2．2.1 第1课时 函数的单调性
1．理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)
2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)
3．会求函数的单调区间．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 单调性的定义
阅读教材P37，完成下列问题．
1．定义
一般地，设函数y＝f
(x)的定义域为A，区间I A.
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1
(x1)(x2)，那么就说y＝f
(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f
(x)的单调增区间．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1(x1)>f
(x2)，那么就说y＝f
(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f
(x)的单调减区间．
2．函数单调性与单调区间
如果函数y＝f
(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f
(x)在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )
(2)若函数y＝f
(x)在定义域上有f
(1)＜f
(2)，则函数y＝f
(x)是增函数．( )
(3)若函数f
(x)在实数集R上是增函数，则有f
(1)＜f
(4)．( )
(4)若函数y＝f
(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数f
(x)的单调区间是[1,3]．( )
【解析】 (1)y＝2在定义域上无单调性；(2)只根据f
(1)(2)，无法确定f
(x)的单调性；(3)由f
(x)在R上递增，可以得出f
(1)(4)；(4)一个函数的增区间也是单调区间．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下列说法正确的是________．(填序号)
①定义在(a，b)上的函数f
(x)，若存在x1(x1)(x2)，那么f
(x)在(a，b)上为增函数；
②定义在(a，b)上的函数f
(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得当x1(x1)(x2)，那么f
(x)在(a，b)上为增函数；
③若f
(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f
(x)在I1∪I2上也一定为增函数；
④若f
(x)在区间I上为增函数，且f
(x1)(x2)(x1，x2∈I)，那么x1【解析】 ①②都是用部分x1和x2对应的函数值的大小来判断单调性，
忽略了“任意”．③可举反例排除，如y＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递增，但在定义域上不具有单调性．
【答案】 ④
教材整理2 单调性的判断
阅读教材P38例1、例2，完成下列问题．
判断单调性的常用方法是图象法、定义法．
根据下列函数的图象，说明函数的单调性．
(1)一次函数y＝kx＋b，当k>0时，函数在R上单调递______，当k<0时，函数在R上单调递______．
(2)反比例函数y＝，当k>0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递______，当k<0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递______．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a>0时，函数在上单调递______，在上单调递______，
当a<0时，函数在上单调递______，在上单调递____．
【答案】 (1)增 减 (2)减 增 (3)减 增 增 减
[小组合作型]
利用函数图象求单调区间
作出下列函数的图象，并写出单调区间．
(1)y＝x2－4；(2)y＝－；(3)f
(x)＝
【精彩点拨】 在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．
【自主解答】 三个函数图象如图(1)(2)(3)．
(1) (2) (3)
(1)y＝x2－4的单调递减区间为(－∞，0)，递增区间为(0，＋∞)．
(2)y＝－的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．
(3)f
(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)．
1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．
2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．
[再练一题]
1．函数f
(x)＝－x2＋|x|(x∈R)的单调递增区间为________.
【解析】 (1)f
(x)＝－x2＋|x|＝
图象如图所示：
∴f
(x)的单调增区间为，.
【答案】 ，
函数单调性的判断与证明
用定义证明函数f
(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数．
【精彩点拨】 解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．
【自主解答】 证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，则f
(x1)－f
(x2)＝－＝.
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
∴＞0，即f
(x1)＞f
(x2)，
∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
用定义证明(判断)函数单调性的步骤
[再练一题]
2．证明函数f
(x)＝在(1，＋∞)上单调递增．
【证明】 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f
(x1)－f
(x2)＝－＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
∵x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0.
又x1∴f
(x1)(x2)，
∴f
(x)在(1，＋∞)上单调递增．
[探究共研型]
单调性的应用
探究1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？
【提示】 先判断函数f
(x)在区间D上的单调性，如果函数f
(x)在D上是增函数，当x1(x1)(x2)，如果f
(x)在D上是减函数，结论则相反．
探究2 如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？
【提示】 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f
符号，转化为自变量的大小关系．
已知函数f
(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且f
(x－2)(1－x)，则x的取值范围为________．
【精彩点拨】 根据单调性可以去掉f
，还应考虑定义域．
【自主解答】 ∵f
(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且f
(x－2)(1－x)，
∴x－2<1－x，∴x<.
又f
(x)的定义域为[－2,2]，∴
∴∴0≤x≤3，综上，0≤x<.
【答案】
1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f
(x)在给定区间上是增函数，则当x1(x1)(x2)，当x1>x2时，f
(x1)>f
(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f
(x)在给定区间上是增函数，则当f
(x1)(x2)时，x1(x1)>f
(x2)时，x1>x2.当y＝f
(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．
2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．
[再练一题]
3．已知f
(x)在R上为减函数且f
(2m)≥f
(9－m)，则m的取值范围是________.
【解析】 由题意可得2m≤9－m，
∴m≤3.
【答案】 m≤3
1．已知函数f
(x)的图象如图2 2 1所示，则f
(x)的单调减区间为________．
图2 2 1
【解析】 由题图知，f
(x)在上图象呈下降趋势，∴单调减区间为.
【答案】
2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是________．
(1)f
(x)＝－；(2)f
(x)＝x2－3x；(3)f
(x)＝3－x；(4)f
(x)＝－|x|.
【解析】 函数f
(x)＝－的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f
(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增；函数f
(x)＝3－x在(0，＋∞)上是减函数；函数f
(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是减函数，故(2)(3)(4)错误．
【答案】 (1)
3．若函数f
(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为________.
【解析】 ∵f
(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，
∴k－2＜0，
∴k＜2.
【答案】 k＜2
4．已知函数f
(x)＝则f
(x)的单调增区间为________．
【解析】 f
(x)为分段函数，当x≥1时，f
(x)单调递增，当x∈(－1,1)时，f
(x)单调递减，当x≤－1时，f
(x)单调递增．
【答案】 [1，＋∞)，(－∞，－1]
5．已知函数f
(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
(1)判断函数f
(x)在区间[1，＋∞)上的单调性；
(2)解不等式：f
＜f
(x＋1
008)．
【解】 (1)设1≤x1＜x2，
f
(x1)－f
(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
由1≤x1＜x2得
x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，
∴f
(x1)－f
(x2)＜0，
即f
(x1)＜f
(x2)，
∴f
(x)在[1，＋∞)上为增函数．
(2)∵f
(x)在[1，＋∞)上为增函数，
∴f
＜f
(x＋1
008)
解得≤x＜，
故原不等式的解集为.第二章
函数
[自我校对]
①对应关系
②图象法
③单调性
④映射
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
函数值域的求法
函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，一旦函数的定义域和对应法则确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．
求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)f
(x)＝x＋.
【精彩点拨】 (1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解．
【自主解答】 (1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0.所以函数y＝的定义域为[0，＋∞)，因此≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．
(2)法一(分离系数法)：y＝＝＝2＋.而≠0，所以2＋≠2，因此函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝，得x＝.而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2.所以函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)令＝t，则t≥0，x＝＝t2＋，
∴f
(x)＝t2＋＋t＝2－.
∵t≥0，∴f
(x)≥，∴函数f
(x)＝x＋的值域为.
常见的求值域的方法
1．直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域．例如求函数f
(x)＝5x＋1(x∈{1,2,3,4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f
(x)的值域为{6,11,16,21}．
2．分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域．
3．反解法：例如求函数y＝(x＞－4)的值域．由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1.故函数y＝(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪.
4．图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域．
5．换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解．
[再练一题]
1．(1)函数f
(x)＝则f
(x)的最大值与最小值分别为________、________.
(2)已知函数f
(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f
(x)有最小值－2，则f
(x)的最大值为________．
【解析】 (1)f
(x)在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f
(x)min＝f
(1)＝8.
在[－1,1]上，f
(x)(1)＝1＋7＝8，∴f
(x)在[－1,2]上单调递增，
∴f
(x)max＝f
(2)＝2×2＋6＝10，f
(x)min＝f
(－1)＝－1＋7＝6.
(2)f
(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，对称轴为x＝2，
∴在[0,1]上，f
(x)单调递增，∴f
(x)min＝f
(0)＝a＝－2，
∴f
(x)max＝f
(1)＝－1＋4＋a＝4－3＝1.
【答案】 (1)10 6 (2)1
函数性质的应用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
函数f
(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f
＝.
(1)确定函数f
(x)的解析式；
(2)用定义证明：f
(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f
(t－1)＋f
(t)<0.
【精彩点拨】 (1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉f
，转化为t的不等式求解．
【自主解答】 (1)由题意，得即
∴f
(x)＝，经检验，符合题意．
(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)且x1f
(x2)－f
(x1)＝－
＝.
∵－1∴x2－x1>0,1＋x>0,1＋x>0.
又∵－1∴1－x1x2>0，
∴f
(x2)－f
(x1)>0，
故f
(x2)>f
(x1)，
∴f
(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)原不等式可化为
f
(t－1)<－f
(t)＝f
(－t)．
∵f
(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1解得0故原不等式的解集为.
函数单调性与奇偶性应用常见题型
1．用定义判断或证明单调性和奇偶性．
2．利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．
3．利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．
4．利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．
[再练一题]
2．已知奇函数f
(x)＝
(1)求实数m的值；
(2)若函数f
(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
【解】 (1)当x<0时，－x>0，所以f
(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又因为f
(x)是奇函数，所以f
(－x)＝－f
(x)＝－x2－2x，即f
(x)＝x2＋2x，所以m＝2.
(2)由题意知，要使函数f
(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，则有
即1<|a|≤3，解得－3≤a<－1或1所以a的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．
函数的图象与数形结合思想
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．
(1)若函数y＝f
(x)与y＝g(x)的图象分别如图2 1(1)及图(2)所示，则f
(x)·g(x)的图象可能是________．(填序号)
图2 1
(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是________．
【精彩点拨】 (1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可．
【规范解答】 (1)由f
(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可知f
(x)·g(x)为奇函数，又x∈(－3,0)时，f
(x)>0，g(x)>0，所以f
(x)·g(x)>0，只有③符合．
(2)令f
(x)＝x2－4|x|＋5，则f
(x)＝
作出f
(x)的图象，如图所示．
由图象可知，当1(x)的图象与y＝m有4个交点，即方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根．
【答案】 (1)③ (2)1作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
[再练一题]
3．对于任意x∈R，函数f
(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f
(x)的最小值是________．
【解析】 首先应理解题意，“函数f
(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是对同一个x值而言，函数f
(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0，3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数f
(x)的表达式：
f
(x)＝
f
(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f
(x)的最小值是2.
【答案】 2
1．函数y＝的定义域是________．
【解析】 要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．
【答案】 [－3,1]
2．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图2 2中A点表示十月的平均最高气温约为15
℃，B点表示四月的平均最低气温约为5
℃.下面叙述不正确的是________(填序号)．
①各月的平均最低气温都在0
℃以上；
②七月的平均温差比一月的平均温差大；
③三月和十一月的平均最高气温基本相同；
④平均最高气温高于20
℃的月份有5个．
图2 2
【解析】 由图形可得各月的平均最低气温都在0
℃以上，①正确；七月的平均温差约为10
℃，而一月的平均温差约为5
℃，故②正确；三月和十一月的平均最高气温都在10
℃左右，基本相同，③正确；平均最高气温高于20
℃的月份只有2个，④错误．
【答案】 ④
3．已知函数f
(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
【解析】 ∵f
(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，
∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.
【答案】 －2
4．已知函数f
(x)的定义域为(－1,0)，则函数f
(2x＋1)的定义域为________．
【解析】 要使函数有意义，需满足－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－，即所求函数的定义域为.
【答案】
5．已知函数f
(x)＝.若f
(a)＝3，则实数a＝________.
【解析】 因为f
(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
【答案】 10
6．已知函数f
(x)为奇函数，且当x＞0时，f
(x)＝x2＋，则f
(－1)＝________.
【解析】 当x＞0时，f
(x)＝x2＋，∴f
(1)＝12＋＝2.
∵f
(x)为奇函数，∴f
(－1)＝－f
(1)＝－2.
【答案】 －22.1.1
第2课时 函数的图象
1．理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象．(重点)
2．能够利用图象解决一些简单的函数问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 函数的图象
阅读教材P27开始至例4上的一段，完成下列问题．
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f
(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f
(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f
(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f
(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f
(x)的图象．
1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)直线x＝a和函数y＝f
(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点．( )
(2)设函数y＝f
(x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f
(x)，x∈A}与集合Q＝{y|y＝f
(x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f
(x)的图象．( )
【解析】 (1)若a∈[m，n]，则x＝a与y＝f
(x)有一个交点，若a [m，n]，则x＝a与y＝f
(x)无交点，故(1)错误．
(2)Q是一个数集，P是一个点集，显然P≠Q，故(2)错误，但是P的图形表示的是函数y＝f
(x)的图象．
【答案】 (1)× (2)×
2．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f
(x)的图象的有________．(填序号)
【解析】 能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故②④可以，①③不可以．
【答案】 ②④
教材整理2 作图、识图与用图
阅读教材P27例4至P28例6，完成下列问题．
作函数的图象
(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－.
函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是__________．(填序号)
【解析】 由题意知，函数的定义域是{－1,0,1}，值域是{0,1,2}，函数的图象是三个点，故③正确．
【答案】 ③
[小组合作型]
作函数的图象
作出下列函数的图象，并求函数的值域．
(1)y＝3－x(|x|∈N
且|x|<3)；
(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2).
【精彩点拨】 (1)中函数的定义域为{－2，－1,1,2}，图象为直线上的孤立点．
(2)中函数图象为抛物线的一部分．
【自主解答】
(1)∵|x|∈N
且|x|<3，∴定义域为{－2，－1,1,2}，
∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．
由图象可知，值域为{5,4,2,1}．
(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1,2))，
故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1,2)上的部分，如图，
x＝1时，y＝1，x＝－1时，y＝5，
∴函数的值域为[1,5]．
1．画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．
2．描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．
3．函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．
[再练一题]
1．将例1(2)中的定义域改为[0,3)，函数的图象与值域变成怎样了．
【解】
图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0,3)上的部分图象，如图．
∵x＝0时，y＝2，x＝3时，y＝5.
∴值域变为[1,5)．
函数图象的应用
已知函数f
(x)＝－x2＋2x＋3的图象如图2 1 2所示，据图回答以下问题：
(1)比较f
(－2)，f
(0)，f
(3)的大小；
(2)求f
(x)在[－1,2]上的值域；
(3)求f
(x)与y＝x的交点个数；
(4)若关于x的方程f
(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．
图2 1 2
【精彩点拨】 从图象上找到对应问题的切入点进而求解．
【自主解答】 (1)由题图可得f
(－2)＝－5，f
(0)＝3，f
(3)＝0，
∴f
(－2)(3)(0)．
(2)在x∈[－1,2]时，f
(－1)＝0，f
(1)＝4，f
(2)＝3，
∴f
(x)∈[0,4]．
(3)在图象上作出直线y＝x的图象，如图所示，
观察可得，f
(x)与y＝x有两个交点．
(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．
∴0≤k<3或k＝4.
1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．
2．常借助函数图象求解以下几类问题
(1)比较函数值的大小；
(2)求函数的值域；
(3)分析两函数图象交点个数；
(4)求解不等式或参数范围．
[再练一题]
2．若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．
【解】 原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，
即(x－2)2＝1－m，
设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，
由图可知：
①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3∴m＝1或－3(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解)
[探究共研型]
利用图象的平移变换作函数图象
探究1 设f
(x)＝x2，则f
(x＋1)的表达式是什么，在同一坐标系中，做出两者的图象，这两个图象形状一样吗？位置呢？
【提示】 f
(x＋1)＝(x＋1)2，两者图象的形状相同，f
(x＋1)的图象比f
(x)的图象向左了一个单位．如下图(1)．
探究2 同一坐标系中做出f
(x)＝x2，f
(x－2)的图象，观察两者的形状和位置有什么异同？
【提示】 f
(x－2)＝(x－2)2，f
(x)与f
(x－2)的图象形状相同，f
(x－2)的图象比f
(x)的图象向右了2个单位．如下图(1)．
(1)
探究3 若已知y＝f
(x)的图象，如何得到y＝f
(x＋a)的图象？
【提示】 当a>0时，y＝f
(x＋a)可由y＝f
(x)向左移动a个单位．
当a<0时，y＝f
(x＋a)可由y＝f
(x)向右移动|a|个单位．
探究4 若f
(x)＝x2，写出y＝f
(x)＋1和y＝f
(x)－2的表达式，并在同一坐标系中做出三者的图象，观察其形状和位置的异同，由此，结合探究3，若已知f
(x)的图象，如何得到y＝f
(x)＋b的图象？
【提示】 y＝f
(x)＋1＝x2＋1，y＝f
(x)－2＝x2－2，如图(2)．
由y＝f
(x)的图象得到y＝f
(x)＋b的图象时，
若b>0，把f
(x)的图象向上移动b个单位得y＝f
(x)＋b的图象．
若b<0，把f
(x)的图象向下移动|b|个单位得y＝f
(x)＋b的图象．
(2)
用平移图象的方式作出y＝2＋的图象，并说明函数y＝2＋的值域．
【精彩点拨】 y＝2＋可以看作y＝先向右移动一个单位，又向上移动2个单位得到．
【自主解答】
从图象可以看出y＝2＋的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
函数图象的平移变换
(1)左右平移：a＞0时，y＝f
(x)的图象向左平移a个单位得到y＝f
(x＋a)的图象；a＞0时y＝f
(x)的图象向右平移a个单位得到y＝f
(x－a)的图象．
(2)上下平移：b＞0时y＝f
(x)的图象向上平移b个单位得到y＝f
(x)＋b的图象；b＞0时y＝f
(x)的图象向下平移b个单位得到y＝f
(x)－b的图象．
[再练一题]
3．已知函数y＝，将其图象向左平移a(a>0)个单位，再向下平移b(b>0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为________．
【解析】 y＝y＝y＝－b过(0,0)，故－b＝0，∴1－ab＝0，∴ab＝1.
【答案】 1
1．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f
中，能构成从A到B的函数的是________．(填序号)
【解析】 (1)中有一部分x值没有与之对应的y值；(2)中出现“一对多”的关系，不是函数关系；(3)中当x＝1时对应两个不同的y值，不构成函数；(4)中对应关系符合函数定义．
【答案】 (4)
图2 1 3
2．函数y＝f
(x)的图象如图2 1 3所示．填空：
(1)f
(0)＝________；
(2)f
(－1)＝________；
(3)f
(－3)＝________；
(4)f
(－2)＝________；
(5)f
(2)＝________；
(6)f
(4)＝________；
(7)若2(x1)与f
(x2)的大小关系是________．
【解析】 由图象知f
(0)＝4，f
(－1)＝5，f
(－3)＝0，f
(－2)＝3，f
(2)＝2，f
(4)＝6，当2(x1)≤f
(x2)．
【答案】 (1)4 (2)5 (3)0 (4)3 (5)2 (6)6
(7)f
(x1)≤f
(x2)
3．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的是________．(填序号)
【解析】 y＝－|x|，当x＝2时，y＝－2，当x＝－2时，y＝－2.故选②.
【答案】 ②
4．一次函数y＝3x＋1，x∈N
且3≤x≤6的图象上有________个孤立的点．
【解析】 当x∈[3,6]，且x∈N
时，x的取值为3,4，
5,6，共有4个孤立点．
【答案】 4
5．作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0).
【解】 (1)用描点法可以作出y＝x2＋x(－1≤x≤1)的图象，如图所示．
易知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的图象，如图所示．
易知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．2.2.2 函数的奇偶性
1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．
2．会判断函数的奇偶性．(重点)
3．掌握函数奇偶性的运用．(难点)
[基础·初探]
教材整理 函数奇偶性的概念
阅读教材P41～P43，完成下列问题．
1．偶函数
一般地，设函数y＝f
(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f
(－x)＝f
(x)，那么称函数y＝f
(x)是偶函数．
2．奇函数
一般地，设函数y＝f
(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f
(－x)＝－f
(x)，那么称函数y＝f
(x)是奇函数．
3．奇偶性
如果函数f
(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f
(x)具有奇偶性．
4．奇、偶函数的图象性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．
1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)函数f
(x)＝x的图象关于(0,0)对称．( )
(2)偶函数的图象一定与y轴相交．( )
(3)若对函数f
(x)有f
(－1)＝f
(1)，则f
(x)为偶函数．( )
(4)奇函数的图象一定过(0,0)．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．若f
(x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝________.
【解析】 易知a－2＋5＝0，∴a＝－3.
【答案】 －3
[小组合作型]
函数奇偶性的判断
(1)若函数f
(x)的图象如图2 2 5，则f
(x)为________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)
图2 2 5
(2)判断下列函数的奇偶性．
①f
(x)＝；
②f
(x)＝＋；
③f
(x)＝＋.
【精彩点拨】 (1)观察图象的对称性．
(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f
(x)与f
(－x)的关系．
【自主解答】 (1)因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．
【答案】 偶
(2)①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f
(－x)＝＝＝f
(x)，所以函数f
(x)是偶函数．
②定义域要求
所以－1≤x＜1，
所以f
(x)的定义域不关于原点对称，
所以f
(x)是非奇非偶函数．
③由得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f
(±2)＝0，
所以f
(x)既是奇函数又是偶函数．
判断函数奇偶性的方法
1．定义法
2．图象法
若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于填空题中．
[再练一题]
1．判断下列各函数的奇偶性．
(1)f
(x)＝(x－2)；
(2)f
(x)＝
【解】 (1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f
(x)为非奇非偶函数．
(2)当x<－1时，f
(x)＝x＋2，－x>1，
∴f
(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f
(x)；
当x>1时，f
(x)＝－x＋2，－x<－1，
f
(－x)＝－x＋2＝f
(x)；
当－1≤x≤1时，f
(x)＝0，－1≤－x≤1，f
(－x)＝0＝f
(x)．
∴对定义域内的每个x都有f
(－x)＝f
(x)，因此f
(x)是偶函数．
已知函数奇偶性求解析式
(1)已知f
(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f
(x)＝－x(1＋x)，求f
(x)；
(2)若函数f
(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值.
【精彩点拨】 (1)已知x<0时的解析式，用奇偶性求x>0的解析式，应通过(－x)进行过渡，但别忽视x＝0的情况；(2)应用偶函数满足f
(－x)＝f
(x)．
【自主解答】 (1)∵f
(x)为R上的奇函数，
∴f
(－0)＝－f
(0)，
∴f
(0)＝0.
当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
∴f
(－x)＝x(1－x)．
∵f
(x)为R上的奇函数，
∴－f
(x)＝x(1－x)，
∴f
(x)＝－x(1－x)．
综上可知，f
(x)＝
(2)∵f
(x)为偶函数，
∴f
(－x)＝f
(x)，
即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，
∴2(m－1)x＝0.∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1.
1．本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f
(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f
(0)＝0.
2．利用奇偶性求解析式的思路
(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；
(2)利用已知区间的解析式进行代入；
(3)利用f
(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．
[再练一题]
2．(1)已知函数f
(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f
(x)＝x2－3x，则函数f
(x)在R上的解析式是________．(填序号)
①f
(x)＝－x(x－3)；②f
(x)＝x(|x|－3)；③f
(x)＝|x|(x－3)；④f
(x)＝|x|(|x|－3)．
(2)已知函数f
(x)为奇函数，且当x>0时，f
(x)＝2x2＋，则f
(－1)＝________.
【解析】 (1)∵f
(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f
(x)＝x2－3x，
∴当x<0时，－x>0，f
(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x，则f
(x)＝f
(－x)＝x2＋3x＝－x(－x－3)．
又当x≥0时，f
(x)＝x2－3x＝x(x－3)，因此f
(x)＝|x|(|x|－3)．
(2)法一：当x<0时，－x>0，
f
(x)＝－f
(－x)＝－[2(－x)2＋]＝－2x2＋，
∴f
(－1)＝－2(－1)2＋＝－3.
法二：f
(－1)＝－f
(1)＝－(2×12＋1)＝－3.
【答案】 (1)④ (2)－3
[探究共研型]
奇偶函数的单调性
探究1 观察图2 2 6中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？
图2 2 6
【提示】 两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．
探究2 能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f
(x)在[a，b](a>0)上递增”为例)
【提示】 已知f
(x)是奇函数，在区间[a，b](a>0)上是单调递增的．证明f
(x)在区间[－b，－a]上也单调递增．
证明：任取x1，x2∈[－b，－a]且x1则f
(x1)－f
(x2)＝－f
(－x1)－[－f
(－x2)]＝f
(－x2)－f
(－x1)，
∵－b≤x1由f
(x)在[a，b]上单调递增，∴f
(－x2)(－x1)，
∴f
(－x2)－f
(－x1)<0，即f
(x1)(x2)，
∴f
(x)在区间[－b，－a]上单调递增．
探究3 从图2 2 7两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？
图2 2 7
【提示】 偶函数的图象在对称区间上单调性相反．
已知函数f
(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f
(a－2)＋f
(3－2a)<0，试求a的取值范围．
【精彩点拨】 可将f
(a－2)＋f
(3－2a)<0移项得f
(a－2)<－f
(3－2a)，根据奇偶性和单调性转化为研究a－2与2a－3的大小关系，注意定义域．
【自主解答】 ∵f
(a－2)＋f
(3－2a)<0，∴f
(a－2)<－f
(3－2a)．
∵f
(x)为奇函数，∴－f
(3－2a)＝f
(2a－3)，∴f
(a－2)(2a－3)．
∵f
(x)在[0,1)上为增函数，∴f
(x)在(－1,1)上单调递增，
∴解得11．函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f
(x)是奇函数，且f
(x)在[a，b]上是单调函数，则f
(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f
(x)是偶函数，且f
(x)在[a，b]上是单调函数，则f
(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f
(x1)＞f
(x2)或f
(x1)＜f
(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f
”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
[再练一题]
3．已知定义在[－2,2]上的函数f
(x)是偶函数，在[0,2]上单调递增，则满足不等式f
(2a－1)>f
(1)的a的取值范围是________．
【解析】 由f
(x)为偶函数，得f
(2a－1)＝f
(|2a－1|)，
又f
(x)在[0,2]上单调递增，且f
(|2a－1|)>f
(1)，
∴|2a－1|>1，
故∴1【答案】 ∪
1．下列函数为奇函数的是________．(填序号)
(1)y＝x；(2)y＝2x2－3；(3)y＝；(4)y＝x3，x∈[0,1]．
【解析】 (1)中函数是奇函数；(2)中函数是偶函数；(3)(4)中函数是非奇非偶函数．
【答案】 (1)
2．已知函数f
(x)＝＋3，则f
(x)的奇偶性为________．
【解析】 要使函数有意义，需满足x2－2≥0,2－x2≥0，∴x＝±，此时y＝0，因此函数图象为点，既关于原点对称又关于y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数．
【答案】 既是奇函数又是偶函数
3．已知f
(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f
(－2)＝2，则f
(2)的值等于________．
【解析】 f
(－2)＝2，∴－8a－2b－4＝2，∴8a＋2b＝－6，∴f
(2)＝8a＋2b－4＝－10.
【答案】 －10
4．设f
(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x≥0时，f
(x)＝x3＋1，则当x<0时，f
(x)＝________.
【解析】 当x<0时，－x>0，
∴f
(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，∵f
(－x)＝f
(x)，∴f
(x)＝－x3＋1.
【答案】 －x3＋1
5．已知定义在[－2,2]上的奇函数f
(x)在[0,2]上单调递增，f
(m)＋f
(m－1)>0，求实数m的取值范围．
【解】 ∵f
(x)是奇函数，在[0,2]上单调递增，
∴f
(x)在[－2,2]上都递增．
由f
(m)＋f
(m－1)>0，∴f
(m)>－f
(m－1)＝f
(1－m)，
由f
(x)的单调性知1－m∴ ∴m的取值范围为.2.3 映射的概念
1．了解映射的概念及表示方法．(重点)
2．会判断一个对应是否为映射．(难点)
[基础·初探]
教材整理 映射的概念
阅读教材P46至P47“思考”，完成下列问题．
1．映射
一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f
，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记为f
：A→B.
2．映射与函数的关系
由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A，B为两个非空数集．
1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)若f
是集合A到集合B的一个映射，则A中每个元素在B中都有象，且象是唯一的．( )
(2)映射不一定是函数，但函数一定是映射．( )
(3)映射无方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是相同的．( )
(4)已知f
是A到B的一个映射，其中A中含2个元素，B中含3个元素，则这样的映射共有8个．( )
【解析】 (1)符合映射的定义，正确．
(2)函数是特殊的映射，正确．
(3)映射有方向性，从A到B的映射与从B到A建立的映射不同．
(4)从A到B可以建立32＝9个映射．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．下图给出的四个对应中是从A到B的映射的是________．(填序号)
【解析】 ①不是映射，因为元素2在B中没有元素与之对应；
②是映射，满足单值对应；
③不是映射，因为元素3在B中有两个元素与之对应；
④是映射，满足单值对应．
【答案】 ②④
[小组合作型]
映射的判定
(1)在如图所示的对应中是A到B的映射的是________．(填序号)
(2)在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？
①A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}，对应法则f
：“加1”；
②A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f
：“求平方根”；
③A＝N，B＝N，对应法则f
：“3倍”；
④A＝R，B＝{正实数}，对应法则f
：“求平方的倒数”；
⑤A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应法则f
：A中的元素对应它的内接矩形．
【精彩点拨】 紧扣映射的定义进行判断，看A中元素是否均有对应元素且对应形式是多对一或一对一．
【自主解答】 (1)结合映射的定义，对于①②，集合A的元素在集合B中有的有两个元素与之对应，因而构不成映射，而③，④符合要求，能构成映射．
【答案】 ③④
(2)①集合A中的每一个元素通过关系f
作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然对应关系f
是A到B的映射．
②集合A中的每一个元素通过关系f
作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应关系f
不是A到B的映射．
③集合A中的每一个元素通过关系f
作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f
是从A到B的映射．
④当x＝0∈A时，无意义，故关系f
不是从A到B的映射．
⑤一个圆可以有多个内接矩形，故f
不是从A到B的映射．
1．判断f
：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：
(1)明确集合A，B中的元素；
(2)判断A中的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．
2．映射须满足：A中元素不剩且一对一或多对一．
3．若对应f
：A→B不是映射，只需举一个反例，说明A中的元素在B中无对应元素或A中的元素在B中有两个或两个以上的对应元素即可．
[再练一题]
1．判断下列对应是否是映射，是否是函数．
(1)A＝N，B＝N
，f
：x→|x－1|，x∈A，y∈B；
(2)A＝R，B＝{1,2}，f
：x→y＝
(3)A＝{平面M内的三角形}，B＝{平面M内的圆}，对应法则是“作三角形的外接圆”．
【解】 (1)∵1∈A，在f
作用下，1→|1－1|＝0 B，
∴不是映射，故也不是函数．
(2)对于A中元素x≥0时与B中的元素1对应，而当x<0时与B中的元素2对应，因此能构成映射，又A，B均为数集，因此也能构成函数．
(3)由于平面内的三角形都有其外接圆，且外接圆唯一，因此能构成从A到B的映射，但由于A，B都不是数集，因此不能构成函数．
映射概念的应用
给定从集合A到集合B的映射f
：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，集合A，B都是平面直角坐标系内点的集合，则在该映射f
下，对应到集合B中元素(3,1)的A中的元素是________，若(3,1)在A中，则(3,1)对应的B中元素为________.
【精彩点拨】 分清(3,1)在A中还是在B中．若(3,1)在A中，则直接代入对应法则．若(3,1)在B中，则可以采用方程(组)思想求解．
【自主解答】 令 ∴B中元素(3,1)对应A中元素(1,1)．
令x＝3，y＝1，则x＋2y＝5,2x－y＝5，
∴A中元素(3,1)对应B中元素(5,5)．
【答案】 (1,1) (5,5)
求对应元素的一般思路
若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应法则f
求解即可；若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时需构造方程(组)进行求解即可，这时需注意解得的结果可能有多个．
[再练一题]
2．在映射f
：A→B中，A＝R，B＝R，且f
：x→|2x＋3|，则与B中的元素5对应的A中的元素为________，A中元素2对应的B中元素为________．
【解析】 令|2x＋3|＝5，∴2x＋3＝±5，∴x＝1或－4.
当x＝2时，|2x＋3|＝7.
【答案】 1或－4 7
[探究共研型]
映射的个数
探究1 若A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1}，则从A到B可以建立多少个映射？试写出来．
【提示】
共1个映射．
探究2 若A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2}，则从A到B可以建立多少个映射？试写出来．
【提示】
共8个．
探究3 若A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，则从A到B可以建立多少个映射？试写出来．
【提示】
共9个．
探究4 从以上三个探究中，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A到B可以建立的映射有多少个？
【提示】 从前三个探究看，A中元素个数分别为3,3,2，B中元素个数分别为1,2,3，则从A到B建立的映射个数为1,8,9，∵1＝13,8＝23,9＝32，故从A到B建立的映射个数为nm.
已知集合A＝{a，b，c}，B＝{2,3,4}，映射f
：A→B满足A中元素a在B中对应的元素为4，则这样的映射有________个．
【精彩点拨】 可将问题转化为集合{b，c}向集合B建立映射的个数．
【自主解答】 因为A中的元素a对应B中的元素4已经确定，故所有从A到B建立的映射便与集合{b，c}到B＝{2,3,4}建立的映射个数相同，共有32＝9个．
【答案】 9
1．设集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N共可建立nm个不同映射；从N到M共可建立mn个不同映射．
2．对于有限定条件的映射个数问题，常采用列举法求解，当然也可以在已考虑已知限制条件的情况下，将问题转化为无约束条件的第1类问题．
[再练一题]
3．设M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，
(1)求从M到N的映射个数；
(2)从M到N的映射满足f
(a)>f
(b)≥f
(c)，试确定这样的映射f
的个数．
【解】 (1)M中元素a可以对应N中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M中元素b，c也各有3种对应方法．因此从M到N的映射个数为3×3×3＝27.
(2)满足f
(a)>f
(b)≥f
(c)的映射是从M到N的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表)：
f
(a)
f
(b)
f
(c)
0
－2
－2
2
－2
－2
2
0
－2
2
0
0
故符合条件的映射有4个.
1．设f
：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是________．(填序号)
①A中的每一个元素在B中必有元素与之对应；
②B中每一个元素在A中必有元素与之对应；
③A中的一个元素在B中可以有多个元素与之对应；
④A中不同元素在B中对应的元素可能相同．
【解析】 根据映射的定义，只有①④符合．
【答案】 ①④
2．以下四个对应：
(1)A＝N＋，B＝N＋，f
：x→|x－3|；(2)A＝Z，B＝Q，f
：x→；(3)A＝N＋，B＝R，f
：x→x的平方根；(4)A＝N，B＝{－1,1,2，－2}，f
：x→(－1)x.
其中能构成从A到B映射的为________．(填序号)
【解析】 (1)当x＝3时，|x－3|＝0 N＋，所以(1)不能构成从A到B的映射；(2)当x＝0时，不存在，即在B中不存在与0对应的项，所以(2)不能构成从A到B的映射；(3)当x＝4时，x的平方根为±2，即集合A的元素4，在集合B中有两个元素和它对应，所以(3)不能构成从A到B的映射；(4)当x为偶数时，(－1)x＝1∈B；当x为奇数时，(－1)x＝－1∈B，所以(4)能构成从A到B的映射．
【答案】 (4)
3．已知集合A到B的映射f
：x→y＝2x＋1，那么集合A中元素2在B中对应的元素是________．
【解析】 将x＝2代入y＝2x＋1，得y＝5.
【答案】 5
4．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为________．
【解析】 从A到B的不同映射的个数为23＝8个．
【答案】 8
5．集合A，B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A→B的映射f
：(x，y)→(x2＋y2，xy)，求B中的元素(5,2)所对应A中的元素.
【解】 依题可得
①＋2×②，得(x＋y)2＝9，∴x＋y＝±3.
于是，原方程组可化为如下的两个方程组：
或
解得
∴B中的元素(5,2)对应A中的元素是(1,2)，(2,1)，(－1，－2)，(－2，－1)．第2课时 函数的最大值、最小值
1．理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点)
2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 函数的最大值、最小值
阅读教材P38例2至P40例5，完成下列问题．
1．函数的最大值
一般地，设y＝f
(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f
(x)≤f
(x0)，那么称f
(x0)为y＝f
(x)的最大值，记为ymax＝f
(x0)．
2．函数的最小值
一般地，设y＝f
(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f
(x)≥f
(x0)，那么称f
(x0)为y＝f
(x)的最小值，记为ymin＝f
(x0)．
(1)若函数y＝f
(x)在区间[a，b]上单调递增，则f
(x)的最大值为________，最小值为________．
(2)若函数y＝f
(x)在区间[a，b]上单调递减，则f
(x)的最大值为________，最小值为________．
(3)已知函数y＝f
(x)的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f
(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时，f
(x)是单调减函数，则f
(x)在x＝c时取得________．
(4)已知函数y＝f
(x)的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f
(x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f
(x)是单调增函数，则f
(x)在________时取得最小值．
【答案】 (1)f
(b) f
(a) (2)f
(a) f
(b) (3)最大值 (4)x＝c
[小组合作型]
利用图象求函数的最值
求函数y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值．
【精彩点拨】 先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．
【自主解答】 原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝图象如图．
故函数的最小值为3，最大值为7.
用图象法求最值的一般步骤
[再练一题]
1．(1)函数f
(x)在[－2,2]上的图象如图2 2 3所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．
图2 2 3
(2)已知函数f
(x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________.
(3)函数f
(x)＝的最大值是________．
【解析】 (1)f
(x)max＝2，f
(x)min＝－1.
(2)f
(x)＝在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f
(1)＝2，B＝f
(2)＝1，∴A－B＝1.
(3)作出f
(x)的图象如图所示，∴f
(x)max＝3.
【答案】 (1)2 －1 (2)1 (3)3
利用单调性求函数的最值
已知函数f
(x)＝.
(1)用函数单调性定义证明f
(x)＝在(1，＋∞)上是单调减函数；
(2)求函数f
(x)＝在区间[3,4]上的最大值与最小值．
【精彩点拨】 (1)利用单调性的定义证明．
(2)利用(1)的结论求最值．
【自主解答】 (1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1则f
(x1)－f
(x2)＝－＝，因为1所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f
(x1)－f
(x2)>0，即f
(x1)>f
(x2)．
故函数f
(x)＝在(1，＋∞)上为单调递减函数．
(2)由上述(1)可知，函数f
(x)＝在[3,4]上为单调递减函数，
所以在x＝3时，函数f
(x)＝取得最大值；
在x＝4时，函数f
(x)＝取得最小值.
1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．
2．函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f
(x)在[a，b]上的最大值为f
(a)，最小值为f
(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f
(x)在[a，b]上的最大值为f
(b)，最小值为f
(a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．
[再练一题]
2．求函数f
(x)＝在[－4，－3]上的最值．
【解】 任取x1，x2∈[－4，－3]且x1则f
(x1)－f
(x2)＝－＝.
∵x1，x2∈[－4，－3]，∴x1－1<0，x2－1<0.
又x10，
∴f
(x1)－f
(x2)>0，∴f
(x1)>f
(x2)，
∴f
(x)在[－4，－3]上单调递减，
∴f
(x)max＝f
(－4)＝，
f
(x)min＝f
(－3)＝，
∴f
(x)在[－4，－3]上最大值为，最小值为.
[探究共研型]
二次函数求值域
探究1 如图2 2 4是函数f
(x)＝(x－1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，和[0,3]时，f
(x)的单调性．
图2 2 4
【提示】 f
(x)在[－1,0]上单调递减；
在上单调递增；
在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．
探究2 结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f
(x)的最值．
【提示】 结合图象的单调性，可得
x∈[－1,0]时，f
(x)max＝f
(－1)＝3，f
(x)min＝f
(0)＝0.
x∈时，f
(x)max＝f
(3)＝3，f
(x)min＝f
＝－.
x∈[0,3]时，f
(x)max＝f
(3)＝3，f
(x)min＝f
(1)＝－1.
探究3 通过探究2，分析函数f
(x)取最值时的x与对称轴的距离有什么关系？
【提示】 通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．
求函数f
(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值g(a)和最小值φ(a)．
【精彩点拨】 f
(x)的对称轴是x＝a，a是运动变化的，故求最值时，应该讨论a与区间[0,2]的关系，进而确定单调性和最值．
【自主解答】 f
(x)＝(x－a)2－a2－1，对称轴为x＝a.
①当a<0时，由图(1)可知，
f
(x)min＝f
(0)＝－1，
f
(x)max＝f
(2)＝3－4a.
②当0≤a<1时，由图(2)可知，
f
(x)min＝f
(a)＝－1－a2，
f
(x)max＝f
(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，
由图(3)可知，f
(x)min＝f
(a)＝－1－a2，f
(x)max＝f
(0)＝－1.
④当a>2时，由图(4)可知，
f
(x)min＝f
(2)＝3－4a，
f
(x)max＝f
(0)＝－1.
综上可知，最大值g(a)＝
最小值φ(a)＝
二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f
(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
[再练一题]
3．(1)函数y＝f
(x)＝x－的最小值为________．
(2)已知函数f
(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f
(x)的最值.
【解析】 (1)令＝t≥0，∴x＝，
∴y＝－t＝(t－1)2－1，t≥0，
∵对称轴t＝1∈[0，＋∞)，
∴ymin＝y(1)＝－1，
∴f
(x)的最小值为－1.
【答案】 －1
(2)【解】 ∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2，即t≤－1时，
f
(x)max＝f
(t)＝t2－2t－3，
f
(x)min＝f
(t＋2)＝t2＋2t－3.
②当≤1f
(x)max＝f
(t)＝t2－2t－3，
f
(x)min＝f
(1)＝－4.
③当t≤1<，即0f
(x)max＝f
(t＋2)＝t2＋2t－3，
f
(x)min＝f
(1)＝－4.
④当1f
(x)max＝f
(t＋2)＝t2＋2t－3，
f
(x)min＝f
(t)＝t2－2t－3.
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝
φ(t)＝
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是________．
【解析】 ∵函数y＝－x＋1在区间上是减函数，
∴f
(x)max＝f
＝－＋1＝.
【答案】
2．函数f
(x)＝的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是________．
【解析】 函数f
(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上也是减函数，而x∈(－∞，1)∪[2,5)，
所以y∈(－∞，0)∪.
【答案】 (－∞，0)∪
3．f
(x)＝x2－2x＋4的单调减区间为________，值域为________．
【解析】 二次函数开口向上，定义域为R，对称轴是x＝1，所以函数的单调递减区间是(－∞，1]．由于其顶点纵坐标为3，所以值域为[3，＋∞)．
【答案】 (－∞，1] [3，＋∞)
4．函数y＝x2－2x－1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是________.
【解析】 ∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
∴当x＝1时，函数取最小值－2，当x＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0.
【答案】 0
5．已知函数f
(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f
(x)在[1,2]上的值域．
【解】 ∵f
(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，
∴函数f
(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝＝－2，即m＝－16.
又[1,2] [－2，＋∞)，且f
(x)在[－2，＋∞)上递增．
∴f
(x)在[1,2]上递增，
∴当x＝1时，f
(x)取得最小值f
(1)＝4－m＋1＝21；
当x＝2时，f
(x)取得最大值f
(2)＝16－2m＋1＝49.
∴f
(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．2.1.2 函数的表示方法
1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)
2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 函数的表示方法
阅读教材P33开头至例1，完成下列问题．
函数的表示方法
1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )
(3)有些函数能用三种方法来表示．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f
(x)．
【解】 列表法：
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
图象法：
教材整理2 分段函数
阅读教材P34例2，例3，完成下列问题．
1．在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
2．分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
3．分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．
若函数f
(x)＝则f
(x)的定义域为________，值域为________．
【解析】 定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}，
当x>0时，f
(x)>0，当x<0时，f
(x)>－1，∴值域为{y|y>－1}．
【答案】 {x|x≠0} {y|y>－1}
[小组合作型]
求函数解析式
求下列函数的解析式．
(1)已知f
(x)为一次函数，f
(2x＋1)＋f
(2x－1)＝－4x＋6，则f
(x)＝________.
(2)已知f
(＋1)＝x＋2，则f
(x)＝________.
(3)已知f
(x)为一次函数，且f
(f
(x))＝4x－1，则f
(x)＝________.
(4)设函数f
(x)＝若f
(－4)＝f
(0)，f
(－2)＝－2，则f
(x)的解析式为________．
(5)若f
＝x2＋，则f
(x)＝________.
【精彩点拨】 (1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x－看作一个整体来求解．
【自主解答】 (1)设f
(x)＝ax＋b(a≠0)，
f
(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，
f
(2x－1)＝a(2x－1)＋b，
f
(2x＋1)＋f
(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，
所以解得
即函数f
(x)的解析式为f
(x)＝－x＋3.
(2)法一 令＋1＝t(t≥1)，
则x＝(t－1)2，
∴f
(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1，
∴f
(x)＝x2－1(x≥1)．
法二 f
(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，
∴f
(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)设所求函数f
(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f
(f
(x))＝f
(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则
解得或
所以f
(x)＝2x－或f
(x)＝－2x＋1.
(4)由题意得解得
故f
(x)＝
(5)f
＝x2＋＝2＋4，
∴f
(x)＝x2＋4.
【答案】 (1)－x＋3 (2)x2－1(x≥1) (3)2x－或－2x＋1
(4)f
(x)＝ (5)x2＋4
求函数解析式的常用方法
1．待定系数法：已知函数f
(x)的函数类型，求f
(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．
2．换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f
(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f
(x)，一定要注意t的范围即为f
(x)中x的范围．
3．配凑法：已知f
(g(x))的解析式，要求f
(x)时，可从f
(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
4．代入法：已知y＝f
(x)的解析式求y＝f
(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f
(x)中的x.
[再练一题]
1．(1)已知f
(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f
(2)＝3，f
(1)＝3，则f
(x)＝________.
(2)若f
＝＋，则f
(x)＝________.
【解析】 (1)设f
(x)＝k1x＋，则
∴f
(x)＝x＋.
(2)令t＝(t≠1)，则x＝，∴f
(t)＝＋(t－1)＝t2－t＋1，
∴f
(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
【答案】 (1)x＋ (2)x2－x＋1(x≠1)
分段函数
已知函数f
(x)＝
(1)求f
(－5)，f
(－)，f
的值；
(2)若f
(a)＝3，求实数a的值；
(3)作出f
(x)的图象，并求值域．
【精彩点拨】 (1)先分析－5，－，－在哪一段上，再分别求值．
(2)函数值为3的a，应逐段分析讨论．
(3)逐段作出图象并观察值域．
【自主解答】 (1)f
(－5)＝－5＋1＝－4，f
(－)＝(－)2－2(－)＝3＋2.
f
＝f
＝f
＝f
＝f
＝2·－1＝.
(2)当a≤－2时，f
(a)＝a＋1,
当a＋1＝3时，则a＝2(舍去)，
当－2(a)＝a2－2a＝3，∴a＝－1或a＝3(舍)，∴a＝－1.
当a≥2时，f
(a)＝2a－1＝3，∴a＝2.
综上a＝－1或2.
(3)由图可得f
(x)的值域为R.
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．
求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．
[再练一题]
2．例2中求f
(x)与直线y＝b的交点个数．
【解】 当b<－1时，y＝b与y＝f
(x)有一个交点；
当－1≤b<0时，y＝b与y＝f
(x)有两个交点；
当0≤b<3时，y＝b与y＝f
(x)有一个交点；
当3≤b<8时，y＝b与y＝f
(x)有两个交点；
当b≥8时，y＝b与y＝f
(x)有一个交点．
[探究共研型]
方程组法求解析式
探究1 解二元一次方程组的主导思想是什么？
【提示】 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．
探究2 解方程组：
【提示】 法一(代入消元法)：由②得A＝B＋6，代入①得B＋6＋B＝4，∴B＝－1，代入A＝B＋6，得A＝5，∴A＝5，B＝－1.
法二(加减消元法)：①＋②得2A＝10，∴A＝5，
①－②得2B＝－2，∴B＝－1.
探究3 探究2中，每个等式右边如果是代数式，如能求A，B吗？
【提示】 能求A，B.仍可以采用上述两种方法．
两式相加得2A＝x2＋4x，∴A＝，
两式相减得2B＝x2－4x，∴B＝.
求解析式，
(1)已知f
(x)＋2f
(－x)＝，求f
(x)；
(2)已知2f
(x)＋f
＝3x，求f
(x)．
【精彩点拨】 将f
(x)与f
(－x)，f
(x)与f
分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f
(x)．
【自主解答】 (1)∵f
(x)＋2f
(－x)＝，①
用－x替换x得f
(－x)＋2f
(x)＝－，②
②×2－①得3f
(x)＝－－＝－，∴f
(x)＝－.
(2)∵2f
(x)＋f
＝3x，用替换x得2f
＋f
(x)＝，
消去f
得3f
(x)＝6x－，∴f
(x)＝2x－.
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f
(－x)，f
(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可．
[再练一题]
3．已知f
(x)满足f
(x)＝2f
＋x，则f
(x)的解析式为________.
【解析】 用替换x得f
＝2f
(x)＋，
代入上式得f
(x)＝2＋x，
解得f
(x)＝－－.
【答案】 f
(x)＝－－
1．已知函数f
(3x＋1)＝x2＋3x＋2，则f
(10)＝________.
【解析】 令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f
(10)＝32＋3×3＋2＝20.
【答案】 20
2．已知f
(x)是一次函数，2f
(2)－3f
(1)＝5,2f
(0)－f
(－1)＝1，则f
(x)＝________.
【解析】 设f
(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f
(2)－3f
(1)＝5,2f
(0)－f
(－1)＝1，
∴∴
∴f
(x)＝3x－2.
【答案】 3x－2
3．已知f
(x)＝则f
(
f
(－3))等于________．
【解析】 由分段函数式可知f
(f
(－3))＝f
(0)＝π.
【答案】 π
4．已知x≠0时，函数f
(x)满足f
＝x2＋，则f
(x)的表达式为____________．
【解析】 ∵f
＝x2＋＝2＋2，
∴f
(x)＝x2＋2(x≠0)．
【答案】 f
(x)＝x2＋2(x≠0)
5．已知函数f
(x)＝
(1)求f
(2)，f
(f
(2))的值；
(2)若f
(x0)＝8，求x0的值.
【解】 (1)∵0≤x≤2时，f
(x)＝x2－4，∴f
(2)＝22－4＝0，
f
(f
(2))＝f
(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，
由x－4＝8，
得x0＝±2(舍去)；
当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.2．1.1 第1课时 函数的概念
1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)
2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 函数的定义
阅读教材P23至P25“例1”，完成下列问题．
1．函数的定义
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f
，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f
(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f
(x)的定义域．
2．函数的三要素指函数的定义域、对应关系和值域．
判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )
(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数．( )
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 函数的定义域
阅读教材P25“例2”，完成下列问题．
1．定义域的意义
定义域实质上是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．
2．求定义域的常用方法
已知函数y＝f
(x)，
(1)若f
(x)为整式，则定义域为R；
(2)若f
(x)为分式，则定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)若f
(x)是偶次根式，那么函数的定义域是被开方数不小于零的实数的集合；
(4)若f
(x)是x0的形式，则f
(x)的定义域为{x|x≠0}；
(5)若f
(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子均有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(6)若f
(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
(1)函数f
(x)＝的定义域为________．
(2)函数f
(x)＝的定义域为________．
(3)函数f
(x)＝(x∈N)的定义域为________．
【解析】 (1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．
(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．
(3) ∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，
即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
【答案】 (1){x|x≥10} (2){x|x>2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
教材整理3 函数的值域
阅读教材P25例2后一段～例3，完成下列问题．
若A是函数y＝f
(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
1．若f
(x)＝x2－3x＋2，则f
(1)＝________.
【解析】 f
(1)＝12－3×1＋2＝0.
【答案】 0
2．若f
(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f
(x)的值域为________．
【解析】 f
(0)＝－3，f
(1)＝－2，f
(2)＝－1，f
(3)＝0.
【答案】 {－3，－2，－1,0}|
[小组合作型]
函数的概念
判断下列对应f
是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；
(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f
(1)＝f
(2)＝3，f
(3)＝4；
(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.
【精彩点拨】 求解本题的关键是判断在对应法则f
的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
【自主解答】 (1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应法则f
之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A中的元素x＝2，在f
作用下，|2－2| B，故不能构成函数．
(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故(3)不能构成函数．
(4)依题意，f
(1)＝f
(2)＝3，f
(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f
之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．
(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
[再练一题]
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)
①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；
②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图2 1 1；
图2 1 1
③A＝R，B＝R，f
：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f
：x→y＝.
【解析】 对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．
【答案】 ②
求函数的定义域
求下列函数的定义域．
(1)f
(x)＝；
(2)f
(x)＝＋；
(3)f
(x)＝＋x0＋；
(4)f
(x)＝.
【精彩点拨】 根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．
【自主解答】 (1)要使f
(x)有意义，则有3x－2>0，
∴x>，
即f
(x)的定义域为.
(2)要使f
(x)有意义，则 x≥－1且x≠2，
即f
(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
(3)要使f
(x)有意义，则 x≥－4且x≠0，－2，
即f
(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．
(4)要使f
(x)有意义，则x＋1≠0，∴x≠－1，
即f
(x)的定义域为{x|x≠－1}．
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
[再练一题]
2．求下列函数的定义域．
(1)f
(x)＝＋；(2)f
(x)＝＋且
x∈Z.
【解】 (1)要使函数有意义，只需所以x＜且x≠0，所以函数的定义域为.
(2)要使函数有意义，只需所以－1≤x≤3.
又x∈Z，所以x＝－1,0,1,2,3.
所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}．
求函数的值域或函数值
已知f
(x)＝x2－4x＋2.
(1)求f
(2)，f
(a)，f
(a＋1)的值；
(2)求f
(x)的值域；
(3)若g(x)＝x＋1，求f
(g(3))的值．
【精彩点拨】 (1)将x＝2，a，a＋1代入f
(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f
[g(3)]．
【自主解答】 (1)f
(2)＝22－4×2＋2＝－2，
f
(a)＝a2－4a＋2，
f
(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.
(2)f
(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，
∴f
(x)的值域为[－2，＋∞)．
(3)g(3)＝3＋1＝4，
∴f
(g(3))＝f
(4)＝42－4×4＋2＝2.
1．函数值f
(a)就是a在对应法则f
下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f
(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
2．求f
(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
[再练一题]
3．上例(3)中，g(x)＝x＋1，求f
(g(x))，g(f
(x))．
【解】 f
(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，
g(f
(x))＝f
(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3.
[探究共研型]
抽象函数求定义域
探究1 在y＝f
(x)中，f
(x)的定义域指的是什么？x是什么？
【提示】 f
(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．
探究2 在函数y＝f
(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？
【提示】 y＝f
(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．
探究3 如何将函数y＝f
(x)与y＝f
(x＋1)中的自变量联系起来？
【提示】 由于x，x＋1均为f
的作用对象，故二者均应在f
(x)定义域之中，即y＝f
(x)中x的范围与y＝f
(x＋1)中x＋1的范围一致．
(1)已知函数y＝f
(x)的定义域为[1,4]，则f
(x＋2)的定义域为________．
(2)已知函数y＝f
(x＋2)的定义域为[1,4]，则f
(x)的定义域为________．
(3)已知函数y＝f
(x＋3)的定义域为[1,4]，则f
(2x)的定义域为________．
【精彩点拨】 找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．
【自主解答】 (1)由题知对于f
(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，
故f
(x＋2)的定义域为[－1,2]．
(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f
(x)的定义域是[3,6]．
(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f
(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈，
即f
(2x)的定义域为.
【答案】 (1)[－1,2] (2)[3,6] (3)
抽象函数的定义域
1．已知f
(x)的定义域，求f
(g(x))的定义域：若f
(x)的定义域为[a，b]，则f
(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f
(g(x))的定义域．
2．已知f
(g(x))的定义域，求f
(x)的定义域：若f
(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f
(x)的定义域．
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：
(1)定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么)
(2)括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)
[再练一题]
4．已知函数y＝f
(x－1)的定义域为[－3,2]，则f
(x＋1)的定义域为________.
【解析】 对于y＝f
(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4,1]，∴在f
(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．
【答案】 [－5,0]
1．下列图象表示函数图象的是________．(填序号)
【解析】 根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案(3)中图象符合．
【答案】 (3)
2．函数y＝＋的定义域是________．
【解析】 要使函数有意义，需满足解不等式得定义域为{x|x≥－1且x≠2}．
【答案】 {x|x≥－1且x≠2}
3．已知函数y＝f
(x)的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f
(x)的图象与直线x＝2的交点个数为________．
【解析】 在函数定义域内，任意实数x对应唯一实数y，所以直线x＝2与函数图象交点为1个．
【答案】 1
4．下列四组函数中，表示相等函数的一组是________．(填序号)
(1)f
(x)＝|x|，g(x)＝；(2)f
(x)＝，g(x)＝()2；
(3)f
(x)＝，g(x)＝x＋1；(4)f
(x)＝·，g(x)＝.
【解析】 (1)中定义域，对应关系都相同，是同一函数；(2)中定义域不同；(3)中定义域不同；(4)中定义域不同．
【答案】 (1)
5．求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝.
【解】 (1)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．