3．2.1 第1课时 对数的概念
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1．理解对数的概念．(重点)
2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点)
3．掌握常用对数与自然对数的定义．
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[基础·初探]
教材整理 对数的概念
阅读教材P72～P74，完成下列问题．
1．对数
一般地，如果a(a>0，a≠1)
( http: / / www.21cnjy.com )的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log10N，简记为lg_N.
3．自然对数
以e为底的对数称为自然对数．其中e＝2.718
28…是一个无理数，正数N的自然对数logeN，一般简记为ln_N.
4．几个特殊对数值
(1)loga1＝0，logaa＝1，loga＝－1.(其中a＞0且a≠1)．
(2)对数恒等式：alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)．
(3)零和负数没有对数．
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1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )
(2)对数式log32与log23的意义一样．( )
(3)对数的运算实质是求幂指数．( )
(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．( )
(5)lg
10＝ln
e＝1.( )
【解析】 (1)－2不能作底数；(2)log2
3与log3
2底和真数均不同，意义不一样；(4)a>0且a≠1.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．计算：log3
9＝________，2log2
3＝________.
【解析】 log3
9＝2,2log2
3＝3.
【答案】 2 3
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[小组合作型]
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对数的概念
( http: / / www.21cnjy.com ) 使对数log2a－2(10－4a)有意义的a的取值范围是________．
【精彩点拨】 根据对数中底数和真数的取值范围求解．
【自主解答】 要使log2a－2(10－4a)有意义，则
1
【答案】 1( http: / / www.21cnjy.com )
根据对数的定义，应满足底数大于0且不为1，真数大于0，列不等式组即可．
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[再练一题]
1．(1)使loga
(3a－2)有意义的a的取值范围是________．
(2)使logx2＋1
(－3x＋6)有意义的x的取值范围是________．
【解析】 (1)令 a>且a≠1.
(2)令 x<2，且x≠0.
【答案】 (1)a>且a≠1 (2)x<2且x≠0
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指数式与对数式的互化
( http: / / www.21cnjy.com ) (1)将下列各指数式改写成对数式：
①24＝16；②3－3＝；③5a＝20；④b＝0.45.
(2)将下列各对数式改写成指数式：
①log16＝－4；②log2128＝7；
③lg
0.01＝－2；④ln
10＝2.303.
【精彩点拨】 利用ax＝N x＝loga
N(a>0且a≠1)进行互化．
【自主解答】 (1)①24＝16 log216＝4.
②3－3＝ log3＝－3.
③5a＝20 log520＝a.
④b＝0.45 log0.45＝b.
(2)①－4＝16.
②27＝128.
③10－2＝0.01.
④e2.303＝10.
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1．并非所有指数式都可以直接化为对
( http: / / www.21cnjy.com )数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0时，才有ax＝N x＝logaN.
2．对数式logaN＝b是
( http: / / www.21cnjy.com )由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：
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[再练一题]
2．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________．
①N＝a2与logNa＝2；
②log4＝4与4＝4；
③－3＝64与log64＝－；
④logx＝z与xz＝y
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【解析】 ①N＝a2 loga
N＝2(a>0且a≠1)；③－3＝64 log
64＝－3.
【答案】 ②④
3．设a＝log3
7，b＝log3
28，则32a－b＝________.
【解析】 由题知3a＝7,3b＝28，
∴32a－b＝＝＝＝.
【答案】
[探究共研型]
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解指数、对数方程
探究1 方程x＝42，x＝33的解是什么？如何解x＝ab型的方程．
【提示】 x＝42＝16，x＝33＝27，
解x＝ab时按幂的运算法则计算即可．
探究2 方程x2＝4(x>0)，x3＝64的解是什么？如何解xk＝b(k∈Z)．
【提示】 x2＝4，∴x＝＝2，
x3＝64，∴x＝＝4，
xk＝b，∴x＝
即可通过开方运算求解．
探究3 方程2x＝8的解是什么？2x＝7呢？如何解ax＝b(a>0，a≠1)．
【提示】 ∵23＝8，∴2x＝8的解为x＝3，
2x＝7，∴x＝log2
7，
ax＝b，x＝loga
b即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．
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【精彩点拨】 利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．
【自主解答】 (1)9x＝27，∴(32)x＝33，即32x＝33，
∴2x＝3，∴x＝.
(2)∵ex＝e2，∴x＝2.
(3)5log＝2x－1＝25，∴x＝13.
(4)∵log2(log3(log4
x))＝0，∴log3(log4
x)＝20＝1，
∴log4
x＝31＝3，∴x＝43＝64，∴x＝64.
(5)∵x－4＝16，∴4＝16＝24，∴＝±2，∴x＝±.
又x>0，∴x＝.
(6)x＝－ln
e－3，∴－x＝ln
e－3，∴e－x＝e－3，∴－x＝－3，∴x＝3.
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解指数、对数方程时应注意：
(1)将对数式转化为指数式，构建方程转化为指数问题．
(2)利用幂的运算性质和指数函数的性质计算求解．
(3)x的取值范围是否在指对数式的互化中发生了改变．
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[再练一题]
4．求下列各式中的x值．
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【解】 (1)由题知2x2－1＝3x2＋2x－1，得x＝0或－2，
当x＝0时，2x2－1＝－1<0，∴x≠0，
当x＝－2时，符合题意，∴x＝－2.
(2)10x＝0.001＝10－3，∴x＝－3.
(3)x3＝8，∴x＝＝2.
(4)2log2
x2＝x2＝，∴x＝±.
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1．有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为________．
【解析】 ①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
【答案】 3
2．在N＝log(10－b)(b－2)中，实数b的取值范围是________．
【解析】 令∴2【答案】 (2,9)∪(9,10)
3．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为________．
【解析】 ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.
∴x＋y＋z＝9.
【答案】 9
4．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
【解析】 ∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22·3＝12.
【答案】 12
5．求值：
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( http: / / www.21cnjy.com )3.4.1
第2课时 用二分法求方程的近似解
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1．通过实例理解二分法的概念．(难点)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．
3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)
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[基础·初探]
教材整理 二分法
阅读教材P93至P96，完成下列问题．
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f
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(a)·f
(b)<0的函数y＝f
(x)，通过不断地把函数f
(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数f
(x)零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，使f
(a)·f
(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点x1＝.
(3)计算f
(x1)．
①若f
(x1)＝0，x1就是函数的零点；
②若f
(a)·f
(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；
③若f
(x1)·f
(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．
(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到零点近似值，否则重复步骤(2)～(4)．
3．用“二分法”求方程的近
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(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f
(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．
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1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(2)函数f
(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )
(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f
(x)在[a，b]内的所有零点得到．( )
【解析】 四句话都是错的．(1
( http: / / www.21cnjy.com ))中，二分法求出的解也有精确解，如f
(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f
(1)＝0.(2)中，
f
(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f
(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可．故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．用二分法求函数y＝f
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(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f
(2)·f
(3)＜0，取区间[2,3]的中点x1＝＝2.5，计算得f
(2.5)·f
(3)＞0，此时零点x0所在的区间是________．
【解析】 由于
所以f
(2)·f
(2.5)＜0，
所以x0∈(2,2.5)．
【答案】 (2,2.5)
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[小组合作型]
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“二分法”求方程的近似解
( http: / / www.21cnjy.com ) 证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0.1)
【精彩点拨】 构造函数f
(x)＝2x＋3x－6→验证f
(1)·f
(2)<0
→根据图象说明解唯一→利用二分法求近似解
【自主解答】 分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：
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在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．
由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，
方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，
并且这个解在区间(1,2)上．
设f
(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：
f
(1)<0，f
(2)>0 x1∈(1,2)，
f
(1)<0，f
(1.5)>0 x1∈(1,1.5)，
f
(1)<0，f
(1.25)>0 x1∈(1,1.25)，
f
(1.125)<0，f
(1.25)>0 x1∈(1.125,1.25)，
f
(1.187
5)<0，f
(1.25)>0 x1∈(1.187
5,1.25)，
f
(1.218
75)<0，f
(1.25)>0 x1∈(1.218
75，1.25)，
f
(1.218
75)<0，f
(1.234
375)>0 x1∈(1.218
75，1.234
375)．
因为1.218
75与1.234
375精确到0.1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为x1≈1.2.
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1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．
2．求方程f
(x)＝g(x)的近似值注意的
( http: / / www.21cnjy.com )问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f
(x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；②实施二分法时，需构造函数F
(x)＝f
(x)－g(x)，求F
(x)＝0的近似解．
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[再练一题]
1．求的近似值(精确到0.1)．
【解】 是x3＝2的根，因此可构造f
(x)＝x3－2，问题转化为“求f
(x)的零点的近似解”．
用二分法求其零点．
由f
(1)＝－1<0，f
(2)＝6>0.故可取区间[1,2]为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，如下：
f
(1)<0，f
(1.5)>0 x1∈(1,1.5)，
f
(1.25)<0，f
(1.5)>0 x1∈(1.25,1.5)，
f
(1.25)<0，f
(1.375)>0 x1∈(1.25,1.375)，
f
(1.25)<0，f
(1.312
5)>0 x1∈(1.25,1.312
5)，
至此可见，区间[1.25,1.312
5]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是精确到0.1的近似值．
[探究共研型]
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使用二分法的注意事项
探究1 使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？
【提示】 理论依据是零点存在性定理．
探究2 能用二分法求方程近似解的条件是什么？
【提示】 条件共三点：
(1)f
(x)图象连续不断；(2)起始的两个端点处的函数值异号；(3)每次区间等分后，必须有端点函数值异号．
( http: / / www.21cnjy.com ) (1)下列函数没有零点的是________，在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是________，一定不能用二分法求零点的是________．(填序号)
①y＝x－7；②y＝x－2；③y＝log4
x＋3；④y＝2x＋x；⑤y＝x2；⑥y＝－2x2；⑦y＝－2x－1.
(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是________，能用二分法求零点的是________．(填序号)
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【精彩点拨】 根据二分法的概念进行判断．
【自主解答】 (1)⑦中y<0，
( http: / / www.21cnjy.com )故没有零点，①②③可通过解方程求零点，④必须用二分法，⑤⑥虽有零点，但零点左右两侧没有变号，故不能用二分法．
(2)①⑤图中，与x轴交点两侧符号一致，不能用二分法，②③④均可用二分法，但④应该注意区间的选择．
【答案】 (1)⑦ ④ ⑤⑥ (2)①⑤ ②③④
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判断一个函数能否用二分法求其零点的依据
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[再练一题]
2．(1)下面关于二分法的叙述，正确的是________．(填序号)
①用二分法可求所有函数零点的近似值；
②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；
③二分法无规律可循；
④只有在求函数零点时才用二分法．
(2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是________．(填序号)
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【解析】 (1)只有函数的图象在
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(2)由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．
【答案】 (1)② (2)①
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1．用二分法求函数y＝f
(x)在
( http: / / www.21cnjy.com )区间(2,4)上的近似解，验证f
(2)·f
(4)<0，精确到0.1，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f
(2)·f
(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
【解析】 由f
(2)·f
(3)<0可知．
【答案】 (2,3)
2．用“二分法”可求近似解，对于精确到ε的说法正确的是________．(填序号)
①ε越大，零点的精确度越高；
②ε越大，零点的精确度越低；
③重复计算次数就是ε；
④重复计算次数与ε无关．
【解析】 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
【答案】 ②
3．在用二分法求函数f
(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是________．(填序号)
①[1,4]；②[－2,1]；③[－2,2.5]；④[－0.5,1]．
【解析】 因第一次所取的区间是[－2,
( http: / / www.21cnjy.com )4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有④在其中，故答案为④.
【答案】 ④
4．已知图象连续不断的函数y＝f
(
( http: / / www.21cnjy.com )x)在区间(0,0.1)上有唯一的零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．
【解析】 由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.
【答案】 4
5．用二分法求函数f
(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f
(1.600
00)＝0.200
f
(1.587
5)＝0.133
f
(1.575
0)＝0.067
f
(1.562
5)＝0.003
f
(1.556
2)＝－0.029
f
(1.550
0)＝－0.060
据此数据，求f
(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)．
【解】 由表中f
(1.562
5)＝0.003，
f
(1.556
2)＝－0.029，
∴f
(1.562
5)·f
(1.556
2)<0.
又因为1.562
5和1.556
2精确到0.01的近似值都为1.56，
故一个零点近似值为1.56.3.3 幂函数
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1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，
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2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)
3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)
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[基础·初探]
教材整理1 幂函数的概念
阅读教材P88开始至例1以上部分，完成下列问题．
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
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1．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.
【解析】 由题意得所以m＋n＝3.
【答案】 3
2．已知幂函数f
(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f
(－2)＝________.
【解析】 8＝2α，所以α＝3，
所以f
(x)＝x3，f
(－2)＝(－2)3＝－8.
【答案】 －8
教材整理2 幂函数的图象和性质
阅读教材P88例1～P89，完成下列问题．
常见幂函数的图象和性质
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判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象不经过第四象限．( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( )
(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．( )
【解析】 (1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．
(2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误．
(3)y＝x，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误．
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
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[小组合作型]
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幂函数的概念
( http: / / www.21cnjy.com ) 已知y＝(m2＋2m－2)
( http: / / www.21cnjy.com )＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
【精彩点拨】 由幂函数的定义列式求解．
【自主解答】 由题意得，
解得
∴m＝－3，n＝为所求．
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1．幂函数y＝xα要满足三个特征
(1)幂xα前系数为1；
(2)底数只能是自变量x，指数是常数；
(3)项数只有一项．
2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f
(x)＝xα，根据条件求出α.
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[再练一题]
1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)
①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝x；④y＝x2＋1；⑤y＝－；
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【解析】 根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．
【答案】 ③⑥
2．已知幂函数f
(x)＝xα的图象经过，则f
(100)＝________.
【解析】 由题知2α＝＝2
( http: / / www.21cnjy.com )，∴α＝－.
∴f
(x)＝x
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴f
(100)＝100
( http: / / www.21cnjy.com )＝＝.
【答案】
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比较大小
( http: / / www.21cnjy.com ) 比较下列各组数中两个数的大小：
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【精彩点拨】 可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．
【自主解答】 (1)∵y＝
( http: / / www.21cnjy.com )是[0，＋∞)上的增函数，且>，
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(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，
且－<－，
∴－1>－1.
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(4)由幂函数的单调性，知0.20.
( http: / / www.21cnjy.com )6<0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.
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比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：
(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；
(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
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[再练一题]
3．比较下列各组中两个数的大小：
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【解】 (1)因为函数
( http: / / www.21cnjy.com )在(0，＋∞)内是减函数，
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(2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a，
所以(a＋1)1.5＞a1.5.
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[探究共研型]
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幂函数的图象与性质
探究1 做幂函数y＝
( http: / / www.21cnjy.com )的图象应该怎么做？
【提示】 ①因为0<<1，故函数y＝
( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y＝x的上方，在(1，＋∞)上应在y＝x的下方．
②函数的定义域为R，且为偶函数，故将y轴右侧的图象关于y轴对称到y轴左侧，即得到y＝
( http: / / www.21cnjy.com )的图象．
探究2 从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？
【提示】 ①先看α，按α<0,0<α<1，α>1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．
②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．
探究3 作出
( http: / / www.21cnjy.com )的图象(草图)，并说明若
( http: / / www.21cnjy.com )
>
( http: / / www.21cnjy.com )时，x，y与0的大小关系有多少种？
【提示】
( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，
( http: / / www.21cnjy.com )
从图象可以看出，
( http: / / www.21cnjy.com )则有以下情况
①00>y.
( http: / / www.21cnjy.com ) 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N
)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)
( http: / / www.21cnjy.com )<(3－2a)
( http: / / www.21cnjy.com )的a的取值范围．
【精彩点拨】 据题中条件→列出不等式组→求出m→利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a
【自主解答】 ∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴3m－9<0，
解得m<3.
又m∈N
，∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1.
( http: / / www.21cnjy.com )
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，
或a＋1<0<3－2a，
解得( http: / / www.21cnjy.com )
1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．
2．求解此类题目的关键是弄清
( http: / / www.21cnjy.com )幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性或奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．
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[再练一题]
4．已知x2>
( http: / / www.21cnjy.com )，则x的取值范围是________.
【解析】 作出函数y＝x2和y＝
( http: / / www.21cnjy.com )的图象(如图所示)，易得x<0或x>1.
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【答案】 x<0或x>1
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1．下列所给出的函数中，是幂函数的是________．(填序号)
(1)y＝x－3；(2)y＝－x3；(3)y＝2x3；(4)y＝x3－1.
【解析】幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有(1)中函数是幂函数．
【答案】 (1)
2．已知幂函数y＝xα的图象过点(2，)，则f
(4)的值是________．
【解析】 将点(2，)代入幂函数可得f
(2)＝2α＝，解得α＝，即幂函数为f
(x)
( http: / / www.21cnjy.com )可得f
(4)＝4
( http: / / www.21cnjy.com )＝2.
【答案】 2
3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是________．(填序号)
(1)y＝x
( http: / / www.21cnjy.com )；(2)y＝x4；(3)y＝x－1；(4)y＝x3.
【解析】 根据幂函数y＝xn的性质，当n>
( http: / / www.21cnjy.com )0时，图象过点(0,0)，(1,1)点，在第一象限部分图象为增函数；当n<0时，图象过点(1,1)，在第一象限部分图象为减函数；排除(3)，其余三个函数中只有(2)是偶函数，因此选(2)．
【答案】 (2)
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【解析】
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【答案】 b>a>c
5．已知函数f
(x)＝x2－m是定义在[－3－m，m2－m]上的奇函数，求f
(m)的值.
【解】 奇函数的定义域关于原点对称，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或m＝－1.
当m＝3时，f
(x)＝x－1＝，定义域为[－6,6]，显然x＝0时函数无意义，
故m＝3舍去．
当m＝－1时，f
(x)＝x3，定义域为[－2,2]，显然符合题意，∴f
(m)＝(－1)3＝－1.3.2.2
第2课时 对数函数的图象与性质的应用
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1．能正确判断图象之间的变换关系．(重点)
2．理解并掌握对数函数的单调性．(重点)
3．会用对数函数的相关性质解综合题．(难点)
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[基础·初探]
教材整理 与对数函数有关的图象变换
阅读教材P84例3以下内容，完成下列问题．
1．平移变换
当b＞0时，将y＝loga
x的
( http: / / www.21cnjy.com )图象向左平移b个单位，得到y＝loga(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝loga(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝loga
x的图象向上平移b个单位，得到y＝logax＋b的图象，将y＝logax的图象向下平移b个单位，得到y＝logax－b的图象．
2．对称变换
要得到y＝loga
的图象，应将y＝loga
x的图象关于x轴对称．
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为了得到函数y＝lg
的图象，只需把函数y＝lg
x的图象上所有的点
________________________________________________________．
【解析】 y＝lg
＝lg
(x＋3)－1，故将y＝lg
x向左平移3个单位，再向下平移1个单位．【答案】 向左平移3个单位，再向下平移1个单位
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[小组合作型]
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对数函数的图象
( http: / / www.21cnjy.com ) 作出函数y＝|log2
(x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．
【精彩点拨】 可先作出y
( http: / / www.21cnjy.com )＝log2
x的图象，再左移2个单位得到y＝log2
(x＋2)，通过翻折变换得到y＝|log2
(x＋2)|，再向上平移4个单位即可．
【自主解答】 步骤如下：
(1)作出y＝log2
x的图象，如图(1)．
(2)将y＝log2
x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2
(x＋2)的图象，如图(2)．
(3)将y＝log2
(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得到y＝|log2
(x＋2)|的图象，如图(3)．
(4)将y＝|log2
(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x＋2)|＋4的图象，如图(4)．
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由图可知，函数的单调增区间为(－1，＋∞)．
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1．已知y＝f
(x)的图象，求y＝|f
(x＋a)|＋b的图象步骤如下：
y＝f
(x)→y＝f
(x＋a)→y＝|f
(x＋a)|→y＝|f
(x＋a)|＋b.
2．已知y＝f
(x)的图象，求y＝|f
(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：
y＝f
(x)→y＝f
(x＋a)→y＝f
(x＋a)＋b→y＝|f
(x＋a)＋b|.
从上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象做出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.
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[再练一题]
1．(1)若函数f
(x)＝a
( http: / / www.21cnjy.com )－x(a>0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数g(x)＝loga
(x＋1)的图象大致是________．(填序号)
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【解析】 因为函数f
(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )a－x是定义域为R的增函数，所以0(x＋1)的图象是由函数h(x)＝loga
x的图象向左平移1个单位得到的．
【答案】 ④
(2)已知lg
a＋lg
b＝0，则函数f
(x)＝ax与函数g(x)＝－logb
x的图象可能是________．(填序号)
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【解析】 由lg
a＋lg
b＝0，得lg
(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，
所以当01；当b>
( http: / / www.21cnjy.com )1时，0x与函数y＝logb
x的图象关于x轴对称．综合分析可知，②正确．
【答案】 ②
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值域问题
( http: / / www.21cnjy.com ) (1)已知函数f
(x)＝2logx的定义域为[2,4]，则函数f
(x)的值域是________．
(2)若函数f
(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．
(3)求函数f
(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域.
【精彩点拨】 (1)中利用f
(x)＝2logx在定义域[2,4]上为减函数求解．
(2)y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f
(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上是单调函数．
(3)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．
【自主解答】 (1)∵f
(x)＝2logx在[2,4]上为减函数，
∴x＝2时，f
(x)max＝2log2＝－2；
x＝4时，f
(x)min＝2log4＝－4，
∴f
(x)的值域为[－4，－2]．
(2)由题意得
∴loga2＝－1，
解得a＝.
【答案】 (1)[－4，－2] (2)
(3)∵－x2－4x＋12＞0，
又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，
∴0＜－x2－4x＋12≤16，
故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，
∴函数的值域为(－∞，4]．
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求函数值域或最大(小)值的常用方法
1．直接法
根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．
2．配方法
当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y＝a[f
(x)]2＋bf
(x)＋c)，求函数值域问题时，可以用配方法．
3．单调性法
根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．
4．换元法
求形如y＝logaf
(x)型函数值域的
( http: / / www.21cnjy.com )步骤：①换元，令u＝f
(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围．
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[再练一题]
2．(1)函数f
(x)＝log(9－x2)的单调增区间为________，值域为________．
【解析】 f
(x)的定义域为9－x2>0 x2<9 －3当x∈(－3,0)时，u(x)＝9－x2单调递增，∴f
(x)单调递减．
当x∈(0,3)时，u(x)＝9－x2单调递减，∴f
(x)单调递增．
∵9－x2∈(0,9]，∴log(9－x2)≥log9＝－2.
即函数的值域为[－2，＋∞)．
【答案】 (0,3) [－2，＋∞)
(2)当x∈[3,27]时，函数f
(x)＝log3
·log3
的值域为________．
【解析】 f
(x)＝log3
( http: / / www.21cnjy.com )·log3
＝(log3
x－1)(log3
x－2)＝(log3
x)2－3log3
x＋2＝2－，
令t＝log3
x，∵x∈[3,27]，∴t∈[1,3]，
∴f
(x)max＝2－＝2，
f
(x)min＝－.
【答案】
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对数函数的综合问题
( http: / / www.21cnjy.com ) 已知函数f
(x)＝lg
(2－x)－lg
(2＋x)．
(1)求值：f
＋f
；
(2)判断f
(x)的奇偶性；
(3)判断函数的单调性并用定义证明．
【精彩点拨】 (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．
【自主解答】 (1)f
＋f
＝lg
－lg
＋lg
－lg
＝0.
(2) －2又f
(－x)＝lg
(2＋x)－lg
(2－x)＝－f
(x)，
∴f
(x)为奇函数．
(3)设－2f
(x1)－f
(x2)＝lg
－lg
＝lg
，
∵(2－x1)(2＋x2)－(2＋x1)(2－x2)＝4(x2－x1)>0.
又(2－x1)(2＋x2)>0，(2＋x1)(2－x2)>0，
∴>1，∴lg
>0.
从而f
(x1)>f
(x2)，故f
(x)在(－2,2)上为减函数．
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对数函数性质的综合应用
1．常见的命题方式
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．
2．解此类问题的基本思路
首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
( http: / / www.21cnjy.com )
[再练一题]
3．已知函数f
(x)＝loga
(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f
(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f
(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
【解】 (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f
(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f
(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F
(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F
(x)min≥m即可．
∵F
(x)在[0,1)上是增函数，
∴F
(x)min＝F
(0)＝0.
故m≤0即为所求．
[探究共研型]
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解对数不等式(或方程)
探究1 对数函数的单调性，内容是什么？
【提示】 对数函数y＝loga
x，当a>1时，在(0，＋∞)上单调递增，
当0探究2 常数m能表示成对数形式吗？
【提示】 能．m＝loga
am.
探究3 在y＝loga
x中，a，x的要求是什么？
【提示】 a>0且a≠1，x>0.
( http: / / www.21cnjy.com ) 解下列方程或不等式．
(1)log2
(2x2－12x－1)＝log2
(－x＋5)；
(2)log(x－3)>log5；
(3)logx
>1；
(4)loga
x>2(a>0且a≠1)．
【精彩点拨】 根据对数函数的单调性求解即可，但应注意定义域的限制，在底不确定时应注意讨论．
【自主解答】 (1)由题知2x2－12x－1＝－x＋5，解得x＝－或x＝6.
当x＝－时，2x2－12x－1＝>0，－x＋5＝>0.符合题意．
当x＝6时，2x2－12x－1<0,5－x<0，∴不合题意．
故x＝－是原方程的解．
(2)由于y＝logx单调递减，∴log(x－3)>log5可转化为 3∴原不等式的解集为{x|3(3)当x>1时，
原不等式化为logx>logx
x.
∴x<，这与x>1矛盾；
当0原不等式可化为logx>logx
x，
∴x>.
结合0故原不等式的解集为.
(4)当a>1时，原不等式化为loga
x>loga
a2，
∴x>a2，
当0x>loga
a2，
∴0综上，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>a2}
当0( http: / / www.21cnjy.com )
1．解对数方程不等式需考虑对数定义中的
( http: / / www.21cnjy.com )隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．
2．当不等式中有两个变元时应分清主变元是谁．
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[再练一题]
4．若loga＜1，则a的取值范围是________.
【解析】 由loga＜1，得loga＜loga
a.
当a＞1时，有a＞，即a＞1；
当0＜a＜1时，则有a＜，即0＜a＜.
综上可知，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
【答案】 ∪(1，＋∞)
5．已知定义域为R的偶函数f
(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f
＝0，则不等式f
(log4
x)<0的解集是________．
【解析】 ∵f
(x)是R上的偶函数，f
＝0，
∴f
＝0.
又f
(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴由f
(log4
x)<0知－x<，
即log4
4－x4，
∴4－∴解集是.
【答案】
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1．若a>0且a≠1，则函数y＝loga
(x＋1)＋1的图象恒过定点的坐标为________．
【解析】 将y＝loga
x左移1个单位
( http: / / www.21cnjy.com )，再上移1个单位，则得到y＝loga
(x＋1)＋1的图象，由于y＝loga
x过定点(1,0)，故y＝loga
(x＋1)＋1过定点(0,1)．
【答案】 (0,1)
2．已知函数f
(x)＝lg
，若f
(a)＝4，则f
(－a)＝________.
【解析】 f
(a)＝lg
＝4，
f
(－a)＝lg
＝－lg
＝－4.
【答案】 －4
3．已知函数y＝f
(2x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f
(log2
x)的定义域为________．
【解析】 由题知x∈[－1,2]时，2x∈，
∴log2
x∈，∴x∈[，16]，
∴y＝f
(log2
x)的定义域为[，16]．
【答案】 [，16]
4．函数f
(x)＝1＋log2
x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是________．(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】 y＝log2
x的
( http: / / www.21cnjy.com )图象向上平移1个单位得到f
(x)的图象，故f
(x)必过点(1,1)，g(x)可由y＝2－x的图象右移1个单位得到，故g(x)必过点(1,1)．
【答案】 ③
5．求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
【解】 ∵2≤x≤4，则由y＝logx在区间[2,4]上为减函数知，
log2≥logx≥log4，即－2≤logx≤－1.
若设t＝logx，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.
而y＝t2－t＋5的图象的对称轴为t＝，且在区间上为减函数，而[－2，－1]
( http: / / www.21cnjy.com )，所以当t＝－2，即x＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，此函数取得最小值，最小值为.3.4.2 函数模型及其应用
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1．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点)
2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用(重点)．
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[基础·初探]
教材整理 函数模型及其应用
阅读教材P98至P100，完成下列问题．
1．常见的函数模型
(1)一次函数模型：f
(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f
(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)；
(3)二次函数模型：f
(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(4)指数函数模型：f
(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(5)对数函数模型：f
(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(6)幂函数模型：f
(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
(7)分段函数模型．
2．用函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
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1．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.
【解析】 设1月份利润为x，则12月份的利润y＝x(1＋2%)11＝kx，
∴k＝1.0211.
【答案】 1.0211
2．在一定范围内，某种产品的购买
( http: / / www.21cnjy.com )量y
t与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1
000
t，每吨为800元；购买2
000
t，每吨为700元，一客户购买400
t，单价应该是________元．
【解析】 依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
由x＝800，y＝1
000及x＝700，y＝2
000，
可得k＝－10，b＝9
000，
即y＝－10x＋9
000，
将y＝400代入得x＝860(元)．
【答案】 860
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[小组合作型]
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利用已知函数模型解实际问题
1.一次、二次函数模型．
( http: / / www.21cnjy.com ) 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f
(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f
(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
f
(x)＝
(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5
min与开讲后20
min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13
min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
【精彩点拨】 精读题目，理解题意及分段函数的意义进行求解．
【自主解答】 (1)当0f
(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43
＝－0.1(x－13)2＋59.9.
故f
(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f
(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16(x)单调递减，
f
(x)<－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10
min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6
min.
(2)f
(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9
＝59.9－6.4＝53.5，
f
(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f
(5)．
因此，开讲后5
min学生的接受能力比开讲后20
min强一些．
(3)当0(x)＝55，
则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.
所以x＝20或x＝6，但0故x＝6.
当16(x)＝55，
则－3x＋107＝55.
所以x＝17.
因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17－6＝11≤13(min)，
所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．
[再练一题]
1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价
( http: / / www.21cnjy.com )不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)近似满足一次函数y＝kx＋b的关系(图象如图3 4 3所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
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图3 4 3
【解】 (1)由题图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，
得解得
所以y＝－x＋1
000(500≤x≤800)．
(2)由(1)可知S＝xy－500y＝(－x＋1
000)(x－500)
＝－x2＋1
500x－500
000
＝－(x－750)2＋62
500(500≤x≤800)，
故当x＝750时，Smax＝62
500.
即销售单价为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62
500元．
2．利用指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题．
( http: / / www.21cnjy.com ) 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
【精彩点拨】 第(1)问知v求Q，直接求得；第(2)问知Q求v，也是直接代入．
【自主解答】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中给出的公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的公式得：
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15
m/s.
[再练一题]
2．某学校为了预防甲型H1N1流感
( http: / / www.21cnjy.com )，对教室采用药熏消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图3 4 4所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
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图3 4 4
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到
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【解析】 药物释放过程中，室内每立方米空气中
( http: / / www.21cnjy.com )的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k≠0)，将点代入可得k＝10，则y＝10t；
将点代入y＝t－a，得a＝.
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1．应用已知函数模型解题，有两种题型：
(1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题；
(2)若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法．
2．信息量大是数学应用题的一大特点，当所
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3．有些实际问题，可能需要多个函数模型，这时应注意分段函数模型的使用，在写分段函数时必须注意区间端点值不能重复，也不能遗漏．
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[探究共研型]
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利用数据拟合建立函数模型解实际应用题
探究1 什么是数据拟合？
【提示】 数据拟合是研究变量之间相互影响、相互联系，并给出近似的数学表达式的一种方法．
探究2 用数据拟合法如何建立函数模型？
【提示】 一般是先做出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合．
( http: / / www.21cnjy.com ) 某人对西红柿市场做了一次调查，通过调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102
kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logb
t.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【精彩点拨】 根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据函数模型，然后再用该模型解决问题．
【自主解答】 (1)做出散点图，如图，根据散点图，应选取二次函数y＝at2＋bt＋c进行描述．
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由题意知
解得a＝，b＝－，c＝.
∴Q＝t2－t＋.
(2)由(1)知，Q＝(t－150)2＋100.
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本是最低100元/102
kg.
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根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．
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[再练一题]
3．有一组实验数据如下表所示：
t
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是________．(填序号)
①y＝logax(a＞1)；②y＝ax＋b(a＞1)；
③y＝ax2＋b(a＞0)；④y＝logax＋b(a＞1)．
【解析】 通过所给数据结合散点图可知y随x增大，其增长速度越来越快，而①④中的函数增长速度越来越慢，而②中的函数增长速度保持不变．
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【答案】 ③
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1．用长度为20的铁丝围成一个长方形场地，使其一边靠墙，若靠墙的一边长设为x，则长方形的面积为________．
【解析】 因为靠墙的一边长为x，
则另一边长为＝10－，
则长方形的面积为y＝x(0【答案】 y＝x(02．已知：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)________．(填序号)
(1)y＝a＋；
(2)y＝a＋bx；
(3)y＝a＋logb
x；
(4)y＝a·bx.
【解析】 由表知x可以取“0”，排除(1)、(3)，
对于(2)：当x＝0时，y＝a＝1，∴a＝1，
当x＝1时，y＝a＋b＝2.02.b可以取1，
当x＝2时，y＝1＋2＝3；
当x＝3时，y＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有(4)正确．
【答案】 (4)
3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的
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图3 4 5
【解析】 由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1
300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.
【答案】 300
4．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃
( http: / / www.21cnjy.com )过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升．直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是________．(填序号)
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【解析】 从亮亮的体温变化可以看出图象应为：早晨37
℃以上37
℃(中午)晚上37
℃.
【答案】 (3)
5．某工厂生产一种机器的固
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【解】 ∵市场对此产品的年需求量为5百台，
∴当x≤5时，产品能售出x台，x＞5时只能售出5百台，故利润函数为：
L(x)＝R(x)－C(x)＝
＝
当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－0.5x2－0.5，
当x＝4.75时，得L(x)max＝L
(4.75)＝10.8万元；
当x＞5时，L(x)＝12－0.25x，利润在12－0.25×5＝10.75万元以下，
故生产475台时利润最大．3．1.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质
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1．理解指数函数的概念．(重点)
2．掌握指数函数的图象和性质．(重点)
3．能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)
4．掌握函数图象的平移变换和对称变换．
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[基础·初探]
教材整理1 指数函数的概念
阅读教材P64前四段，完成下列问题．
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.
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下列函数中，是指数函数的为________．(填序号)
(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；
(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．
【解析】 只有(4)，(6)是指数函数
( http: / / www.21cnjy.com )，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．
【答案】 (4)(6)
教材整理2 指数函数的图象和性质
阅读教材P64中至P67“思考”，完成下列问题．
指数函数的图象与性质
a>1
0图象
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1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)函数y＝3·2x是指数函数．( )
(2)指数函数的图象与x轴永不相交．( )
(3)函数y＝2－x在R上为增函数．( )
(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( )
【解析】 (1)y＝3·2x的系数为3，故y＝3·2x不是指数函数．
(2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x轴不相交．
(3)y＝2－x＝x是减函数．
(4)a>1时，若x<0，则ax<1.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．若函数f
(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点(2,9)，则f
(x)＝________.
【解析】 由于a2＝9，∴a＝±3.∵a＞0，∴a＝3，
∴f
(x)＝3x.
【答案】 3x
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[小组合作型]
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指数函数的概念
( http: / / www.21cnjy.com ) 函数f
(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，求实数a的值．
【精彩点拨】 利用指数函数的定义求解．
【自主解答】 ∵函数f
(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，
∴∴
∴a＝6，即a的值为6.
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指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.
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[再练一题]
1．已知y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是________．
【解析】 要使y＝(2a－1)x是指数函数，则2a－1>0且2a－1≠1，
∴a>且a≠1.
【答案】 a>且a≠1
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利用单调性比较大小
( http: / / www.21cnjy.com ) 比较下列各组数的大小：
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【精彩点拨】 观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．
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在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：
(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
(2)底数不同、指数同：利用指数函
( http: / / www.21cnjy.com )数的图象进行解决．在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可．
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象．
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[再练一题]
2．比较下列各组数的大小：
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【解】 (1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π<－3，
∴1.9－π<1.9－3.
(2)∵y＝0.6x在R上递减，
∴0.60.4>0.60.6.
又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x图象的上方，
∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.
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利用单调性解指数不等式
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【精彩点拨】 化为同底，利用指数函数的单调性求解．
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1．形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
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[再练一题]
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【解析】 (1)∵2
( http: / / www.21cnjy.com )<2－(x＋1)≤22，又y＝2x是增函数，
∴<－(x＋1)≤2，
解得－3≤x<－.
【答案】
(2)讨论：①当a>1时，3x－2≤x＋2，∴x≤2.
②当0综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x≤2}
当0[探究共研型]
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图象变换及其应用
探究1 在同一坐标系中作出y＝2x，y＝
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【提示】
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结论：y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到；
y＝2x＋1＋2的图象是由y＝2x＋1的图象再向上平移2个单位得到；
y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到；
y＝2x－1－2的图象是由y＝2x－1的图象再向下平移2个单位得到．
探究2 在同一坐标系中，做出y＝2x
( http: / / www.21cnjy.com )－1，y＝3x－1，y＝x－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能否由此得出结论y＝ax－1均过该点．在另一坐标系中，做出y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝x＋1－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么，能得出y＝ax＋1－1均过该点的结论吗？由以上两点，能否说明形如y＝ax＋m＋n(m，n>0)的图象经过的定点是什么？
【提示】
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结论：y＝2x－1，y＝3x－1，y＝
( http: / / www.21cnjy.com )x－1都过定点(0,0)，且y＝ax－1也总过定点(0,0)．y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝x＋1－1都过定点(－1,0)，且y＝ax＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y＝ax＋m＋n的图象经过定点(－m,1＋n)．
探究3 除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y＝4a2x－4＋3是否过定点．
【提示】 还可以整体代换．
将y＝4a2x－4＋3变形为＝a2x－4.
令 即y＝4a2x－4＋3过定点(2,7)．
( http: / / www.21cnjy.com ) (1)函数y＝3－x的图象是________．(填序号)
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(2)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限．
(3)函数f
(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点________．
【精彩点拨】 题(1)中可将y＝3－x转化为y＝x.
题(2)中，函数y＝ax＋b的图象过点(0,1＋b)，
因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．
题(3)应该根据指数函数经过定点求解．
【自主解答】 (1)y＝3－x＝x为单调递减的指数函数，其图象为②.
(2)函数y＝ax(0＜a＜1
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(3)令x＋1＝0，得x＝－1，此时y＝2a0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．
【答案】 (1)② (2)一 (3)(－1，－1)
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1．处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图象过定点问题的处理方法
求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
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[再练一题]
4．函数y＝f
(x)＝ax＋2－(a>1)的图象必过定点________，其图象必不过第________象限.
【解析】 y＝ax(a>1)在R上单调递增，必过(0,1)点，
故求f
(x)所过的定点时可以令 即定点坐标为.结合图象(略)可知，f
(x)的图象必在第一、二、三象限，不在第四象限．
【答案】 四
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1．下列所给函数中为指数函数的是________．(填序号)
①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝4x2；⑥y＝x2；⑦y＝(2a－1)x.
【解析】 形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数为指数函数，故①⑦是指数函数．
【答案】 ①⑦
2．已知指数函数f
(x)的图象过点(4,81)，则f
(6)的值为________．
【解析】 设f
(x)＝ax，则a4＝81，∴a＝3，∴f
(6)＝36＝729.
【答案】 729
3．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.
【解析】 由题意可知，0<2－a<1，
即1【答案】 (1,2)
4．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．
【解析】 指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．
【答案】 (5,2)
5．画出函数y＝2|x|的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．
【解】 当x≥0时y＝2|x|＝2x；
当x＜0时y＝2|x|＝x.
∴函数y＝2|x|的图象如图所示，
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由图象可知，y＝2|x|的图象关于y轴对称，值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．3．1.1 分数指数幂
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1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)
2．掌握有理指数幂的运算法则．(重点)
3．了解实数指数幂的意义．
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[基础·初探]
教材整理1 根式
阅读教材P59～P60例1，完成下列问题．
1．平方根与立方根的概念
如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果
( http: / / www.21cnjy.com )x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．
2．a的n次方根
(1)定义：一般地，如果一个实数x满足xn
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)，那么称x为a的n次实数方根，式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)几个规定：
①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记作x＝；
②当n为偶数时，正数的n次实数方根有2个，
( http: / / www.21cnjy.com )它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)形式；
③0的n次实数方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．
3．根式的性质
(1)＝0(n∈N
，且n>1)；
(2)()n＝a(n∈N
，且n>1)；
(3)()＝a(n为大于1的奇数)；
(4)()＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
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1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)16的四次方根为2.( )
(2)＝π－4.( )
(3)＝－2.( )
【解析】 (1)16的四次方根有两个，是±2；(2)＝|π－4|＝4－π；(3)没意义．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为________．
【解析】 x－1≥0，∴x≥1.
【答案】 x≥1
教材整理2 分数指数幂
阅读教材P60“分数指数幂”至P61例3，完成下列问题．
1．分数指数幂的意义
一般地，我们规定：
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(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
2．有理数指数幂的运算性质
(1)asat＝as＋t；
(2)(as)t＝ast；
(3)(ab)t＝atbt，
(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．
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1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是________．(填序号)
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【解析】 根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．
【答案】 (1)(2)
2．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.
【解析】 52x－y＝＝＝＝8.
【答案】 8
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[小组合作型]
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根式的性质
( http: / / www.21cnjy.com ) 求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)－，x∈(－3,3)．
【精彩点拨】 利用根式的性质进行求解．
【自主解答】 (1)＝－2.
(2)＝＝.
(3)＝|3－π|＝π－3.
(4)＝＝|a3|＝
(5)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.
当1因此，原式＝
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1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．注意与()n的区别
()n＝a(当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，a≥0)；
＝
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[再练一题]
1．(1)化简：()2＋＋＝________.
(2)若＋＝0，则yx＝________.
【解析】 (1)易知a－1≥0，原式＝(a－1)＋|a－1|＋1－a＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1.
(2)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|，
∴
∴yx＝(－3)1＝－3.
【答案】 (1)a－1 (2)－3
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根式与分数指数幂的互化
( http: / / www.21cnjy.com ) 将下列根式化成分数指数幂的形式．
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【精彩点拨】 利用分数指数幂的意义以及有理指数幂的运算性质进行转化．
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[再练一题]
2．将下列根式化成分数指数幂的形式．
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分数指数幂的运算
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【精彩点拨】 将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．
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指数幂与根式运算的技巧
1．有理数指数幂的运算技巧
(1)运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算．
(2)指数的处理：负指数先化为正指数．(底数互为倒数)
(3)底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示．
2．根式运算技巧
(1)各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算．
(2)多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂．
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【答案】 (1)ac (2)①36.5 ②5
[探究共研型]
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条件求值问题
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探究2 立方和(差)公式是什么？
【提示】 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
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【精彩点拨】 应用乘法公式进行计算．
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【答案】 194 52
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条件求值问题的常用方法
1．整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
2．求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
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[再练一题]
4．已知a＞0，a2x＝3，求的值．
【解】 因为a＞0，a2x＝3，所以ax＝，
所以a－x＝，a3x＝3，a－3x＝，
所以＝＝.
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1．以下说法正确的是________．(填序号)
①正数的n次方根是正数；
②负数的n次方根是负数；
③0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N
)；
④a的n次方根是.
【解析】 由于正数的偶次方
( http: / / www.21cnjy.com )根有互为相反数的两个方根，故①错；由于负数的偶次方根无意义，故②错；③显然正确；当a＜0时，只有n为大于1的奇数时才有意义，故④错．
【答案】 ③
2．计算：＝________.(x<1)
【解析】 原式＝＝|x－1|＝1－x.
【答案】 1－x
3．计算[(－)2]
( http: / / www.21cnjy.com )的结果是________．
【解析】 [(－)2]
( http: / / www.21cnjy.com )＝2
( http: / / www.21cnjy.com )＝.
【答案】
4．计算：()4()4＝________.
【解析】
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【答案】 a4
5．若代数式＋有意义，化简：
＋2.
【解】 由＋有意义，
则即≤x≤2.
故＋2
＝＋2
＝|2x－1|＋2|x－2|
＝2x－1＋2(2－x)＝3.3．4.1 第1课时 函数的零点
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1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点)
2．会求函数的零点．(重点、难点)
3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
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[基础·初探]
教材整理1 零点的概念
阅读教材P91至P92例1，完成下列问题．
1．函数零点的定义
一般地，我们把使函数y＝f
(x)的值为0的实数x称为函数y＝f
(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
(1)函数y＝f
(x)的零点就是方程f
(x)＝0的实数根．
(2)函数y＝f
(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．
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函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．
【解析】 令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.
【答案】 －1或－2 (－1,0)，(－2,0)
教材整理2 零点存在性定理
阅读教材P92例2至P93“思考”，完成下列问题．
若函数y＝f
(x)在区间
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(a)·f
(b)<0，则函数y＝f
(x)在区间(a，b)上有零点．
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1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)任何函数都有零点．( )
(2)任意两个零点之间函数值保持同号．( )
(3)若函数y＝f
(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f
(a)·f
(b)＜0.( )
【解析】 (1)可举反例f
(x)＝x2＋1
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(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f
(x)为正，在(2,3)上f
(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f
(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f
(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f
(2)·f
(－2)>0.
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．若函数f
(x)在区间(2,5)上
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(2)·f
(5)＜0，则函数f
(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．
【解析】 由f
(x)在区间(2,5)上是
( http: / / www.21cnjy.com )减函数，可得f
(x)至多有一个零点．又因为f
(x)是一条连续不断的曲线，f
(2)·f
(5)＜0，所以f
(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f
(x)恰有一个零点．
【答案】 1
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[小组合作型]
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求函数的零点
( http: / / www.21cnjy.com ) 求下列函数的零点．
(1)f
(x)＝x3－x；(2)f
(x)＝2x－8；(3)f
(x)＝1－log4
x；(4)f
(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．
【精彩点拨】 根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．
【自主解答】 (1)∵f
(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，
令f
(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f
(x)的零点为x＝－1,0,1.
(2)令f
(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，
故f
(x)的零点为x＝3.
(3)令f
(x)＝1－log4
x＝0，∴log4
x＝1，∴x＝4.
故f
(x)的零点为x＝4.
(4)当a＝0时，函数为f
(x)＝－x＋2，
令f
(x)＝0，得x＝2.
∴f
(x)的零点为2.
当a＝时，f
(x)＝(x－2)＝(x－2)2，
令f
(x)＝0得x1＝x2＝2.
∴f
(x)有零点2.
当a≠0且a≠时，
令f
(x)＝0得x1＝，x2＝2.
∴f
(x)的零点为，2.
综上，当a＝0时，f
(x)的零点为2；当a＝时，函数有零点2；当a≠0且a≠时，f
(x)的零点为，2.
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函数零点的求法
求函数f
(x)的零点时，通常转化为解
( http: / / www.21cnjy.com )方程f
(x)＝0，若方程f
(x)＝0有实数根，则函数f
(x)存在零点，该方程的根就是函数f
(x)的零点；否则，函数f
(x)不存在零点．
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[再练一题]
1．若函数f
(x)＝x2－ax＋b有两个零点1和4，则函数g(x)＝bx2－ax＋1的零点为________．
【解析】 由韦达定理得∴g(x)＝4x2－5x＋1＝(4x－1)(x－1)，
令g(x)＝0，则x＝或1，即g(x)的零点为或1.
【答案】 或1
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零点存在性定理及其应用
( http: / / www.21cnjy.com ) 在下列区间中，函数f
(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．(填序号)
①；②；③；④.
【精彩点拨】 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f
(a)f
(b)<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点．
【自主解答】 ∵f
＝－2<0，
f
＝－1>0，
∴零点在上．
【答案】 ③
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1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象．
2．要正确理解和运用函数
( http: / / www.21cnjy.com )零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f
(x)的图象在[a，b]上连续，且f
(a)·f
(b)<0，则f
(x)在(a，b)上必有零点，若f
(a)·f
(b)>0，则f
(x)在(a，b)上不一定没有零点．
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[再练一题]
2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋3
2
3
4
5
6
①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．
【解析】 设f
(x)＝ex－(x＋3
( http: / / www.21cnjy.com ))，由上表可知，f
(－1)＝0.37－2<0，f
(0)＝1－3<0，f
(1)＝2.72－4<0，f
(2)＝7.40－5>0，f
(3)＝20.12－6>0，∴f
(1)·f
(2)<0，
因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．
【答案】 ③
[探究共研型]
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方程零点个数的判断
探究1 如何去求一个方程的零点？
【提示】 (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理．
探究2 求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？
【提示】 解方程法．优点：解的准确，不需估算．
缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f
(x)＝2x－3x.
图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．
( http: / / www.21cnjy.com ) (1)函数f
(x)＝ex－3的零点个数为________．
(2)函数f
(x)＝ln
x－的零点个数是________．
(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．
【精彩点拨】 (1)利用函数
( http: / / www.21cnjy.com )的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直线y＝a与抛物线y＝(x－1)(3－x)＋x的位置关系讨论，也可以利用判别式．
【自主解答】 (1)令f
(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln
3，故f
(x)只有1个零点．
(2)
在同一坐标系中画
( http: / / www.21cnjy.com )出y＝ln
x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln
x与y＝的图象有两个交点，所以函数f
(x)＝ln
x－的零点个数为2.
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【答案】 (1)1 (2)2
(3)法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a.
令f
(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.
作函数f
(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为＝，画出如图所示的简图：
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由图象可以看出：
①当a＞时，方程没有实数根；
②当a＝时，方程有两个相等的实数根；
③当a＜时，方程有两个不相等的实数根．
法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0.
Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13.
①当Δ＜0，即a＞时，方程没有实数根；
②当Δ＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＞0，即a＜时，方程有两个不相等的实数根．
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判断函数零点的个数的方法
( http: / / www.21cnjy.com )主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
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[再练一题]
3．若把(3)中x加以限制(1＜x＜3)，求解相应问题．
【解】 原方程可化为－x2＋5x－3＝a(1＜x＜3)，
作函数f
(x)＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象，注意f
(x)＝－x2＋5x－3的对称轴为x＝，
f
＝－＋－3＝＝，
f
(1)＝－1＋5－3＝1，f
(3)＝－9＋15－3＝3.
故f
(x)在1＜x＜3上的草图如图所示：
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由图可知，
①当a＝或1＜a≤3时，方程有一解；
②当3＜a＜时，方程有两解；
③当a≤1或a＞时，方程无解.
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1．下列图象表示的函数中没有零点的是________．(填序号)
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【解析】 ②③④的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，①的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．
【答案】 ①
2．函数f
(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是________．
【解析】 ∵f
(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
由f
(x)＝0，得x＝－5或x＝1或x＝2.
【答案】 3
3．已知函数f
(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f
(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f
(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数f
(x)存在零点的区间有________个．
【解析】 ∵f
(2)·f
(3)＜0，f
( http: / / www.21cnjy.com )(3)·f
(4)＜0，f
(4)·f
(5)＜0，f
(6)·f
(7)＜0，∴共有4个区间．
【答案】 4
4．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是________．
【解析】 设f
(x)＝0.9x－x，则f
(x)为减函数，值
域为R，故有1个．
【答案】 1
5．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围.
【解】 令f
(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或
即或
解得－第2课时 对数的运算性质
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1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)
2．了解换底公式．
3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)
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[基础·初探]
教材整理1 对数的运算性质
阅读教材P75～P76，完成下列问题．
1．符号表示
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN.
2．文字表述
(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；
(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．
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1．判断(正确的打“√”
，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( )
(3)loga(－2)4＝4loga(－2)．( )
【解析】 根据对数的运算性质(1)只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(2)错误，(3)中－2不能作真数．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．(1)log2
25－log2
＝________；(2)log2
8＝________.
【解析】 (1)log2
25－log2
＝log2
25×＝log2
4＝log2
22＝2log2
2＝2.
(2)log2
8＝log2
23＝3log2
2＝3.
【答案】 (1)2 (2)3
教材整理2 换底公式
阅读教材P77～P78，完成下列问题．
1．换底公式
一般地，我们有logaN＝，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．
2．与换底公式有关的几个结论
(1)loga
b·logb
a＝1(a，b>0且a，b≠1)；
(2)logambn＝loga
b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．
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若lg
5＝a，lg
7＝b，用a，b表示log75＝________.
【解析】 log75＝＝.
【答案】
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[小组合作型]
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对数运算性质的应用
( http: / / www.21cnjy.com ) 计算下列各式的值．
(1)lg
2＋lg
5；(2)lo
( http: / / www.21cnjy.com )g5
35＋2log－log5
－log5
14；(3)[(1－log6
3)2＋log6
2·log6
18]÷log6
4.
【精彩点拨】 根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．
【自主解答】 (1)lg
2＋lg
5＝lg
(2×5)＝lg
10＝1.
(2)原式＝log5
＋2log
2＝log5
53－1＝2.
(3)原式＝[(log6
6－log6
3)2＋log6
2·log6(2·32)]÷log6
4
＝÷log6
22
＝[(log6
2)2＋(log6
2)2＋2log6
2·log6
3]÷2log6
2
＝log6
2＋log6
3＝log6(2·3)＝1.
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1．对于同底的对数的化简要用的方法
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．
2．注意对数的性质的应用，如loga
1＝0，loga
a＝1，aloga
N＝N.
3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．
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[再练一题]
1．计算下列各式的值：
(1)lg
－lg
＋lg
；
(2)lg
25＋lg
8＋lg
5×lg
20＋(lg
2)2；
(3)2log3
2－log3
＋log3
8－5log5
3.
【解】 (1)法一：原式＝(5lg
2－2lg
7)－×lg
2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5＝(lg
2＋lg
5)
＝lg
10＝.
法二：原式＝lg
－lg
4＋lg
7
＝lg
＝lg
(·)＝lg
＝.
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋l
( http: / / www.21cnjy.com )g
5(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝2log3
2－(log3
( http: / / www.21cnjy.com )32－log3
9)＋3log3
2－3＝2log3
2－5log3
2＋2＋3log3
2－3＝－1.
( http: / / www.21cnjy.com ) 化简：
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【精彩点拨】 将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．
【自主解答】 (1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2
214＝14.
(2)lg
24＝lg
(3×8)＝lg
3＋lg
8＝lg
3＋3lg
2.
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这类问题一般有两种处理方法：
一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、
( http: / / www.21cnjy.com )商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠loga
M·loga
N，loga(M±N)≠loga
M±loga
N.
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[再练一题]
2．化简：
(1)log(45×82)；(2)log
27－log9；
(3)用lg
x，lg
y，lg
z表示lg
.
【解】 (1)log(45×82)＝log
(210×26)＝log
216＝16log
2＝16×2＝32.
(2)log27－log9＝log＝log3＝－1.
(3)lg
＝lg
x2＋lg
－lg
＝2lg
x＋lg
y－lg
z.
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换底公式及其应用
( http: / / www.21cnjy.com ) (1)已知3a＝5b＝c，且＋＝2，则c的值为________．
(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
①求p；
②证明：－＝.
【精彩点拨】 用换底公式统一底数再求解．
【自主解答】 (1)由3a＝5b＝c，得a＝
( http: / / www.21cnjy.com )log3c，b＝log5c，所以＝logc3，＝logc5.又＋＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝.
【答案】
(2)①设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，
解得p＝2log34.
②证明：－＝－
＝logk6－logk3＝logk2，
而＝＝logk4＝logk2.
故－＝.
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1．换底公式即将底数不同的对数
( http: / / www.21cnjy.com )转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．
2．换底公式推导出的两个恒等式：
(1)logamNn＝loga
N；
(2)loga
b·logb
a＝1，要注意熟练应用．
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[再练一题]
3．计算：(log2
125＋log4
25＋log8
5)(log5
2＋log25
4＋log125
8)．
【解】 原式＝(log2
53＋log22
52＋log23
5)(log5
2＋log52
22＋log53
23)
＝(3log2
5＋log2
5＋log2
5)·(log5
2＋log5
2＋log5
2)
＝·log2
5·3log5
2＝13.
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对数运算在实际问题中的应用
( http: / / www.21cnjy.com ) 2015年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1，lg
1.08≈0.033
4，精确到1年)
【精彩点拨】 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．
【自主解答】 设经过x年，我国国民生产总值是2015年的2倍．
经过1年，总产值为a(1＋8%)，
经过2年，总产值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，总产值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2，
两边取常用对数，得lg
1.08x＝lg
2，
则x＝≈≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．
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解对数应用题的步骤
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[再练一题]
4．2000年我国国内生产总值(G
( http: / / www.21cnjy.com )DP)为89
442亿元，如果我国的GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？(lg
2≈0.301
0，lg
1.078≈0.032
6，结果保留整数)．
【解】 假设经过x年实现GD
( http: / / www.21cnjy.com )P比2000年翻两番的目标，根据题意，得89
442×(1＋7.8%)x＝89
442×4，即1.078x＝4，故x＝log1.078
4＝≈18.5.
答：约经过19年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标．
[探究共研型]
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含对数式的方程的解法
探究1 对数的运算性质有哪些？
【提示】 loga
MN＝loga
M＋lo
( http: / / www.21cnjy.com )ga
N，loga
＝loga
M－loga
N，loga
b＝，loga
Mn＝nloga
M，logam
bn
＝loga
b.
探究2 解对数方程loga
M＝loga
N，应注意什么？
【提示】
( http: / / www.21cnjy.com ) 已知lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，求log的值．
【精彩点拨】 根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可．
【自主解答】 lg
x＋lg
y＝lg
(xy)＝2lg
(x－2y)＝lg
(x－2y)2，
由题知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
∴2－5＋4＝0，
∴＝0，故＝1或4.
又当x＝y时，x－2y＝－y<0，故舍去，∴＝4.
∴log
＝log
4＝－2.
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解含对数式的方程应注意两点：
(1)对数的运算性质；
(2)对数中底数和真数的范围限制．
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[再练一题]
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【解】 原方程等价于3(2log3
x)－4log42
x2－12＝0，
即3log3
x2－4log4
x－12＝0，
∴x2－x－12＝0，
∴(x＋3)(x－4)＝0，
∴x＝4或－3.
又∴x＝4，
即原方程的解为x＝4.
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1．log2
27·log3
4＝________；log2
3·log3
10·lg
8＝________.
【解析】 log2
27·log3
4＝log2
33·log3
22＝(3log2
3)·(2log3
2)＝6.
log2
3·log3
10·lg
8＝··＝＝log2
8＝3.
【答案】 6 3
2．已知lg
2＝a，lg
7＝b，那么log8
98＝________.
【解析】 log8
98＝＝＝.
【答案】
3．若log5
·log4
6·log6
x＝2，则x＝________.
【解析】 log5
·log4
6·log6
x＝·＝－log5
x＝2，∴log5
x＝－2，∴x＝5－2＝.
【答案】
4．已知2m＝5n＝10，则＋＝________.
【解析】 因为m＝log2
10，n＝log5
10，所以＋＝log10
2＋log10
5＝lg
10＝1.
【答案】 1
5．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg
2＋lg
x＋lg
y，求的值．
【解】 由已知条件得
即
整理得
∴x－2y＝0，∴＝2.3．2.2 第1课时 对数函数的概念、图象与性质
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1．理解对数函数的概念．
2．掌握对数函数的图象和性质．(重点)
3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)
4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)
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[基础·初探]
教材整理1 对数函数的概念
阅读教材P81“对数函数”至P81思考，完成下列问题．
对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．
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1．函数y＝(a2－4a＋4)logax是对数函数，则a＝________.
【解析】 由a2－4a＋4＝1，
解得a＝1或a＝3.
∵a＞0且a≠1，
∴a＝3.
【答案】 3
2．对数函数f
(x)的图象过点(4,2)，则f
(8)＝________.
【解析】 设f
(x)＝loga
x，则loga
4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，
∴f
(8)＝log2
8＝3.
【答案】 3
教材整理2 对数函数的图象与性质
阅读教材P81“思考”～P84例2，完成下列问题．
1．对数函数的图象和性质
a>1
0图象
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续表
a>1
0性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)
在(0，＋∞)上是单调增函数
在(0，＋∞)上是单调减函数
2.反函数
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．
一般地，如果函数y＝f
(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f
－1(x)．
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(1)函数f
(x)＝的定义域是________．
【解析】 x>－1且x≠1.
【答案】 {x|x>－1且x≠1}
(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
【解析】 由题意得1－2a＞1，所以a＜0.
【答案】 (－∞，0)
(3)若g(x)与f
(x)＝2x互为反函数，则g(2)＝________.
【解析】 f
(x)＝2x的反函数为y＝g(x)＝log2
x，
∴g(2)＝log2
2＝1.
【答案】 1
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[小组合作型]
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对数函数的概念
( http: / / www.21cnjy.com ) 判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．
①y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
②y＝log2x－1；
③y＝2log8x；
④y＝logxa(x＞0，且x≠1)．
【精彩点拨】 依据对数函数的定义来判断．
【自主解答】 ①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
②中对数式后减1，
∴不是对数函数；
③中log8x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
④中底数是自变量x，而不是常数a，
∴不是对数函数．
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一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x.
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[再练一题]
1．对数函数f
(x)满足f
(2)＝2，则f
＝________.
【解析】 设f
(x)＝loga
x(a>0且a≠1)，
由题知f
(2)＝loga
2＝2，故a2＝2，∴a＝或－(舍)．
∴f
＝log
＝log2
＝－2.
【答案】 －2
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对数函数的定义域问题
( http: / / www.21cnjy.com ) 求下列函数的定义域．
(1)f
(x)＝logx－1(x＋2)；(2)f
(x)＝；
(3)f
(x)＝；(4)f
(x)＝(a>0且a≠1)．
【精彩点拨】 根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．
【自主解答】 (1)由题知解得x>1且x≠2，
∴f
(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(2)由
得 0≤x<1.
∴函数的定义域为[0,1)．
(3)由题知
∴x>1且x≠2.
故f
(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(4)
当a>1时，－a<－1.
由①得x＋a∴x<0.
∴f
(x)的定义域为－a当0由①得x＋a>a.
∴x>0.
∴f
(x)的定义域为{x|x>0}．
故所求f
(x)的定义域是：
当0当a>1时，x∈(－a,0)．
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求与对数函数有关的函数定义域时，除遵
( http: / / www.21cnjy.com )循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．
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[再练一题]
2．(1)函数y＝ln
(1－2x)的定义域为________．
(2)函数y＝的定义域为________．
【解析】 (1)由题知解得0≤x<，∴定义域为.
(2)由题知解得x>，∴定义域为.
【答案】 (1) (2)
[探究共研型]
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比较对数式的大小
探究1 在同一坐标系中做出y＝log
( http: / / www.21cnjy.com )2
x，logx，y＝lg
x，y＝log0.1
x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．
【提示】 图象如图．
( http: / / www.21cnjy.com )
结论：对于底数a>1的对数函数，在
( http: / / www.21cnjy.com )(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0探究2 函数y＝loga
x，y＝logb
x，y＝logc
x的图象如图3 2 1所示，那么a，b，c的大小关系如何？
( http: / / www.21cnjy.com )
图3 2 1
【提示】 由图象可知a>1，b，c都
( http: / / www.21cnjy.com )大于0且小于1，由于y＝logb
x的图象在(1，＋∞)上比y＝logc
x的图象靠近x轴，所以b探究3 从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．
【提示】 在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底依次变大．
( http: / / www.21cnjy.com ) (1)比较下列各组数的大小：
①log3
与log5
；②log1.1
0.7与log1.2
0.7.
(2)已知logb【精彩点拨】 (1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．
(2)中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．
【自主解答】 (1)①∵log3
1＝0，
而log5
>log5
1＝0，
∴log3
.
②法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，
∴0>log0.7
1.1>log0.7
1.2.
∴<，
由换底公式可得log1.1
0.70.7.
法二：作出y＝log1.1
x与y
( http: / / www.21cnjy.com )＝log1.2
x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.1
0.70.7.
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)∵y＝log
x为减函数，且log
baa>c.
而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.
( http: / / www.21cnjy.com )
比较两个(或多个)对数的
( http: / / www.21cnjy.com )大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
( http: / / www.21cnjy.com )
[再练一题]
3．比较下列各组数的大小.
(1)log3
3.4，log3
8.5；(2)log0.1
3与log0.6
3；(3)log4
5与
log6
5；(4)(lg
m)1.9与(lg
m)2.1(m>1)．
【解】 (1)∵底数3>1，∴y＝log3
x在(0，＋∞)上是增函数，于是log3
3.48.5.
(2)在同一坐标系内作出y
( http: / / www.21cnjy.com )＝log0.1
x与y＝log0.6
x的图象，如图，可知在(1，＋∞)上，函数y＝log0.1
x的图象在函数y＝log0.6
x图象的上方，故log0.1
3>log0.6
3.
(3)∵log4
5>log4
4＝1，
log6
56＝1，
∴log4
5>log6
5.
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)①当1>lg
m>0，即1m)x在R上是减函数，
∴(lg
m)1.9>(lg
m)2.1；
②当lg
m＝1，即m＝10时，
(lg
m)1.9＝(lg
m)2.1；
③当lg
m>1，即m>10时，
y＝(lg
m)x在R上是增函数，
∴(lg
m)1.9<(lg
m)2.1.
( http: / / www.21cnjy.com )
1．下列函数是对数函数的有________．(填序号)
①y＝loga(2x)；
②y＝log2
2x；
③y＝log2
x＋1；
④y＝lg
x.
【解析】 根据对数函数的定义，只有④是对数函数．
【答案】 ④
2．函数y＝ln
x的单调增区间是________，反函数是________．
【解析】 y＝ln
x的底为e>1，故y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y＝ex.
【答案】 (0，＋∞) y＝ex
3．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
【解析】 函数可化为y－1＝loga(2x－3)，
可令∴即P(2,1)．
【答案】 (2,1)
4．(1)设a＝log3
2，b＝log5
2，c＝log2
3，则a，b，c的大小关系为________．
(2)已知a＝log2
3.6，b＝log4
3.2，c＝log4
3.6，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】 (1)a＝log3
2
( http: / / www.21cnjy.com )3＝1；c＝log2
3>log2
2＝1，由对数函数的性质可知log5
22，∴b(2)a＝log2
3.6＝log4
3.62，函数y＝log4
x在(0，＋∞)上为增函数，3.62>3.6>3.2，所以a>c>b.
【答案】 (1)b5．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)；(3)y＝.
【解】 (1)由题知即 x>－且x≠－.
∴定义域为.
(2)由题意得
解得
∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
(3)由题知即0故定义域为{x|2第2课时 指数函数的图象与性质的应用
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1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)
2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)
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[基础·初探]
教材整理 指数函数
形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．
设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
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某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________．
【解析】 一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…
9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1＋p)8.
【答案】 a(1＋p)8
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[小组合作型]
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求函数的定义域、值域
( http: / / www.21cnjy.com ) 求下列函数的定义域和值域：
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【精彩点拨】 使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．
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1．对于y＝af
(x)这类函数
(1)定义域是指使f
(x)有意义的x的取值范围．
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f
(x)的值域．
②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．
2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．
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[再练一题]
1．(1)函数f
(x)＝＋的定义域为________.
(2)求函数y＝4－x－21－x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．
【解析】 (1)由得－3所以函数的定义域是(－3,0]．
【答案】 (－3,0]
(2)y＝4－x－21－x＋1＝2x－2·x＋1＝2，
∵x∈[－3,2]，∴x∈，
令t＝x，得y＝(t－1)2，其中t∈，
∴y∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0.
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指数函数的应用题
( http: / / www.21cnjy.com ) 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：
(1)试写出x年后该城市人口总数y万人与x之间的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．
【精彩点拨】 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋p)x表示．
【自主解答】 (1)1年后城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．
2年后城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100(1＋1.2%)2，
同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，
…
故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：
y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．
故10年后该城市人口总数约为113万人．
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解决实际应用题的步骤
1．领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；
2．根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；
3．对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；
4．检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．
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[再练一题]
2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千
( http: / / www.21cnjy.com )克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．
【解】 设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克．
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)．
则人均占有粮食为千克，
经过2年后，人均占有粮食为
千克，
…
经过x年后，人均占有粮食为
y＝千克，
即所求函数解析式为
y＝360x(x∈N
)．
[探究共研型]
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指数函数性质的综合应用
探究 通过指数函数y＝2x，y＝x的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？
【提示】 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
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( http: / / www.21cnjy.com ) 已知定义域为R的函数f
(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f
(t2－2t)＋f
(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围；
(3)求f
(x)在[－1,2]上的值域．
【精彩点拨】 (1)根据奇函
( http: / / www.21cnjy.com )数的定义，求出a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉f
解不等式求k的范围．(3)利用(2)中单调性求f
(x)的值域．
【自主解答】 (1)∵函数y＝f
(x)是定义域R上的奇函数，
∴
∴∴b＝1，a＝2.
(2)由(1)知f
(x)＝
＝－＋，
设x1，x2∈R且x1则f
(x2)－f
(x1)＝－＝<0，
∴f
(x)在定义域R上为减函数，
由f
(t2－2t)＋f
(2t2－k)<0恒成立，
可得f
(t2－2t)<－f
(2t2－k)＝f
(k－2t2)，
∴t2－2t>k－2t2，∴3t2－2t－k>0恒成立，
∴Δ＝(－2)2＋12k<0，
∴k<－.
(3)由(2)知f
(x)在R上单调递减，∴f
(x)在[－1,2]上单调递减，
∴f
(x)max＝f
(－1)＝－＋＝，f
(x)min＝f
(2)＝－＋＝－，∴f
(x)的值域为.
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与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．
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[再练一题]
3．设a>0，函数f
(x)＝＋是定义域为R的偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：f
(x)在(0，＋∞)上是增函数．
【解】 (1)由f
(x)＝f
(－x)
得＋＝＋，
即4x＋＝0，
所以＝0，
根据题意，可得－a＝0，
又a>0，所以a＝1.
(2)由(1)可知f
(x)＝4x＋，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f
(x1)－f
(x2)＝4x1＋－4x2－
＝(4x1－4x2).
因为0所以4x1<4x2.
又x1＋x2>0，
所以4x1＋x2>1，
所以1－＝>0，
所以f
(x1)－f
(x2)<0，
即f
(x1)(x2)．
于是知f
(x)在(0，＋∞)上是增函数．
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复合函数的单调性
探究1 y＝2x的单调性如何？y＝x＋1呢？y＝2x＋1呢？
【提示】 y＝2x在R上单调递增，y＝x＋1在R上单调递增，y＝2x＋1在R上单调递增．
探究2 y＝x与y＝x＋1的单调性分别如何？
【提示】 y＝x单调递减，y＝x＋1单调递减．
探究3 y＝－x与y＝2－x的单调性如何？
【提示】 y＝－x单调递减，y＝2－x＝x单调递减．
探究4 由以上3个探究，我们可以对由y＝f
(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f
(g(x))的单调性做出什么猜想．
【提示】 y＝f
(g(x
( http: / / www.21cnjy.com )))可以由y＝f
(u)，u＝g(x)复合而成，复合而成的函数单调性与y＝f
(u)，u＝g(x)各自单调的关系为“同增异减”．即f
与g单调性相同，复合后单调递增，f
与g单调性不同，复合后单调递减．
探究5 用单调性的定义证明：当y＝f
(u)，u＝g(x)均单调递减时y＝f
(g(x))单调递增．
【提示】 任取x1，x2∈D且x1∵g(x)单调递减，∴g(x1)>g(x2)，即u1>u2，
又f
(x)单调递减，∴f
(u1)(u2)，
即f
(g(x1))(g(x2))，
∴y＝f
(g(x))单调递增．
( http: / / www.21cnjy.com ) 函数y＝
( http: / / www.21cnjy.com )的单调增区间为________，单调减区间为________，最大值为________．
【精彩点拨】 先确定u＝x2－4x的值域、单调性，再确定f
(x)＝u的单调性和值域．
【自主解答】 令u＝x2－4x，则y＝u，
∵u(x)＝x2－4x在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，故umin＝u(2)＝－4，
又y＝u在R上单调递减，
∴y＝x2－4x在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，且ymax＝y(2)＝－4＝16.
【答案】 (－∞，2] [2，＋∞) 16
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1．关于指数型函数y＝af
(x)(a>0
( http: / / www.21cnjy.com )，且a≠1)，它由两个函数y＝au，u＝f
(x)复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(x)的单调性．
2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数
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(u)，u＝φ(x)，通过考查f
(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f
(φ(x))的单调性，其规则是“同增异减”．
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[再练一题]
4．(1)函数y＝2的单调增区间为________．
(2)讨论函数f
(x)＝ax2－4x的单调性．
【解析】 (1)设y＝2u，u＝，
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【答案】 (－∞，0)
(2)设u＝x2－4x，则f
(x)＝au，u＝x2－4x，
易知u＝x2－4x在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
故当a>1时，y＝au递增，故f
(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)，
当0(x)的单调增区间为(－∞，2)，单调减区间为(2，＋∞).
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1．函数f
(x)＝＋的定义域为________．
【解析】 令∴－5【答案】 (－5,0]
2．函数f
(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________．
【解析】 x∈[－1,2]时，x∈，∴f
(x)∈.
【答案】
3．函数y＝3
( http: / / www.21cnjy.com )的单调递减区间是________．
【解析】 令y＝3u，u＝2－2x2，因为y
( http: / / www.21cnjy.com )＝3u在R上单调递增，u＝2－2x2在(0，＋∞)上单调递减，所以y＝32－2x2的单调递减区间是(0，＋∞)．
【答案】 (0，＋∞)
4．若函数f
(x)＝(k为常数)在定义域内为奇函数，则k的值为________．
【解析】 依题意，
f
(－x)＝＝－f
(x)＝－，
即(2－x－k·2x)(2x＋k·2－x)＝(2－x＋k·2x)·(－2x＋k·2－x)，∴k2＝1，k＝±1.
【答案】 ±1
5．设0≤x≤2，y＝4
( http: / / www.21cnjy.com )－3·2x＋5，试求该函数的最值.
【解】 令t＝2x,0≤x≤2，∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋在[1,3]上是减函数；在t∈[3,4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.第三章
指数函数、对数函数和幂函数
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[自我校对]
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指数、对数的运算
1.指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数
( http: / / www.21cnjy.com )先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
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【精彩点拨】 按照指数、对数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用．
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[再练一题]
1．计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
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【答案】 111
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三种初等函数的图象与性质
函数的图象是研究函数性质的前提
( http: / / www.21cnjy.com )和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．
( http: / / www.21cnjy.com ) (1)若函数f
(x)＝log2的定义域为(－∞，1)，则a＝________.
(2)若函数f
(x)＝log2在(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是________．
【精彩点拨】 分别将两个问题转化为求定义域问题和恒成立问题，然后求解．
【规范解答】 (1)因为x<1，所以2x<2.
要使f
(x)有意义，则a·4x＋2x＋1>0，令t＝2x，则t∈(0,2)，
由题知y＝at2＋t＋1开口向下，且t＝2是方程at2＋t＋1＝0的根，
所以4a＋2＋1＝0，所以a＝－.
(2)原问题等价于a·4x＋2x＋1>0，对任意x∈(－∞，1]恒成立．
因为4x>0，所以a>－在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－，x∈(－∞，1]．
由y＝－x与y＝－x在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，所以g(x)max＝g(1)＝－＝－.
因为a>－在(－∞，1]上恒成立，所以a应大于g(x)的最大值，即a>－.
故所求a的取值范围为.
【答案】 (1)－ (2)
[再练一题]
2．已知f
(x)＝log2
(x＋1)＋log2
(1－x)，
(1)求f
(x)的定义域，并求f
的值；
(2)判断f
(x)的奇偶性；
(3)判断f
(x)的单调性．
【解】 (1)由题知，令解得－1∴f
(x)的定义域为{x|－1f
＝log2＋log2
＝
log2＝log2＝－1.
(2)f
(－x)＝log2(－x＋1)＋log2(1＋x)＝f
(x)，
又f
(x)的定义域为{x|－1故f
(x)为偶函数．
(3)f
(x)＝log2
(x＋1)(1－x)＝log2
(1－x2)，
设u(x)＝1－x2，则u(x)是开口向下的二次函数，
在(－1,0)上，u(x)单调递增，在(0,1)上，u(x)单调递减，又y＝log2
u是增函数，
∴f
(x)在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减.
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比较大小
利用指数、对数函数和幂函数的性质比较大小是本章一个主要题型，数的大小比较常用的方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)
( http: / / www.21cnjy.com )大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”
( http: / / www.21cnjy.com )和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
( http: / / www.21cnjy.com ) 比较下列各组数的大小：
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【精彩点拨】 (1)采用“媒介法”引入0,1，把三个数与0,1相比较得结论；
(2)真数相同，底数不同，可用图象法或换底法比较大小；
(3)利用幂函数的性质求解．
【自主解答】 (1)因为0<0.65.1<1
( http: / / www.21cnjy.com ),5.10.6>1，log0.65.1<0，所以5.10.6>0.65.1>log0.65.1.
(2)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象：
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由底数变化对图象位置的影响知：log712>log812.
法二：＝＝＝log78>1.
∵log812>0，∴log712>log812.
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[再练一题]
3．比较大小：
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函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义，函数y＝f
(
( http: / / www.21cnjy.com )x)的零点就是方程f
(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f
(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f
(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．
从高考题型上看，这类题目，既有填空题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．
( http: / / www.21cnjy.com ) (1)函数f
(x)＝log3
[log2(4－2x)]的零点为________．
(2)函数g(x)＝lg
x与
( http: / / www.21cnjy.com )f
(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为________，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N
，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________.
【精彩点拨】 (1)可通过解方程来求零点．
(2)通过图象和零点存在性定理来解．
【规范解答】 (1)f
(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，
∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1.
(2)同一个坐标系中做出f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f
(x)，∵h(3)＝lg
3>0，h(4)＝lg
4－1<0，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.
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【答案】 (1)1 (2)2 3
[再练一题]
4．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值.
【解】 (1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点．
当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上所述，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，
∴m的值为－3.
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分类讨论思想
本章中，指数函数、对数函数的性质均与a的范围有较大的关系，因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用．
( http: / / www.21cnjy.com ) 已知偶函数f
(x)在[0，＋∞)上是增函数，f
＝0，求不等式f
(loga
x)>0(a>0，且a≠1)的解集．
【精彩点拨】 根据偶函数的性质，将f
(loga
x)>0转化为loga
x与和－的大小关系，然后分类讨论求解不等式．
【规范解答】 ∵f
(x)是偶函数，且f
(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又f
＝0，∴f
(x)在(－∞，0)上是减函数，f
＝0.
故若f
(loga
x)>0，则有loga
x>或loga
x<－.
①当a>1时，由loga
x>或loga
x<－，得x>或0②当0x>或loga
x<－，得0.
综上可知，当a>1时，f
(loga
x)>0的解集为∪(，＋∞)；当0(loga
x)>0的解集为(0，)∪.
[再练一题]
5．将例题中“偶函数f
(x)在[0，＋∞)上为增函数”改为“奇函数f
(x)在[0，＋∞)上为增函数”应如何解答．
【解】 ∵f
(x)是奇函数，且f
(x)在[0，＋∞)上单调递增，f
＝0，
∴f
(x)在(－∞，0)上也是增函数，且f
＝0.
∴f
>0可转化为loga
x>或－x<0.
①当a>1时，上述两不等式的解为x>和∴原不等式的解集为.
②当0∴原不等式的解集为
综上，当a>1时，不等式的解集为
；
当0.
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【答案】 b＜a＜c
2．已知函数f
(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f
(x)＋g(x)|＝1实根的个数为______．
【解析】 ①当0＜x≤1时，方程为－lnx＝1，解得x＝.
②当1＜x＜2时，f
(x)＋g(x)＝ln
( http: / / www.21cnjy.com )x＋2－x2单调递减，值域为(ln2－2,1)，方程f
(x)＋g(x)＝1无解，方程f
(x)＋g(x)＝－1恰有一解．
③当x≥2时，f
(x)＋g(x)＝lnx
( http: / / www.21cnjy.com )＋x2－6单调递增，值域为[ln2－2，＋∞)，方程
f
(x)＋g(x)＝1恰有一解，方程f
(x)＋g(x)＝－1恰有一解．
综上所述，原方程有4个实根．
【答案】 4
3．lg
＋2lg
2－－1＝________.
【解析】 lg
＋2lg
2－－1＝lg
5－lg
2＋2lg
2－2
＝(lg
5＋lg
2)－2＝1－2＝－1.
【答案】 －1
4．设函数f
(x)＝f
(－2)＋f
(log212)＝________.
【解析】 ∵－2<1，
∴f
(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.
∵log212>1，∴f
(log212)＝2log212－1＝＝6.
∴f
(－2)＋f
(log212)＝3＋6＝9.
【答案】 9
5．已知函数f
(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
【解析】 当a>1时，函数f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解．当0(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.
【答案】 －