江苏省盐城市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷（理科）Word版含解析

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2016-2017学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷（理科）
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=　
　．
2．已知命题p：“ n∈N
，使得
n2＜2n”，则命题￢p的真假为　
　．
3．设θ∈R，则“sinθ=0”是“sin2θ=0”的　
　条件．（选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
4．如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图，则通过该测速点的300辆汽车中时速在[60，80）的汽车大约有　
　辆．
5．某程序框图如图所示，则输出的结果为　
　．
6．在区间（0，5）上随机取一个实数x，则x满足x2﹣2x＜0的概率为　
　．
7．已知双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程是y=±x，则其准线方程为　
　．
8．若函数f（x）=在区间（0，2）上有极值，则a的取值范围是　
　．
9．从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队，则服务队中至少有1名女生的不同选法共有　
　种．（用数字作答）
10．（x3+2）（1+）5的展开式中的常数项是
　
　．
11．已知圆x2+y2=r2（r＞0）的内接四边形的面积的最大值为2r2，类比可得椭圆+=1（a＞b＞0）的内接四边形的面积的最大值为　
　．
12．已知集合M={（x，y）|}和集合N={（x，y）|y=sinx，x≥0}，若M∩N≠ ，则实数a的最大值为　
　．
13．已知点F是椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左焦点，若椭圆C上存在两点P、Q满足=2，则椭圆C的离心率的取值范围是　
　．
14．已知a＞0，b＞0，0＜c＜2，ac2+b﹣c=0，则+的取值范围是　
　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．现有一只不透明的袋子里面装有6个小球，其中3个为红球，3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出2个小球．
（1）求这两个小球都是红球的概率；
（2）记摸出的小球中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布及其均值E（X
）．
16．观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明．
1﹣x2=（1﹣x）（1+x），
1﹣x3=（1﹣x）（1+x+x2），
1﹣x4=（1﹣x）（1+x+x2+x3）．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=2，AC=PA=4．
（1）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
18．如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1km，BC=2km，现准备开发一个面积为0.6km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．
19．在平面直角坐标系xOy内，椭圆E：
+=1（a＞b＞0），离心率为，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；
（3）若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分∠APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知函数f（x）=ex和函数g（x）=kx+m（k、m为实数，e为自然对数的底数，e≈2.71828）．
（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；
（2）当k=2，m=1时，判断方程f（x）=g（x）的实数根的个数并证明；
（3）已知m≠1，不等式（m﹣1）[f（x）﹣g（x）]≤0对任意实数x恒成立，求km的最大值．
　
2016-2017学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=　1　．
【考点】A8：复数求模．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，是一个纯虚数，求出模长．
【解答】解：
==，
∴|z|=1，
故答案为：1
　
2．已知命题p：“ n∈N
，使得
n2＜2n”，则命题￢p的真假为　假　．
【考点】2J：命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，再判断真假即可
【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“ n∈N，n2≥2n”，
当n=1时不成立．
故￢p为假命题，
故答案为：假．
　
3．设θ∈R，则“sinθ=0”是“sin2θ=0”的　充分不必要　条件．（选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合三角函数的倍角公式进行判断即可．
【解答】解：当sinθ=0时，sin2θ=2sinθcosθ=0成立，即充分性成立，
当cosθ=0，sinθ≠0时，满足sin2θ=2sinθcosθ=0，但sinθ=0不成立，即必要性不成立，
即“sinθ=0”是“sin2θ=0”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
　
4．如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图，则通过该测速点的300辆汽车中时速在[60，80）的汽车大约有　150　辆．
【考点】B8：频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图求出通过该测速点的300辆汽车中时速在[60，80）的汽车所占频率，由此能求出通过该测速点的300辆汽车中时速在[60，80）的汽车大约有多少辆．
【解答】解：由频率分布直方图得：
通过该测速点的300辆汽车中时速在[60，80）的汽车所占频率为（0.020+0.030）×10=0.5，
∴通过该测速点的300辆汽车中时速在[60，80）的汽车大约有：300×0.5=150辆．
故答案为：150．
　
5．某程序框图如图所示，则输出的结果为　1　．
【考点】EF：程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量S的值并输出对应的n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
S=1，n=7
不满足条件S＞15，执行循环体，S=8，n=5
不满足条件S＞15，执行循环体，S=13，n=3
不满足条件S＞15，执行循环体，S=16，n=1
满足条件S＞15，退出循环，输出n的值为1．
故答案为：1．
　
6．在区间（0，5）上随机取一个实数x，则x满足x2﹣2x＜0的概率为　　．
【考点】CF：几何概型．
【分析】求解一元二次不等式得x2﹣2x＜0的解集，再由长度比求出x2﹣2x＜0的概率．
【解答】解：由x2﹣2x＜0，得0＜x＜2．
∴不等式x2﹣2x＜0的解集为（0，2）．
则在区间（0，5）上随机取一个实数x，则x满足x2﹣2x＜0的概率为．
故答案为：．
　
7．已知双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程是y=±x，则其准线方程为　x=±　．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，由题意分析可得a的值，由双曲线的几何性质可得c的值，进而将a、c的值代入双曲线的准线方程计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其渐近线方程为y=±x，
又由该双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x，
则有=，
解可得a=3，
其中c==5，
则其准线方程为x=±，
故答案为：x=±．
　
8．若函数f（x）=在区间（0，2）上有极值，则a的取值范围是　（﹣1，1）　．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，求出函数的极值点，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＜a+1，
令f′（x）＜0，解得：x＞a+1，
故f（x）在（﹣∞，a+1）递增，在（a+1，+∞）递减，
故x=a+1是函数的极大值点，
由题意得：0＜a+1＜2，解得：﹣1＜a＜1，
故答案为：（﹣1，1）．
　
9．从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队，则服务队中至少有1名女生的不同选法共有　65　种．（用数字作答）
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从8名学生中选出4人的选法数目，排除其中没有女生的取法数目，即可得答案．
【解答】解：根据题意，从8名学生中选出4人组成志愿者服务队，其选法有C84=70种选法，
其中没有女生，即4名男生的选法有C54=5种，
则服务队中至少有1名女生的不同选法有70﹣5=65种；
故答案为：65．
　
10．（x3+2）（1+）5的展开式中的常数项是
　12　．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理展开即可得出．
【解答】解：（x3+2）（1+）5=（x3+2）（1++++…），
∴展开式中的常数项=2×1+=12．
故答案为：12．
　
11．已知圆x2+y2=r2（r＞0）的内接四边形的面积的最大值为2r2，类比可得椭圆+=1（a＞b＞0）的内接四边形的面积的最大值为　2ab　．
【考点】F3：类比推理．
【分析】将圆的方程转化为+=1，类比猜测椭圆+=1（a＞b＞0）的内接四边形的面积的最大值即可．
【解答】解：将圆的方程转化为+=1，
圆x2+y2=r2（r＞0）的内接四边形的面积的最大值为2r2，
类比可得椭圆+=1（a＞b＞0）的内接四边形的面积的最大值为2ab，
故答案为：2ab．
　
12．已知集合M={（x，y）|}和集合N={（x，y）|y=sinx，x≥0}，若M∩N≠ ，则实数a的最大值为　﹣　．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；7C：简单线性规划．
【分析】作出函数y=sinx（x≥0）的图象，以及不等式组表示的可行域，由直线x﹣2y+a=0与y=sinx相切时，设切点为（m，sinm），求出导数和直线的斜率，解方程可得切点和此时a的值，由图象可得a的最大值．
【解答】解：作出函数y=sinx（x≥0）的图象，
以及不等式组表示的可行域，
当直线x﹣2y+a=0与y=sinx相切时，设切点为（m，sinm），
即有cosm=，解得m=，
切点为（，），
可得a=2×﹣=﹣，
由题意可得a≤﹣，即有M∩N≠ ，
可得a的最大值为﹣，
故答案为：﹣．
　
13．已知点F是椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左焦点，若椭圆C上存在两点P、Q满足=2，则椭圆C的离心率的取值范围是　[，1）　．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】设P（（x1，y1），Q（x2，y2），F（﹣c，0），直线PQ：y=k（x+c），可得y1=﹣2y2．
由，得（b2+a2k2）y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0
…②，…③
由①②③得b2+a2k2=8c2， 8c2≥b2=a2﹣c2 9c2≥a2即可求解
【解答】解：设P（（x1，y1），Q（x2，y2），F（﹣c，0），直线PF：y=k（x+c）．
∵P、Q满足=2，∴y1=﹣2y2…①
由，得（b2+a2k2）y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0
…②，…③
由①②得，代入③得
b2+a2k2=8c2， 8c2≥b2=a2﹣c2 9c2≥a2
，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1）
故答案为[，1）
　
14．已知a＞0，b＞0，0＜c＜2，ac2+b﹣c=0，则+的取值范围是　[4，+∞）　．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：a＞0，b＞0，0＜c＜2，ac2+b﹣c=0，
∴1=ac+≥2，当ac=时，等号成立，
∴ab≤，
∵+≥2≥2=4，当a=b时等号成立，此时c=1∈（0，2），
综上所述，
+的取值范围是[4，+∞），
故答案为：[4，+∞）
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．现有一只不透明的袋子里面装有6个小球，其中3个为红球，3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出2个小球．
（1）求这两个小球都是红球的概率；
（2）记摸出的小球中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布及其均值E（X
）．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）记“取得两个小球都为红球”为事件A，利用排列组合知识能求出这两个小球都是红球的概率．
（2）随机变量X的可能取值为：0、1、2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布列和数学期望．
【解答】（理科）解：（1）记“取得两个小球都为红球”为事件A，
则这两个小球都是红球的概率P（A）==．…
（2）随机变量X的可能取值为：0、1、2，…
X=0表示取得两个球都为黑球，P（X=0）==，
X=1表示取得一个红球一个黑球，P（X=1）==，
X=2表示取得两个球都为红球，P（X=2）==，
随机变量X的概率分布如下：
X
0
1
2
P
…
E（X）==1．…
（注：三个概率每个2分）
　
16．观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明．
1﹣x2=（1﹣x）（1+x），
1﹣x3=（1﹣x）（1+x+x2），
1﹣x4=（1﹣x）（1+x+x2+x3）．
【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．
【分析】归纳猜想得：1﹣xn=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1），n∈N
．检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立
【解答】解：归纳猜想得：1﹣xn=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1），n∈N
．
证明如下：①当n=1时，左边=1﹣x，右边=1﹣x，猜想成立；
②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即1﹣xk=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xk﹣1）成立，
当n=k+1时，右边=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xk﹣1+xk）
=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xk﹣1）+（1﹣x）xk=1﹣xk+（1﹣x）xk=1﹣xk+1=左边
所以n=k+1时猜想也成立．
由①②可得，1﹣xn=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1），n∈N
成立．
　
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=2，AC=PA=4．
（1）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．
【分析】以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，
射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，4），B（，1，0），C（0，4，0），利用向量法求解
【解答】解：（1）如图，以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，
射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，…
则P（0，0，4），B（，1，0），C（0，4，0），故，
由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为，…
设直线PB与平面PAC所成角为α，
则sinα=|cos|=||==，
即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为．…
（2）∵，，
设=（x，y，z）为平面PBC的一个法向量，
则，，
可取为平面PBC的一个法向量，…
可知平面PAC的一个法向量为，
设二面角A﹣PC﹣B的平面角为β，则β为锐角，则cosβ=|cos＜，＞|=，
即二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…
　
18．如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1km，BC=2km，现准备开发一个面积为0.6km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．
【考点】K9：抛物线的应用．
【分析】由题意可得：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6
km2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，求出A，B，C，D的坐标，运用待定系数法求出曲线AC的方程，欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设出切点（t，2t2），0≤t≤1，
求出导数，可得切线的斜率和方程，求出三角形BEF的面积，设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，求出导数和单调区间，可得极值，且为最值，即可判断是否满足要求．
【解答】解：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6
km2，
以A为原点，AB所在直线为x轴，
AD所在直线为y轴，
建立如图所示平面直角坐标系，
则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），
设曲线AC所在的抛物线的方程为x2=2py（p＞0），
代入点C（1，2）得p=，
得曲线AC的方程为y=2x2（0≤x≤1），
欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，
设切点为P（t，2t2），0≤t≤1，
由y=2x2得y′=4x，故点P（t，2t2）处切线的斜率为4t，
切线的方程为y﹣2t2=4t（x﹣t），
即y=4tx﹣2t2，
当t=0时显然不合题意，故0＜t≤1，
令x=1得yP=4t﹣2t2，令y=0得xK=t，
则S△BEF=BE BF=（1﹣）（4t﹣2t2）=t3﹣2t2+2t，
设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，
则f′（t）=（3t﹣2）（t﹣2），
令f′（t）＞0得0＜t＜，令f′（t）＜0得＜t≤1，
故f（t）在（0，）上递增，在（，1]上递减，
故f（t）max=f（）=，
而＜0.6，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求．
　
19．在平面直角坐标系xOy内，椭圆E：
+=1（a＞b＞0），离心率为，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；
（3）若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分∠APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意得：，得a，b即可
（2）A（2，），B（2，﹣），设点C（x0，y0），则CA2+CB2=（x0﹣2）2+（y0﹣）2+（x0﹣2）2+（y0+）2=2x02+2y02﹣8x0+12，又点C在椭圆上，∴，消去y0得CA2+CB2=，，即可求解．
（3）假设在x轴上存在点P满足题意，不妨设P（t，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由PF平分∠APB知：kAP+kBP=0，又kAP+kBP===0，利用韦达定理即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，得a=2，c=2，…
∵a2=b2+c2，∴b2=4，∴椭圆的标准方程为：．…
（2）当直线AB与x轴垂直时，A（2，），B（2，﹣），设点C（x0，y0），
则CA2+CB2=（x0﹣2）2+（y0﹣）2+（x0﹣2）2+（y0+）2=2x02+2y02﹣8x0+12，
又点C在椭圆上，∴，消去y0得CA2+CB2=，，
∴CA2+CB2得取值范围为[28﹣16，28+16]．…
（3）假设在x轴上存在点P满足题意，不妨设P（t，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线AB的方程为：x=my+2，联列，消去x得（m2+2）y2+4my﹣4=0，
则，，…
由PF平分∠APB知：kAP+kBP=0，…
又kAP+kBP===0，
又x1=my1+2，x2=my2+t，得（2﹣t）（y1+y2）+2my1y2=0，
即（2﹣t）×+2m×=0，得t=4，
所以存在点P（4，0）满足题意．
…
　
20．已知函数f（x）=ex和函数g（x）=kx+m（k、m为实数，e为自然对数的底数，e≈2.71828）．
（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；
（2）当k=2，m=1时，判断方程f（x）=g（x）的实数根的个数并证明；
（3）已知m≠1，不等式（m﹣1）[f（x）﹣g（x）]≤0对任意实数x恒成立，求km的最大值．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出h′（x）=ex﹣k，（x∈R），分以下两种情况讨论：①当k≤0，②当k＞0，
（2）当k=2，m=1时，方程f（x）=g（x）即为h（x）=ex﹣2x﹣1=0，结合（1）及图象即可判定．
（3）设h（x）=f（x）﹣g（x），分①当m＞1，②当m＜1，分别求解
【解答】解：（1）h′（x）=ex﹣k，（x∈R），
①当k≤0时，h′（x）＞0恒成立，h（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；
②当k＞0时，由h′（x）＞0得x＞lnk，由h′（x）＜0得x＜lnk，
故h（x）的单调递减区间为（﹣∞，lnk），单调递增区间为（lnk，+∞）．
（2）当k=2，m=1时，方程f（x）=g（x）即为h（x）=ex﹣2x﹣1=0，
由（1）知h（x）在（﹣∞，ln2）上递减，而h（0）=0，故h（x）在（﹣∞，ln2）上有且仅有1个零点，
由（1）知h（x）在[ln2，+∞）上递增，而h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣5＞0，且h（x）的图象在[1，2]上是连续不间断的，
故h（x）在[1，2]上有且仅有1个零点，所以h（x）在[ln2，+∞）上也有且仅有1个零点，
综上，方程f（x）=g（x）有且仅有两个实数根．
（3）设h（x）=f（x）﹣g（x），
①当m＞1时，f（x）﹣g（x）≤0恒成立，则h（x）≤0恒成立，
而h（﹣）=e＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾，故m＞1不合题意；
②当m＜1时，f（x）﹣g（x）≥0，恒成立，则h（x）≥0恒成立，
1°当k=0时，由h（x）=ex﹣m≥0恒成立可得m∈（﹣∞，0]，km=0；
2°当k＜0时，h（）=e﹣1，而，故e＜1，
故h（）＜0，与h（x）≥0恒成立矛盾，故k＜0不合题意；
3°当k＞0时，由（1）可知[h（x）]min=h（lnk）=k﹣klnk﹣m，而h（x）≥0恒成立，
故k﹣klnk﹣m≥0，得m≤k﹣klnk，故km≤k（k﹣klnk），
记φ（k）=k（k﹣klnk），（k＞0），
则φ′（k）=k（1﹣2lnk），由φ′（k）＞0得0，由φ′（k）＜0得k＞，
故φ（k）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
∴φ（k）max=φ（）=，∴km≤，当且仅当k=，m=时取等号；
综上①②两种情况得km的最大值为．