1.2.1函数的概念
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富.
(
)（2）初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义.
(
)2．过程与方法
(
)（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义.
(
)（2）通过实例感知函数的定义域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y
=
f
(x)的含义.
(
)（三）教学方法
(
)回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义.
在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
回顾复习提出问题
函数的概念：（初中）在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与对应.
那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.
师：初中学习了函数，其含义是什么.
(
)生：回忆并口述初中函数的定义.(师生共同完善、概念)
由旧知引入函数的概念.
形成概念
示例分析
(
)示例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.
炮弹的射高①为845m，且炮弹距地面的高度h
(单位：m)随时间t
(单位：s)变化的规律是
(
)h
=
130t
–
5t2.
(
)示例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空沿问题.
下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
(
)
(
)示例3
国际上常用恩格尔系数②反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
(
)“八五”计划以来我国城镇居民
(
)恩格尔系数变化情况时间(年)199119921993199419951996城镇居民家庭恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.6时间(年)19971998199920002001城镇居民家庭恩格尔系数(%)46.444.541.939.237.9函数的概念：
(
)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f
(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作
(
)y
=
f
(x)，x∈A.
(
)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f
(x)
|
x∈A}叫做函数的值域(range).
显然，值域是集合B的子集.
老师引导、分析三个示例，师生合作交流揭示三个示例中的自变量以及自变量的变化范围，自变量与因变量之间的对应关系.
(
)师生共同探究利用集合与对应的语言描述变量之间的因果关系.
利用示例，探究规律，形成并深化函数的概念.体会函数新定义的精确性及实质.
应用举例
下列例1、例2、例3是否满足函数定义例1
若物体以速度v作匀速直线运动，则物体通过的距离S与经过的时间t的关系是S
=
vt.例2
某水库的存水量Q与水深h(指最深处的水深)如下表：水深h(米)0510152025存水量Q(立方)0204090160275例3
设时间为t，气温为T(℃)，自动测温仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点的温度曲线如下图.
老师引导学生分析例1、例2、例3是否满函数的定义.
并指明对应法则和定义域.例1的对应法则f：t→s
=
Vt，定义域t∈[0,
+∞).例2的对应法则一个表格h→Q，定义域h∈{0,
5,
10,
15,
20,
25}.例3的对应法则f：一条曲线，t∈[0，24].
对任意t，过t作t轴的垂线与曲线交于一点P
(t,
T)，即t→T.
通过三个实例反映函数的三种表示形式.
深化概念
表示函数的方法：1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式.2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
师：请同学另举例说明函数用图象法和列表法表示的.生：平方表、平方根表、三角函数表、火车站的时间车次表、股市走势图.
归纳总结函数的三种常见表示法.
归纳总结
1．函数的概念；2．函数的三要素；3．函数的表达式.
师生共同回顾总结，并简要阐述.
总结知识，形成系统
课后作业
1.2第一课时习案
独立完成
巩固知识
备选例题
例1
函数y
=
f
(x)表示（
C
）
A．y等于f与x的乘积
B．f
(x)一定是解析式
C．y是x的函数
D．对于不同的x，y值也不同
例2
下列四种说法中，不正确的是（
B
）
A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
例3
已知f
(x)
=
x2
+
4x
+
5，则f
(2)
=
2.7
，f
(–1)
=
2
.
例4
已知f
(x)
=
x2
(x∈R)，表明的“对应关系”是
平方
，它是
R
→
R
的函数.
例5
向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（
B
）
【解析】取水深，注水量V′＞，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水量的一半，A中V′＜，C、D中V′=，故排除A、C、D.
20
15
10
5
0
6
12
18
24
℃1.2.2
函数的三要素
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法.
(
)（2）会求简单函数的定义域和函数值.
(
)2．过程与方法
(
)通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：掌握函数定义域的题型及求法.
(
)难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.
(
)（三）教学方法
(
)启发式教学，在老师引导，学生在合作的状态下理解知识、应用知识，提升学生应用知识和基本技能探究解决问题的能力.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习回顾
(
)范例分析
(
)强化概念
1．回顾函数的定义.
(
)2．示例剖析
(
)例1
已知函数f
(x)
=+
.
(
)（1）求函数的定义域；
(
)（2）求f
(–3)，的值；
(
)（3）当a＞0时，求f
(a)，f
(a
–
1)的值.
(
)例2
下列函数中哪个与函数y
=
x相等？
(
)（1）；
(
)（2）；
(
)（3）；
(
)（4）.
(
)2．函数定义的理解.
(
)由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
(
)3．区间的概念：
(
)（1）不等式a≤x≤b，用闭区间[a，b]表示；
(
)（2）不等式a＜x＜b，用开区间(a,
b)表示；
(
)（3）不等式a≤x＜b
(或a＜x≤b)用半开半闭区间[a，b](或(a，b])表示；
(
)（4）x≥a，x＞a，x≤b，x＜b分别表示为[a，+∞)，(a,
+∞)，(–∞,
b]，(–∞,
b).
1．老师引导学生分析例1函数解析式的结构特征.
结合函数的定义，感知函数定义域即使解析式有意义的自变量的取值范围.
(
)2．分析例2的题型特点，结合函数的定义，阐明确定函数的因素为定义域和对应法则，并了解值域由这二要素决定.
(
)例1解：使根式有意义的实数x的集合是{x
|
x≥–3}，使分式有意义的实数x的集合是{x
|
x≠–2}.
所以，这个函数的定义域就是
{x
|
x≥–3}∩{x|x≠–2}
(
)={x|x≥–3，且x≠–2}.
(
)(2)=
–1；
(
)=+=
(
)=.
(
)（3）因为a＞0，所以f
(a)，f
(a
–
1)有意义.
(
)；
(
)f
(a–1)
=+
(
)=+.
(
)例2解：（1）=
x
(x≥0)，这个函数与函数y
=
x
(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同.
所以，这个函数与函数y
=
x
(x∈R)不相等.
(
)（2）(x∈R)，这个函数与函数y
=
x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同.
所以，这个函数与函数y
=
x(x∈R)相等.
(
)（3）=
这个函数与函数y
=
x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x＜0时，它的对应关系与函数y
=
x(x∈R)不相同.
所以，这个函数与函数y
=
x(x∈R)不相等.
(
)（4）的定义域是{x
|
x≠0}，与函数y
=
x
(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同.
所以，这个函数与函数y
=
x(x∈R)不相等.
从回顾概念入手，引入求定义域的思考方法及求定义域的基本原则.
应用举例
训练题1：求下列函数的定义域.
(
)（1）；
(
)（2）；
(
)（3）.
(
)小结：从上例可以看出，求用解析式y
=
f
(x)表示的函数的定义域，常有以下几种情况：
(
)1．函数的定义域即使函数解析式有意义的实数集.
(
)2．已知函数y
=
f
(x)
(
)（1）若f
(x)为整式，则定义域为R.
(
)（2）若f
(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；（3）若f
(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）若f
(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）若f
(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.训练题2：（1）已知f
(x)
=
2x
+
3，求f
(1)，f
(a)，f
(m
+
n)，f
[f
(x)].（2）①已知f
(x)
=
x2
+
1，则f
(3x
+
2)
=
；②已知f
(x)
=
2x3
–
1，则f
(–x)
=
.（3）已知函数f
(x)
=，则f
{f
[f
(–1)]}
=
.（4）在函数f
(x)
=中，若f
(x)
=
3，则x的值是（
）A．1
B．1或C．±
D．
学生合作交流完成训练题1并说明解法原理.老师点评学生的解法及总结、题型.师生合作小结求定义域的方法及求解步骤.训练题1解：（1）x
–
2≠0，即x≠2时，有意义，∴这个函数的定义域是{x
|
x≠2}.（2）3x
+
2≥0，即x≥时，有意义，∴函数y
=的定义域是，+∞).（3），∴这个函数的定义域是{x
|
x≥–1}∩{x
|
x≠2}
=
[–1，2)∪(2，+∞).注意：函数的定义域常用二种方法表示：集合、区间.学生自主完成训练题2，体会求函数值与对应法则之间的关系.
训练题2解：（1）f
(1)
=
2×1+3=5.f
(a)
=
2×a
+
3
=
2a
+
3.f
(m
+
n)
=
2×(m
+
n)
+
3
=
2
(m+n)
+
3.f
[f
(x)]
=
2×f
(x)
+
3
=
2
(2x
+
3)
+
3
=
4
x
+
9.（2）①9x2
+
12x
+
5；②–2x3–1.（3）；（4）D.
固化定义域的求法及求解原理.强化函数值的基本求法、加深对函数三要素含义的理解.
归纳总结
1．求函数定义域的原理：使函数解析式有意义的自变量取值范围.2．求函数值的方法：代入法.
师生合作归纳小结
训练归纳概括能力
课后作业
1.2
第二课时习案
学生独立完成
固化技能
备选例题
例1
求下列函数的定义域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）(a为常数).
【解析】（1）x∈R；
（2）要使函数有意义，必须使x2
–
4≠0，得原函数定义域为{x
|
x∈R且x≠±2}；
（3）要使函数有意义，必须使x
+
|x|≠0，得原函数定义域为{x
|
x＞0}；
（4）要使函数有意义，必须使得原函数的定义域为{x
|
1≤x≤4}；
（5）要使函数有意义，必须使得原函数定义域为{x
|
–2≤x≤2}；
（6）要使函数有意义，必须使ax
–
3≥0，得
当a＞0时，原函数定义域为{x
|
x≥}；
当a＜0时，原函数定义域为{x
|
x≤}；
当a
=
0时，ax
–
3≥0的解集为，故原函数定义域为.
例2
（1）已知函数f
(x)的定义域为(0,
1)，求f
(x2)的定义域.
（2）已知函数f
(2x
+
1)的定义域为(0,
1)，求f
(x)的定义域.
（3）已知函数f
(x
+
1)的定义域为[–2,
3]，求f
(2x2
–
2)的定义域.
【解析】（1）∵f
(x)的定义域为(0,
1)，
∴要使f
(x2)有意义，须使0＜x2＜1，即–1＜x＜0或0＜x＜1，∴函数f
(x2)的定义域为{x|
–1＜x＜0或0＜x＜1}.
（2）∵f
(2x
+
1)的定义域为(0,
1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t
=
2x
+
1，∴1＜t＜3，∴f
(t)的定义域为1＜x＜3，∴函数f
(x)的定义域为{x
|
1＜x＜3}.
（3）∵f
(x
+
1)的定义域为–2≤x≤3，
∴–2≤x≤3.
令t
=
x
+
1，∴–1≤t≤4，
∴f
(t)的定义域为–1≤t≤4.
即f
(x)的定义域为–1≤x≤4，要使f
(2x2
–
2)有意义，须使–1≤2x2
–
2≤4，
∴≤x≤或≤x≤.
函数f
(2x2
–
2)的定义域为{x
|–≤x≤或≤x≤}.
注意：对于以上（2）（3）中的f
(t)与f
(x)其实质是相同的.1.2.1
函数的概念
1．函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意数x，在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数y＝f(x)的值域，则值域是集合B的子集．
注意：(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．
2．常见函数的定义域和值域
函数
函数关系式
定义域
值域
正比例函数
y＝kx(k≠0)
____
R
反比例函数
y＝(k≠0)
{x|____}
{y|y≠0}
一次函数
y＝kx＋b(k≠0)
R
____
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
R
a＞0
{y
a＜0
有时给出的函数没有明确说明其定义域，这时，它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．例如函数y＝的定义域为[0，＋)，函数y＝的定义域为(－，－1)(－1，＋)．
（1）函数y＝f(x)的定义域为P，值域为Q，对于mP，与m对应的函数值为n，则有( )．
A．nP
B．m＝n
C．nPQ
D．n唯一
（2）函数y＝5－2x的定义域是( )．
A．R
B．Q
C．N
D．
（3）函数y＝2x2－x的值域是__________．
3．区间与无穷大
(1)区间的概念．设a，b是两个实数，且a＜b.
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
{x|a＜x＜b}
开区间
{x|a≤x＜b}
半闭半开区间
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．
并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．
(2)无穷大．“”读作“无穷大”，“－
”读作“负无穷大”，“＋
”读作“正无穷大”，满足x≥a，x＞a，x≤a，x＜a的实数x的集合可用区间表示，如下表．
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－，＋)
（1）集合{x|x≥1}用区间表示为( )．
A．(－，1)
B．(－，1]
C．(1，＋)
D．[1，＋)
（2）区间[5,8)表示的集合是( )．
A．{x|x≤5，或x＞8}
B．{x|5＜x≤8}
C．{x|5≤x＜8}
D．{x|5≤x≤8}
4．函数相等
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由________和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．
函数符号f(x)的意义
剖析：
(1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积．
(2)符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．
(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．
例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x为某一代数式(或某一个函数)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5.
题型一
函数关系的判断
【例1】
下列式子能否确定y是x的函数？
(1)x2＋y2＝2；
(2)＋＝1；
(3)y＝＋.
反思：(1)判断一个对应关系f：A→B是否是函数，要从以下三个方面去判断：①A，B必须是非空数集；②A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
(2)函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
题型二
求函数值
【例2】
已知f(x)＝(xR，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(xR)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值．
题型三
求函数的定义域
【例3】
求函数y＝－的定义域．
反思：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)．
(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．
题型四
判断函数相等
【例4】
判断下列各组函数是否是相等函数：
(1)f(x)＝x＋2，g(x)＝；
(2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝x2＋x＋1，g(t)＝t2＋t＋1.
反思：判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．
题型五
易混易错题
易错点 求函数定义域时先化简函数关系式
【例5】
求函数y＝的定义域．
答案：【例1】
解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±.当x＝1时，对应的y值有两个，故y不是x的函数．
(2)由＋＝1，得y＝(1－)2＋1.
所以当x在{x|x≥1}中任取一个值时，都有唯一的y值与之对应，故y是x的函数．
(3)因为不等式组的解集是 ，即x取值的集合是，故y不是x的函数．
【例2】
解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
【例3】
解：要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得x≤1，且x≠－1，
即函数的定义域是{x|x≤1，且x≠－1}．
【例4】
解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠2}．
由于定义域不同，故f(x)与g(x)不是相等函数．
(2)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，即定义域相同．
由于f(x)与g(x)的表达式不相同，
故f(x)与g(x)不是相等函数．
(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故是相等函数．
【例5】要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，
即x－2≠0且x＋3≠0，解得x≠2且x≠－3，
故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}．
1函数y＝的定义域为( )．
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}
2下列式子中，y不是x的函数的是( )．
A．x＝y2＋1
B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6
D．x＝
3已知函数f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝__________.
4判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由．
(1)y＝x－1，xR与y＝x－1，xN；
(2)y＝与y＝；
(3)y＝1＋与y＝1＋.
5已知函数f(x)＝x2＋1，xR.
(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值．
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
答案：1．
D 要使函数有意义需解得0≤x≤1.
2．
A 选项B，C，D都满足一个x对应唯一的y，故y是x的函数．对于选项A，存在一个x对应两个y的情况，如x＝5时，y＝±2.故y不是x的函数．
3．
5 ∵f(2)＝2×2－1＝3，∴f[f(2)]＝f(3)＝3×2－1＝5.
4．解：(1)前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等．
(2)前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相等．
(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数)，对应关系相同(都是自变量取倒数后加1)，故相等．
5．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；
f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；
f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：
由题意，得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．
故对任意xR，总有f(x)＝f(－x)．1.2.1
函数的概念
课前预习
·
预习案
【学习目标】
1．通过实例,体会函数是描绘变量之间对应关系的重要数学模型.
2．体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
3．了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域.
4．理解函数的三要素及函数符号的深刻含义.
5．会求一些简单函数的定义域和值域.
6．能够正确使用区间表示数集.
【学习重点】
1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。
2．理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
【学习难点】
符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示
【自主学习】
1．函数的概念
(1)前提：A,B是非空的
.
(2)对应：集合A中的
一个数,在集合B中都有
的数和它对应.
(3)结论：f:A称为
的一个函数.
(4)表示：
.
(5)相关概念：①自变量
；
②定义域：
的取值范围A;
③函数值：与的值相对应的
；
④值域：函数值的集合
；
⑤函数的三要素：定义域、对应关系和
.
2．函数相等
由于函数的值域是由
和
决定的,所以,如果两个函数的
相同,并且
完全一致,就称这两个函数相等.
3．区间的有关概念
根据提示完成下表(
为实数，且
).
定义
名称
号
数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
4．无穷大的概念
(1)实数集R用区间表示为
.“
”读作
，“
”读作
，“
”读作
.
(2)无穷区间的几种表示：
定义
符号
数轴表示
【预习评价】
1．下列式子中不能表示函数的是
A.
B.
C.
D.
2．函数
的值域为
A.
B.
C.
D.R
3．已知,,则 .
4．集合
用区间可表示为
.
5．与函为相同函数的是
(填序号).
①；②；③.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．函数的概念
根据给出的两个对应,回答下面的问题：
①,这里
②,这里
(1)判断当取某一值时,是否都有唯一的值与其对应？
(2)根据函数的概念,判断这两个对应是否为的函数？并说明理由.
2．构成函数的要素
若将函数的定义域改为,所得的函数与函数相同吗？
3．区间的概念
观察集合的区间表示法如
,思考下面的问题：
区间是不是一个集合？区间与区间之间可不可以用集合的运算符号连接？
4．函数的值域
根据函数的概念“当A,B是非空数集时，对应f:A
称为从集合A到集合B的函数”，探究下面的问题：
(1)给定一个函数
，函数的值域是函数值的集合吗？
(2)集合B与函数的值域
存在怎样的关系？
【教师点拨】
1．对函数相等的三点说明
(1当两函数的定义域和值域分别相同时,若对应关系不同,两函数不相等。.
(2当两函数的对应关系和值域分别相等时,两函数不一定相等,只有对应关系和定义域相同时,两函数才一定相等.
(3若两个函数只是自变量用的字母不同,则这两个函数相等.
2．对函数概念的三点说明
(1)当为非空数集时,符号“”表示的一个函数.
(2)在研究函数时,除用符号表示函数外,还常用等符号表示.
(3)判断函数的标准可以简记成：两个非空数集,一个对应关系中任一元素对中唯一元素.
3．对函数值域的两点说明
(1)函数的值域不仅由对应关系决定，还取决于定义域，一般情况下，定义域不同，即使对应关系相同，值域也不一定相同.
(2)对于对应关系用表格或图像表示时，应根据所给的对应关系确定相应的函数值或范围.
4．对区间表示法的四点说明
(1)区间符号里面两个数字(或字母)之间用“，”间隔开.
(2)无穷大“
”是一个符号，而不是一个数.
(3)以“
”或“
”为端点时，区间这一端必须是小括号.
(4)区间是连续数集的另一种表示方法.
【交流展示】
1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量的对应关系,其中表示是的函数关系的有.
2．下列各组函数表示相等函数的是
A.与
B.与
C.与
D.与
3．下面对函数符号正确的是
A.不能为常数
B.一定是一个含变量的式子
C.是的函数
D.对于不同的一定也不同
4．下列各组函数表示相等函数的是
A.
B.,g
C.,g
D.
5．下列区间与集合相对应的是
A.
B.
C.
D.
6．下列集合不能用区间的形式表示的个数为
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
A.2
B.3
C.5
D.4
7．设函数的定义域为,求函数的定义域.
8．求下列函数的值域：
(1).
(2).
(3).
【学习小结】
1．判断两个变量之间是否具有函数关系的两个步骤
(1)看定义域和对应关系是否给出.
(2)根据给出的对应关系,判断自变量在其定义域中的每一个值,是否都有唯一的值与之对应.
2．求解函数定义域的三个步骤
提醒：求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式化简变形,以免引起定义域的变化.
3．求函数定义域的五大常见类型
(1)如果是整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果是零次幂时,底数不能为零.
(5)如果是由实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
4．判断函数相等的三个步骤和两个注意点
(1)三个步骤：
(2)两个注意点：
①函数的表示：与用哪个字母表示无关；
②解析式的化简：在化简解析式时,必须是等价变形.
5．用区间表示集合的三个注意点
(1)区间的左端点必须小于右端点.
(2)区间的开、闭取决于端点值能否取到.
(3)区间之间可以进行交、并的运算.
6．以连续实数为元素的集合的两种表示方法
(1)集合表示法：例如
.
(2)区间表示法：例如
.
7．求函数值域的关键及必须明确的两点
(1)关键：将解析式进行变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域.
(2)明确的两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数
,其值域就是指集合
；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据.
提醒：在对解析式变形时，要注意变形的等价性，否则将改变函数的定义域.
【当堂检测】
1．给定的下列四个式子中,能确定是的函数的是
①；
②；
③
④.
A.①
B.②
C.③
D.④
2．函数的定义域为
A.
B.
C.
D.
3．下列各组式子是否表示相等函数？为什么？
(1).
(2),.
4．设函数,若,则.
5．已知函数,则
A.
答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．1)数集 (2)任意 唯一确定
(3)从集合A到集合B
(4)y＝f(x),x∈A (5)①x ②x
③y值 ④{f(x)|x∈A} ⑤值域
2．定义域 对应关系 定义域 对应关系
3．[a，b] (a，b) [a，b) (a，b]
4．(1)(－∞，＋∞) “无穷大” “负无穷大” “正无穷大”
(2)[a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b]
(－∞，b)
【预习评价】
1．A
2．A
3．2或－3
4．[1，2)∪(2，＋∞)
5．②
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)①对于任意一个非零实数x,被唯一确定,所以x取某一值时,y都有唯一的值与其对应.
②当x＝4时,y由y2＝4给出,得y＝2和y＝－2,即给定一个x＝4,有两个y的值(±2)和它对应.
(2)①对于任意一个非零实数x,被唯一确定,所以当x≠0时,是函数,这个函数也可以表示为.
②对任意x∈N且x≠0时,有两个y的值和它对应,所以x→y(y2＝x)不是函数.
2．根据构成函数的三要素知,只有定义域、对应关系、值域相同,函数才是相等函数,而函数y＝f(x),x∈A与函数y＝f(x),x∈B定义域不同,故不是相等函数.
3．区间就是一个集合；区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算.
4．是，一般从集合A到集合B的函数，定义域是A，值域是对应的函数值的集合：{f(x)|x∈A}.
【交流展示】
1．(2)(3)
2．C
3．C
4．C
5．C
6．C
7．{x|m≤x≤1－m}
8．(1)[1,＋∞) (2)(－1,1]
(3)
【当堂检测】
1．C
2．D
3．(1)对于函数
由得所以定义域为{x|x≥1}.对于函数
由x2－1≥0,得x≥1或x≤－1,
所以定义域为{x|x≥1或x≤－1}.所以两函数的定义域不同,故不是相等函数.
(2)对于函数
由得－1≤x≤1,故定义域为{x|－1≤x≤1}.对于函数由1－x2≥0,得－1≤x≤1,故定义域为{x|－1≤x≤1}.所以两函数定义域相同,又对应关系相同,故表示相等函数.
4．－9
5．D1.2.1
函数的概念
教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。
3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数
的定义域和值域。
教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。
教学难点：函数概念的理解。
教学方法：自学法和尝试指导法
教学过程：
（Ⅰ）引入问题
问题1
初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）
问题2
初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y，，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。
（Ⅱ）函数感性认识
教材例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集，对应关系
（
）。从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（
），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。
例子（2）中数集，，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。
例子（3）中数集，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。
（III）归纳总结给函数“定性”
归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作。
（IV)理性认识函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range)。
定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；
（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；
y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；
自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11。
注意：f(a)是常量，f
(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。
（2）定义域是自变量x的取值范围；
注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；
如：y=x2(xy=x2(x>0)；
y=1与y=x0
②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；
如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x>0,而不是。
（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。
(V)区间的概念
设a、b是两个实数，且a（1）满足不等式的实数的x集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的x集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为；（4）满足不等式的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为；
说明：①
对于，，，都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；
②
引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：
不等式表示法：3③
在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；
④
实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足xa,
x>a,
xb,
x例题分析：（投影2）
例1．已知函数，（教材第20页例1）
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当a>0时，求的值。
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。（解略）
例2．求下列函数的定义域。
（1）；(2)；(3)
分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。
从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；
（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。
例3．下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？（书P21例2）
(1)
y=()2
;
(2)
y=
;
(3)
y=;
(4)y=.
分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才算相同。（解略）
课堂练习：课本P22练习1、2、3。
课时小结：
本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视。
课后作业
1、书面作业：课本P28习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题。
2、预习作业：
预习内容：课本P22—P23；
预习提纲：
a.函数的表示方法分别有哪几种
c.回顾初中学过的做函数图象的方法步骤；
教学后记
