1.2.3函数的表示法（一）
（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.
(
)（2）提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力.
(
)2．过程与方法
(
)通过示例的分析和求解，明确函数三种不同表示法的优点，从而培养学生恰当选用函数的表示形式表示函数的能力.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)在恰当应用不同形式表示函数的过程，感受数与形结合的动态美，体会应用辨证思维的乐趣.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：选用恰当形式表示函数；难点：体会函数三种表示形式的优点.
(
)（三）教学方法
(
)尝试指导与合作交流相结合，通过示例的探究，使学生感知“三种形式”的各自优点.
从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习回顾
(
)引入课题
1．回顾函数的有关概念.
(
)2．函数的表示方法.
(
)解析式：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
(
)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
(
)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
师：函数的概念中的关键词是什么？
(
)生：集合A中任何一个元素在B中都有唯一元素与之对应.
(
)师生：共同回顾函数三种表示形式.
将新、旧知识有机整合
示例剖析
例1
某种笔记本的单价是5元，买x
(x∈{1,
2,
3,
4,
5})个笔记本需要y元.
试用函数的三种表示法表示函数y
=
f
(x).
(
)解析：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.
(
)用解析法可将函数y
=
f
(x)表示为
(
)y
=
5x,
x∈{1,
2,
3,
4,
5}.
(
)用列表法可将函数y
=
f
(x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y
=
f
(x)表示为下图.
(
)
(
)知识总结：
(
)①解析法的优点：（1）简明，全面地概括了变量间的关系；（2）通过解析式能求出任意一个自变量的值所对应的函数值.
(
)②图象法的优点：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于通过图象来研究函数的某些性质.
(
)③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量的值相对应的函数值.
(
)例2
下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.第
(
)1
(
)次第
(
)2
(
)次第
(
)3
(
)次第
(
)4
(
)次第
(
)5
(
)次第
(
)6
(
)次王
伟988791928895张
城907688758680赵
磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
师：同一函数用三种形式表示，它们各自有何特点.
(
)师生合作总结三种形式的特点即优点.
(
)师：举例说明在我们的日常生活中用三种形式表示的函数
(
)生：（1）年级日誌表——列表法；（2）工厂生产图——图象法；（3）银行利率表——列表法；（4）医务室的各年级身高统计图——不是图象法.
(
)一元一次函数
图象—图象法
(
)一元二次函数
解析式—解析法
(
)反比例函数
(
)师：是否所有函数均能用三种方法表示呢？自示例2
(
)生：例2不方便使用解析法表示.
(
)例2
解析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.
如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.
这对我们的分析很有帮助.
(
)
(
)从上图我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.
赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
(
)师生合作总结三种方法的优点.
通过范例分析体会三种表示法的优点，感知不是所有函数均能用三种形式表示.
应用举例
例3
画出函数y
=
|x|的图象.
(
)例4
某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P
=
f
(t).
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q
=
g
(t).（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
师生合作、讨论、探究函数的图象法与解析法的互相转化途径，并能利用图象求值域.例3解：由绝对值的概念，我们有所以，函数y
=
|x|的图象如图所示.例4解：（1）由图一可得市场售价间接函数关系为，f
(t)
=由图二可得种植成本间接函数关系式为g
(t)
=(t
–
150)2
+
100，(0≤t≤300)（2）设t时刻的纯收益为h
(t)，则由题意得：
h
(t)
=
f
(t)
–
g
(t).即h
(t)
=
当0≤t≤200时，得h
(t)
=
(t
–
50)2
+
100.∴当t
=
50时，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，得h
(t)
=(t
–
350)2
+
100.∴当t
=
300时，h
(t)取得在t∈(200,
300]上的最大值87.5.综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0,
300]上可以取得最大值是100，此时t
=
50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.
能力提升(表示法的转化及函数图象的应用)
培养形与数的转化能力和数形结合思想应用意识.
形成映射的概念
映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.例5
以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A
=
{P
|
P是数轴上的点}，集合B
=
R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A
=
{P
|
P是平面直角坐标系中的点，集合B
=
{(x
|
y)
|
x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A
=
{x
|
x是三角形}，集合B
=
{x
|
x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A
=
{x
|
x是新华中学的班级}，集合B
=
{x
|
x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.
师：讲授映射的定义.生：由映射观点定义函数.师生合作解答例5.例5解析：（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射.
了解映射的含义.通过例题分析加深映射概念的理解.
归纳总结
1．函数的表示法：解析式、图象法、列表法.2．解析式与图象法能进行相互转化.3．优点：解析式简明、全面、实用、图象法和列表法直观、直接、方便函数与映射的关系：函数是实数集到实数集的特殊映射.
师生合作完成学生回顾总结，老师引导点评、阐述.
反思总结提升对函数表示的理解与掌握
课后作业
1.2第三课时习案
学生独立完成
巩固知识，提升能力
备选例题
例1
下图中可作为函数y
=
f
(x)的图象是（
D
）
例2
函数的图象为下图中的（
C
）
例3
作出下列函数的图象：（1）y
=
|x
–
1|
+
2
|x
–
2|；（2）y
=
|x2
–
4x
+
3|.
【解析】（1）y
=
|x
–
1|
+
2
|x
–
2|
=
函数的图象如图（1）所示.
（2）y
=
|x2
–
4x
+
3|
=图象如图（2）所示
图（1）
图（2）
例4
已知y
=
f
(x)的图象如右图所示，求f
(x).
【解析】
测试
序号
成绩
姓名1.2.4函数的表示法（二）（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）能根据不同情境，选用恰当的方法，求出已知函数的解析式；
(
)（2）会利用函数的图象求函数值域.
(
)2．过程与方法
(
)（1）经历在分析、求解求有关函数的解析式的过程，熟练掌握求解析式的基本题型及方法；
(
)（2）在运用函数图象求函数值域的过程，体会数形结合思想.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)在学习过程中进一步体会发现规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：求函数解析式的基本题型及方法.
(
)难点：函数图象的应用.
(
)（三）教学方法
(
)指导启发式学习法，通过自我尝试与实践，获得知识，形成技能，通过老师的合理恰当的指导启发，克服学习障碍；学会突破难点，调整和寻找最佳解题方案.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习回顾
(
)整合知识
函数的表示法有三种：解析式、图象法、列表法；它们之间可相互转化，常见形式有：解析式图象法，解析式列表法.
师生合作总结上节课的基本知识及基本方法.
(
)重新体会对于特殊函数可进行三种形式之间的互相转化.
(
)师：分析实现不同形式的转化的意义.
复习回顾、整合知识
进入课题(求函数解析式)
例1
（1）已知f
(x)是一次函数，且f
[f
(x)]
=
4x
–
1，求f
(x)及f
(2)；
(
)（2）已知，求f
(x)的解析式；
(
)（3）已知f
(x)
=
x
(x≠0)，求f
(x)的解析式；
(
)（4）已知3f
(x5)
+
f
(–x5)
=
4x，求f
(x)的解析式.
(
)例2
设f
(x)是R上的函数，且满足f
(0)
=
1，并且对任意实数x，y，有f
(x
–
y)
=
f
(x)
–
y
(2x
–
y
+
1)，求f
(x)的表达式.
(
)例3
已知f
(x)为二次函数，且f
(x+1)+f
(x–1)
=
2x2–4x，
(
)求f
(x)的表达式.
(
)小结：求解析式的基本方法：
(
)（1）待定系数法
(
)（2）换元法
(
)（3）配方法（4）函数方程法.
学习尝试练习求解，老师指导、点评.
师生合作归纳题型特点及适用方法.例1解：（1）设f
(x)
=
ax
+
b
(a≠0).则f
[f
(x)]
=
f
(ax
+
b)
=
a
(ax
+
b)
+
b
=
a2x
+
ab
+
b.又f
[f
(x)]
=
4x
–
1，∴a2x
+
ab
+
b
=
4x
–
1.即或∴f
(x)
=
2x
–，或f
(x)
=
–2x
+
1.则，或f
(2)
=
–3.（2）解法一：∵===，∴f
(x)
===.解法二：设t
=
1+，则.又，∴==，∴.（3）令x
=
a
(a≠0)，则+
f
(a)
=
a；令x
=(a≠0)，则2
f
(a)
+.联立上述两式得f
(a)
=
.∴f
(x)
=(x≠0).（4）令x
=
a，或x
=
–a，分别可得解之得f
(a5)
=
2a.又令a5
=
t，∴，∴f
(t)
=
2，∴f
(x)
=
2.例2解：法一：由f
(0)
=
1，f
(x
–
y)
=
f
(x)
–
y(2x+y+1).设x=y，得f
(0)=
f
(x)–x
(2x–x+1).∵f
(0)
=
1，∴f
(x)–x
(2x–x+1)
=
1，∴f
(x)
=
x2
+
x
+
1.法二：令x
=
0，得f
(0–y)
=
f
(0)
–
y
(–y
+
1)，即f
(–y)
=
1
–
y
(–y
+
1).又令–y
=
x代入上式得f
(x)
=
1–
(–x)
(x
+
1)
=
1
+
x
(x
+
1)
=
x2
+
x
+
1.即f
(x)
=
x2
+
x
+
1.例3解：设f
(x)=ax2+bx+c
(a≠0)，则f
(x+1)
+
f
(x
–
1)
=
a
(x+1)2
+
b
(x
+
1)
+
c
+
a
(x
–
1)
+
c
+
a
(x
–
1)2
+
b
(x
–
1)
+
c
=
2ax2
+
2bx
+
2a
+
2c
=
2x2
–
4x.∴∴f
(x)
=
x2
–
2x
–
1.
掌握求函数解析式的基本类型及对应方法.
应用举例(函数应用问题)
例4
用长为l的铁丝变成下部为矩形，上部为半圆形的框架如图所示，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.例5
某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
我们把像例4这样的函数称为分段函数.即在函数的定义域内，对于自变量x的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数.
生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.
师生合作解析例3、例4.师：反映实际问题的函数定义域怎样确定？生：解析式有意义和实际问题自身条件确定.例4解：矩形的长AB
=
2x，宽为a，则有2x
+
2a
+x
=
l，∴.半圆的直径为2x，半径为x，所以·2x
=，由实际意义得0＜x＜.即，定义域为.例5解：设票价为y，里程为x，由题意可知，自变量x的取值范围是(0,
20].由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图.
培养学生应用数学知识，解决实际问题的能力.
归纳总结
1．求函数解析式的方法：换元法、配方法、待定系数法、赋值法.2．求实际问题函数解析式，关键找具有因果关系的两个变量的联系式.
师生合作总结.学生整理、小结，老师点评、归纳.
整合知识形成技能.
课后作业
1.2
第四课时习案
学生独立完成
巩固基础、提高能力
备选例题
例1
经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系g
(t)
=
(t∈N
，0＜t≤100)，在前40天内价格为f
(t)
=+
22(t∈N
，0≤t≤40)，在后60天内价格为(t∈N
，40＜t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).
【解析】前40天内日销售额为：
=
∴
后60天内日销售额为：
=.
∴
∴得函数关系式
由上式可知：对于0＜t≤40且t∈N
，有当t
=
10或11时，Smax≈809.
对于40＜t≤100且t∈N
，有当t
=
41时，Smax
=
714.
综上所述得：当t
=
10或11时，Smax≈809.
答：第10天或11天日售额最大值为809元.
2x
D
C
A
B1.2.2函数的表示法
教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
教学过程：
引入课题
复习：函数的概念；
常用的函数表示法及各自的优点：
（1）解析法；
（2）图象法；
（3）列表法．
新课教学
（一）典型例题
例1．某种笔记本的单价是5元，买x
(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)
．
分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：（略）
注意：
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；
解析法：必须注明函数的定义域；
图象法：是否连线；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
巩固练习：
课本P27练习第1题
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王
伟
98
87
91
92
88
95
张
城
90
76
88
75
86
80
赵
磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；
本例能否用解析法？为什么？
巩固练习：
课本P27练习第2题
例3．画出函数y
=
|
x
|
．
解：（略）
巩固练习：课本P27练习第3题
拓展练习：
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)|
和
y=f
(|x|)
的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．
课本P27练习第3题
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）
乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）
5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N
|
x≤19}．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
()
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
注意：
本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？
实践与拓展：
请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）
说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
归纳小结，强化思想
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．
作业布置
课本P28
习题1．2（A组）
第8—12题
（B组）第2、3题1.2.2
函数的表示法
课前预习
·
预习案
【学习目标】
1．了解函数的三种表示法，会根据题目条件不同的表示法表示函数.
2．会求简单函数的解析式及画简单函数的图象.
3．理解分段函数的意义，并能简单应用.
4．了解映射的概念及表示法.
5．理解映射与函数的区别与联系.
【学习重点】
1．函数的三种表示方法
2．分段函数的概念
【学习难点】
1．根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？
2．分段函数的表示及其图象
【自主学习】
1．函数的三种表示法
2．映射
3．分段函数
在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，函数有着不同的
.
【预习评价】
1．已知函数由下表给出，则
1
2
3
4
2
3
4
1
A.1
B.2
C.3
D.4
2．已知反比例函数满足，的解析式为
.
3．下列对应是从集合A到集合B映射的是
①；
②；
③；
④.
A.
①②
B.①③
C.③④
D.②④
4．已知则
.
5．已知在映射的作用下与对应，则在映射的作用下与
对应.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．函数的表示法——列表法与图象法
在一次国际比赛中某三名铅球运动员决赛的成绩如表(单位：m).
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
运动员甲
20.61
21.31
20.47
20.78
21.36
运动员乙
18.10
18.25
19.05
19.15
19.70
运动员丙
19.77
19.33
20.17
20.54
19.75
平均成绩
19.49
19.63
19.90
20.16
20.27
请根据上表探究下面的问题：
(1).上表反映了4个函数关系，这些函数的自变量是什么？定义域是什么？
(2).上述函数能用解析式表示吗？
(3).若想分析三名运动员的成绩变化情况，采用哪种方法恰当？
(4).在同一坐标系内画出上述函数的图象并完成下面的填空：
①从图形中分析甲运动员的成绩
.
②从图形中分析乙运动员的成绩
.
2．根据下面的提示，完成下面的问题：
(1)一次函数的解析式可设为
；反比例函数可设为
；二次函数的一般式可设为
.
(2)设出解析式后，如何求解析式？
3．若函数满足对任意有，此式子中的换为是否仍然成立？
4．分段函数
若某分段函数的解析式为，据其探究下列问题：
(1)此分段函数由几部分组成，它表示几个函数？
(2)根据有关的提示填空，明确分段函数具有的性质.
①由分段函数的概念知，此函数的定义域为
.
②若给定，则当时，
；当时，
.
5．映射的判断
(1)观察上面的四组对应，思考下面的问题：
①四组对应中，集合A中元素在集合B中是否都有元素与之对应？
②对应(1)与其余三组对应有何不同？
③四组对应中哪些能构成从集合到集合的映射？
(2)从这几组对应中，你能发现映射有什么特点？
【教师点拨】
1．求函数解析式的三个关注点
(1)换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围.
(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题.
(3)函数式中若含有自变量的对称形式，如：与或可通过构造对称方程求解.
2．对解析法的说明
利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，并不是所有的函数都可以用解析式表示，同时利用解析法表示函数要注明函数的定义域.
3．对列表法与图像法的说明
(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性.
(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.
4．映射的四个特征
(1)确定性：集合、集合与对应关系是确定的一个整体.
(2)非空性：集合、集合都必须是非空集合.
(3)方向性：从集合到集合的映射与从集合到集合的映射是不同的映射.
(4)多样性：映射的对应方式可以是多对一，也可以是一对一.
5．处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点
(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值.
(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.
【交流展示】
1．已知,则
A.
B.
C.
D.
2．已知,求.
3．作出函数的图象,并说明该函数的图象与的图象之间的关系.
4．某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元,经试销调查发现,销售量(件)与销售单价(元)之间的关系可近似看作一次函数,其图象如图所示,求此函数的解析式.
5．设则的值为
A.10
B.11
C.12
D.13
6．若函数则
.
7．已知集合，集合，按照下列对应法则能构成集合到集合的映射的是
A.
B.
C.
D.
8．下列各个对应中，构成映射的是
A.
B.
C.
D.
【学习小结】
1．判断一个对应是否为映射的两点主要依据
(1)任意性：集合中每一个元素，在集合中是否都有元素与之对应.
(2)唯一性：集合中任一元素在集合中是否都有唯一的元素与之对应.
2．分段函数图象的特点及画法
(1)特点：分段函数的图象可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几条线段.
(2)画法：画分段函数的图象要分段画，当函数式中含有绝对值符号时，首先要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后再画图象.
3．分段函数求函数值的步骤及注意点
(1)步骤：
①确定要求值的自变量属于哪一段区间；
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
(2)注意点：当出现的形式时，应从内到外依次求值.
4．列表法表示函数的使用范围及生活中的实例
(1)适用范围：列表法主要适用于自变量个数较少，且为有限个，并且自变量的取值为孤立的实数，同时当变量间的关系无规律时，也常采用列表法表示两变量之间的关系.
(2)生活中的实例：生活中经常见到的银行利率表、列车时间表、国民生产总值表等都是采用列表法.
5．图象平移变换的一般原则
(1)左右平移：的图象的图象.
(2)上下平移：的图象的图象.
6．作函数图象的三个步骤
7．求函数解析式的常见类型及解法
(1)已知类型：函数类型已知，一般用待定系数法，但对于二次函数问题要注意一般式：，顶点式：，两根式：的选择.
(2)已知型：解答已知求型问题可采用配凑法，也可采用换元法.
(3)函数方程问题，需建立关于的方程组，若函数方程中同时出现，则一般用代之；若同时出现，一般用代替，构造另一个方程.
提醒：求函数解析式时要严格考虑函数的定义域.
【当堂检测】
1．设函数若，则实数
A.-4或-2
B.-4或2
C.一2或4
D.-2或2
2．在给定映射即的条件下，与中元素对应的中元素是
A.
B.或
C.
D.或
3．函数的图象为
A.
B.
C.
D.
4．判断下面的对应是否为集合到集合的映射
(1).对应关系.
(2)，对应关系 .
5．已知，若到的映射满足，求
满足的所有映射.
答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．数学表达式 图象 表格
2．非空 非空 对应关系f 任意一个 唯一确定 f:A→B
3．对应关系
【预习评价】
1．C
2．
3．C
4．2
5．(7，12)
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)自变量为投掷的次数；定义域为{1，2，3，4，5}.
(2)不能，因为自变量依次取值时，函数值的变化趋势不确定.
(3)采用图象法较好，因为图象比较直观形象.
(4)在同一坐标系内画出函数的图象如下，
①高于平均成绩②低于平均成绩，但成绩每次都有提升
2．(1)y＝kx＋b，k≠0 ，k≠0 y＝ax2＋bx＋c，a≠0
(2)①可将已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；②解方程或方程组，求出待定系数的值；
③将所求待定系数的值代回到原式，即得函数的解析式.
3．因为对任意的x≠0有，而，所以将上式中的x换为仍然成立.
4．(1)此分段函数由两部分组成，它表示一个函数.
(2)①Ｄ1∪D2
②f(x0) g(x0)
5．(1)①对于四组对应，集合A中的任何一个元素，按照某种对应关系，在集合B中都有元素和它对应.
②对应(1)中A中的元素在B中的对应元素不唯一，而对应(2)(3)(4)中A中的任何一个元素，通过对应关系，在B中都有唯一的元素和它对应.
③根据映射的概念，(2)(3)(4)组的对应可以构成从集合A到集合B的映射.
(2)(1)映射可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多.(2)集合B中可以有多余的元素，但集合A中不能有多余的元素.
【交流展示】
1．A
2．设,则,t≠1.则.所以f(x)＝x2－x＋1(x≠1).
3．,
作图过程：将的图象沿x轴向右平移1个单位,得到函数的图象,再将函数的图象向上平移2个单位,即可得到函数的图象,如图.
4．由图象知,当x＝600时,y＝400；当x＝700时,y＝300,代入y＝kx＋b(k≠0)中,得解得
所以y＝－x＋1000(500≤x≤800).
5．B
6．2
7．B
8．D
【当堂检测】
1．B
2．B
3．C
4．(1)集合A中元素6在对应关系f作用下为3，而3 B，故对应关系f不是集合A到集合B的映射.
(2)在对应关系f作用下，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f是集合A到集合B的映射.
5．将式子f(a)－f(b)＝f(c)改为f(a)＝f(b)＋f(c)，由0＋0＝0，－1＋0＝－1，0＋(－1)＝－1，1＋0＝1，0＋1＝1，－1＋1＝0，1＋(－1)＝0知，满足条件的映射有：1.2函数及其表示
1.2.2函数的表示法
第1课时 函数的表示法
●三维目标
1．知识与技能
(1)进一步理解函数概念，使学生掌握函数的三种表示：解析法，列表法，图象法；
(2)能够恰当运用函数的三种表示方法，并借此解决一些实际问题；初步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力．
2．过程与方法
(1)通过三种方法的学习，渗透数形结合的思想；
(2)在运用函数解决实际问题的过程中，培养学生分析问题的能力，增强学生运用数学的意识．
3．情感、态度与价值观
让学生体会数学在实际问题中的应用，培养学生学习兴趣．
●重点难点
重点：函数的三种表示方法．
难点：根据不同的实际需要选择恰当的方法表示函数．
(1)重点的突破：从学生已有的知识经验出发，以函数的三种表示方法为切入点，倡导学生自学，教师借助多媒体向学生展示现实生活中大量函数关系，让学生在感受函数关系所描述的客观世界的同时体会函数的三种表示方法，并感知每种表示方法的优劣性，抓住关键，突出重点；
(2)难点的解决：通过具体实例让学生在自学、质疑、尝试、归纳中体会三种表示方法的特点以及之间的联系，感受三种方法各有所长，彼此互补，从不同的角度看待函数，渗透函数思想
.
课标解读
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．(难点)
函数的表示法
【问题导思】
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔，每支铅笔的价格为0.5元，共需y元，于是y与x之间建立起了一个函数关系．
1．函数的定义域是什么？
【提示】 {1,2,3,4,5}
2．y与x有何关系？
【提示】 y＝0.5x
3．试用表格表示y与x之间的关系．
【提示】 表格如下：
支数(x)
1
2
3
4
5
钱数(y)
0.5
1
1.5
2
2.5
4.试用图象表示y与x之间的关系．
【提示】 图象如下：
函数的三种表示法
某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
【思路探究】 函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3
000,6
000,9
000，…，30
000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．
【自主解答】 (1)列表法：
x(台)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．
1．本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应标明定义域．
2．函数三种表示方法的优缺点
(1)解析法．
优点：①简明、全面概述变量之间的关系；②利用解析式可以求任意函数值．
缺点：不够形象、直观，并且不是每一个函数都有解析式．
(2)图象法．
优点：能形象直观表示函数的变化情况．
缺点：只能近似求出函数值且有时误差较大．
(3)列表法．
优点：不用计算可直接看出与自变量对应的函数值．
缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的函数值．
(2013·大连高一检测)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.
【解析】 由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，
∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2.
∴x＝1.
【答案】 1 1
求函数的解析式
(1)已知f(x)是一次函数且f(f(x))＝2x－1，则f(x)＝________.
(2)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，则f(x)的解析式为_____．
(3)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
【思路探究】 (1)用待定系数法；(2)用方程组法；(3)用配凑法或换元法．
【自主解答】 (1)∵f(x)为一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
又∵f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
∴∴或
∴f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
【答案】 x＋1－或－x＋1＋
(2)因为对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，将x换为－x得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，联立消去f(－x)，可得f(x)＝－3x－.
【答案】 f(x)＝－3x－
(3)法一 f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，其中＋1≥1，故所求函数的解析式为f(x)＝x2－1，其中x≥1.
法二 令＋1＝t，则x＝(t－1)2且t≥1，
函数f(＋1)＝x＋2可化为f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
故所求函数的解析式为f(x)＝x2－1，其中x≥1.
求函数解析式的四种方法
(1)待定系数法：适用于已知函数的类型的情况，如一次函数、二次函数等，先把函数设出来，再解系数．
(2)配凑法：适用于已知解析式等号两边的形式接近，易于找关系的情况．
(3)换元法：适用于大多数情况．换元时，一定注意自变量的取值范围的变化情况．
(4)方程组法：这种方法针对于特殊题型，如同时出现f(x)和f(或f(－x))时，需要把f(x)、f(或f(－x))分别看作一个整体．通过解方程组消去不需要的f(或f(－x))，解出f(x)的解析式，这种方法也称消去法．
已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋(a＋b)＝2x.
函数的图象及应用
∴解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.
作出下列函数的图象：
(1)y＝1＋x(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
【思路探究】 看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图．
【自主解答】 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图(1)所示．
(2)∵x∈[0,3)，∴这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x在0≤x＜3之间的一段弧，如图(2)所示．
1．本题(1)中图象是由一些散点构成的，这里不能将其用平滑曲线连起来．
(2)中描出两个端点及顶点，依据二次函数的图象特征作出函数图象．注意3不在定义域内，从而点(3,3)处用空心点．
2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．
若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
【解析】 A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
【答案】 B
因换元前后不等价致误
已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
【错解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.
【错因分析】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未证明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．
【防范措施】 采用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t＝x2＋2后，则t≥2.
【正解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．
1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．
2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．
3．求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点．求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消去法)，注意有的函数要注明定义域.
.
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3
A.1 B．2 C．3 D．不存在
【解析】 ∵2<3≤4∴由表格可知f(3)＝3.
【答案】 C
2．下列各图象中，不可能是函数y＝f(x)的图象的有几个( )
① ② ③ ④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 判断一个图象是否是函数图象，其关键是分析是否满足定义域内的任意一个x，都有唯一确定的y与之对应．故①②可能是函数图象．③④一定不是y＝f(x)的图象．
【答案】 B
3．若一个长方体的高为80cm，长比宽多10cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
【解析】 由题意可知，长方体的长为x＋10cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0.
【答案】 y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)
4．已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
【解】 用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
x
1
2
3
4
y
－2
－3
－4
－5
一、选择题
1．(2013·陕西高考)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则 RM为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
【解析】 函数f(x)的定义域M＝(－∞，1]，则 RM＝(1，＋∞)．
【答案】 B
2．已知f(x＋2)＝x2－x＋1，则f(x)等于( )
A．x2－x＋3 B．x2＋4x＋1
C．x2－x－1
D．x2－5x＋7
【解析】 令x＋2＝t，则x＝t－2，∴f(t)＝(t－2)2－(t－2)＋1＝t2－5t＋7，
∴f(x)＝x2－5x＋7.
【答案】 D
3．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2
B．6
C．1
D．0
【解析】 令x－1＝2得x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.
【答案】 B
4．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
【解析】 由题意设f(x)＝a(x－1)2＋b(a>0)，由于点(0,0)在图象上，所以a＋b＝0，a＝－b，故符合条件的是D.
【答案】 D
5．(2014·武汉高一检测)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )
A．2
B．1
C．－1
D．无最大值
【解析】 在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图
根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．∴当x＝1时，f(x)max＝1，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．函数f(x)的图象如图1－2－2所示，其中点O、A、B、C的坐标分别为(0,0)，，(0,4)，(2,0)，则f(－5)＝________，f(f(2))＝________.
图1－2－2
【解析】 由图可知f(－5)＝，f(2)＝0，f(0)＝4，故f(f(2))＝4.
【答案】 4
7．已知f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，则f[g(x)]＝________.
【解析】 ∵f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，
∴f[g(x)]＝f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋1＝4x2＋4x＋2.
【答案】 4x2＋4x＋2
8．已知f(x)＝x＋a，且f(x－1)＝x＋6，则a＝________.
【解析】 ∵f(x)＝x＋a，∴f(x－1)＝x－1＋a.
又f(x－1)＝x＋6，∴x－1＋a＝x＋6，∴a＝7.
【答案】 7
三、解答题
9．作出下列函数的图象：
(1)f(x)＝x＋x0；
(2)f(x)＝1－x(x∈Z，且－2≤x≤2)．
【解】 (1)如图(1)
(1)
(2)如图(2)
(2)
10．求下列函数的解析式：
(1)已知函数f(x－1)＝x2－4x，求函数f(x)，f(2x＋1)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式．
【解】 (1)法一 已知f(x－1)＝x2－4x，令x－1＝t，则x＝t＋1，代入上式得，
f(t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3，即f(x)＝x2－2x－3(x∈R)．
因此，f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)－3＝4x2－4.
法二 ∵f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3，∴f(x)＝x2－2x－3(x∈R)，
因此，f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)－3＝4x2－4.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则依题意代入，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x，
即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
利用等式两边对应项的系数相等，可得
2a＝2,2b＝－4,2a＋2c＝0，解之得：a＝1，b＝－2，c＝－1，
∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－1.
图1－2－3
11．如图1－2－3所示，用长为l的铁丝弯成下部分为矩形，上部分为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．
【解】 由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的边AB＝2x，设AD＝a，则有2x＋2a＋πx＝l，即a＝－x－x，半圆直径为2x，半径为x，
∴面积y＝πx2＋·2x＝－x2＋lx.
根据实际意义知－x－x>0，又x>0，解得0即函数y＝－x2＋lx，其定义域为
