2.2.1
第1课时
函数的单调性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．如图2 2 2是定义在闭区间[－5,5]上的函数y＝f
(x)的图象，根据图象，y＝f
(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
图2 2 2
【解析】 增区间为(－2,1)，(3,5)，减区间为(－5，－2)，(1,3)．
【答案】 (－2,1)，(3,5) (－5，－2)，(1,3)
2．定义在R上的函数f
(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有________．(填序号)
①函数f
(x)先增后减；
②函数f
(x)先减后增；
③函数f
(x)是R上的增函数；
④函数f
(x)是R上的减函数．
【解析】 由＞0知，当a＞b时，f
(a)＞f
(b)；当a＜b时，f
(a)＜f
(b)，所以函数f
(x)是R上的增函数．
【答案】 ③
3．函数f
(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f
(x)|<2的自变量x的取值范围是________．
【解析】 由题意可知：当x∈(－3,1)时，－2
(x)<2，即|f
(x)|<2.
【答案】 (－3,1)
4．函数f
(x)＝|x|与g(x)＝x(2－x)的递增区间依次为________．
【解析】 f
(x)＝|x|＝因此递增区间为[0，＋∞)，函数g(x)＝x(2－x)为二次函数，开口向下，对称轴为x＝1，因此递增区间为(－∞，1]．
【答案】 [0，＋∞)，(－∞，1]
5．函数f
(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
【解析】 函数f
(x)＝x2－2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，a－1]．要使函数在区间(－∞，4]上是减函数，需有(－∞，4] (－∞，a－1]，所以a－1≥4，所以a≥5.
【答案】 [5，＋∞)
6．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是________．(填序号)
【解析】 因为函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，所以：
①当a＝0，y＝2ax＋b的图象可能是(1)；②当a＞0时，－≥0 b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是(3)；③当a＜0时，－≤0 b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是(4)．故y＝2ax＋b的图象不可能是(2)．
【答案】 (2)
7．已知f
(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f
(x－3)＜f
(2－x)，则x的取值范围是________．
【解析】 由题意，得
解得1≤x＜，故满足条件的x的取值范围是1≤x＜.
【答案】
8．若f
(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________.
【解析】 f
(x)＝＝＝a＋在区间(－2，＋∞)上是增函数，结合反比例函数性质可知1－2a<0，∴a>，则a的取值范围是.
【答案】
二、解答题
9．已知函数f
(x)＝.
(1)求f
(x)的定义域；
(2)证明函数f
(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
【解】 (1)由题意知x＋1≠0，
即x≠－1.
所以f
(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f
(x)＝＝2－，
∴f
(x2)－f
(x1)＝－＝.
∵x10.
又∵x1，x2∈[1，＋∞)，
∴x2＋1>0，x1＋1>0.
∴f
(x2)－f
(x1)>0，
∴f
(x2)>f
(x1)．
∴函数f
(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
10．作出函数f
(x)＝＋的图象，并指出函数f
(x)的单调区间.
【解】 原函数可化为f
(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝
图象如图所示．
由图象知，函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．
其中单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋∞)．
[能力提升]
1．函数f
(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．
【解析】 f
(x)的对称轴为x＝m，要使f
(x)在[1,2]上单调，则m不能在区间[1,2]内部，∴m≥2或m≤1.
【答案】 (－∞，1]∪[2，＋∞)
2．已知函数y＝f
(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3,2)在其图象上，则不等式－2(x)<2的解集为________．
【解析】 ∵f
(－3)＝2，f
(0)＝－2，
∴f
(0)(x)(－3)，
∵f
(x)在R上是减函数，∴0>x>－3，
故解集为{x|－3【答案】 {x|－33．已知f
(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】 函数在(－∞，＋∞)上是增函数，需满足解不等式得a的取值范围是[1,6)．
【答案】 [1,6)
4．已知定义在R上的增函数f
(x)，满足f
(－x)＋f
(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f
(x1)＋f
(x2)＋f
(x3)的值________0.(填“大于”或“小于”)
【解析】 ∵f
(－x)＋f
(x)＝0，
∴f
(－x)＝－f
(x)．
又∵x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，
∴x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1.
∵f
(x)是定义在R上的增函数，
∴f
(x1)>f
(－x2)＝－f
(x2)，
f
(x2)>f
(－x3)＝－f
(x3)，
f
(x3)>f
(－x1)＝－f
(x1)，
∴f
(x1)＋f
(x2)＋f
(x3)>－f
(x2)－f
(x3)－f
(x1)．
∴f
(x1)＋f
(x2)＋f
(x3)>0.
【答案】 大于
5．讨论函数f
(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性.
【解】 f
(x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1则f
(x1)－f
(x2)＝－
＝(1－2a)，
∵－20，
又(x2＋2)(x1＋2)>0.
(1)若a<，则1－2a>0，
∴f
(x1)－f
(x2)>0，
即f
(x1)>f
(x2)，
则f
(x)在(－2，＋∞)上为减函数．
(2)若a>，则1－2a<0.
∴f
(x1)－f
(x2)<0，
即f
(x1)(x2)，
故f
(x)在(－2，＋∞)上为增函数．
综上，当a<时，f
(x)在(－2，＋∞)上为减函数；
当a>时，f
(x)在(－2，＋∞)上为增函数．1.2
第1课时
子集、真子集
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列命题中，正确的有________．(填序号)
①空集是任何集合的真子集；
②若AB，BC，则AC；
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
④ ＝{0}．
【解析】 空集是任意非空集合的真子集，空集只有一个子集即它本身．空集不含任何元素，{0}中有一个元素0.
【答案】 ②
2．集合U，S，T，F的关系如图1 2 1所示，下列关系错误的有________．(填序号)
图1 2 1
①SU；②FT；③ST；④SF；⑤SF；⑥FU.
【解析】 ①③⑥是正确的，②④⑤错误．
【答案】 ②④⑤
3．已知集合A＝{x|－1【解析】 因为AB，故a≥4.
【答案】 a≥4
4．已知集合A {0,1,4}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
【解析】 只含一个偶数的子集为{0}，{0,1}，{4}，{4,1}，含2个偶数的子集为{0,4}，{0,1,4}．
【答案】 6个
5．若A＝{x∈N|x＝－m2＋6，m∈N}，则集合A的真子集的个数是________.
【解析】 ∵m，x∈N，∴m＝0时，x＝6；m＝1时，x＝5；m＝2时，x＝2.故集合A＝{2,5,6}，故A的真子集有23－1＝7个．
【答案】 7
6．已知 {x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵ {x|x2－x＋a＝0}，
∴{x|x2－x＋a＝0}≠ ，
∴x2－x＋a＝0至少有一个根，则Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
【答案】 a≤
7．集合M＝{x|2a－1【解析】 ∵N M，∴ ≤a≤1.
【答案】
8．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
【解析】 y＝(x－1)2－2≥－2，∴N M.
【答案】 N M
二、解答题
9．设集合A＝{x|a－2(1)若AB，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使B A
【解】 (1)AB，则 0≤a≤1.
(2)要使B A，则 a∈ .
∴不存在a∈R，使B A.
10．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B A，求实数m的集合.
【解】 由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
∴集合A＝{1,3}．
(1)当B＝ 时，此时m＝0，满足B A.
(2)当B≠ 时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝.
∵B A，∴＝1或＝3，
解之得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}．
[能力提升]
1．已知A＝{0,1}，且B＝{x|x A}，则B＝________.
【解析】 A的子集为 ，{0}，{1}，{0,1}，故B＝{ ，{0}，{1}，{0,1}}．
【答案】 { ，{0}，{1}，{0,1}}
2．已知集合M＝，N，
则集合M，N之间的关系为________．
【解析】 对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；而对于集合N，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．
由真子集的概念知，NM.
【答案】 NM
3．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}恰有两个子集，则a＝________.
【解析】 A只有两个子集，表示A中只含有一个元素．若a＝0，A＝ ，不合题意，若a≠0，则Δ＝a2－4a＝0，∴a＝4或a＝0(舍)．
【答案】 4
4．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
【解析】 M中的x＝3k－2＝3(k－1)＋1∈P，∴M P，
同理P中的y＝3n＋1＝3(n＋1)－2∈M，∴P M，
∴M＝P.
S中的z＝3(2m)＋1，∵2m∈偶数，∴S P＝M.
【答案】 M＝P S
5．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}，且B A，求实数a的取值范围．
【解】 A＝{2,3}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}，B为方程x2＋ax＋6＝0的解集，所以分类讨论得：
①若B≠ ，由B A，∴B＝{2}或B＝{3}或B＝{2,3},
当B＝{2}时，方程x2＋ax＋6＝0有两个相等实根，
即x1＝x2＝2，x1x2＝4≠6，∴不合题意.
同理B≠{3}.
当B＝{2,3}时，a＝－5，符合题意.
②若B＝ ，则Δ＝a2－4×6<0，∴－2综上所述，实数a的取值范围为{a|a＝－5或－2＜a＜2}.1.2
第2课时
全集、补集
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4【解析】 A＝{3,4,5,6,7}，B＝{5,6,7}，∴ AB＝{3,4}．
【答案】 {3,4}
2．设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则 RM为________．
【解析】 ∵1－x≥0，∴x≤1，∴M＝{x|x≤1}，∴ RM＝{x|x>1}．
【答案】 {x|x>1}
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z||x－3|<2}，则集合 UA等于________．
【解析】 ∵|x－3|<2，∴－2【答案】 {1,5}
4．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M U， UM＝{5,7}，则实数a＝________.
【解析】 由题知a－5＝3，∴a＝8.
【答案】 8
5．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.
【解析】 ∵ U( UA)＝{x|3≤x≤4}＝A＝{x|a≤x≤b}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7.
【答案】 7
6．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若 UM＝{－1,1}，则实数p的值为________．
【解析】 ∵ UM＝{－1,1}，∴M＝{2,3}，即2,3是x2－5x＋p＝0的根，∴p＝2×3＝6.
【答案】 6
7．已知全集U＝{x|－1≤x≤1}，A＝{x|0【解析】 由全集定义知A U，
从而a≤1.
又 UA≠U，∴A≠ ，故a>0.
综上可知0【答案】 08．已知集合U＝{－1,2,3,6}，且A U，A＝{x|x2－5x＋m＝0}．若 UA＝{2,3}，则实数m的值为________．
【解析】 ∵U＝{－1,2,3,6}， UA＝{2,3}，∴A＝{－1,6}，
则－1,6是方程x2－5x＋m＝0的两根，
故－1×6＝m，即m＝－6.
故实数m的值为－6.
【答案】 －6
二、解答题
9．已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}．
(1)若 U( UB)＝{0,1}，求实数a的值；
(2)若 UA＝{3,4}，求实数a的值．
【解】 (1)∵ U( UB)＝{0,1}，
∴B＝{0,1}，且B U，
∴得a无解；
或得a＝2.
∴a＝2.
(2)∵ UA＝{3,4}，又 UA U，
∴|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，
∴a＝4或a＝－2或a＝.
经验证，当a＝4时，不合题意，舍去．
∴所求实数a的值为－2或.
10．设全集U＝R，A＝{x|3m－1【解】 由题意知， UB＝{x|x≥3或x≤－1}，
(1)若A UB，且A≠ ，则3m－1≥3或2m≤－1，
∴m≥或m≤－.
又A≠ ，∴3m－1<2m，
∴m<1，即m≤－.
(2)若A＝ ，则3m－1≥2m，得m≥1，
综上所述，m≤－或m≥1.
[能力提升]
1．设全集U和集合A，B，P，满足A＝ UB，B＝ UP，则A与P的关系是________．
【解析】 由A＝ UB，得 UA＝B.
又∵B＝ UP，∴ UP＝ UA，
即A＝P.
【答案】 A＝P
2．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝[2，＋∞)，则图1 2 3中阴影部分所表示的集合为________.
图1 2 3
【解析】 阴影部分可以看作A与B的公共部分在集合A中的补集．
由题知A与B的公共部分为{2,3,4,5}，设C＝{2,3,4,5}．
∴ AC＝{1}．
【答案】 {1}
3．已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若 RA C，则a的范围是________．
【解析】 RA＝{x|－1≤x≤5}，要使 RA C，则a<－1.
【答案】 a<－1
4．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，B＝，则 AB＝________.
【解析】 A表示直线y＝2x上的点，B表示去掉了原点，∴ AB＝{(0,0)}．
【答案】 {(0,0)}
5．已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a(1)若P＝R，求 UA中最大元素m与 UB中最小元素n的差m－n；
(2)若P＝Z，求 AB和 UA中所有元素之和及 U( AB).
【解】 (1)由已知得 UA＝{x|－1≤x<0，或x＝2}，
UB＝{x|－1≤x≤－a，或1∴m＝2，n＝－1，
∴m－n＝2－(－1)＝3.
(2)∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x<2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．
∴ AB＝{0}或 AB＝ ，即 AB中元素之和为0.
又 UA＝{－1,2}，其元素之和为－1＋2＝1.
故所求元素之和为0＋1＝1.
∵ AB＝{0}，或 AB＝ ，
∴ U( AB)＝{－1,1,2}或 U( AB)＝ U ＝U＝{－1,0,1,2}.1.1
第2课时
集合的表示
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．
【解析】 x2＋x－2＝0的根为x＝1或x＝－2，又x∈N，∴x＝1.
【答案】 {1}
2．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B＝________.
【解析】 当y＝－1，－2,0,1时对应的x＝1,2,0,1，故B＝{1,2,0}．
【答案】 {0,1,2}
3．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．
【解析】 列表如下：
可见B中元素有0,1,2，－1，－2.
【答案】 5
4．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
【解析】 ①中P，Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
【答案】 ②
5．已知x，y为非零实数，则集合M＝可简化为________．
【解析】 当x＞0，y＞0时，m＝3，
当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x＞0，y＜0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
【答案】 {－1,3}
6．设集合A＝{4x，x－y}，B＝{4,7}，若A＝B，则x＋y＝________.
【解析】 ∵A＝B，∴或解得或
∴x＋y＝－5或－.
【答案】 －5或－
7．若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为________.
【解析】 ∵A＝B，∴－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的根，
由韦达定理得∴a＝－1，b＝－2，
∴a＋b＝－3.
【答案】 －3
8．已知集合A＝，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x2
017＋y2
018＝________，A＝B＝________.
【解析】 由题知x≠0，∴y＝0，则A＝{x,0,1}，B＝{x2，x,0}，∴x2＝1，∴x＝±1，y＝0.
当x＝1时，A中有两个1，与元素的互异性矛盾，
当x＝－1时，符合题意，此时A＝B＝{－1,0,1}，
x2
017＋y2
018＝－1.
【答案】 －1 {－1,0,1}
9．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集：_________________________________________________；
(2)被3除余2的正整数的集合：________________________________；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合：_________________.
【答案】 (1){x|x＝2k，k∈N
}
(2){x|x＝3k＋2，k∈N}
(3){(x，y)|xy＝0}
二、解答题
10．试分别用列举法和描述法表示下列集合．
(1)方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
【解】 (1)x2－9＝0，∴x＝±3，
列举法表示为{－3,3}，
描述法表示为{x|x2－9＝0}．
(2)大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19.
列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}，
描述法表示为{x|10[能力提升]
1．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
【解析】 ∵t∈A，∴t2可取值为4,9,16，∴B＝{4,9,16}．
【答案】 {4,9,16}
2．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，则a2
016＋b2
016＝________.
【解析】 由题知 (1)或 (2)
解(1)得此时，A中的三个元素均为1，这与互异性矛盾．
解(2)得a＝－1或1(舍)，此时b＝0，
∴a2
016＋b2
016＝1.
【答案】 1
3．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈________(M，P，Q中的一个)．
【解析】 依据题意设a＝3k，b＝3t＋1，c＝3m－1(k，t，m∈Z)，则a＋b－c＝3(k＋t－m)＋2＝3(k＋t－m＋1)－1，所以该元素具有集合Q中元素的特征性质，应属于集合Q.
【答案】 Q
4．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．
【解】 ∵0∈B，A＝B，∴0∈A.
若x＝0，则A＝{0,0，－y}不成立，
∴x≠0.
又y∈B，∴y≠0，∴只能x－y＝0.
∴x＝y.
从而A＝{0，x，x2}，B＝{0，|x|，x}．
∴x2＝|x|.∴x＝0或x＝1或x＝－1.
经验证x＝0，x＝1均不合题意，
∴x＝－1，即x＝－1，y＝－1适合．
5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中最多有一个元素，求a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；
(4)若A＝ ，求a的取值范围.
【解】 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，由(1)知当a＝0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a<0，即a>1时，A为 ；Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的根，A中有一个元素；故当a＝0或a≥1时A中最多有一个元素．
(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由Δ>0，得a<1，结合(1)可知，a≤1.
(4)A＝ 时，由(2)知，a>1.3.4.1
第2课时
用二分法求方程的近似解
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知函数f
(x)的图象如图3 4 1，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________．
图3 4 1
【解析】 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
【答案】 4 3
2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是________．(填序号)
①y＝3x2－2x－5；②y＝
③y＝＋1；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.
【解析】 分别作出函数①～⑤的图象(略)知，⑤符合题意．
【答案】 ⑤
3．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.
【解析】 由＜0.1，得2n－1＞10，所以n－1≥4，即n≥5.
【答案】 5
4．下列关于函数y＝f
(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为________．
①若x0∈[a，b]且满足f
(x0)＝0，则(x0,0)是f
(x)的一个零点；
②若x0是f
(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f
(x)的零点是方程f
(x)＝0的根，但f
(x)＝0的根不一定是函数f
(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
【解析】 ①中x0∈[a，b]且f
(x0)＝0，∴x0是f
(x)的一个零点，而不是(x0,0)，①错误；②中函数f
(x)不一定连续，且无法判断是否有f
(a)·f
(b)<0，②错误；③中方程f
(x)＝0的根一定是函数f
(x)的零点，③错误；④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，④也错误．
【答案】 0
5．为了求函数f
(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f
(x)的部分对应值，如下表所示：
x
1.25
1.312
5
1.375
1.437
5
1.5
1.562
5
f
(x)
－0.871
6
－0.578
8
－0.281
3
0.210
1
0.328
43
0.641
15
则方程2x＋3x＝7的近似解(精确度为0.1)可取________．
【解析】 由题表知f
(1.375)·f
(1.437
5)<0，且1.437
5－1.375＝0.062
5<0.1，所以方程的一个近似解可取为1.4.
【答案】 1.4
6．用二分法研究函数f
(x)＝x3＋ln
的零点时，第一次经计算f
(0)<0，f
>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
【解析】 由于f
(0)<0，f
>0，
故f
(x)在上存在零点，
所以x0∈，
第二次应计算0和在数轴上对应的中点x1＝＝.
【答案】 f
7．已知函数f
(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是________．(填序号)
①函数f
(x)在区间内一定有零点；
②函数f
(x)在区间或内有零点；
③函数f
(x)在内无零点；
④函数f
(x)在区间或内有零点，或零点是.
【解析】 由已知及二分法求函数零点的原理，可知，
f
(0)·f
<0，又的中点为，
∴下一步可能f
(0)·f
<0，
或f
·f
<0或f
＝0，故④正确．
【答案】 ④
8．已知函数f
(x)＝x－log2
x，若实数x0是方程f
(x)＝0的解，且0(x1)的值与0的大小关系恒有________．
【解析】 ∵f
(1)f
(2)＝·
<0，∴1如图所示，当0x的上方，即必有x1>log2
x1，
∴f
(x1)>0恒成立．
【答案】 f
(x1)>0
二、解答题
9．确定函数f
(x)＝logx＋x－4的零点所在的区间．
【解】 设y1＝logx，y2＝4－x，则f
(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图：
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，所以f
(4)＜0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，所以f
(8)＝1＞0，
所以在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f
(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
10．利用计算器，求方程x2－6x＋7＝0的近似解．(精确到0.1)
【解】 设f
(x)＝x2－6x＋7，通过观察函数的图象(略)得：
f
(1)＝2＞0，f
(2)＝－1＜0，∴方程x2－6x＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x1，
∵f
(1.5)＝0.25＞0，∴1.5＜x1＜2，
又∵f
＝f
(1.75)＝－0.437
5＜0，∴1.5＜x1＜1.75，如此继续下去，得：
f
(1)·f
(2)＜0 x1∈(1,2)，f
(1.5)·f
(2)＜0 x1∈(1.5,2)，
f
(1.5)·f
(1.75)<0 x1∈(1.5,1.75)，
f
(1.5)·f
(1.625)＜0 x1∈(1.5,1.625)，
f
(1.562
5)·f
(1.625)<0 x1∈(1.562
5,1.625)．
因为1.562
5,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程x2－6x＋7＝0的一个近似解为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4.4.
[能力提升]
1．已知函数f
(x)＝loga
x＋x－b(a>0，且a≠1)．当2(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N
，则n＝________.
【解析】 ∵2(x)＝loga
x＋x－b为定义域上的增函数．
f
(2)＝loga
2＋2－b，f
(3)＝loga
3＋3－b.
∵22a3，
∴<<1.
又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，
∴loga
2＋2－b<0，即f
(2)<0.
∵1<<，3∴－1<3－b<0，
∴loga
3＋3－b>0，∴f
(3)>0，
即f
(2)·f
(3)<0.
由x0∈(n，n＋1)，n∈N
知，n＝2.
【答案】 2
2．已知曲线y＝x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是________．
【解析】 设f
(x)＝x－x，则f
(0)＝1＞0，
f
＝－＝－＜0，f
(1)＝－1＜0，f
(2)＝2－2＜0，显然有f
(0)·f
＜0.所以f
(x)的零点所在区间为，即x0的取值范围是.
【答案】
3．已知y＝x(x－1)·(x＋1)的图象如图3 4 2所示，今考虑f
(x)＝x(x－1)·(x＋1)＋0.01，则方程式f
(x)＝0
图3 4 2
①有三个实根；
②当x<－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；
③当－1④当0⑤当x>1时，恰有一实根．
正确的有________．(填序号)
【解析】 ∵f
(－2)＝－2×(－3)×(－1)＋0.01＝－5.99<0，f
(－1)＝0.01>0，即f
(－2)·f
(－1)<0，
∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象(略)可知，方程在(－∞，－1)上，恰有一个实根．
∴②正确．
又∵f
(0)＝0.01>0，结合图象可知f
(x)＝0在(－1,0)上没有实数根，∴③不正确．
又∵f
(0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f
(1)＝0.01>0，即f
(0.5)·f
(1)<0，所以f
(x)＝0在(0.5,1)上必有一实根，且f
(0)·f
(0.5)<0，
∴f
(x)＝0在(0,0.5)上也有一个实根．
∴f
(x)＝0在(0,1)上有两个实根，④不正确．
由f
(1)>0结合图象知，f
(x)＝0在(1，＋∞)上没有实根．∴⑤不正确，并且由此可知①正确．
【答案】 ①②
4．某电视台曾有一档娱乐节目：主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1
000元之间．选手开始报价1
000元，主持人说高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看，猜价格具有很大的碰运气的成分；实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想．你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
【解】 取价格区间[500,1
000]的中点750.
如果主持人说低了，就再取[750,1
000]的中点875；
否则取另一个区间(500,750)的中点．
若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程中猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格.2.1.1
第2课时
函数的图象
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y＝|x＋1|的图象为________．(填序号)
【解析】 将y＝|x|左移1个单位即得到y＝|x＋1|的图象．
【答案】 ①
2．函数y＝＋x的图象是________．(填序号)
【解析】 函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，
故图象与y轴交点处应为空心小圆圈，故排除①②.当x<0时，y＝－1＋x<0，故排除④.
【答案】 ③
3．已知函数y＝ax2＋b的图象如图2 1 4所示，则a＝________，b＝________.
图2 1 4
【解析】 由图象可知，当x＝1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1，
即解得
【答案】 1 －1
4．如图2 1 5，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于________．
图2 1 5
【解析】 由题意知，f(3)＝1，所以f＝f(1)＝2.
【答案】 2
5．函数y＝1－的图象是________．(填序号)
【解析】 y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y＝1－的图象．
【答案】 ②
6．函数y＝x2－4x＋6，x∈[0,3]的值域为________．
【解析】 ∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，∴函数的图象是以直线x＝2为对称轴，以(2,2)为顶点的开口向上的抛物线，如图所示，由图可知，函数的值域为[2,6]．
【答案】 [2,6]
7．如图2 1 6是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是________．
图2 1 6
【解析】 根据图象可知，张大爷开始离家越来越远，是匀速离开，最后匀速回家，中间一段时间，离开家的距离不变，故图④适合．
【答案】 ④
8．若函数y＝f(x)的图象经过点(0,1)，那么函数y＝f(x＋4)的图象经过点________．
【解析】 y＝f(x＋4)可以认为把y＝f(x)左移了4个单位，由y＝f(x)经过点(0,1)，易知f(x＋4)经过点(－4,1)．
【答案】 (－4,1)
二、解答题
9．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x(元)与日销售量y(件)之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12
(1)确定商品销售价x与日销售量y之间的一个一次函数关系式；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中关系写出关于P的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
【解】 (1)∵f(x)为一次函数，∴设y＝ax＋b，由题意，得解得故所求的函数关系式为y＝162－3x.又∵y≥0，∴0≤x≤54.
(2)依题意，得P＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432.当x＝42时，P最大，P最大＝432.即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．
10．已知函数y＝(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的值.
【解】 已知函数y＝(a<0且a为常数)，
∵x＋1≥0，a<0，∴x≤－a，
即函数的定义域为(－∞，－a]，
∵函数在区间(－∞，1]上有意义，
∴(－∞，1] (－∞，－a]，∴－a≥1，即a≤－1，
∴a的取值范围是(－∞，－1]．
[能力提升]
1．若f(x)＝x2＋ax－3a－9的值域为[0，＋∞)，则f(1)＝________.
【解析】 由题知f(x)min＝＝0，∴a2＋12a＋36＝0，∴a＝－6，
∴f(1)＝1－6＋18－9＝4.
【答案】 4
2．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m＋1)与0的大小关系是________．
【解析】 因为二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)的对称轴是x＝－，且与y轴正半轴相交，所以由图象可知f(x)<0的解集的区间长度小于1，故若f(m)<0，则必有f(m＋1)>0.
【答案】 f(m＋1)>0
3．如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(a≠0)的图象可能是________(填序号)．
【解析】 ①由抛物线的对称轴是y轴可知b＝0，而此时直线应该过原点，故不可能；②由抛物线图象可知，a>0，由直线的图象知a＜0矛盾，故不可能；③由抛物线图象可知，a<0，由直线的图象a＞0矛盾，不可能；由此可知④可能是两个函数的图象．
【答案】 ④
4．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)就a的取值范围讨论方程f(x)＝a的解的情况．
【解】 (1)先作出y＝x2－4x＋3的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象．
(2)由图象易知，
当a<0时，原方程无解；
当a＝0与a>1时，原方程有两个解；
当0当a＝1时，原方程有三个解.1.1
第1课时
集合的含义
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列条件能形成集合的是________．
①充分小的负数全体；②爱好飞机的一些人；③某班本学期视力较差的同学；④某校某班某一天所有课程．
【解析】 综观①②③的对象不确定，唯有④某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是④.
【答案】 ④
2．下面有三个命题，正确命题的个数为________．
(1)集合N中最小的数是1；
(2)若－a不属于N，则a属于N；
(3)若a∈N，b∈N
，则a＋b的最小值为2.
【解析】 (1)最小的数应该是0，(2)当a＝0.5时，－0.5 N，且0.5 N，(3)当a＝0，b＝1时，a＋b＝1.
【答案】 0
3．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则苏州________A；广州________A．(填∈或 )
【解析】 苏州不是省会城市，而广州是广东省的省会．
【答案】 ∈
4．已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3 Z.正确的个数为________．
【解析】 ①②③是正确的；④⑤是错误的．
【答案】 3
5．设直线y＝2x＋3上的点的集合为P，则点(1,5)与集合P的关系是________，点(2,6)与集合P的关系是________．
【解析】 点(1,5)在直线y＝2x＋3上，
点(2,6)不在直线y＝2x＋3上．
【答案】 (1,5)∈P (2,6) P
6．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m等于________．
【解析】 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与集合中元素的互异性相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与集合中元素的互异性相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．
【答案】 3
7．设不等式x－a>0的解集为集合A，若2 A，则a的取值范围是________．
【解析】 因为2 A，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2.
所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．
【答案】 [2，＋∞)
8．如果有一个集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
【解析】 由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.
【答案】 x
二、解答题
9．已知集合M是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x.
【解】 当3x2＋3x－4＝2，即x2＋x－2＝0时，得x＝－2，或x＝1，
经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．
当x2＋x－4＝2，即x2＋x－6＝0时，得x＝－3或x＝2.
经检验，x＝－3或x＝2均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
10．已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则∈A.
(1)若a＝2，求出A中其他所有元素；
(2)0是不是集合A中的元素？请说明理由．
【解】 (1)由2∈A，得＝－3∈A；
又由－3∈A，得＝－∈A；
再由－∈A，得＝∈A；
由∈A，得＝2∈A.
故A中其他所有元素为－3，－，.
(2)0不是集合A中的元素．
若0∈A，则＝1∈A，
而当1∈A时，中分母为0，故0不是集合A中的元素．
[能力提升]
1．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．
【解析】 由题意知，a＋b可以是0＋1,0＋2,0＋6,2＋1,2＋2,2＋6,5＋1,5＋2,5＋6共8个不同的数值．
【答案】 8
2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为________．
【解析】 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0 A.
【答案】 2或4
3．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2【解析】 ∵x∈N，且2【答案】 6
4．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
【证明】 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中还有另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．1.3
交集、并集
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．集合A＝{－1,0,2}，B＝{x||x|＜1}，则A∩B＝________.
【解析】 A∩B＝{－1,0,2}∩{x|－1【答案】 {0}
2．设集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x2＋x＝0}，则集合A∪B＝________.
【解析】 A＝{0,1}，B＝{－1,0}，∴A∪B＝{0,1，－1}．
【答案】 {0,1，－1}
3．已知集合A，B满足A∩B＝A，那么下列各式中一定成立的是________．
(1)AB；(2)BA；(3)A∪B＝B；(4)A∪B＝A.
【解析】 ∵A∩B＝A，∴A B，∴A∪B＝B，故(3)正确，(1)中A不一定为B的真子集．
【答案】 (3)
4．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩ UB)∪(B∩ UA)＝________.
【解析】 因为U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，所以 UA＝{x|x≤0}， UB＝{x|x>－1}，(A∩ UB)∪(B∩ UA)＝{x|x>0或x≤－1}．
【答案】 {x|x>0或x≤－1}
5．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________.
【解析】 ∵A∪B＝A，即B A，∴实数m的取值范围为[2，＋∞)．
【答案】 [2，＋∞)
6．如图1 3 3，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是________.
图1 3 3
【解析】 阴影部分表示的是在M和P的公共部分中去除S中的元素，故可表示为：{x|x∈M，x∈P且x S}＝{x|x∈M，x∈P且x∈ IS}＝M∩P∩( IS)．
【答案】 M∩P∩( IS)
7．若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( RA)∩B＝________.
【解析】 集合A表示不等式|x|>1的解集，由不等式|x|>1解得x<－1或x>1，则
A＝{x|x<－1或x>1}，所以 RA＝{x|－1≤x≤1}．集合B是函数y＝x2的值域，x∈R时，y＝x2≥0，所以B＝{y|y≥0}，
则( RA)∩B＝{x|－1≤x≤1}∩{y|y≥0}＝{x|0≤x≤1}．
【答案】 {x|0≤x≤1}
8．已知集合A＝{x|x【解析】 RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图，要使A∪( RB)＝R，则B A，故a≥2.
【答案】 a≥2
二、解答题
9．已知全集U＝{x∈N|0(1)( UA)∪B；(2)( UA)∩( UB)．
【解】 (1)∵U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,3,4}，∴ UA＝{1,5,6}．
又∵B＝{3,4,5}，∴( UA)∪B＝{1,3,4,5,6}．
(2)∵ UA＝{1,5,6}， UB＝{1,2,6}，∴( UA)∩( UB)＝{1,6}．
10．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤a－2或x≥a＋3}，N＝{x|－1≤x≤2}.
(1)若a＝0，求( UM)∩( UN)；
(2)若M∩N＝ ，求实数a的取值范围．
【解】 (1)当a＝0时，M＝{x|x≤－2或x≥3}，
所以 UM＝{x|－2＜x＜3}， UN＝{x|x＜－1或x＞2}，
所以( UM)∩( UN)＝{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}．
(2)若M∩N＝ ，则解得－1＜a＜1.
故当M∩N＝ 时，实数a的取值范围是{a|－1＜a＜1}．
[能力提升]
1．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1【解析】 B∪C＝{x|－3【答案】 －1 2
2．已知集合A＝{x|－4≤x≤9}，B＝{x|m＋1【解析】 ∵A∪B＝A，∴B A，又∵B≠ ，
∴ 2【答案】 23．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合{1,2,3}的不同分拆种数是________．
【解析】 若A1＝ ，则A2＝{1,2,3}；
若A1＝{1}，则A2＝{2,3}或{1,2,3}；
若A1＝{2}，则A2＝{1,3}或{1,2,3}；
若A1＝{3}，则A2＝{1,2}或{1,2,3}；
若A1＝{1,2}，则A2＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}；
若A1＝{2,3}，则A2＝{1}或{1,2}或{1,3}或{1,2,3}；
若A1＝{1,3}，则A2＝{2}或{1,2}或{2,3}或{1,2,3}；
若A1＝{1,2,3}，则A2＝ 或{1}或{2}或{3}或{1,2}或{2,3}或{1,3}或{1,2,3}，共有27种不同的分拆方法．
【答案】 27
4．设集合A＝{x|x2－4x＝0}，B＝{x|ax2－2x＋8＝0}，A∩B＝B，求a的取值范围．
【解】 A＝{0,4}．∵A∩B＝B，∴B A.
(1)a＝0时，B＝{4}，满足题意．
(2)a≠0时，分B＝ 和B≠ 两种情况：
B＝ 时，即方程ax2－2x＋8＝0无解，
∴Δ＝4－32a<0，∴a>.
B≠ 时，B＝{0}，{4}，{0,4}，
经检验a均无解．
综上，a>或a＝0.
5．已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－2【解】 用数轴做出全集U，集合A，B，如图．
易知A∩B＝{x|－2 UA＝{x|3≤x≤5或x≤－2}，
UB＝{x|x<－3或2∴A∩ UB＝{x|2( UA)∩B＝{x|－3≤x≤－2}．3.2.1
第2课时
对数的运算性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号)
①loga
x·loga
y＝loga(x＋y)；
②(loga
x)n＝nloga
x；
③＝loga；
④＝loga
x－loga
y.
【解析】 根据对数的运算性质知，③正确．
【答案】 ③
2．设7a＝8b＝k，且＋＝1，则k＝________.
【解析】 ∵7a＝k，∴a＝log7k.∵8b＝k，∴b＝log8k.
∴＋＝logk7＋logk8＝logk56＝1，∴k＝56.
【答案】 56
3．已知a2＝(a>0)，则log
a＝________.
【解析】 由a2＝(a>0)，得a＝，
所以log＝log2＝2.
【答案】 2
4．lg
x1与lg
x2是方程(lg
x)2＋(lg
2＋lg
3)lg
x＋lg
2·lg
3＝0的两根，则x1x2＝________.
【解析】 由题意，lg
x1，lg
x2是关于lg
x的一元二次方程(lg
x)2＋(lg
2＋lg
3)lg
x＋lg
2·lg
3＝0的两个根，则x1，x2是关于x的方程的两个根，由根与系数的关系，得lg
x1＋lg
x2＝－(lg
2＋lg
3)，
即lg
(x1x2)＝lg
，∴x1x2＝.
【答案】
5．若lg
x－lg
y＝a，则lg
3－lg
3＝________.
【解析】 lg
x－lg
y＝lg
＝a，
lg
3－lg
3＝lg
－lg
＝lg
3＝3lg
＝3a.
【答案】 3a
6．若lg
2＝a，lg
3＝b，则log5
12等于________．
【解析】 log5
12＝＝＝.
【答案】
7．里氏震级M的计算公式为：M＝lg
A－lg
A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1
000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.
【解析】 由M＝lg
A－lg
A0知，M＝lg
1
000－lg
0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lg
＝lg
A1－lg
A2＝(lg
A1－lg
A0)－(lg
A2－lg
A0)＝9－5＝4.所以＝104＝10
000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10
000倍．
【答案】 6 10
000
8．已知函数f
(x)＝lg，若f
(a)＝b，则f
(－a)＝________.
【解析】 因为f
(x)＝lg，
所以f
(a)＝lg＝b，
所以f
(－a)＝lg＝lg－1
＝－b.
【答案】 －b
二、解答题
9．计算：
(1)log5
35－2log5
＋log5
7－log5
1.8；
(2)；
(3)(lg
5)2＋lg
2·lg
50.
【解】 (1)原式＝log5(5×7)－2(log5
7－log5
3)＋log5
7－log5
＝log5
5＋log5
7－2log5
7＋2log5
3＋log5
7－2log5
3＋log5
5＝2log5
5＝2.
(2)原式＝
＝＝.
(3)原式＝(lg
5)2＋lg
2·(lg
2＋2lg
5)
＝(lg
5)2＋2lg
5·lg
2＋(lg
2)2
＝(lg
5＋lg
2)2＝1.
10．(1)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b；
(2)设a＝lg
2，b＝lg
7，用a，b表示lg
，lg
.
【解】 (1)∵10a＝2，
∴lg
2＝a.
又∵10b＝3，∴lg
3＝b，
(2)lg
＝lg
23－lg
7＝3lg
2－lg
7＝3a－b.
lg
＝lg
(2×52)－lg
(72)＝lg
2＋2lg
5－2lg
7
＝lg
2＋2(1－lg
2)－2lg
7
＝2－a－2b.
[能力提升]
1．化简：＋log2
＝________.
【解析】 ＝＝2－log2
3.
∴原式＝2－log2
3＋log2
3－1＝2－2log2
3.
【答案】 2－2log2
3
2．设a表示的小数部分，则log2a(2a＋1)的值是________．
【解析】 ＝，
可得a＝－1＝.
【答案】 －1
3．若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·(logab＋logba)的值为________.
【解析】 原方程可化为：2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0.
设lg
x＝t，即原方程为2t2－4t＋1＝0.
所以t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又因为a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，
则lg
a＝t1，lg
b＝t2，即lg
a＋lg
b＝2，
lg
a·lg
b＝.
lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
【答案】 12
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
【解】 假设经过x年，该物质的剩余量是原来的，
根据题意得：0.75x＝，
∴x＝log0.75
＝－＝－≈4.
故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.3.1.1
分数指数幂
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确说法的序号是________．
【解析】 ①错，16的4次方根是±2；②错，＝2；③④正确，由根式的意义可知．
【答案】 ③④
【答案】
3.＋＋的值为________.
【解析】 ＝－6，
＝|－4|＝4－，
＝－4，
∴原式＝－6＋4－＋－4＝－6.
【答案】 －6
4．式子a经过计算可得________.
5．若(a＋2)2＋(2b－1)2＝0，则a2
016·b2
016等于________．
【解析】 ∵(a＋2)2＋(2b－1)2＝0，
∴a＝－2，b＝，
∴(－2)2
016·2
016＝2
016＝1.
【答案】 1
6．已知10α＝3,10β＝4，则102α＋＝________.
【解析】 102α＋＝(10α)2·(10β)＝32·4＝18.
【答案】 18
7．计算下列各式(式中字母都是正数)：
【答案】 (1)4a (2)
8．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
【解析】 ∵(±9)2＝81，
∴81的平方根为±9，即a＝±9.
又(－2)3＝－8，∴－8的立方根为－2，即b＝－2.
∴a＋b＝－9－2＝－11或a＋b＝9－2＝7，∴a＋b＝－11或7.
【答案】 －11或7
二、解答题
9．化简：
10．化简：
(2)原式＝[(a－3)2－(a3)2]÷[(a－4＋a4＋1)(a－1－a)]
＝
＝
＝
＝a－1＋a＝＋a.
[能力提升]
1．若x<0，则|x|－＋＝________.
【解析】 ∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋＝－x＋x＋1＝1.
【答案】 1
2．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于________．
【解析】 由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.
【答案】
3．当有意义时，化简－的结果是________．
【解析】 ∵有意义，
∴2－x≥0，即x≤2.
－
＝－
＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)
＝2－x－3＋x＝－1.
【答案】 －1
4．根据已知条件求下列值：
(1)已知x＝，y＝，求－的值；
(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值.
【解】 (1)－
＝－＝.
将x＝，y＝代入上式得：
原式＝＝＝－24＝－8.
(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴
∵a>b>0，∴>.
2＝＝＝＝，
∴＝＝.3.2.1
第1课时
对数的概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．有以下四个结论：①lg(lg
10)＝0；②ln(ln
e)＝0；③若10＝lg
x，则x＝10；④若e＝ln
x，则x＝e2，其中正确的是________．(填序号)
【解析】 lg(lg
10)＝lg
1＝0，故①正确；
ln(ln
e)＝ln
1＝0，故②正确；若10＝lg
x，则x＝1010，③错误；若e＝ln
x，则x＝ee，故④错误．
【答案】 ①②
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是________．(填序号)
①100＝1与lg
1＝0；
④log77＝1与71＝7.
【解析】 由log39＝2，得32＝9，
所以③不正确．
【答案】 ③
3．若10α＝2，β＝lg
3，则100α－β＝________.
【解析】 ∵β＝lg
3，∴10β＝3.
【答案】
4．(1)若log2(logx9)＝1，则x＝________.
(2)若log3(a＋1)＝1，则loga2＋log2(a－1)的值为________．
【解析】 (1)由题意得，logx9＝2，
∴x2＝9，∴x＝±3，
又∵x>0，∴x＝3.
(2)∵log3(a＋1)＝1，∴a＋1＝31，即a＝2.
∴loga2＋log2(a－1)＝log22＋log2(2－1)＝1＋0＝1.
【答案】 (1)3 (2)1
5．方程9x－6·3x－7＝0的解是________．
【解析】 设3x＝t(t>0)，
则原方程可化为t2－6t－7＝0，
解得t＝7或t＝－1(舍去)，
即3x＝7.
∴x＝log37.
【答案】 x＝log37
【解析】 由题意得，log3(log2
x)＝1，即log2
x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
【答案】
7．若已知集合M＝{2，lg
a}，则实数a的取值范围是________.
【解析】 因为M＝{2，lg
a}，所以lg
a≠2.
所以a≠102＝100.又因为a＞0，
所以0＜a＜100或a＞100.
【答案】 (0,100)∪(100，＋∞)
8．若f
(10x)＝x，则f
(3)的值为________．
【解析】 令t＝10x，则x＝lg
t，
∴f
(t)＝lg
t，即f
(x)＝lg
x，
∴f
(3)＝lg
3.
【答案】 lg
3
二、解答题
9．求下列各式中的x.
(1)logx
27＝；
(2)log2
x＝－；
(3)logx
(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2
x)＝0；
(5)x＝log27
.
(3)由logx(3＋2)＝－2，
得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)－＝－1.
(4)由log5(log2
x)＝0，得log2
x＝1.
∴x＝21＝2.
(5)由x＝log27
，得27x＝，
即33x＝3－2，∴x＝－.
10．计算下列各式：
[能力提升]
1．若loga＝c，则下列关系式中，正确的是________．(填序号)
①b＝a5c；②b5＝ac；③b＝5ac；④b＝c5a.
【解析】 由loga＝c，得ac＝，
所以b＝(ac)5＝a5c.
【答案】 ①
2．如果点P(lg
a，lg
b)关于x轴的对称点为(0，－1)，则a＝________，b＝________.
【解析】 易知lg
a＝0，lg
b＝1，
∴a＝1，b＝10.
【答案】 1 10
【答案】 －
4．已知logab＝logba(a＞0，a≠1；b＞0，b≠1)，求证：a＝b或a＝.
【证明】 令logab＝logba＝t，则at＝b，bt＝a，
当t＝1时，a＝b；当t＝－1时，a＝，
所以a＝b或a＝.3.2.2
第1课时
对数函数的概念、图象与性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知对数函数f
(x)的图象过点(8，－3)，则f
(2)＝________.
【答案】 －
2．函数f
(x)＝＋lg
(3x＋1)的定义域为________．
【解析】 由题知 －【答案】
3．已知函数f
(x)＝则f
＝________.
【解析】 f
＝f
＝f
(－3)＝－3＝8.
【答案】 8
4．函数f
(x)＝log
(2x＋1)的单调减区间是________．
【解析】 ∵y＝logu单调递减，u＝2x＋1单调递增，
∴在定义域上，
f
(x)单调递减，
故减区间为2x＋1>0，∴x>－.
【答案】
5．函数y＝x＋a与y＝loga
x的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的________．(填序号)
【解析】 由y＝x＋a的斜率为1，排除③，①②中直线在y轴上截距大于1，但①中y＝loga
x的图象反映a<1，排除①，④中对数底a>1，但截距a<1矛盾．
【答案】 ②
6．函数f
(x)＝loga(2x＋1)＋2(a>0且a≠1)必过定点________．
【解析】 令得即f
(x)必过定点(0,2)．
【答案】 (0,2)
7．设a＝log3
6，b＝log5
10，c＝log7
14，则a，b，c的大小关系是________.
【解析】 a＝log3
6＝log3
2＋1，b＝log5
10＝log5
2＋1，c＝log7
14＝log7
2＋1，
∵log3
2>log5
2>log7
2，
∴a>b>c.
【答案】 a>b>c
8．设函数f
(x)＝log2
x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝，则a＝________.
【解析】 g(x)是f
(x)＝log2
x的反函数，∴g(x)＝2x，∴g(a)＝2a＝，∴a＝－2.
【答案】 －2
二、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f
(x)＝lg
(x－2)＋；
(2)f
(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
【解】 (1)由题知 x>2且x≠3，
故f
(x)的定义域为{x|x>2且x≠3}．
(2)由题知 －1故f
(x)的定义域为{x|－110．比较下列各组数的大小：
(1)log0.1
3与log0.1
π；
(2)3log4
5与2log2
3.
【解】 (1)∵函数y＝log0.1
x是减函数，π>3，
∴log0.1
3>log0.1
π.
(2)∵3log4
5＝log4
53＝log4
125＝＝
log2
125＝log2
，2log2
3＝log2
32＝log2
9，
又∵函数y＝log2
x是增函数，>9，
∴log2
>log2
9，即3log4
5>2log2
3.
[能力提升]
1．若函数y＝f
(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________.
【解析】 易知f
(x)＝loga
x，则loga
＝，∴a＝，∴a2＝2，∴a＝.
【答案】
2．如果函数f
(x)＝(3－a)x，g(x)＝loga
x的增减性相同，则a的取值范围是________．
【解析】 ①若a>1，则g(x)单调递增，此时f
(x)也递增，∴3－a>1，∴1②若01，此时f
(x)与g(x)单调性相反．
【答案】 13．函数f
(x)＝log3
(2x2－8x＋m)的定义域为R，则m的取值范围是________．
【解析】 由题知2x2－8x＋m>0恒成立，即m>－2x2＋8x恒成立，
∴m>－2(x2－4x)＝－2(x－2)2＋8，∴m>8.
【答案】 m>8
4．若不等式x2－logm
x<0在内恒成立，求实数m的取值范围.
【解】 由x2－logm
x<0，得x2x，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logm
x的图象，如图所示，
要使x2x在内恒成立，
只要y＝logm
x在内的图象在y＝x2的上方，于是0∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm
≥＝logm
m，
∴≤m，即≤m.又0∴≤m<1，即实数m的取值范围是.2.2.2
函数的奇偶性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知y＝f
(x)，x∈(－a，a)，F
(x)＝f
(x)＋f
(－x)，则F
(x)是________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)
【解析】 F
(－x)＝f
(－x)＋f
(x)＝F
(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F
(x)是偶函数．
【答案】 偶
2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是________．(填序号)
①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝－.
【解析】 对于函数y＝|x|＋1，f
(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f
(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数．
【答案】 ②
3．函数f
(x)在R上为奇函数，且f
(x)＝＋1，x>0，则当x<0时，f
(x)＝________.
【解析】 当x<0，即－x>0时，f
(－x)＝＋1.
∵f
(x)为R上的奇函数，∴f
(－x)＝－f
(x)，即
－f
(x)＝＋1，∴f
(x)＝－－1，(x<0)．
【答案】 －－1
4．偶函数f
(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图2 2 8，则函数f
(x)的单调增区间为________．
图2 2 8
【解析】 偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f
(x)的增区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
【答案】 [－1,0]，[1，＋∞)
5．若函数f
(x)＝为奇函数，则a＝________.
【解析】 函数f
(x)的定义域为.
又f
(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.
【答案】
6．给出函数f
(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f
(x)的图象上的是________．(填序号)
①(a，－f
(a))；②(a，f
(－a))；③(－a，－f
(a))；
④(－a，－f
(－a))．
【解析】 ∵f
(x)为偶函数，
∴f
(－a)＝f
(a)，
∴(a，f
(－a))一定在y＝f
(x)的图象上．
【答案】 ②
7．已知f
(x)＝x2
017＋ax3－－8，f
(－2)＝10，则f
(2)＝________.
【解析】 f
(－2)＝10，∴－22
017－8a＋－8＝10，
∴－22
017－8a＋＝18，f
(2)＝22
017＋8a－－8＝－18－8＝－26.
【答案】 －26
8．已知f
(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f
(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f
(1)＋g(1)＝________.
【解析】 令x＝－1，则f
(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1，
由f
(x)，g(x)的奇偶性知，f
(－1)＝f
(1)，g(－1)＝－g(1)．
∴原式即化为f
(1)＋g(1)＝f
(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
【答案】 1
二、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f
(x)＝3，x∈R；
(2)f
(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f
(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f
(x)＝
【解】 (1)∵f
(－x)＝3＝f
(x)，
∴f
(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f
(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f
(x)，
∴f
(x)是偶函数．
(3)∵f
(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f
(x)，
∴f
(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f
(x)＝1－x2，
此时－x<0，
∴f
(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
∴f
(－x)＝－f
(x)；
当x<0时，f
(x)＝x2－1，此时－x>0，f
(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f
(－x)＝－f
(x)；
当x＝0时，f
(－0)＝－f
(0)＝0.
综上，对任意x∈R，总有f
(－x)＝－f
(x)，∴f
(x)为R上的奇函数．
10．设函数f
(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f
(2a2＋a＋1)(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．
【解】 由f
(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f
(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝22＋>0，
2a2－2a＋3＝22＋>0，
且f
(2a2＋a＋1)(2a2－2a＋3)，
∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>.
[能力提升]
1．已知函数f
(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f
(x)＝x(x＋1)．若f
(a)＝－2，则实数a＝________.
【解析】 假设a≥0，则f
(a)＝a(a＋1)＝－2，即a2＋a＋2＝0，方程无解，所以a≥0不成立，因此a<0，则－a>0，所以f
(－a)＝－a(－a＋1)，由奇函数f
(－a)＝－f
(a)，即f
(－a)＝a2－a＝2，解得a＝－1或a＝2(舍)．
【答案】 －1
2．已知函数y＝f
(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f
(x)＝0的所有实根之和是________．
【解析】 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
【答案】 0
3．定义在R上的奇函数f
(x)，当x>0时，f
(x)＝2，则奇函数f
(x)的值域是________．
【解析】 奇函数的图象关于原点对称，所以当x<0时，f
(x)＝－2，又定义域为R，所以f
(0)＝0，因此函数的值域为{－2,0,2
}．
【答案】 {－2,0,2
}
4．已知f
(x)为奇函数，且当x＜0时，f
(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，n≤f
(x)≤m恒成立，求m－n的最小值.
【解】 当x＜0时，f
(x)＝x2＋3x＋2＝2－，
∴当x∈[－3，－1]时，f
(x)min＝f
＝－，f
(x)max＝f
(－3)＝2.
又∵函数为奇函数，∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，，
∴m的最小值为，n的最大值为－2，∴(m－n)min＝－(－2)＝，
即m－n的最小值为.2.1.2
函数的表示方法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数f
(x)与g(x)的对应关系如下表：
x
－1
0
1
f
(x)
1
3
2
x
1
2
3
g(x)
0
－1
1
则g(f
(－1))的值为________．
【解析】 由列表法表示的函数可知f
(－1)＝1，g(1)＝0，则g(f
(－1))的值为0.
【答案】 0
2．已知函数F
(x)＝f
(x)＋g(x)，其中f
(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F
＝16，F
(1)＝8，则F
(x)的解析式为________．
【解析】 设f
(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，
则F
(x)＝kx＋.
由F
＝16，F
(1)＝8，
得解得
所以F
(x)＝3x＋.
【答案】 F
(x)＝3x＋
3．已知函数f
(x)的图象是两条线段(如图2 1 7，不含端点)，则
f
＝________.
图2 1 7
【解析】 由图象知，当－1＜x＜0时，f
(x)＝x＋1，
当0＜x＜1时，f
(x)＝x－1，
∴f
(x)＝
∴f
＝－1＝－，
∴f
＝f
＝－＋1＝.
【答案】
4．函数f
(x)＝的值域是________．
【解析】 当0≤x<1时，f
(x)＝2x2∈[0,2)；当1≤x<2时，f
(x)＝2；当x≥2时，f
(x)＝3.
【答案】 {y|0≤y≤2或y＝3}
5．设函数f
＝x，则f
(x)＝________.
【解析】 设t＝(t≠－1)，∴x＝，∴f
(t)＝(t≠－1)，
∴f
(x)＝(x≠－1)．
【答案】 (x≠－1)
6．已知函数y＝使函数值为5的x的值是________．
【解析】 若x2＋1＝5，则x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2；若－2x＝5，则x＝－，与x>0矛盾，故答案为－2.
【答案】 －2
7．若函数f
(x)满足关系式f
(x)＋2f
＝3x，则f
(2)的值为________.
【解析】 把x＝2代入得f
(2)＋2f
＝6，把x＝代入得f
＋2f
(2)＝，解方程组可得f
(2)＝－1.
【答案】 －1
8．已知f
(x)＝则不等式x＋(x＋2)·f
(x＋2)≤5的解集是________．
【解析】 当x＋2≥0，即x≥－2时，f
(x＋2)＝1，则有x＋x＋2≤5，得－2≤x≤；当x＋2<0，即x<－2时，f
(x＋2)＝－1，则有x－x－2≤5，不等式恒成立，综上可知，x≤.
【答案】
二、解答题
9．已知二次函数f
(x)满足f
(0)＝0，且对任意x∈R总有f
(x＋1)＝f
(x)＋x＋1，求f
(x).
【解】 设f
(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f
(0)＝c＝0，
∴f
(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f
(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1
＝ax2＋(b＋1)x＋1.
∴∴
∴f
(x)＝x2＋x.
10．设f
(x)＝
(1)在下列直角坐标系中画出f
(x)的图象；
图2 1 8
(2)若f
(t)＝3，求t值．
【解】 (1)如图
(2)由函数的图象可得：f
(t)＝3即t2＝3且－1＜t＜2，∴t＝.
[能力提升]
1．如图2 1 9，函数f
(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f
(f
(f
(2)))＝________.
图2 1 9
【解析】 由题意可知f
(2)＝0，f
(0)＝4，f
(4)＝2，
因此，有f
(f
(f
(2)))＝f
(f
(0))＝f
(4)＝2.
【答案】 2
2．已知f
(x)＝则f
(3)＝________.
【解析】 由函数解析式可知f
(3)＝f
(5)＝f
(7)＝2.
【答案】 2
3．已知f
(x)满足f
(x)＋3f
(－x)＝x2－3x，则f
(x)＝________.
【解析】 用－x替换原式中的x得f
(－x)＋3f
(x)＝x2＋3x，
联立f
(x)＋3f
(－x)＝x2－3x，
消去f
(－x)得f
(x)＝＋x.
【答案】 ＋x
4．某公司规定：职工入职工资为2
000元/月．以后2年中，每年的月工资是上一年月工资的2倍，3年以后按年薪144
000元计算．试用列表、图象、解析式三种不同的形式表示该公司某职工前5年中，月工资y(元)(年薪按12个月平均计算)和年份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域和值域．
【解】 由题意，前3年的月工资分别为2
000元，4
000元，8
000元，第4年和第5年的月工资平均为：＝12
000.当年份序号为x时，月工资为y元，则用列表法表示为：
年份序号x(年)
1
2
3
4
5
月工资y(元)
2
000
4
000
8
000
12
000
12
000
图象法表示为：
其解析式为：
f
(x)＝
由题意，该函数的定义域为{1,2,3,4,5}，值域为{2
000，4
000,8
000,12
000}．3.4.2
函数模型及其应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．一等腰三角形的周长为40，底边y是关于腰x的函数，它的解析式为________．
【解析】 由题意得2x＋y＝40，
所以y＝40－2x.
∵y>0，∴40－2x>0，∴x<20.
又∵三角形两边之和大于第三边，
∴解得x>10，∴10【答案】 y＝40－2x(102．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
【解析】 依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10时，
Smax＝45.6(万元)．
【答案】 45.6
3．图3 4 6中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2
min，需付电话费________元；通话5
min，需付电话费________元；如果t≥3
min，电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式是________．
图3 4 6
【解析】 由图知，通话2
min，需付电话费3.6元；
通话5
min付电话费6元；
当t≥3时，设y＝kx＋b，
则有
解得k＝1.2，b＝0，
∴y＝1.2t(t≥3)．
【答案】 3.6 6 y＝1.2t(t≥3)
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的.经过________年，剩留的物质是原来的.
【解析】 先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y＝1×＝，经过2年，y＝×＝2，…，那么经过x年，则y＝x.依题意得x＝，解得x＝3.
【答案】 3
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件.
【解析】 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
【答案】 18
6．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
【解析】 对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．
【答案】 甲
7．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费S(元)的函数关系如图3 4 7所示．当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
图3 4 7
【解析】 设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t.
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，
所以k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10(元)．
【答案】 10
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为________．
【解析】 由已知，得a＝a·e－50k，
【答案】 75
二、解答题
9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88
℃热水冲的速溶咖啡，放在24
℃的房间中，如果咖啡降温到40
℃需要20
min，那么降温到32
℃时，需要多长时间？
因此，约需30
min，可降温到32
℃.
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【解】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0即(1－x)10＝，
解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，再砍伐n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
≤，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．
[能力提升]
1．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f
(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
【解析】 因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15，①
所以必有4联立①②解得c＝60，A＝16.
【答案】 60,16
2．把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.
【解析】 设一段长为x
cm，则另一段长为(12－x)
cm.
∴S＝2＋2＝(x－6)2＋2≥2.
【答案】 2
3．如图3 4 8所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
图3 4 8
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积会超过30
m2；
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要再经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2
m2,3
m2,6
m2，所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是________．(填序号)
【解析】 ①显然正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；当t＝2时，y＝4，当t＝3.5时，y＝11.31<12，故经过3.5个月并不能使浮萍的面积达到12
m2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1
m2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2
m2，故④不正确；当浮萍面积为2
m2时，t1＝1，当浮萍面积为3
m2时，t2＝log2
3，当面积为6
m2时，t3＝log2
6，而1＋log2
3＝log2
6，故⑤正确．
【答案】 ①②⑤
4．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
【解】 设两个函数：
y1＝f
(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，
y2＝g(x)＝a·bx＋c.
依题意，
解得
∴y1＝f
(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
∴f
(4)＝1.3(万件)．
依题意，解得
∴y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.
∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．
经比较，g(4)＝1.35万件比f
(4)＝1.3万件更接近于4月份的产量1.37万件．
∴选y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．3.3
幂函数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的是________．(填序号)
【解析】 幂函数y＝xn，只有当n>0时，则其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y＝xn，当n＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y＝xn，当n＝0时，则其图象是y＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；根据幂函数的性质可知：只有⑤⑥是正确的．
【答案】 ⑤⑥
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有________
个．
【解析】 使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3.
【答案】 2
3．幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“部分”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图3 3 1所示)，那么幂函数y＝的图象经过的“部分”是________．
图3 3 1
【解析】 对于幂函数y＝，当0x；当x>1时，x>.
【答案】 ①⑤
4．若f
(x)是幂函数，且满足＝2，则f
＝________.
【解析】 因为函数f
(x)是幂函数，设f
(x)＝xα，由题设＝2 3α＝2，
所以f
＝α＝2＝.
【答案】
5．如图3 3 2中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为________．
图3 3 2
【解析】 函数y＝x－2，y＝x2，中令x＝4得到的函数值依次为，16，，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，
y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为2，，－，－2.
【答案】 2，，－，－2
6．若幂函数的图象不过原点，则m的取值是________
.
【解析】 由幂函数的定义，可得 m＝1.
【答案】 m＝1
7．设函数f
(x)＝若使f
(x)>1成立的取值范围是________．
【解析】 由f
(x)>1，可得或解得x<－1或x>1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
8．已知幂函数f
(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________.
【解析】 由于f
(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．
【答案】 1
二、解答题
9．比较下列各组数的大小．
【解】 (1)构造函数f
(x)此函数在[0，＋∞)上是增函数，∵3<3.1，
(2)构造f
(x)＝x－1，此函数在(0，＋∞)上是减函数，
∵8<9，∴8－1>9－1，
∴－8－1<－9－1.
10．已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称．求m的值，并画出它的图象．
【解】 ∵图象与x，y轴都无交点，
∴m－2≤0，即m≤2.
又m∈N，∴m＝0,1,2.
∵幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0，或m＝2.
当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图(1)；
当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图(2)．
[能力提升]
1．函数f
(x)＝的图象大致为________．(填序号)
【解析】 x<0时，f
(x)＝x3＋1单调递增，且过(0,1)点，x≥0时，f
(x)＝x是减函数，过(0,1)点，故①是f
(x)的图象．
【答案】 ①
2．不论a取何值，函数y＝(x－1)a＋2的图象恒过点A，则点A的坐标为________．
【解析】 ∵幂函数y＝xa的图象恒过点(1,1)，
∴y＝(x－1)a的图象恒过点(2,1)，
∴y＝(x－1)a＋2的图象恒过点(2,3)．
【答案】 (2,3)
3．若则a的取值范围是________．
【解析】
所以解得【答案】
4．已知幂函数y＝f
(x)经过点，
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
(3)试解关于x的不等式f
(3x＋2)＋f
(2x－4)>0.
【解】 (1)设f
(x)＝xα，由题意，
得f
(2)＝2α＝ α＝－3，
故函数解析式为f
(x)＝x－3.
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
f
(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f
(x)，故该幂函数为奇函数．
其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
(3)由(2)得f
(3x＋2)>－f
(2x－4)＝f
(4－2x)．
即
或
或
解得－2，
故原不等式的解集为.3.4.1
第1课时
函数的零点
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若函数f
(x)＝mx＋n有一个零点是2，则函数g(x)＝nx2－mx的零点是________．
【解析】 由条件知，f
(2)＝2m＋n＝0，∴n＝－2m.
∴g(x)＝nx2－mx＝－2mx，由g(x)＝0，得x＝0或x＝－.
∴g(x)的零点是0和－.
【答案】 0和－
2．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根________．(填序号)
①(－2，－1)；②(0,1)；③(1,2)；④(－1,0)．
【解析】 令f
(x)＝2x＋x，则f
(－2)＝－＜0，
f
(－1)＝－＜0，f
(0)＝1＞0，f
(1)＝3＞0，f
(2)＝6＞0.
∵f
(－1)·f
(0)＝×1＜0，
∴f
(x)＝2x＋x的零点在区间(－1,0)内，
故2x＋x＝0在区间(－1,0)内有实数根．
【答案】 ④
3．已知函数f
(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2
x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】 在同一坐标系中画出y＝2x和y＝－x的图象，可得a<0，同样的方法可得b>0，c＝0，∴b>c>a.
【答案】 b>c>a
4．已知函数f
(x)＝log2x－x，若实数x0是方程f
(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，则f
(x1)的值为________．
①恒为负；②等于零；③恒为正；④不小于零．
【解析】 因为x0是方程f
(x)＝0的解，所以f
(x0)＝0，又因为函数f
(x)＝log2x－x在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x1＜x0，所以有f
(x1)＜f
(x0)＝0.
【答案】 ①
5．设函数f
(x)＝若f
(－4)＝0，f
(－2)＝－2，则关于x的方程f
(x)＝x的解的个数是________.
【解析】 由已知，得
解得
∴f
(x)＝
作图象(略)得函数有2个零点．
【答案】 2
6．关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一根大于－2小于0，另一个根大于1小于3，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由f
(x)＝3x2－5x＋a满足条件的大致图象(略)可知解得－12＜a＜0，故实数a的取值范围是(－12,0)．
【答案】 (－12,0)
7．已知对于任意实数x，函数f
(x)满足f
(－x)＝f
(x)．若f
(x)有2
015个零点，则这2
015个零点之和为________．
【解析】 设x0为其中一根，即f
(x0)＝0，
因为函数f
(x)满足f
(－x)＝f
(x)，所以f
(－x0)＝f
(x0)＝0，
即－x0也为方程一根，
又因为方程f
(x)＝0有2
015个实数解，所以其中必有一根x1，满足x1＝－x1，即x1＝0，
所以这2
015个实数解之和为0.
【答案】 0
8．若函数f
(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f
(x)为偶函数，又f
(x)在(0，＋∞)上是减函数，f
(2)＝0，则函数f
(x)的零点有________个．
【解析】 依据给出的函数性质，易知f
(－2)＝0，画出函数的大致图象如图：
可知f
(x)有两个零点．
【答案】 2
二、解答题
9．求函数f
(x)＝2x|log0.5
x|－1的零点个数．
【解】 函数f
(x)＝2x|log0.5
x|－1的零点即2x|log0.5
x|－1＝0的解，即|log0.5
x|＝x的解，作出函数g(x)＝|log0.5
x|和函数h(x)＝x的图象，
由图象可知，两函数共有两个交点，
故函数f
(x)＝2x|log0.5
x|－1有2个零点．
10．已知y＝f
(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f
(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f
(x)的解析式；
(2)若方程f
(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
【解】 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f
(x)是奇函数，
∴f
(x)＝－f
(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f
(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f
(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
∴当x∈(－∞，0)时，f
(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f
(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f
(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
[能力提升]
1．函数f
(x)＝零点的个数为________．
【解析】 x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3，x＝1(舍去)，
∴f
(x)在(－∞，0]上有一个零点；
x＞0时，f
(x)＝ln
x－2在(0，＋∞)上递增，
f
(1)＝－2＜0，f
(e3)＝1＞0.
∵f
(1)·f
(e3)＜0，∴f
(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f
(x)在R上有2个零点．
【答案】 2
2．已知函数f
(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
【解析】 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f
(x)有三个零点，则其和必为0.
【答案】 0
3．若方程x2－2|x|－a＝0恰有3个实根，则a的取值范围是________．
【解析】 本题可化为y＝x2－2|x|与y＝a这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如图所示，观察图象，可知只有当a＝0时两个图象才恰有3个交点．
【答案】 a＝0
4．已知f
(x)＝|x2－1|＋x2＋kx，若关于x的方程f
(x)＝0在(0,2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围.
【解】 当0＜x≤1时，方程化为1＋kx＝0，
可知两解在(0,1]范围内不可能．
当1＜x＜2时，方程化为2x2＋kx－1＝0，
若两解在(1,2)范围内，则x1·x2＞1，这与x1·x2＝－矛盾．故两解在(1,2)范围内不可能．
若方程的一解在(0,1]内，另一解在(1,2)内，则解得－＜k＜－1.
故k的取值范围是.3.1.2
第2课时
指数函数的图象与性质的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为________．
【解析】 由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0【答案】 (0,1)
2．函数y＝的值域是________．
【解析】 ∵x2－1≥－1，∴y≤－1＝2，又y>0，
∴y∈(0,2]．
【答案】 (0,2]
3．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
【解析】 依题意，对任意x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，
∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.
【答案】 [－1,0]
4．若函数f
(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f
(1)＝，则f
(x)的单调递减区间是________．
【解析】 由f
(1)＝，得a2＝，
所以a＝，
即f
(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f
(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
【答案】 [2，＋∞)
5．函数y＝8－24－x(x≥0)的值域是________．
【解析】 ∵x≥0，∴4－x∈(－∞，4]，∴24－x∈(0,16]，∴8－24－x∈[－8,8)．
【答案】 [－8,8)
6．已知函数f
(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f
(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵e＞1，令y＝|x－a|，
∴y＝|x－a|在[1，＋∞)上为增函数，函数y＝|x－a|的图象如图，可知当a≤1时，函数y＝|x－a|在[1，＋∞)上为增函数．
【答案】 (－∞，1]
7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次.
【解析】 设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的；也就是原来的2；经过第三次漂洗，存留量为原来的3；经过第四次漂洗，存留量为原来的4，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的x.由题意，x≤，4x≥100,2x≥10，
∴x≥4，即至少漂洗4次．
【答案】 4
8．已知函数f
(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f
(x)＝1－2－x，则不等式f
(x)<－的解集是________．
【解析】 当x<0时，－x>0，
f
(－x)＝1－2x＝－f
(x)，
则f
(x)＝2x－1.当x＝0时，f
(0)＝0，
由f
(x)<－，解得x<－1.
【答案】 (－∞，－1)
二、解答题
9．已知函数
(1)若a＝－1时，求函数f
(x)的单调增区间；
(2)如果函数f
(x)有最大值3，求实数a的值．
【解】 (1)当a＝－1时，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，
∴f
(x)在(－2，＋∞)上是增函数，
即f
(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，
f
(x)＝h(x)，
由于f
(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，即当f
(x)有最大值3时，a的值为1.
10．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3
mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08
mg/mL，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
【解】 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL，…，x小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x
mg/mL，由题意知0.3(1－50%)x≤0.08，x≤.采用估算法，x＝1时，1＝>，x＝2时，2＝＝<.由于x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶．
[能力提升]
1．若函数f
(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．
【解析】 由题意知a>1，∴
解得a＝.
【答案】
2．定义运算a b＝则函数f
(x)＝3－x 3x的值域为________．
【解析】 由题设可得f
(x)＝3－x 3x＝其图象如图实线所示，由图知函数f
(x)的值域为(0,1]．
【答案】 (0,1]
3．已知定义在R上的奇函数f
(x)和偶函数g(x)满足f
(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f
(2)＝________.
【解析】 ∵f
(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
由f
(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①
得f
(－x)＋g(－x)＝－f
(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f
(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，∴f
(x)＝2x－2－x，∴f
(2)＝22－2－2＝.
【答案】
4．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a的值.
【解】 设t＝ax，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，
对称轴为t＝－1.
(1)若a>1，∵x∈[－1,1]，
∴－1<≤t≤a.
∵t＝ax在[－1,1]上递增，y＝(t＋1)2－2在上也递增，
∴原函数在[－1,1]上递增．
故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1.
由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去，∵a>1)．
(2)若0ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，
解得a＝或a＝－(舍去)．
综上，a＝或3.2.3
映射的概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列从P到Q的各对应关系f
中，不是映射的是________．(填序号)
①P＝N，Q＝N
，f
：x→|x－8|；
②P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5}，f
：x→x(x－4)；
③P＝N
，Q＝{－1,1}，f
：x→(－1)x；
④P＝Z，Q＝{有理数}，f
：x→x2.
【解析】 ①P＝N中元素8在Q＝N
中无对应，所以①不是映射．
②P＝{1,2,3,4,5,6}中元素6在Q＝{－4，－3,0,5}中无对应，所以②不是映射．③④符合映射定义．
【答案】 ①②
2．观察数表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
f
(x)
4
1
－1
－3
3
5
g(x)
1
4
2
3
－2
－4
则f
[g(3)－f
(－1)]＝________.
【解析】 由表中对应数据可知g(3)＝－4，f
(－1)＝－1.
∴f
[g(3)－f
(－1)]＝f
(－4＋1)＝f
(－3)＝4.
【答案】 4
3．设集合A中的元素(x，y)在映射f
下的对应B中的元素是(2x＋y，x－2y)，则在f
下，B中元素(2,1)在A中的对应元素是________．
【解析】 令∴因此(2,1)在A中的对应元素是(1,0)．
【答案】 (1,0)
4．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f
：x→y＝ax＋b，若5→5，且7→11，若x→20，则x＝________.
【解析】 由5→5,7→11，得∴
若x→20，则3x－10＝20，得x＝10.
【答案】 10
5．已知a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f
：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为________．
【解析】 由题意知∴
∴a＋b＝1.
【答案】 1
6．如图2 3 1所示为一个从集合A到集合B的映射，这个映射表示的函数的奇偶性是________．(填“奇函数”“偶函数”“既是奇函数又是偶函数”“既不是奇函数也不是偶函数”)
图2 3 1
【解析】 该映射表示定义域为{±1，±2}，值域为{1,3}的函数，定义域关于数“0”对称，且f
(1)＝f
(－1)＝1，f
(2)＝f
(－2)＝3，因此这个映射表示的函数为偶函数．
【答案】 偶函数
7．设f
：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B可能是________．(填序号)
① ；② 或{1}；③{1}；④ 或{2}．
【解析】 若x2＝1，则x＝±1，
若x2＝2，则x＝±，
所以A中最多含有－，－1,1，四个元素，
所以A∩B＝ 或A∩B＝{1}．
【答案】 ②
8．已知A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f
，使f
(a)＋f
(b)＋f
(c)＝4，则满足条件的映射共有________个.
【解析】 ∵4＝2＋1＋1，∴a，b，c中有一个对应2，另两个只能对应1，共有三种情况．
【答案】 3
二、解答题
9．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6}，取适当的对应法则．
(1)以集合A为定义域，B为值域的函数有多少个？
(2)在所有以集合A为定义域，B为值域的函数中，满足条件f
(1)≤f
(2)≤f
(3)≤f
(4)的函数有多少个？
【解】 (1)根据映射与函数的定义，集合A中的元素均可与B中的两个元素对应，故从A到B可建立24＝16个函数，但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B，应予以排除，所以集合A为定义域，B为值域的函数有14个．
(2)在上述14个函数中，满足条件f
(1)≤f
(2)≤f
(3)≤f
(4)的函数具体为：
f
(1)＝5，f
(2)＝f
(3)＝f
(4)＝6；
f
(1)＝f
(2)＝5，f
(3)＝f
(4)＝6；
f
(1)＝f
(2)＝f
(3)＝5，f
(4)＝6.
所以满足条件的函数共有3个．
10．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}，对应关系f
：x→y＝ax.若在f
的作用下能够建立从A到B的映射f
：A→B，求实数a的取值范围．
【解】 ①当a≥0时，由－2≤x≤2，得－2a≤ax≤2a.
若能够建立从A到B的映射，
则[－2a,2a] [－1,1]，
即∴0≤a≤.
②当a<0时，集合A中元素的象满足2a≤ax≤－2a，
若能建立从A到B的映射，
则[2a，－2a] [－1,1]，
即∴－≤a<0.
综合①②可知－≤a≤.
[能力提升]
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列能表示从P到Q的映射的是________．(填序号)
①f
：x→y＝x；②f
：x→y＝x；③f
：x→y＝x；
④f
：x→y＝.
【解析】 如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应法则f
在Q中有唯一元素和它对应，③中，当x＝4时，y＝×4＝ Q.
【答案】 ①②④
2．若集合A＝{0,1,2}，f
：x→x2－2x是从A到B的映射，则集合B中至少有________个元素．
【解析】 由A＝{0,1,2}，f
：x→x2－2x，分别令x＝0,1,2，
∴x2－2x＝0，－1,0.又根据集合中元素的互异性，
∴B中至少有2个元素．
【答案】 2
3．已知f
是从集合M到N的映射，其中M＝{a，b，c}，N＝{－3,0,3}，则满足f
(a)＋f
(b)＋f
(c)＝0的映射f
的个数是________.
【解析】
【答案】 7
4．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N
.若x∈A，y∈B，有对应法则f
：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f
(1)＝4，f
(2)＝7，试求p，q，m，n的值.
【解】 由f
(1)＝4，f
(2)＝7，
列方程组：
故对应法则为f
：x→y＝3x＋1.由此判断出A中元素3的对应值是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N
，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A中的元素m的对应元素是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的对应元素是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.
故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.2.2.1
第2课时
函数的最大值、最小值
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．设定义在R上的函数f
(x)＝x|x|，则关于f
(x)的最值的说法正确的是________．(填序号)
①只有最大值；
②只有最小值；
③既有最大值，又有最小值；
④既无最大值，又无最小值．
【解析】 f
(x)＝画出图象(略)可知，既无最大值又无最小值．
【答案】 ④
2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________.
【解析】 由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
【答案】 ±2
3．函数f
(x)＝|x－2|－2在区间[0,3]上的最小值为________，最大值为________．
【解析】
f
(x)＝图象如图．
由图可知，x＝2时，f
(x)min＝－2；
x＝0时，f
(x)max＝f
(0)＝0.
【答案】 －2 0
4．下列函数在[1,4]上最大值为3的是________．(填序号)
①y＝＋2；②y＝3x－2；③y＝x2；④y＝1－x.
【解析】 ②③在[1,4]上均为增函数，①④在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．
【答案】 ①
5．函数f
(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R的值域是________．
【解析】 f
(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用绝对值的几何意义可知f
(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．
【答案】 [－2,2]
6．已知函数f
(x)是(0，＋∞)上的减函数，则f
(a2－a＋1)与f
的大小关系是________．
【解析】 ∵a2－a＋1＝2＋≥，
又f
(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f
(a2－a＋1)≤f
.
【答案】 f
(a2－a＋1)≤f
7．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 令f
(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，
图象如下：
∴f
(x)的最小值为f
(0)＝f
(2)＝0.
而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.
【答案】 a<0
8．函数f
(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．
【解析】 f
(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．
由最小值为1知m≥2.
由最大值为5知f
(0)＝5，f
(4)＝5.
所以2≤m≤4.
【答案】 2≤m≤4
二、解答题
9．若函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，求a和b的值．
【解】 y＝－x2＋6x＋9＝－(x－3)2＋18，图象对称轴为直线x＝3，开口向下，因为a＜b＜3，所以[a，b]是函数的单调递增区间，故f
(a)＝－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2或a＝8(舍去)；f
(b)＝－b2＋6b＋9＝9，解得b＝0或b＝6(舍去)．
所以a和b的值分别为－2和0.
10．已知函数f
(x)＝(x∈[2，＋∞)),
(1)求f
(x)的最小值；
(2)若f
(x)>a恒成立，求a的取值范围．
【解】 (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，
且x1(x)＝x＋＋2.
则f
(x1)－f
(x2)＝(x1－x2).
∵x1又∵x1≥2，x2≥2，
∴x1x2>4,1－>0，
∴f
(x1)－f
(x2)<0，即f
(x1)(x2)．
故f
(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴当x＝2时，f
(x)有最小值，即f
(2)＝.
(2)∵f
(x)的最小值为f
(2)＝，
∴f
(x)>a恒成立，只须f
(x)min>a，即a<.
[能力提升]
1．定义新运算“ ”：当a≥b时，a b＝a；当a(x)＝(1 x)x－(2 x)，x∈[－2,2]的最大值等于________．
【解析】 由已知得当－2≤x≤1时，f
(x)＝x－2，
当1(x)＝x3－2.
∵f
(x)＝x－2，f
(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f
(x)的最大值为f
(2)＝23－2＝6.
【答案】 6
2．对任意的两个实数a，b，定义min(a，b)＝若f
(x)＝4－x2，g(x)＝3x，则min(f
(x)，g(x))的最大值为________．
【解析】 f
(x)－g(x)＝4－x2－3x，
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)≥0，即－4≤x≤1时，f
(x)≥g(x)．
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)＜0，即x＞1或x＜－4时，f
(x)＜g(x)，
所以min(f
(x)，g(x))＝作出大致图象如图所示，
由图象可知函数的最大值在点A处取得，最大值为f
(1)＝3.
【答案】 3
3．如果函数f
(x)＝，那么f
(1)＋f
(2)＋…＋f
(2
016)＋f
＋f
＋…＋f
＝________.
【解析】 ∵f
(x)＋f
＝＋＝0，
∴f
(1)＋f
(2)＋…＋f
(2
016)＋f
＋f
＋…＋f
＝f
(1)＋＋…＋＝0.
【答案】 0
4．已知二次函数y＝f
(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0,4]时，求f
(x)的最值；
(2)当x∈[2,3]时，求f
(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f
(x)的最小值g(t)．
【解】 y＝f
(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
(1)∵对称轴x＝1∈[0,4]，
∴当x＝1时，y有最小值，
ymin＝f
(1)＝1.
∵f
(0)＝2(4)＝10，
∴当x＝4时，y有最大值，
ymax＝f
(4)＝10.
(2)∵1 [2,3]，且1<2，
∴f
(x)在[2,3]上是单调增函数，
∴当x＝2时，f
(x)min＝f
(2)＝2，
当x＝3时，f
(x)max＝f
(3)＝5.
(3)f
(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，
当t＋1<1，即t<0时，
函数在[t，t＋1]上为减函数，
g(t)＝f
(t＋1)＝t2＋1，
当t＋1≥1且t<1，
即0≤t<1时，g(t)＝f
(1)＝1，
当t≥1时，函数在[t，t＋1]上为增函数，
g(t)＝f
(t)＝t2－2t＋2.
∴g(t)＝2.1.1
第1课时
函数的概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列关于函数概念的说法中，正确的序号是________．
①函数定义域中的每一个数都有值域中唯一确定的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素，反之，当值域只有一个元素时，定义域也只有一个元素．
【解析】 由函数的定义可知函数定义域中的每一个元素在值域中一定有唯一确定的元素与之对应，故①正确；②函数的定义域和值域可以为有限集合，如f(x)＝x＋1，x∈{1,2,3}，则y∈{2,3,4}，故②不对；根据函数定义可知，当定义域中只有一个元素时，值域也只有一个元素，但当值域只有一个元素时，定义域却不一定只有一个元素，如f(x)＝1，x∈R，③不对．
【答案】 ①
2．下列各式中函数的个数为________．
①y＝x－(x－3)；②y＝＋；③y＝x2；④y＝±x.
【解析】 ①y＝x－(x－3)＝3为函数；②要使函数有意义，需有解得x∈ ，不是函数；易知③为函数；而④，对于任一个x值，y有两个对应值，∴④不是函数．
【答案】 2
3．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为________．
【解析】 由题意知0解得0又底边长y与腰长x应满足2x>y，即4x>10，x>.
综上，【答案】
4．下列四组中f(x)，g(x)表示同一函数的是________．(填序号)
(1)f(x)＝x，g(x)＝()2；(2)f(x)＝x，g(x)＝；
(3)f(x)＝1，g(x)＝；(4)f(x)＝x，g(x)＝|x|.
【解析】 (1)中的两个函数它们的解析式相同，定义域不同；(2)中的两个函数它们的解析式一样，定义域均为实数集R，故是同一函数；(3)中函数的定义域不同；(4)中函数的解析式不一样．
【答案】 (2)
5．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为
________.
【解析】 当x取0,1,2,3时，y的值分别为0，－1,0,3，则其值域为{－1,0,3}．
【答案】 {－1,0,3}
6．若函数f(x)的定义域为[－1,1]，则f(2x＋1)的定义域为________．
【解析】 由题可知－1≤2x＋1≤1，∴－1≤x≤0，所以函数定义域为[－1,0]．
【答案】 [－1,0]
7．函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
【解析】 定义域为R，所以kx2－6x＋8≥0恒成立，因此满足代入解不等式组得k≥.
【答案】 k≥
8．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝的定义域是________．
【解析】 由题意可得 －1≤x<2，所以g(x)的定义域为[－1,2)．
【答案】 [－1,2)
二、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)当x＝4时，求f(x)的值；
(2)当f(x)＝2时，求x的值．
【解】 (1)∵f(x)＝，∴f(4)＝＝－3.
(2)由f(x)＝2，得＝2.
解方程得x＝14.
10．判断下列对应是否为函数．
(1)x→，x≠0，x∈R；
(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R.
【解】 (1)对于任意一个非零实数x，被x唯一确定，
所以当x≠0时，x→是函数，
这个函数也可以表示为f(x)＝(x≠0)．
(2)考虑输入值为4，即当x＝4时输出值y由y2＝4给出，得y＝2和y＝－2.这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以，x→y(y2＝x)不是函数．
[能力提升]
1．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
【解析】 根据题意有 0∴g(x)的定义域为(0,2)．
【答案】 (0,2)
2．已知f(x)的定义域为[－1,2)，则f(|x|)的定义域为________．
【解析】 由题可知－1≤|x|<2，∴－2【答案】 (－2,2)
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有________种.
【解析】 值域C是由集合A中1,2,3所对应的象构成的，故值域C的可能情况为{4}，{5}，{6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，{4,5,6}，共7种．
【答案】 7
4．判断下列函数是否是同一函数．
(1)y＝x2＋3x＋1与y＝t2＋3t＋1；
(2)y＝x2与y＝|x|.
【解】 (1)∵两个函数的定义域与对应法则均相同，
∴两个函数是同一函数．
(2)∵y＝x2与y＝|x|的定义域都为R，但对应法则不同，
∴两个函数不是同一函数．3.1.2
第1课时
指数函数的概念、图象与性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y＝x的图象是________．(填序号)
【解析】 ∵a＝∈(0,1)，∴y＝x是单调递减的，过(0,1)点，选③.
【答案】 ③
2．方程4x＋2x－2＝0的解是________．
【解析】 设2x＝t，则原方程可化为t2＋t－2＝0，
解得t＝－2或t＝1，
由t>0，得t＝1.
故2x＝1，即x＝0.
【答案】 x＝0
3．已知集合M＝{－1,1}，N＝.则M∩N＝________.
【解析】 ∵<2x＋1<4，
∴2－1<2x＋1<22，
∴－1又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，
即N＝{0，－1}，
∴M∩N＝{－1}．
【答案】 {－1}
4．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则y1，y2，y3的大小关系为________．
【解析】 y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝－1.5＝21.5.
∵y＝2x在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44，
∴y1>y3>y2.
【答案】 y1>y3>y2
5．为了得到函数y＝3×x的图象，可以把函数y＝x的图象向________平移________个单位长度．
【解析】 y＝3×x＝x－1，将y＝x的图象右移1个单位即得y＝x－1的图象．
【答案】 右 1
6．如图3 1 1是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是________.
图3 1 1
【解析】 令x＝1，如图所示，
由图知c1>d1>a1>b1，
∴b【答案】 b7．已知函数f
(x)＝若f
(a)＋f
(1)＝0，则实数a＝________.
【解析】 依题意，f
(a)＝－f
(1)＝－21＝－2，∵2x>0，∴a≤0，∴f
(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3.
【答案】 －3
8．下列图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象只可能为________．(填序号)
【解析】 由指数函数y＝x的图象知0<<1，
∴a，b同号，二次函数y＝ax2＋bx的对称轴是直线
x＝－，而0>－>－，
∴②③④都不正确．
【答案】 ①
二、解答题
9．如果a2x＋1≤ax－5(a＞0，a≠1)，求x的取值范围.
【解】 ①当0＜a＜1时，由a2x＋1≤ax－5知2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
②当a＞1时，由a2x＋1≤ax－5，
知2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，
当0＜a＜1时，x的取值范围为{x|x≥－6}；
当a＞1时，x的取值范围为{x|x≤－6}．
10．作出下列函数的简图．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2－|x－1|；(3)y＝|2x－1－1|.
【解】 (1)y＝2x－1的图象经过点，(1,1)和(2,2)且是增函数，它是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的，如图(1)．
(2)y＝2－|x－1|＝|x－1|的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时是减函数，且与y＝x－1的图象相同，如图(2)．
(3)y＝|2x－1－1|的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，将x轴下方的图象沿x轴对折得到的．图象经过(1,0)及(2,1)点，如图(3)．
[能力提升]
1．函数y＝|2x－2|的图象是________．(填序号)
【解析】 y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方的部分对折到x轴的上方得到的．
【答案】 ②
2．若函数f
(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
【解析】 因为f
(x)在R上是增函数，
所以结合图象(略)知
解得4≤a<8.
【答案】 4≤a<8
3．已知a＝，函数f
(x)＝ax，若实数m，n满足f
(m)＞f
(n)，则m，n的大小关系为________．
【解析】 ∵0＜＜1，∴f
(x)＝ax＝x，
且f
(x)在R上单调递减．
又∵f
(m)＞f
(n)，∴m＜n.
【答案】 m＜n
4．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围.
【解】 当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图象(实线)，
由图可知1<2a<2，
即1矛盾．
当0∴当直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1的图象有两个交点时a的取值范围是.3.2.2
第2课时
对数函数的图象与性质的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在同一坐标系中，函数y＝log3
x与y＝log
x的图象关于________对称．
【解析】 y＝log
x＝－log3
x与y＝log3
x的图象关于x轴对称．
【答案】 x轴
2．若y＝(log
a)x在R上为减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由题知0a>.
【答案】
3．函数f
(x)＝loga
|x|＋1(0【解析】 将g(x)＝loga
x的图象不动，并将之关于y轴对称到y轴左侧，再上移1个单位，即得f
(x)的图象．
【答案】 ①
4．若函数f
(x)＝loga
x(0【解析】 ∵a∈(0,1)，∴f
(x)max＝loga
a＝1，f
(x)min＝loga
3a，
由题知loga
3a＝，∴a＝＝.
【答案】
5．函数f
(x)＝的值域为________．
【解析】 x≥1时，f
(x)≤0，
x<1时，0(x)<2，故f
(x)的值域为(－∞，2)．
【答案】 (－∞，2)
6．函数f
(x)＝lg
(4x－2x＋1＋11)的最小值是________．
【解析】 4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，
∴f
(x)≥lg
10＝1.
【答案】 1
7．已知函数f
(x)＝ln
x，g(x)＝lg
x，h(x)＝log3
x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
【解析】 法一：分别做出f
(x)，g(x)，h(x)的图象(图略)，通过作y＝a(a<0)可以看出x2法二：由题知f
(x1)＝a＝ln
x1，∴x1＝ea，同理x2＝10a，x3＝3a，结合指数函数y＝ex，y＝10x，y＝3x的图象可知，x2【答案】 x28．已知f
(x)是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f
(x)的最大值为1，则满足f
(log2
x)<1的解集为________．
【解析】 由题知－2≤log2
x<2，∴log2
2－2≤log2
x22，故≤x<4.
【答案】
二、解答题
9．(1)若loga
<1(a>0，a≠1)，求实数a的取值范围；
(2)已知f
(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f
(log
(3－x))的定义域.
【解】 (1)loga
<1，即loga
a.
当a>1时，函数y＝loga
x在(0，＋∞)上是单调增函数，
由loga
a，得a>，故a>1.
当0x在(0，＋∞)上是单调减函数，由loga
a，得a<，故0综上，实数a的取值范围为.
(2)由0≤log(3－x)≤1得，
log1≤log
(3－x)≤log，
所以≤3－x≤1，
解得2≤x≤.
所以函数y＝f
(log(3－x))的定义域为.
10．设函数y＝f
(x)满足lg
y＝lg(3x)＋lg(3－x)．
(1)求f
(x)的表达式；
(2)求f
(x)的值域；
(3)讨论f
(x)的单调性．(不用证明)
【解】 (1)∵lg
y＝lg(3x)＋lg(3－x)，
∴，即
又∵lg
y＝lg[3x(3－x)]，
∴y＝3x(3－x)＝－3x2＋9x，
即f
(x)＝－3x2＋9x(0＜x＜3)．
(2)∵－3x2＋9x＝－32＋且0＜x＜3，
∴0＜－3x2＋9x≤，即函数f
(x)的值域为.
(3)∵f
(x)＝－32＋，且0＜x＜3，
∴f
(x)在上单调递增，在上单调递减．
[能力提升]
1．若函数f
(x)＝loga
(x＋b)的图象如图3 2 2，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是下列中的________．(填序号)
图3 2 2
【解析】 由f
(x)的图象可知0【答案】 ④
2．已知函数f
(x)＝若f
(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【解析】 由题知 2【答案】 (2,3]
3．已知函数f
(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f
(log2
a)＋f
(loga)≤2f
(1)，则a的取值范围是________.
【解析】 ∵f
(log2
a)＋f
(loga)＝f
(log2
a)＋f
(－log2
a)＝2f
(log2
a)≤2f
(1)，
∴f
(log2
a)≤f
(1)，由f
(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴－1≤log2
a≤1，即log2
≤log2
a≤log2
2，
∴≤a≤2.
【答案】
4．已知函数f
(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f
(x)＋log
(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)∵函数f
(x)的图象关于原点对称，
∴函数f
(x)为奇函数，
∴f
(－x)＝－f
(x)，
即log＝－log＝log，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
所以a＝－1.
(2)f
(x)＋log(x－1)＝log＋log
(x－1)
＝log
(1＋x)，当x＞1时，log
(1＋x)＜－1.
∵当x∈(1，＋∞)时，f
(x)＋log
(x－1)＜m恒成立，
∴m≥－1.
即实数m的取值范围[－1，＋∞).