,+∞),
(1)求小球摆动的周期和频率.
(2)已知g=980
cm/s2,要使小球摆动的周期恰好是1
s,线的长度l应当是多少
【解析】(1)因为ω=,所以T==2π,f=.
(2)若T=1,即l=≈24.8
cm.1.6
三角函数模型的简单应用（一）
一、选择题：
1.
如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时运动速度为零
【答案】 B
【解析】 由题图可知，该质点的振幅为5
cm.故选B。
2．与图中曲线对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin
x|
B．y＝sin
|x|
C．y＝－sin
|x|
D．y＝－|sin
x|
【答案】 C
【解析】 注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D．当x∈(0，π)时，sin
|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C．
3.
(2016·烟台高一检测)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0，5]
B．[5，10]
C．[10，15]
D．[15，20]
【答案】 C
【解析】 当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．故应选C．
4．(2016·杭州二中期末)一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】 C
【解析】 函数y＝－sinx的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.故选C．
二、填空题：
5.如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.
【答案】 y＝2sin
【解析】 由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝＝π，所以y＝2sin，
将点(0.1，2)代入y＝2sin中，得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，所以y＝2sin.
6.
电流随时间变化的关系是，则电流变化的周期是___________.
【答案】
【解析】由题意知，.
三、解答题
7.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140
mmHg和60～90
mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80
mmHg为标准值．
设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)．
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
【答案】(1)
(2)
80
(3)
收缩压为140
mmHg，舒张压为90
mmHg，比正常值稍高
【解析】 (1)函数p(t)的最小正周期为
T＝＝＝
min.
(2)此人每分钟心跳的次数即频率为：f＝＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140
mmHg，
p(t)min＝115－25＝90
mmHg.
即收缩压为140
mmHg，
舒张压为90
mmHg，比正常值稍高．1.6
三角函数模型的简单应用(2)
教学分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.
三维目标
1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.
2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.
3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.
重点难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.
课时安排
2课时
第2课时
导入新课
思路1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等.
思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？
②请做下题(2007浙江高考)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω＞0,|φ|＜)的最小正周期是π,且f(0)=,则(
)
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=
C.ω=2,φ=
D.ω=2,φ=
活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中.
讨论结果:①略
②D
应用示例
例1
货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深/米
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口 在港口能呆多久
(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域
活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律 比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画.其中x是时间,y是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.
图6
根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯.
在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么 教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.
进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.
解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6).
根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:
A＝2.5,h＝5,T＝12,φ＝0,
由T＝＝12,得ω＝.
所以这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sinx+5近似描述.
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:
时刻
0:00
1:00
2:00
3:00
4:00
5:00
6:00
7:00
8:00
9:00
10:00
11:00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
时刻
12:00
13:00
14:00
15:00
16:00
17:00
18:00
19:00
20:00
21:00
22:00
23:00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
(2)货船需要的安全水深为4+1.5＝5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.
令2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2.
由计算器可得
MODE
MODE
2
SHIFT
sin-1
0.2
=
0.201
357
92≈0.201
4.
如图7,在区间[0,12]内,函数y＝2.5sinx+5的图象与直线y＝5.5有两个交点A、B,
图7
因此x≈0.201
4,或π－x≈0.201
4.
解得xA≈0.384
8,xB≈5.615
2.
由函数的周期性易得:xC≈12+0.384
8＝12.384
8,xD≈12+5.615
2＝17.615
2.
因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.
图8
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).
通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.
点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释.
变式训练
发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,IA=Isinωt,IB=Isin(ωt+120°),IC=Isin(ωt+240°),则IA+IB+IC=________.
答案:0
例2
图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:
(1)单摆振幅多大；
(2)振动频率多高；
(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；
(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；
(5)若当g＝9.86
m/s2J,求摆线长.
活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点.通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.
图9
解:结合函数模型和图象:
(1)单摆振幅是1
cm；
(2)单摆的振动频率为1.25
HZ；
(3)单摆在0.6
s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；
(4)单摆在0.4
s时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；
(5)由单摆振动的周期公式T=2π,可得L==0.16
m.
点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.
变式训练
1.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若sinx+f(x)＝,求sinxcosx的值.
解:(1)∵f(x)为偶函数,
∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ).
∴φ＝.
∴f(x)＝sin(ωx+)＝cosωx.
相邻两点P(x0,1),Q(x0+,－1).
由题意,|PQ|＝=π2+4.解得ω＝1.
∴f(x)＝cosx.
(2)由sinx+f(x)＝,得sinx+cosx＝.
两边平方,得sinxcosx＝.
2.小明在直角坐标系中,用1
cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2
cm代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2
cm代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？
解:小明原作的曲线为y=sinx,x∈R,由于纵坐标改用了2
cm代表一个单位长度,与原来1
cm代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1
cm只能代表个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y＝sinx,x∈R.同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2
cm代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为
y＝sin2x,x∈R.
3.求方程lgx＝sinx实根的个数.
解:由方程式模型构建图象模型.
在同一坐标系内作出函数y＝lgx和y＝sinx的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3.
图10
点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.
知能训练
课本本节练习3
3.本题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难回答题中的问题.让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习.
点评:通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性.
课堂小结
1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用.
2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题.
作业
图11
如图11,一滑雪运动员自h=50
m高处A点滑至O点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O点保持速率v0不变,并以倾角θ起跳,落至B点,令OB=L,试问,当α=30°时,L的最大值为多少 当L取最大值时,θ为多大
分析:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.
解:由已知条件列出从O点飞出后的运动方程:
由①②,整理得v0cosθ=,v0sinθ=+gt.
∴v02+gLsinα=g2t2+≥2=gL.
运动员从A点滑至O点,机械守恒有mgh=mv02,
∴v02=2gh.∴L≤=200(m),
即Lmax=200(m).
又g2t2==,
∴t=,s=Lcosα=v0tcosθ=2gh··cosθ,
得cosθ=cosα.∴θ=α=30°.
∴L最大值为200米,当L最大时,起跳倾角为30°.
设计感想
1.本节是三角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导思想,是让学生围绕着采集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对待陌生背景,正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念.
2.现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学中,教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能,让学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新.
3.学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上.1.6
三角函数模型的简单应用
【学习目标】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型
【典型例题分析】
.1．你能利用函数的奇偶性画出图象吗？它与函数的图象有什么联系？
2．已知：，若(1)；
(2)；
(3)α是第三象限角；(4)α∈R．分别求角α。
3．已知,
分别是方程的两个根，求角．
4．设A、B、C、D是圆内接四边形ABCD的四个内角，求证：
（1）sinA＝sinC；
（2）cos（A＋B）＝cos（C＋D）；
（3）tan（A＋B＋C）＝－tanD．
5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大
6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？
7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：的一个周期的图象，问弯脖的直径为12
时，应是多少
9、（14分）如图，扇形AOB的半径为，扇形的圆心角为，PQRS是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ，
（1）
试用θ表示矩形PQRS的面积y；
（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.
10．某港口水的深度y（米）是时间t，记作y=f(x),下面是某日水深的数
(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米）
10
13
9.9
7
10
13
10
7
10
据：
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数的图象。
参考答案
1．
略
2．(1)(2)或(3)(4)或。
3．由已知得：得
∴k2-2k-3=0即k=3或k=-1.
又则，因此k=3舍去。
∴k=-1,
则,
,
∴或
4．由已知A＋C＝ ，A＋B＋C＋D＝2 得A＝ －C，则sinA＝sin（ －C）＝sinC，
又A＋B＝2 －（C＋D），
故cos（A＋B）＝cos[2 －（C＋D）]＝cos（C＋D）.
tan（A＋B＋C）＝tan（2 －D）＝－tanD．
5．设出厂价波动函数为y1＝6+Asin(ω1x+φ1)
易知A＝2
T1＝8
ω1＝
+φ1＝
φ1＝-
∴y1＝6+2sin(x-)
设销售价波动函数为y2＝8+Bsin(ω2x+φ2)
易知B＝2
T2＝8
ω2＝
+φ2＝φ2＝-
∴y2＝8+2sin(x-)
每件盈利
y＝y2-y1＝［8+2sin(x-)］-［6+2sin(x-)］
＝2-2sinx
当sinx＝-1
x＝2kπ-x＝8k-2时y取最大值
当k＝1
即x＝6时
y最大
∴估计6月份盈利最大
6．略
7．弯脖的直径为12
cm，则周长为，周长正是函数的一个周期，即，得．
8．解：f
(x)=|sin2x|
f
(-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f
(x)
∴f
(x)为偶函数
T=
在[0,]上f
(x)单调递增；在[,]上单调递减
9．解：（1）在直角三角形OPS中
SP=sinθ，OS=cosθ
矩形的宽SP=sinθ
因∠ROQ=
所以OR=RQ=SP=sinθ
矩形的长RS=OS－OR=cosθ－sinθ
所以面积：y=(cosθ－sinθ)sinθ
(0﹤θ<)
10．
1）
2）由，即，解得
，在同一天内，取k=0，1得
∴该船希望在一天内安全进出港，可1时进港，17时离港，它至多能在港内停留16小时。
【补充例题】
一、选择题
1.
初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
2.
当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为____时，最小（
）
A．
B.
C.
D.
3.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为
（
）
A．
B.
C.
D.
二、填空题
4.
甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为_______
-1三角函数模型的简单应用
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=x+sinx
B.f(x)=
C.f(x)=xcosx
D.f(x)=x··
【解析】选C.观察图象知函数为奇函数，排除D，又在x=0时函数有意义，排除B，取x=，由图象知f=0，排除A.
【补偿训练】现有四个函数：①y=xsinx；②y=xcosx；③y=x|cosx|；④y=x2x的图象(部分)如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是( )
A.①④②③
B.①④③②
C.④①②③
D.③④②①
【解析】选A.①y=xsinx为偶函数，对应左数第1图；
②y=xcosx为奇函数，但当x>0时，y不恒大于等于0，对应左数第3图；
③y=x|cosx|为奇函数，当x>0时y恒大于等于0，对应左数第4图.
④y=x·2x对应左数第2图，综上知，A正确.
2.(2015·陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A.5
B.6
C.8
D.10
【解析】选C.不妨设水深的最大值为M，由题意结合函数图象可得3+k=M ①
k-3=2 ②
解之得M=8.
【补偿训练】(2014·武汉高一检测)夏季来临，人们注意避暑，如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=
Asin(ωx+φ)+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是( )
A.25℃
B.26℃
C.27℃
D.28℃
【解析】选C.由题意及函数图象可知，A+B=30，-A+B=10，所以A=10，B=20.
因为=14-6，所以T=16.
因为T=，所以ω=.
所以y=10sin+20.
因为图象经过点(14，30)，
所以30=10sin+20，
所以sin=1，所以可取φ=.
所以y=10sin+20，
当x=12时，y=10sin+20=10×+20≈27.07≈27.
3.(2015·武汉高一检测)如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( )
A.m
B.m
C.m
D.4m
【解析】选A.CD=ADtan30°=5×=，
DE=1.5，
所以树高是CD+DE=m.
4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示，则当t=秒时，电流强度是( )
A.-5安
B.5安
C.5安
D.10安
【解析】选A.由图象知A=10，=-=，
所以ω==100π.
所以I=10sin(100πt+φ).
为五点中的第二个点，
所以100π×+φ=.所以φ=.
所以I=10sin，
当t=秒时，I=-5安.
5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(-x)sinx的大致图象是( )
【解析】选A.当x∈时，f∈(0，1)，
sinx>0，所以y=fsinx>0，排除C、D；
当x∈时f<0，sinx>0，
所以y=fsinx<0，排除B，故选A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
【解析】依题意知，a==23，A==5，
所以y=23+5cos，
当x=10时，y=23+5cos=20.5.
答案：20.5
【补偿训练】某城市一天的温度θ(℃)波动近似按照θ=20-5sin的规律变化，其中t(h)是从该日0：00开始计时，且t≤24，则这一天的最高气温是________，最低气温是________.
【解析】由0≤t≤24知t+∈，
当t+=，即t=2时，气温最低θ=20-5=15(℃)，
当t+=，即t=14时，气温最高θ=20+5=25(℃).
答案：25℃ 15℃
7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0，60].
【解析】当t=0时，d=0，
当0d=2×5sin∠AOB=10sin，
当t=30时，d=10，
当30d=2×5sin∠AOB=10sin=10sin，
当t=60时，d=0，
综上知d=10sin.
答案：10sin
8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为__________.
【解析】由最高油价为80美元知A=20.
由t=150(天)时达到最低油价知
sin=-1，
所以ωπ·150+=2kπ+(k∈Z).
ω=+(k∈Z)，
又ω>0，所以ω的最小值为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)=10-cost-sint，t∈[0，24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度.
(2)求实验室这一天的最大温差.
【解析】(1)f(8)=10-cos-sin
=10-cos-sin
=10-×-=10.
故实验室这一天上午8时的温度为10℃.
(2)因为f(t)=10-2
=10-2sin，又0≤t<24，
所以≤t+<，-1≤sin≤1.
当t=2时，sin=1；
当t=14时，sin=-1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t=1表示2月1日).
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
【解析】(1)设动物种群数量y关于t的解析式为
y=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0)，
则解得A=100，b=800.
又周期T=2×(6-0)=12，
所以ω==，
所以y=100sin+800.
又当t=6时，y=900，
所以900=100sin+800，
所以sin(π+φ)=1，所以sinφ=-1，
所以可取φ=-，
所以y=100sin+800.
(2)当t=2时，y=100sin+800=750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
【补偿训练】如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=
120°，求A，ω的值和M，P两点间的距离.
【解析】依题意，有A=2，=3，
又T=，所以ω=，
所以y=2sinx，x∈[0，4].
所以当x=4时，y=2sin=3.
所以M(4，3)，又P(8，0)，
所以MP===5(km).
即M，P两点间的距离为5km.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·唐山高一检测)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)，若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t=0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
【解析】选C.因为函数的周期T=60，所以ω==，
设函数解析式为y=sin，
因为初始位置为P0，
所以t=0时y=，
所以sinφ=，所以φ可取，
所以y=sin.
2.(2015·都江堰高一检测)如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交☉M于点P，记∠PMO为x，弓形ONP的面积S=f(x)，那么f(x)的大致图象是( )
【解析】选A.由题意得S=f(x)=x-sinx
=(x-sinx)，因为f(x)-=-sinx，
所以x∈(0，π)时f(x)-<0，f(x)<，
f(x)的图象在直线y=下方，
x∈(π，2π)时，f(x)->0，f(x)>，
f(x)的图象在直线y=上方，所以A图满足题意.
【补偿训练】如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则d=f(l)的图象大致是( )
【解析】选C.设AP中点为C，则d=2AC，
∠AOC=∠AOP=，所以d=2sin.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·成都高一检测)海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格：
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
选用函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)来模拟港口的水深与时间的关系，如果一条货船的吃水深度是4米，安全条例规定至少有2.25米的安全间隙(船底与海洋底的距离)，则该船一天之内在港口内呆的时间总和为________小时.
【解析】由题意可得y=2.5sint+5，则2.5sint+5≥6.25，sint≥，≤t≤，即1≤t≤5，该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，在港口内呆的时间总和为4+4=8(小时).
答案：8
4.一种波的波形为函数y=-sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________.
【解析】函数y=-sinx的周期T=4.且x=3时y=1取得最大值，因此t≥7.
所以正整数t的最小值是7.
答案：7
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.某城市白昼时间的小时数D(t)的表达式为D(t)=3sin+12，其中t表示某天的序号，0≤t≤364，t∈N，t=0表示1月1日，t=1表示1月2日，以此类推.
(1)该城市哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？
(2)估计该城市一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？
【解析】(1)令(t-79)=，得t=170.25，又t∈N，故当t=170时，D(t)取得最大值.
又t=170对应的是6月20日(闰年除外).
所以该城市6月20日这一天白昼时间最长.
令(t-79)=，得t=352.75.
又t∈N，故当t=353时，D(t)取得最小值.
又t=353对应的是12月20日(闰年除外)，这一天白昼时间最短.
(2)令D(t)>10.5，即3sin+12>10.5，
所以sin>-，
所以-<(t-79)<.
所以48.6又t∈N，所以49≤t≤291，t=49，50，51，…，291，共243天.所以该城市一年中约有243天的白昼时间超过10.5小时.
6.(2015·扬州高一检测)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增，下表是今年前四个月的统计情况：
月份
1月
2月
3月
4月
收购价格(元/斤)
6
7
6
5
养殖成本(元/斤)
3
4
4.6
5
现打算从以下两个函数模型：①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，-π<φ<π)，
②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系.
(1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数解析式.
(2)按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？
【解析】(1)①选择函数模型y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，-π<φ<π)拟合收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系，
由题得A=1，B=6，T=4，
因为T=，所以ω=，
所以y=sin+6，
y=sin+6的图象过点(1，6)，
所以+φ=0，所以φ=-，
所以y=sin+6=6-cosx.
②选择函数模型y=log2(x+a)+b拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系
由题意：y=log2(x+a)+b图象过点(1，3)，(2，4)，所以
解得：
所以y=log2x+3，
(2)由(1)知：当x=5时，y=6-cosx=6-cos=6，
y=log2x+3=log25+3当x=6时，y=6-cosx=6-cos3π=6+1=7，
y=log26+3当x=7时，y=6-cosx=6-cos=6，
y=log2x+3=log27+3当x=8时，y=6-cosx=6-cos4π=6-1=5，
y=log2x+3=log28+3=3+3=6>5；
当x=9时，y=6-cosx=6-cos=6，
y=log2x+3=log29+3>log28+3=3+3=6；
当x=10时，y=6-cosx=6-cos5π=7，
y=log2x+3=log210+3当x=11时，y=6-cosx=6-cos=6，
y=log2x+3=log211+3>log28+3=3+3=6；
当x=12时，y=6-cosx=6-cos6π=5，
y=log2x+3=log212+3>log28+3=3+3=6>5；
这说明第8、9、11、12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损.
答：今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损.1.6
三角函数模型的简单应用
（二）
一、选择题：
1.
已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin
160πt＋110.其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60
B．70
C．80
D．90
【答案】 C
【解析】 由题意可得f＝＝＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80，故选C项．
2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π
s
B．π
s
C．0.5
s
D．1
s
【解析】 依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D项．
【答案】 D
3．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A．f(x)＝x＋sin
x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos
x
D．f(x)＝x
【解析】 观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x＝0处有意义，排除B项；取x＝，f＝0，A项不合适，故选C项．
【答案】 C
4．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acos
B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝acos－3
【答案】 C
【解析】 当x＝1时图象处于最低点，且易知k＝＞0.故选C．
二、填空题：
5.如图，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________．
【答案】 y＝rsin(ωt＋φ)
【解析】 当质点P从P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωt＋φ，由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y＝rsin(ωt＋φ)．
某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月份的月平均气温最高，为，月份的月平均气温最低，为，则月份的平均气温为________.
【解析】由题意可知，.
从而
故月份的平均气温为
三、解答题
7.如果某地夏天从时用电量变化曲线近似满足函数，其图象如图所示．
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【答案】(1)最大用电量为万度，最小用电量为万度
(2)
【解析】(1)观察题中图象知最大用电量为万度，最小用电量为万度．
(2)观察图象可知，半个周期为，∴.
，，，
∴.
将，代入上式，解得.
∴所求解析式为．
