江苏省无锡市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷（文科）Word版含解析

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2016-2017学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）
　
一.填空题（每题5分）
1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=　
　．
2．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=　
　．
3．已知复数z=（其中i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a=　
　．
4．若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线y=﹣x（x≤0），则sinα=　
　．
5．用反证法证明结论“实数a，b，c至少有两个大于1．”需要假设“实数a，b，c至多有　
　”．
6．已知tanα=2，则=　
　．
7．已知平面向量，，满足=（m，2），=（3，﹣1），且（﹣）⊥，则实数m=　
　．
8．函数f（x）=+定义域为　
　．
9．若把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，再把所得图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，得到函数图象C1；把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数图象C2．若图象C1与C2重合，则φ的最小值为　
　．
10．在等差数列{an}中，若mp+np=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N
），则map+naq=mak+nat；类比以上结论，在等比数列{bn}中，若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N
），则　
　．
11．已知α，β∈（﹣，），tanα，tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根，则α+β=　
　．
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点，若 =4，则 =　
　．
13．在△ABC中，已知sinA+sinBcosC=0，则tanA的最大值为　
　．
14．若函数f（x）=对任意实数b均恰好有两个零点，则实数a的取值范围是　
　．
　
二.解答题
15．已知函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）（x∈R）．
（1）求函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值；
（2）若α∈（﹣，）且f（α）=1，求f（2α）的值．
16．已知复数z满足|z|=，z2的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限．
（1）求复数z；
（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．
17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，
=4，D为△ABC所在平面内一点，且满足=+2．
（1）求||；
（2）cos∠BDC．
18．某创业投资公司拟投资某种新能源产品，研发小组经过初步论证，估计能获得10万元到100万元的投资效益，现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元，设奖励y是投资收益x的模型为y=f（x）．
（1）试验证函数y=+1是否符合函数x模型请说明理由；
（2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=，试确定最小的正整数a的值．
19．已知函数f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数y=f（x）的值域是（﹣∞，1]．
（1）确定b的值；
（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，并求a的值；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．
20．已知函数y=f（x），若存在零点x0，则函数y=f（x）可以写成：f（x）=（x﹣x0）g（x）．
例如：对于函数f（x）=x3﹣2x2+3，﹣1是它的一个零点，则f（x）=（x+1）g（x）（这里g（x）=x2﹣3x+3）．若函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x+c存在零点x=2．
（1）若f（0）=﹣2，且函数y=f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为0，求实数a的取值范围；
（2）已知函数y=f（x）存在零点x1∈[﹣1，0]，且|f（1）|≤1，求实数b的取值范围．
　
2016-2017学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一.填空题（每题5分）
1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=　{1，2，3}　．
【考点】1D：并集及其运算．
【分析】由集合A与B，求出两集合的并集即可．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}．
故答案为：{1，2，3}
　
2．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=　9　．
【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；3T：函数的值．
【分析】设出幂函数解析式，因为幂函数图象过点，把点的坐标代入解析式后求解幂指数，然后求的值．
【解答】解：因为函数y=f（x）是幂函数，设解析式为y=xα，
又y=f（x）的图象过点，所以，所以α=﹣2，
则y=f（x）=x﹣2，所以．
故答案为9．
　
3．已知复数z=（其中i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a=　　．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
【解答】解：z===，
∵z为纯虚数，
∴2a﹣1=0，
解得a=，
故答案为：
　
4．若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线y=﹣x（x≤0），则sinα=　　．
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】由题意，在α的终边上任意取一点M（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得sinα的值．
【解答】解：∵α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线y=﹣x（x≤0），
在α的终边上任意取一点M（﹣1，），
则x=﹣1，y=，r=|OM|=2，sinα==，
故答案为：．
　
5．用反证法证明结论“实数a，b，c至少有两个大于1．”需要假设“实数a，b，c至多有　一个大于1　”．
【考点】FC：反证法．
【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．
【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，
而命题：“实数a，b，c至少有两个大于1”的否定是：“a，b，c至多有一个大于1”，
故答案为：一个大于1
　
6．已知tanα=2，则=　　．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】由三角函数的诱导公式化简，再由弦化切计算得答案．
【解答】解：∵tanα=2，
∴==．
故答案为：．
　
7．已知平面向量，，满足=（m，2），=（3，﹣1），且（﹣）⊥，则实数m=　4　．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由（﹣）⊥，能求出m的值．
【解答】解：∵平面向量，，满足=（m，2），=（3，﹣1），
∴=（m﹣3，3），
∵（﹣）⊥，
∴（﹣） =3（m﹣3）﹣3=0，
解得m=4．
故答案为：4．
　
8．函数f（x）=+定义域为　[e，3]　．
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】二次根式被开放式非负和对数函数的定义域，可得lnx≥1，且x（x﹣3）≤0，二次不等式的解法，即可得到所求定义域．
【解答】解：f（x）=+有意义，
可得lnx﹣1≥0，且x（3﹣x）≥0，
即为lnx≥1，且x（x﹣3）≤0，
即有x≥e，且0≤x≤3，
可得e≤x≤3．
则定义域为[e，3]．
故答案为：[e，3]．
　
9．若把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，再把所得图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，得到函数图象C1；把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数图象C2．若图象C1与C2重合，则φ的最小值为　　．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得φ的最小值．
【解答】解：把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y=sin（x+φ）的图象；
再把所得图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，得到函数C1：y=sin（4x+φ）的图象．
把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，可得y=sin4x的图象；
再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数C2：y=sin（4x+4φ）的图象；
若图象C1与C2重合，则2kπ+φ=4φ，k∈Z，即φ=，故当k=1时，φ取得最小值为，
故答案为：．
　
10．在等差数列{an}中，若mp+np=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N
），则map+naq=mak+nat；类比以上结论，在等比数列{bn}中，若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N
），则　map naq=mak nat　．
【考点】F3：类比推理．
【分析】结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N
），则am an=ap aq．
【解答】解：类比上述性质，在等比数列{an}中，
若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N
），
则map naq=mak nat，
故答案为：map naq=mak nat．
　
11．已知α，β∈（﹣，），tanα，tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根，则α+β=　﹣　．
【考点】GR：两角和与差的正切函数．
【分析】利用韦达定理求得tan（α+β）的值，再根据α+β的范围，求得α+β的值．
【解答】解：∵α，β∈（﹣，），tanα，tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根，
∴tanα+tanβ=﹣，tanα tanβ=+1，
∴tan（α+β）===1，
结合α+β∈（﹣π，π），∴α+β=，或α+β=﹣，
当α+β=时，不满足tanα+tanβ=﹣，故舍去，检验α+β=﹣，满足条件．
综上可得，α+β=﹣，
故答案为：﹣．
　
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点，若 =4，则 =　　．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】首先由已知求出角A的余弦值，然后利用平面向量的三角形法则将 用梯形的各边表示，展开分别求数量积即可．
【解答】解：由已知得到cos∠A=，
AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点，
若 =4，则 =（）（）
=
=2×3×+﹣1×3=；
故答案为：．
　
13．在△ABC中，已知sinA+sinBcosC=0，则tanA的最大值为　　．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】由sinA+sinBcosC=0，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sin（B+C）=﹣sinBcosC，展开化为：2sinBcosC=﹣cosBsinC，因此2tanB=﹣tanC，由tanA=﹣tan（B+C）展开代入利用基本不等式的性质即可得出答案．
【解答】解：由sinA+sinBcosC=0，
得，
∴C为钝角，A，B为锐角且sinA=﹣sinBcosC．
又sinA=sin（B+C），
∴sin（B+C）=﹣sinBcosC，
即sinBcosC+cosBsinC=﹣sinBcosC，
∴2sinBcosC=﹣cosBsinC
∴2tanB=﹣tanC
∴tanA=﹣tan（B+C）
==
=，
∵tanB＞0，根据均值定理，，
∴，当且仅当时取等号．
∴tanA的最大值为．
故答案为：．
　
14．若函数f（x）=对任意实数b均恰好有两个零点，则实数a的取值范围是　[1，2）　．
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】求出f（x）=0的解，根据零点个数和定义域列不等式组得出a的范围．
【解答】解：当x≥1时，令f（x）=0得x=e，
当x＞1时，令f（x）=0得x=0（舍）或x=．
∵f（x）恰好有两个零点，∴e≥1对任意实数b恒成立，且＞1，
∴，解得1≤a＜2．
故答案为：[1，2）．
　
二.解答题
15．已知函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）（x∈R）．
（1）求函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值；
（2）若α∈（﹣，）且f（α）=1，求f（2α）的值．
【考点】HW：三角函数的最值．
【分析】（1）利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值，求得函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值．
（2）由条件求得α的值，结合函数的解析式从而求得f（2α）的值．
【解答】解：（1）函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），
故当x+=2kπ+时，函数f（x）取得最大值为2，此时，x=2kπ+，k∈Z．
（2）若α∈（﹣，）且f（α）=2sin（α+）=1，即
sin（α+）=，∴α=﹣，
∴f（2α）=2sin（﹣+）=0．
　
16．已知复数z满足|z|=，z2的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限．
（1）求复数z；
（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】（1）设出复数z，利用已知列出方程组，求解可得复数z；
（2）把复数z=﹣1+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算||，由复数ω满足|ω﹣1|≤，由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积．
【解答】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则z2=x2﹣y2+2xyi，
由|z|=，z2的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限，
得，解得：，
∴z=﹣1+i；
（2）由（1）知：复数z=﹣1+i，
∴==，
∴||=，
∴复数ω满足|ω﹣1|≤，由复数的几何意义得：
ω在复平面内对应的点的集合构成图形是以（1，0）为圆心，为半径的圆面，
∴其面积为．
　
17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，
=4，D为△ABC所在平面内一点，且满足=+2．
（1）求||；
（2）cos∠BDC．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（1）运用向量的平方即为模的平方，结合已知条件，计算即可得到所求值；
（2）运用向量的加减运算和向量的模，分别求得 ，||，||，再由cos∠BDC=，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）AB=2，AC=3，
=4，
由=+2，
可得||=|+2|
=
==2；
（2）=﹣=﹣2，
=﹣=﹣﹣，
=2 +22=2×4+2×9=26，
||=2×3=6，
||==
==，
即有cos∠BDC===．
　
18．某创业投资公司拟投资某种新能源产品，研发小组经过初步论证，估计能获得10万元到100万元的投资效益，现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元，设奖励y是投资收益x的模型为y=f（x）．
（1）试验证函数y=+1是否符合函数x模型请说明理由；
（2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=，试确定最小的正整数a的值．
【考点】5D：函数模型的选择与应用．
【分析】（1）判断y=的单调性，求出函数的最大值与9的大小关系，判断﹣x≤0在[10，100]上是否恒成立；
（2）令f（x）﹣≤0在[10，100]上恒成立，解出a的范围，再令f函数y=+1是增函数，当x=100时，y=＜9，
∴奖金y随投资收益x的增加而增加，且奖金不超过9万元，
令g（x）=≤0得x≥，
∴当10≤x≤100时，奖金不超过投资收益的20%，
综上，函数y=+1符合函数x模型．
（2）f（x）==10﹣，
显然，当a＞0时，f（x）是增函数，
令f﹣x=﹣≤0在[10，100]上恒成立，
得15a≥﹣x2+48x，
令h（x）=﹣x2+48x，则h（x）在[10，24]上单调递增，在（24，100]上单调递减，
∴h（x）的最大值为h（24）=576，
∴15a≥576，即a≥
综上，a≥，
∴最小的正整数a的值为38．
　
19．已知函数f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数y=f（x）的值域是（﹣∞，1]．
（1）确定b的值；
（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，并求a的值；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题；3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b；
（2）运用单调性的定义，可得g（x）==﹣1+在（﹣1，1）递减，再由复合函数的单调性，可得f（x）在（﹣1，1）递增；由题意可得f（a）=1，解方程可得a的值；
（3）由f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），f（x）在（﹣1，1）递增，可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，可得k＜3t2﹣2t的最小值，运用二次函数的最值求法，可得最小值，即可得到k的范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即f（﹣x）+f（x）=0，
∴loga+loga=loga（ ）=0，
即 =1，
∴1﹣x2=b2﹣x2，
即b2=1，解得b=1（﹣1舍去），
当b=1时，函数f（x）=loga为奇函数，满足条件．
（2）证明：设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，
由g（x）==﹣1+，
g（x1）﹣g（x2）=﹣=，
x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，（1+x1）（1+x2）＞0，
则g（x1）﹣g（x2）＞0，即有g（x）在（﹣1，1）递减，
由f（x）=logag（x），0＜a＜1可得，
f（x）在（﹣1，1）递增；
∴函数f（x）=loga在x∈（﹣1，a）上单调递增，
∵当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，
∴f（a）=1，
即f（a）=loga=1，
∴=a，
即1﹣a=a+a2，
∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，
∵0＜a＜1，∴a=﹣1+；
（3）对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，
即有f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
由f（x）在（﹣1，1）递增，
可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，
可得k＜3t2﹣2t的最小值，
由3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣，可得t=，取得最小值﹣，可得k＜﹣．检验成立．
则k的取值范围是（﹣∞，﹣）．
　
20．已知函数y=f（x），若存在零点x0，则函数y=f（x）可以写成：f（x）=（x﹣x0）g（x）．
例如：对于函数f（x）=x3﹣2x2+3，﹣1是它的一个零点，则f（x）=（x+1）g（x）（这里g（x）=x2﹣3x+3）．若函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x+c存在零点x=2．
（1）若f（0）=﹣2，且函数y=f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为0，求实数a的取值范围；
（2）已知函数y=f（x）存在零点x1∈[﹣1，0]，且|f（1）|≤1，求实数b的取值范围．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义；52：函数零点的判定定理．
【分析】（1）求出g（x）=x2+ax+1，令g（x）≥0在区间[﹣2，2]上恒成立，列不等式组得出a的范围；
（2）求出g（x）=x2+ax+b，根据条件列出不等式组，作出平面区域，根据线性规划知识求出b的范围．
【解答】解：（1）∵f（0）=﹣2，∴c=﹣2，
设f（x）=（x﹣2）g（x），则g（x）为二次函数，不妨设g（x）=（x2+mx+n），
则f（x）=（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∴，解得，
∴g（x）=x2+ax+1，
∵当x∈[﹣2，2]时，f（x）≤0，且x﹣2≤0，
∴g（x）=x2+ax+1≥0在[﹣2，2]上恒成立，
∴△=a2﹣4≤0，或，或，
解得﹣2≤a≤2．
（2）设f（x）=（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
则，∴，∴g（x）=x2+ax+b，
∵|f（1）|＜1，﹣1≤1+a+b≤1，即﹣2≤a+b≤0，
∵f（x）存在零点x1∈[﹣1，0]，∴g（x）在[﹣1，0]上存在零点x1，
①若a2﹣4b=0，即b=≥0，
且﹣1≤﹣≤0，∴0≤a≤2，
∴a+b≥0，又﹣2≤a+b≤0，
∴a=b=0，
②若a2﹣4b＞0，
∵g（x）在[﹣1，0]上存在零点x1，
∴g（﹣1）g（0）≤0，即b（1﹣a+b）≤0，
故而a，b满足的约束条件为：，
作出约束条件表示的平面区域如图所示：
联立方程组得A（﹣，﹣）．
∴﹣≤b≤0．
综上，﹣≤b≤0．