1.1第2课时 集合的表示
1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)
2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)
4．了解集合的不同的分类方法．
[基础·初探]
教材整理1 列举法
阅读教材P6第1～2自然段，完成下列问题．
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．
用列举法表示由1,2,3,4组成的集合为________．
【解析】 易知集合中含有的元素为1,2,3,4，故用列举法可以表示为{1,2,3,4}．
【答案】 {1,2,3,4}
教材整理2 集合相等
阅读教材P6第3自然段，完成下列问题．
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________.
【解析】 (1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．
(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3.
【答案】 (1)是 (2)3
教材整理3 描述法
阅读教材P6第4自然段，完成下列问题．
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．
(1)不等式x－7<3的解集用描述法可表示为________．
(2)集合{(x，y)|y＝x＋1}表示的意义是________．
【解析】 (1)∵x－7<3，∴x<10，故解集可表示为{x|x<10}．
(2)集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．
【答案】 (1){x|x<10} (2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合
教材整理4 集合的三种表示方法
阅读教材P6第5自然段至例1，完成下列问题．
1．Venn图法表示集合
用一条封闭曲线的内部来表示集合的方法叫做Venn图法．
2．三种表示方法的关系
一个集合可以采用不同的表示方法表示，即集合的表示方法不唯一．
用三种形式表示由2,4,6,8四个元素组成的集合．
【解】 列法举：{2,4,6,8}．
描述法：{x|2≤x≤8，且x＝2k，k∈Z}．
Venn图法：
2,4,6,8
教材整理5 集合的分类
阅读教材P6最后两自然段，完成下列问题．
有限集
含有有限个元素的集合
无限集
含有无限个元素的集合
空集
不含任何元素的集合，记作
若方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x>3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1的实数解组成的集合记作C.
则集合A，B，C中，________是有限集，________是空集，________是无限集．
【解析】 ∵x2－4＝0，∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个，则B为无限集；x2＝－1无实根，则C为空集．
【答案】 A C B
[小组合作型]
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合：
(1)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N
，y∈N
}；
(2)不等式3x－8≥7－2x的解集；
(3)坐标平面内抛物线y＝x2－2上的点的集合；
(4).
【精彩点拨】 (1)(4)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)(3)中的元素无法一一列举，用描述法表示．
【自主解答】 (1)∵x＋y＝4，x∈N
，y∈N
，
∴或或
∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(2)由3x－8≥7－2x，可得x≥3，
所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．
(3){(x，y)|y＝x2－2}．
(4)∵∈N，x∈N，
∴当x＝0,6,8这三个自然数时，＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．
1．集合表示法的选择
对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法；对于无明显规律的无限集，可采用描述法．
2．用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．
3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
[再练一题]
1．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－x－2＝0的解集；
(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．
【解】 (1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；
方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．
(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1
大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}．
集合相等
(1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝且A＝B，则a＝________，b＝________.
【精彩点拨】 (1)解出集合A，并判断与B是否相等；(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．
【自主解答】 (1)x3－x＝x(x2－1)＝0，∴x＝±1或x＝0.
又x∈N，∴A＝{0,1}＝B.
(2)由分析，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a.
∴＝－1，∴a＝－1，b＝1.
【答案】 (1)是 (2)－1 1
已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性．
[再练一题]
2．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．
【解】 若
则a＋ax2－2ax＝0，
∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1.
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．
若则2ax2－ax－a＝0.
又∵a≠0，
∴2x2－x－1＝0，
即(x－1)(2x＋1)＝0.
又∵x≠1，
∴x＝－.
经检验，当x＝－时，A＝B成立．
综上所述，x＝－.
[探究共研型]
集合表示方法的应用
探究1 集合{x|x2－1＝0}的意义是什么？
【提示】 表示方程x2－1＝0的根组成的集合，即{±1}．
探究2 集合A＝{x|ax2＋bx＋c＝0(a≠0)}可能含有几个元素，每一种情况对a，b，c的要求是什么？
【提示】 因a≠0，故ax2＋bx＋c＝0一定是二次方程，其根的情况与Δ的正负有关．若A中无元素，则Δ＝b2－4ac<0，若A中只有一个元素，则Δ＝b2－4ac＝0，若A中有两个元素，则Δ＝b2－4ac>0.
集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【精彩点拨】 A中只有一个元素说明方程kx2－8x＋16＝0可能是一次方程，也可能是二次方程，但Δ＝0.
【自主解答】 (1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}．
(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，即k＝1，
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
1．用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合中的元素；
(2)把这些元素写在花括号内．
2．用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性．
[再练一题]
3．已知函数f
(x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)．集合A＝{x|f
(x)－x＝0}，B＝{x|f
(x)＋ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.
【解】 A＝{1，－3}，∴
∴f
(x)＋ax＝x2＋3x－3＋(－3x)＝0＝x2－3，
∴x＝±，∴B＝{±}.
1．集合{x∈N
|x－3<2}用列举法可表示为________．
【解析】 ∵x－3<2，∴x<5.
又x∈N
，∴x＝1,2,3,4.
【答案】 {1,2,3,4}
2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．
【解析】 当x，y从A，B中取值时，z可以为－1,1,3，共3个．
【答案】 3
3．方程组的解集不可表示为________．
①；②；③{1,2}；④{(1,2)}．
【解析】 方程组的解应是有序数对，③是数集，不能作为方程组的解．
【答案】 ③
4．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________.
【解析】 ∵M＝N，则有或解得或∴a＋b＝1或.
【答案】 1或
5．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
【解】 三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．
集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．第一章
集合
[自我校对]
①描述法
②空集
③互异性
④相等
⑤补集
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
集合的含义及表示
集合的特征是确定性、互异性、无序性，其中互异性是我们必须进行检验的一方面，否则集合中的元素便有了重复，在列举法、描述法、Venn图法三种集合表示法中，描述法略有难度，解题时应注意分清代表元素是什么，有什么共同特征．
设集合A中含有三个元素2x－5，x2－4x,12，若－3∈A，则x的值为__________．
【精彩点拨】 根据－3∈A可知，2x－5，x2－4x均有等于－3的可能，逐一解方程，并验证是否符合集合中元素的互异性．
【规范解答】 ∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x2－4x.
①当－3＝2x－5时，解得x＝1，此时2x－5＝x2－4x＝－3，不符合元素的互异性，故x≠1；
②当－3＝x2－4x时，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3时满足元素的互异性．
综上可知x＝3.
【答案】 3
1．集合中元素的互异性在解题中的应用
(1)借助于集合中元素的互异性找寻解题的突破口．
(2)利用集合中原始元素的互异性检验结论的正确性．
2．描述法表示集合的关键
描述法表示集合的关键在于搞清楚集合的类型及元素的特征性质．当特征性质的表示形式相同时，因为代表元素的不同导致集合的含义不相同，所以研究描述法表示的集合时一定要特别关注集合中的代表元素的属性．
[再练一题]
1．设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∩B＝B，则x的可能取值组成的集合为________．
【解析】 ∵A∩B＝B，∴B A，∴x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或0,1，
当x＝1时，A，B均不符合互异性，∴x≠1，故x＝±2,0.
【答案】 {0,2，－2}
集合间的关系
解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是什么，是数集还是点集，再进行相关的运算，以免混淆集合中元素的属性．
分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系是解答集合问题的先决条件，也是正确使用集合有关术语和符号的基础．应明确：元素与集合的关系是“个体与集体的关系”，而集合与集合的关系是“集体与集体的关系”．
设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，求a，b的值．
【精彩点拨】 由B A讨论B的各种情况，分别求解．
【规范解答】 由B A知，B中的所有元素都属于集合A，又B≠ ，故集合B有三种情形：B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．
当B＝{－1}时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}，故a＝－1，b＝1；
当B＝{1}时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}，故a＝b＝1；
当B＝{－1,1}时，B＝{x|x2－1＝0}，故a＝0，b＝－1.
综上所述，a，b的值为或或
1．判断集合与集合之间的关系的基本方法
根据定义归纳为判断元素与集合间的关系，或利用数轴表示、Venn图表示，进行直观地判断．
2．求解集合间的基本关系问题的要点
(1)合理运用Venn图或数轴帮助分析和求解．
(2)在解含参数的不等式(或方程)时，一般要对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问题的解答．
[再练一题]
2．已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为________．
【解析】 A表示所有奇数组成的集合．当k∈Z时，4k＋1表示被4除余1的数，4k－1表示被4除余3的数，故B表示被4除余1或3的数，即被2除时余数为1，∴B也表示奇数集，故A＝B.
【答案】 A＝B
集合的运算
集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．
已知集合A＝{x|2a－2【精彩点拨】 解答本题的关键是利用A RB，对A＝ 与A≠ 进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．
【规范解答】 RB＝{x|x≤1或x≥2}≠ ，∵A RB.∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论．
(1)若A＝ ，则有2a－2≥a，∴a≥2.
(2)若A≠ ，则有或∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
1．集合间基本运算的方法
(1)求集合的交、并、补集是集合间的基本运算，若集合是用列举法给出的，在处理有关交、并、补集的运算时经常借助于Venn图来处理．
(2)求解用不等式(组)表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，借助数轴解决与不等式(组)有关的集合的运算时要注意各个端点能否取到．
2．集合与不等式(组)结合的运算包含的类型及解决方法
(1)两种类型：不含字母参数、含有字母参数．
(2)解决方法：①对于不含字母参数的直接将集合中的不等式(组)解出，在数轴上求解即可；②对于含有字母参数的，若字母参数的取值对不等式(组)的解有影响，要注意对字母参数分类讨论，再求解不等式(组)，然后在数轴上求解．
[再练一题]
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪ RA＝R，B∩ RA＝{x|0【解】 ∵A＝{x|1≤x≤2}，∴ RA＝{x|x<1或x>2}．
又B∪ RA＝R，A∪ RA＝R，可得A B.而B∩ RA＝{x|0∴{x|0借助于数轴
可得B＝A∪{x|0补集思想及其应用
在讨论一些较为复杂的问题时，可以先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略，这就是补集思想．具体的讲，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，则A的补集即为所求．
设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】 A∩B≠ ，说明集合A，B有公共元素，由于在数轴上表示集合B的图形是两个断开的区域，需对集合A分多种情况讨论，求解比较繁琐．于是可从问题的反面入手，先由A∩B＝ ，求出a的取值范围，然后利用补集思想求解．
【规范解答】 当A∩B＝ 时，如图所示，则
解得－1≤a≤1.
即A∩B＝ 时，实数a的取值范围为
M＝{a|－1≤a≤1}．
而A∩B≠ 时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a|a＜－1或a＞1}．
补集的性质A＝ U( UA)为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决，要么解题思路不明朗，要么需要考虑的因素太多，因此，考虑用补集思想考虑其对立面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路．
[再练一题]
4．已知集合A＝{x∈R|2≤x＜3}，B＝{x∈R|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围．
【解】 若A∩B＝A，则A B.
又A＝{x∈R|2≤x＜3}，B＝{x∈R|k－1≤x＜2k－1}，
所以解得2≤k≤3.
又k∈R，所以当A∩B≠A时，
实数k的取值范围为集合{k|2≤k≤3}的补集，
即(－∞，2)∪(3，＋∞).
1．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2【解析】 在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．
【答案】 {－1,2}
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝________.
【解析】 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．
【答案】 {0,1,2,3}
3．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝________.
【解析】 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0＜x≤2或x≥3}．
【答案】 (0,2]∪[3，＋∞)
4．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是________．
【解析】 集合A中的整数有－2，－1,0,1,2共5个数，所以集合A∩Z中元素的个数是5.
【答案】 5
5．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}则P∪( RQ)＝______.
【解析】 Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，
所以 RQ＝{x∈R|－2＜x＜2}，又P＝{x∈R|1≤x≤3}，
所以P∪( RQ)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．
【答案】 (－2,3]
6．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝________.
【解析】 A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，B＝{－1,0,1,2,3}，
所以A∩B＝{－1,0,1}．
【答案】 {－1,0,1}1．1 第1课时 集合的含义
1．通过实例理解并掌握集合的有关概念．
2．初步理解集合中元素的三个特征．(重点)
3．体会元素与集合的属于关系．(重点)
4．掌握常用数集及其专用符号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．(重点、易错易混点)
[基础·初探]
教材整理1 集合的含义
阅读教材P5开始至倒数第四自然段，完成下列问题．
1．元素与集合的概念
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．
2．集合中元素的特性
集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)漂亮的花可以组成集合．( )
(2)在一个集合中可以找到两个(或两个以上)相同的元素．( )
【解析】 (1)×.因为“漂亮”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．
(2)×.因为集合中的元素具有互异性，故在一个集合中一定找不到两个(或两个以上)相同的元素．
【答案】 (1)× (2)×
教材整理2 元素与集合的关系
阅读教材P5最后三个自然段，完成下列问题．
1．元素与集合的表示
(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．
2．元素与集合的关系
(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．
(2)不属于(符号： 或)，a不是集合A中的元素，记作a A或aA，读作“a不属于A”．
3．常用数集及表示符号
名称
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
用“∈”、“ ”填空．
3．5________N；－4________Z；0.5________R；
________N
；________Q.
【解析】 因为3.5不是自然数，故3.5 N；
因为－4是整数，故－4∈Z；
因为0.5是实数，故0.5∈R；
因为不是正整数，故 N
；
因为是有理数，故∈Q.
【答案】 ∈ ∈ ∈
[小组合作型]
集合的含义
观察下列各组对象能否组成一个集合？
(1)2016年里约奥运会上中国队获得的金牌；
(2)无限接近零的数；
(3)方程x2－2x－3＝0的所有解；
(4)平面直角坐标系中，第一象限内的所有点．
【精彩点拨】 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定．
【自主解答】 (1)能．因为2016年里约奥运会上中国队获得的金牌是确定的．
(2)不能．因为“无限接近”标准不明确，不具有确定性，不能构成集合．
(3)能．因为方程x2－2x－3＝0的解为x1＝3，x2＝－1确定，所以可以组成集合，集合中有两个元素3和－1.
(4)能．因为第一象限内的点是确定的点．
一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合的过程为：
[再练一题]
1.判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2016年在校的所有高个子同学；
(4)
的近似值的全体．
【解】 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．
(2)能构成集合．
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．
元素与集合的关系
所给下列关系正确的序号是________．
①－∈R；② Q；③0 N
；④|－3| N
.
【精彩点拨】 注意各个数集的范围，尤其是其中的特殊数值．
【自主解答】 －为实数，是无理数，
0为自然数，但非正整数，3为正整数．
故①②③正确，④错误．
【答案】 ①②③
1．由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a A”这两种情况中必有一种且只有一种成立．
2．符号“∈”和“ ”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．
3．“∈”和“ ”具有方向性，左边是元素，右边是集合．
[再练一题]
2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系中正确的有________．(填序号)
①0∈M,2∈M；②0 M,2∈M；③0∈M,2 M；④0 M,2 M.
【解析】 本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.
【答案】 ②
[探究共研型]
集合元素的特征
探究1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合定义中“某些确定的”含义是什么？
【提示】 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．“某些确定的”含义是集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个对象在不在这个集合中就确定了．
探究2 有同学说，在某一个集合中有a，－a，|a|三个元素，他说的对吗？
【提示】 这种说法是错误的，因|a|＝且若a＝0，则a，－a，|a|均为0，这些均与元素的互异性矛盾．
探究3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？
【提示】 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．
若集合A中有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值．
【精彩点拨】 按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．
【自主解答】 (1)若a－3＝－3，则a＝0，此时满足题意；
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.
当a＝1时，满足题意；
当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
1．集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合问题．
2．求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验，防止产生增解．(如本题中的a＝－1)
[再练一题]
3．已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
【解析】 因为1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝－1或1.
当a＝1时，集合A的元素是1和1，不符合集合中元素的互异性，故a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1和－1，符合集合中元素的互异性，故a＝－1.
【答案】 －1
1．下列能构成集合的有________．
①中央电视台著名节目主持人；②我市跑得快的汽车；③上海市所有的中学生；④香港超过100层的高楼．
【解析】 ①②中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
【答案】 ③④
2．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②2 Q；③0∈N
；④|－4| N
.
【解析】 ∵π是实数，2是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数是2.
【答案】 2
3．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是下面给出的________．
①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．
【解析】 由元素的互异性知a，b，c均不相等．
【答案】 ④
4．若x∈N，则满足2x－5<0的元素组成的集合中所有元素之和为________．
【解析】 由2x－5<0，得x<，又x∈N，∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.
【答案】 3
5．判断下列语句是否正确？
(1)由1,2,2,4,2,1构成一个集合，这个集合共有6个元素；
(2)2012年末世界上的人构成一个无限集；
(3)某一时刻，地球的所有卫星构成一个集合；
(4)高一(1)班性格开朗的女生构成一个集合．
【解】 (1)不正确，由集合中元素的互异性可知，该集合有3个元素．
(2)不正确，2012年末世界上的人构成一个有限集．
(3)正确．
(4)不正确，因为性格开朗没有一个明确的标准，所以性格开朗的女生构不成集合．1.3 交集、并集
1．理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．(重点)
2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法．(重点)
3．会借助Venn图理解集合的交、并集运算，培养数形结合的思想．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 交集及其性质
阅读教材P11“思考”以上部分，完成下列问题．
1．交集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)Venn图
① ② ③
图1 3 1
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B A；(3)A∩B B；(4)A∩A＝A；(5)A∩ ＝ .
1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)A∩B中的元素一定比A，B任何一个集合的元素都少．( )
(2)A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
(3)两个集合A，B没有公共元素，记作A∩B＝ .( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则A∩B＝
________.
【解析】 A，B的公共元素为3,4，故A∩B＝{3,4}．
【答案】 {3,4}
教材整理2 并集及其性质
阅读教材P11“思考”至P12“例3”完成下列问题．
1．并集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)Venn图
①
② ③
图1 3 2
2．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；(2)A A∪B；(3)B A∪B；
(4)A∪A＝A；(5)A∪ ＝A.
1．A∪ UA＝________，A∩ UA＝________.
【答案】 ∪
2．若集合A＝{a，b，c，d}，B＝{a，b，e，f
}，则A∪B＝____________.
【答案】 {a，b，c，d，e，f
}
教材整理3 区间的概念与表示
阅读教材P12，完成下列问题．
1．区间的概念
设a，b∈R，且a[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a[a，b)＝{x|a≤x(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x[a，b]，(a，b)分别叫做闭区间、开区间；
[a，b)，(a，b]叫做半开半闭区间；
a，b叫做相应区间的端点．
2．区间的数轴表示
区间表示
数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
以上就是一些区间的数轴表示．在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
“大于3小于等于5的数”用集合表示为__________，用区间表示为________．
【答案】 {x|3[小组合作型]
集合的交集
(1)已知集合A＝{x|1(2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值.
【精彩点拨】 (1)可以先按集合的补集定义求出 RB，再求交集．
(2)由A∩B＝{9}可得9∈A，依次讨论a2,2a－1等于9的可能性来求解．
【自主解答】 (1)∵B＝{x|－1≤x≤3}．
∴ RB＝{x|x<－1，或x>3}．
作出数轴表示集合A和 RB，如图所示．
由图可知A∩ RB＝{x|3(2)∵A∩B＝{9}，
∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
∴a＝5或a＝±3.
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}．
此时A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去．
当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．
经检验可知a＝－3符合题意．
1．求以列举法给出的两集合的交集时，可直接寻找其公共元素，但需注意不可遗漏．
2．求以描述法给出的两集合的交集时，可先化简集合，再确定两集合的公共元素(区间)，有必要时可借助于数轴或Venn图解决．
3．已知集合的交集求参数问题要利用交集中元素的特殊性(公有性)列方程或不等式(组)来解决，而且，有些题目还应注意验证得出的结论是否符合集合元素的互异性和是否符合题意．
[再练一题]
1．(1)已知集合A＝{x∈N|2≤x≤5}，B＝{x|1≤x<4}，则A∩B＝________.
(2)设集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B＝________.
【解析】 (1)A＝{2,3,4,5}，B＝{x|1≤x<4}，∴A∩B＝{2,3}．
(2)集合A表示y＝x2的函数值组成的集合，故A＝{y|y≥0}．B表示y＝x＋2上的点组成的集合，是点集，故A∩B＝ .
【答案】 (1){2,3} (2)
集合的并集
(1)若A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,6,7,8}，则A∪B＝________.
(2)若A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|1【精彩点拨】 (1)将A，B中的元素合并，注意互异性即可．
(2)借助数轴表示A，B，再求A∪B.
【自主解答】 (1)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)用数轴表示出A，B，如图．
∴A∪B＝{x|－1≤x<4}．
两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题．
[再练一题]
2．已知方程2x2－px＋q＝0的解集为A，方程6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0的解集为B，若A∩B＝，则A∪B＝________.
【解析】 因为A∩B＝，所以∈A，∈B，故－p＋q＝0，＋(p＋2)＋5＋q＝0，则联立方程，解方程组得p＝－7，q＝－4，则2x2＋7x－4＝0,6x2－5x＋1＝0，故A＝，B＝，则A∪B＝.
【答案】
补集与交集、并集的关系
已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，试写出 UA， UB，A∩B，A∪B， U(A∩B)， U(A∪B)，( UA)∩( UB)，( UA)∪( UB)．
【精彩点拨】 采用列举法逐一将上述各集合写出．
【自主解答】 UA＝{5,6,7,8}， UB＝{1,2,7,8}，
A∩B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6}．
U(A∩B)＝{1,2,5,6,7,8}， U(A∪B)＝{7,8}．
( UA)∩( UB)＝{7,8}，( UA)∪( UB)＝{1,2,5,6,7,8}．
从上述解答中可以看出以下两个结论： U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)．
[再练一题]
3．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，求( UA)∩( UB)，( UA)∪( UB)．
【解】 由题知A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪B＝{x|1≤x≤4}．
∴ U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}， U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}．
∴( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}，
( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}．
结合集合的交集，并集，补集，求参数的范围
已知集合A＝{x|2【精彩点拨】 先借助于数轴的直观性进行分析，然后列出参数a的方程或不等式，进而求相应a的取值范围．
【自主解答】 有两类情况，
一类是B≠ a>0.
此时，又分两种情况：①B在A的左边，如图中B所示；
②B在A的右边，如图中B′所示．
集合B在图中B或B′位置均能使A∩B＝ 成立，
即0<3a≤2或a≥4，
解得0另一类是B＝ ，即a≤0时，显然A∩B＝ 成立．
综上所述，a的取值范围是.
1．若A∩B＝ ，则A，B可能的情况为：(1)A，B非空但无公共元素；(2)A，B均为空集；(3)A与B中只有一个是空集．
2．依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．
[再练一题]
4．已知A＝[2a，a＋3]，B＝(－∞，－1)∪[5，＋∞)，若A∩B≠ ，则a的范围是________．
【解析】 ∵A∩B≠ ，∴A≠ ，∴2a将B标在数轴上，如图．
欲使A∩B≠ ，则有2a<－1或a＋3≥5成立，
∴a<－或a≥2.
综上，a∈∪[2,3)．
【答案】 a∈∪[2,3)
[探究共研型]
集合中的实际应用
探究1 若已知全集为U，集合A，则任何一个元素x∈U与A的关系是什么？
【提示】 元素x∈A或x A，但x A时，x∈ UA，即x∈A或x∈ UA.
探究2 若全集U中的元素个数为m，A中有n个元素，则 UA中的元素个数为多少？
【提示】 UA中的元素个数为m－n.
向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
【精彩点拨】 把赞成A和赞成B的人分成两个集合，利用集合的交、并运算解决．
【自主解答】 赞成A的人数为50×＝30，
赞成B的人数为30＋3＝33，如图．
记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成B的学生全体为集合B.
设对A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋＝50，
解得x＝21.
所以对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．
集合中的实际应用问题主要是涉及集合中元素个数问题，先对实际问题进行分析，抽象建立集合模型，转化为集合问题，运用集合知识进行求解，然后将数学问题翻译成实际问题的解进行检验，从而使问题得以解决，其中用Venn图进行分析，往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷、准确地获解．
[再练一题]
5．设集合U＝{x∈N
|x≤10}，AU，BU，且A∩B＝{4,5}， UB∩A＝{1,2,3}，( UA)∩( UB)＝{6,7,8}，求集合A和B.
【解】 ∵A∩B＝{4,5}，
∴4∈A,5∈A,4∈B,5∈B.①
∵( UB)∩A＝{1,2,3}，②
∴1∈A,2∈A,3∈A,1 B,2 B,3 B.
∵( UA)∩( UB)＝{6,7,8}，③
∴6,7,8都不属于A，也都不属于B.
∵U＝{x∈N
|x≤10}，
∴9,10不知所属．
由②③可知，9,10均不属于 UB.
∴9∈B,10∈B.④
由④①可知，9 A,10 A.
综上所述，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.
1．设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则( UM)∪N＝________.
【解析】 由题意知， UM＝{0,3}，所以( UM)∪N＝{0,2,3}．
【答案】 {0,2,3}
2．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1【解析】 由A＝{x|x>1}，B＝{x|－1【答案】 {x|13．已知集合M＝{(x，y)|x＝0}，N＝{(x，y)|y＝x＋2}，则M∩N＝________.
【解析】 由题意可得M∩N＝＝{(0,2)}．
【答案】 {(0,2)}
4．设M＝{a，b}，则满足M∪N {a，b，c}的非空集合N的个数为________．
【解析】 根据M∪N {a，b，c}而M中没有c元素，所以N集合中一定要有c元素，可能有a，b元素且N为非空集合，
所以N可以为{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共4个．
【答案】 4
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且( UA)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值．
【解】 ∵U＝{1,2,3,4,5}，( UA)∪B＝{1,3,4,5}，
∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，
∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，
得m＝6且A＝{2,3}，
∴ UA＝{1,4,5}．
而( UA)∪B＝{1,3,4,5}，
∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，
∴3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根，
∴n＝－7且B＝{3,4}，∴m＋n＝－1.1.2
第2课时 全集、补集
1．了解全集与空集的意义，理解补集的含义．(重点)
2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)
[基础·初探]
教材整理 补集、全集的概念
阅读教材P9思考至例3，完成下列问题．
1．补集
(1)定义：设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为 SA(读作“A在S中的补集”)．
(2)符号表示
SA＝{x|x∈S，且x A}．
(3)图形表示：
图1 2 2
2．全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.
1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)一个集合的补集中一定含有元素．( )
(2)研究A在U中的补集时，A必须是U的子集．( )
(3)一个集合的补集的补集是其自身．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
2．U＝{x|－1＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则 UA＝________.
【解析】 根据补集的定义，所求为在U中但不在A中的元素组成的集合，所以 UA＝{x|－1＜x≤0}．
【答案】 {x|－1＜x≤0}
[小组合作型]
集合的补集
(1)已知集合U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0或2＜x≤3}，则 UA等于________；
(2)已知集合U＝{x∈N|x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的素数}，则 UA＝__________， UB＝________.
【精彩点拨】 (1)利用数轴将集合表示出来再求补集；
(2)利用列举法表示出全集U，集合A，B，再求A，B的补集．
【自主解答】 (1)在数轴上表示出全集U，集合A，如图所示，根据补集的概念可知 UA＝{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}．
(2)U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
因为A＝{小于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，所以 UA＝{0,2,4,6,8,10}．
因为B＝{小于11的素数}＝{2,3,5,7}，所以 UB＝{0,1,4,6,8,9,10}．
【答案】 (1){x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}
(2){0,2,4,6,8,10} {0,1,4,6,8,9,10}
1．求补集 UA的关键是确定全集U及集合A的元素．常见补集的求解方法有：
(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．
(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．
(3)利用Venn图求解．
2．补集是以全集为前提建立的，即A一定是U的子集， UA也一定是U的子集，求解有关问题时，一定要充分利用这种包含关系．
[再练一题]
1．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－2【解析】 将全集U，集合A表示在数轴上，如图所示．
∴ UA＝{x|－3≤x≤－2或x>4}．
【答案】 {x|－3≤x≤－2或x>4}
[探究共研型]
补集与子集的综合应用
探究1 若M N，则 UM与 UN有什么关系？
【提示】 由Venn图可知，若M N， UM UN.
反之，若 UM UN，则M N，即M N UM UN.
探究2 若M N，针对M应考虑的两种情况是什么？
【提示】 两种情况是M＝ 和M≠ .
已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A UB，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】 首先应对B是否为空集进行讨论，得出 UB，然后再利用A UB得关于a的不等式求解即可．
【自主解答】 若B＝ ，则a＋1>2a－1，∴a<2.
此时 UB＝R，∴A UB；
若B≠ ，则a＋1≤2a－1，即a≥2，
此时 UB＝{x|x2a－1}，
由于A UB，如图，
则a＋1>5，∴a>4，
∴实数a的取值范围为a<2或a>4.
解决此类问题应注意以下几点：
(1)空集作为特殊情况，不能忽略；
(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；
(3)端点值能否取到，应注意分析．
[再练一题]
2．设全集U＝R，M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤a}，若 UM UN，则a的取值范围是________．
【解析】 因为 UM＝{x|x≥2}， UN＝{x|x>a}，于是由 UM UN，得a<2，所以a的取值范围是a<2.
【答案】 a<2
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}，则 UB＝________.
【解析】 根据补集的定义 UB＝{x|x∈U且x B}＝{1,2}．
【答案】 {1,2}
2．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则 UA＝________.
【解析】 A＝{x|x≥1}，∴ UA＝{x|x<1}．
【答案】 {x|x<1}
3．已知全集U＝{x|－4≤x<5}，集合A＝{x|－3【解析】 UA＝{x|－4≤x≤－3，或2【答案】 {x|－4≤x≤－3，或24．设S＝{x∈N|0≤x≤4}，A＝{x∈N|0【解析】 S＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，∴ SA＝{0,4}．
【答案】 {0,4}
5．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2(1)求 UA， UB;
(2)若集合C＝{x|x>a}，A C，求a的取值范围．
【解】 (1)∵A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2∴借助于数轴知 UA＝{x|x<3，或x≥10}，
UB＝{x|x≤2，或x>7}．
(2)要使A C，只需a<3即可．
∴a的取值范围为{a|a<3}．1．2 第1课时 子集、真子集
1．理解集合间包含与相等的含义、能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)
2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)
3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1 子集的概念及其性质
阅读教材P8开始至例1，完成下列问题．
1．子集
定义
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号表示
A B(或B A)
读法
集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)
图示
2.子集的性质
(1)A A，即任何一个集合是它本身的子集．
(2) A，即空集是任何集合的子集．
(3)若A B，B C，则A C，即子集具备传递性．
3．集合相等
若A B且B A，则A＝B.
1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1){2,3} {x|x2－5x＋6＝0}．( )
(2) {0}．( )
(3) { }．( )
【解析】 (1)x2－5x＋6＝0的根为x＝2,3，故(1)正确．因 是任何集合的子集，故(2)(3)正确．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
2．{1，a} {1,2,3}，则a＝________.
【解析】 因为{1，a} {1,2,3}，所以a必定是集合{1,2,3}中的一个元素，故a＝2或3.
【答案】 2或3
教材整理2 真子集的概念及性质
阅读教材P8例1后一段至P9第一行，完成下列问题．
1．真子集的概念
如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
2．性质
(1) 是任一非空集合的真子集．
(2)若AB，BC，则AC.
集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是________．
【解析】 ∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{1，－1}．
显然AB.
【答案】 AB
[小组合作型]
集合关系的判断
指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－1【精彩点拨】 分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．
【自主解答】 (1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，
∴P＝Q.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB.
判断两个集合A，B的关系，应由集合中元素入手，依据集合间关系的定义得出结论．由AB可推出A B，但由A B推不出AB.
[再练一题]
1．下列各组的集合中，两个集合之间具有包含关系的是________，其中A为S真子集的是________．(填序号)
(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}；
(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}；
(3)S＝{x|x为江苏人}，A＝{x|x为中国人}．
【解析】 (1)中A S，且AS；(2)中A S且AS；(3)中S A且SA.
【答案】 (1)(2)(3) (1)(2)
有关子集个数的计数问题
(1)写出集合M＝{1,2,3}的子集，并说明其中真子集的个数为多少．
(2)若集合{1,2} M{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M.
【精彩点拨】 对于确定子集或(个数)的题目，可以将子集逐一列举出来再计数．
【自主解答】 (1)按子集中包含元素的个数来写：
含元素个数
子集
子集个数
0
1
1
{1}{2}{3}
3
2
{1,2}{1,3}{2,3}
3
3
{1,2,3}
1
其中真子集有7个．
(2)M中必有1,2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．
M的可能情况为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
1．求解有限集合的子集问题，关键有三点
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
[再练一题]
2．集合M满足{4,5} M {1,2,3,4,5}，则这样的M共有________个.
【解析】 易知M中必含有4,5两个元素，但1,2,3可有可无，故M的个数与{1,2,3}的子集的个数相同，共8个．
【答案】 8个
[探究共研型]
集合之间的包含关系
探究1 A B的意义是什么？若M＝{x|x≤2}，N＝{x|x≤1}，则N M成立吗？
【提示】 A B表示集合A中所有的元素都在集合B中．借助数轴表示出M，N两集合，易见N M.
探究2 若集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x<1}，则M N成立吗？
【提示】 不成立，因为1∈M但1 N，故M N错误．
探究3 集合M＝{x|2a【提示】 M可以是空集，此时只需要2a≥a＋1，即a≥1.
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1【精彩点拨】 讨论集合B→列关于m的不等式(组)→求m的取值范围
【自主解答】 ∵B A，
(1)当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠ 时，有
解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
2．两个易错点
(1)当B A时，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论；
(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．
[再练一题]
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值集合．
【解】 (1)若B＝ ，则m＋1>2m－1，即m<2，此时，总有B A，故m<2.
(2)若B≠ ，则m＋1≤2m－1，
即m≥2.
由B A，得解得－3≤m≤3，
故得2≤m≤3.
综合(1)(2)可知m的取值集合是{m|m≤3}.
1．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
【解析】 ∵B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.
【答案】 BA
2．集合A＝{－1,0,1}的子集中，含有元素0的子集共有________个
【解析】 根据子集定义，集合A的子集为 ，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，显然含有元素0的子集共有4个.
【答案】 4
3．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B A，则实数m的值是________．
【解析】 因为B A，那么m∈{0,2}，所以m的值是0或2.
【答案】 0或2
4．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是________.
【解析】 集合M可以是{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,3,6}，{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,6}，{1,2,3,5,6}．
【答案】 6
5．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
【解】 因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素，
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．