1.3.1
单调性与最大（小）值
第1课时
1.3.1
单调性与最大（小）值
整体设计
教学分析
在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.
三维目标
1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.
3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.
4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:函数的单调性和最值.
教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.
课时安排
2课时
设计方案（一）
教学过程
第1课时
函数的单调性
导入新课
思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann
Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.
时间间隔t
0分钟
20分钟
60分钟
8~9小时
1天
2天
6天
一个月
记忆量y(百分比)
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识 （可以借助信息技术画图象）
图1-3-1-1
学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.
思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？
学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律 这反映了相应的函数值的哪些变化规律
图1-3-1-2
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？
③如何理解图象是上升的？
④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)=x2
表(1)
⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？
⑥增函数的定义中，把“当x1
x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗
⑦增函数的定义中，“当x1⑧增函数的几何意义是什么？
⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？
⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？
讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.
④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1⑥可以.增函数的定义：由于当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.
⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.
⑧从左向右看,图象是上升的.
⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.
⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.
应用示例
思路1
例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
图1-3-1-3
活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
变式训练
课本P32练习1、3.
例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.
活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p=是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.
解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+∞)上是减函数即可.
点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1变式训练
课本P32练习4.
思路2
例1（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.
图1-3-1-4
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.
(2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.
（3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.
点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内.
判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明.
判断函数单调性的三部曲：
第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；
第二步，结合图象来发现函数的单调区间；
第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.
函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.
变式训练
已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；
(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.
解：（1）设x1、x2∈R，且x1F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函数f(x)是R上的增函数，x1∴f(x1)∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］<0.
∴F(x1)（2）设点M(x0,F(x0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x0,F(x0))关于点(,0)的对称点M′(a-x0,-F(x0)).
又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0))
＝f(a-x0)-f(x0)
＝-［f(x0)-f(a-x0)］
=-F(x0),
∴点M′(a-x0,-F(x0))也在函数F(x)图象上，
又∵点M(x0,F(x0))是函数F(x)图象上任意一点，
∴函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
例2(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点
(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点
图1-3-1-5
(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点
(4)由以上你发现了什么结论 试加以证明.
活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:
（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.
解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.
(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.
图1-3-1-6
函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.
(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:
不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.
由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).
设2m-b≤x12m-x2≥a,
f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).
又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.
∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).
∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.
∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.
因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.
点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.
变式训练
函数y=f(x)满足以下条件:
①定义域是R;
②图象关于直线x=1对称;
③在区间［2,+∞)上是增函数.
试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).
活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.
解：定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0).
结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：
形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.
知能训练
课本P32练习2.
【补充练习】
1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.
解：①正比例函数：y=kx(k≠0)
当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.
②反比例函数：y=(k≠0)
当k>0时，函数y=的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.
③一次函数：y=kx+b(k≠0)
当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.
④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞,］，单调递增区间是［,+∞)；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［,+∞)，单调递增区间是(-∞,］.
点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.
2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.
答案：a=2.
4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)，
∴解得a<或a>1.
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，
∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.
∴0答案：(0,)∪(1,5)
点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式.
拓展提升
问题：1.画出函数y=的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？
（1）函数y=是减函数；（2）函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
2.对函数y=,取x1=-13.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？
解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=的图象不是下降的.
（2）是错误的，函数y=的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的.
2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.
3.函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.
点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定.
课堂小结
本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.
作业
课本P39习题1.3A组2、3、4.
设计感想
“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.
本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
(设计者：张建国)
设计方案（二）
教学过程
第1课时
函数的单调性
导入新课
思路1.
为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
图1-3-1-7
问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？
(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.
思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
图1-3-1-8
随x的增大，y的值有什么变化？
引导学生回答，点拨提示，引出课题.
设计意图:创设情景，引起学生兴趣.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.
如图1-3-1-9所示:
图1-3-1-9
问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数
设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知.
问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
图1-3-1-10
设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.
问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数？
设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.
问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗
设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.
问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.
学生的困难是难以确定分界点的确切位置.
问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.
问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.
归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）.
2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.
讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在［0,+∞)上y随x的增大而增大，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.
②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.
③不能.
④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.
(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.
(3)任取x1、x2∈［0,+∞),且x1⑤略
应用示例
思路1
例1课本P29页例1.
思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.
图象法求函数单调区间的步骤:
①画函数的图象；
②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.
答案：略.
变式训练
课本P32练习4.
例2课本P32页例2.
思路分析：按题意，只要证明函数p=在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明.
点评：本题主要考查函数的单调性.
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（定义法）
①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.
易错分析：错取两个特殊值x1、x2来证明.
答案：略.
变式训练
判断下列说法是否正确：
①已知f(x)=,因为f(-1)②若函数f(x)满足f(2)③若函数f(x)在区间(1,2］和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.
④因为函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，所以f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
活动：教师强调以下三点后,让学生判断.
1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数).
3.函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数.
答案：这四个判断都是错误的.
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数
证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可.也就是说，只要找到两个特殊的自变量，不符合定义就行.
思路2
例1证明函数f(x)=x+在(2,+∞)上是增函数.
思路分析：利用单调性的定义证明.可以利用信息技术，先画出函数的图象，体会一下再证明.
点评：本题主要考查函数的单调性.
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.
答案：略.
变式训练
证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.
思路分析：此函数是一个具体的函数，用定义法证明.
思考：除了用定义外，如果证得对任意的x1、x2∈(a,b)，且x1≠x2有分
f(x2)-f(x1)x2-x1式>0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗
活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.
讨论结果：能.
例2用计算机画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明.
思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明.
教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
点评：讨论函数单调性的三部曲：
第一步，画函数的图象；
第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；
第三步，利用定义加以证明.
答案：略.
变式训练
画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间.
活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明.
答案：略.
知能训练
课本P32练习2.
拓展提升
试分析函数y=x+的单调性.
活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.
答案：略.
课堂小结
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.
(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.
(3)数学思想方法：数形结合.
(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.
设计感想
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.
考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
作业:课本P39习题1.3A组2、3、4.
(设计者：张新军)§1.3.1
单调性与最大（小）值
内容与解析
内容：单调性与最大（小）值。
解析：函数的单调性与最大（小）值是函数的重要性质，是每年高考的必考内容，例如判断或证明函数的单调性、求单调区间、利用单调性求参数的取值范围、利用单调性解不等式.这类问题一般难度中等偏上，题型一般为解答题也可为填空、选择题.
目标及其解析：
教学目标
理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别,
学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
解析
（1）函数单调性的含义
正确理解单调性定义要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语.概括来说，所谓“增”即是随着的增大而增大，所谓“减”即是随着的增大而减小.
（2）函数的单调性是函数的“局部”概念
函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.函数可以在整个定义域上单调，如：在上单调递增.函数也可以在定义域的某个区间单调递增，在某个区间单调递减，如：在单增，在上单调递减.
（3）单调性的证明与判断
证明的依据的定义，有着严格的要求与步骤。
问题诊断分析
函数的单调性，是函数的重要性质之一，并且在学习的过程中能深刻体会到数学推理的重要性与意义，作为初学者，最关键的是要根据定义严格的按步骤来，学生最容易出现的问题的无意中运用了函数单调性定义本身去证明。
教学支持条件分析
在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint
2003。因为使用PowerPoint
2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
教学过程
（一）研探新知：
（1）增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：
①根据f(x)＝3x＋2、
f(x)＝x
(x>0)的图象进行讨论：
随x的增大，函数值怎样变化？
当x>x时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？
②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？
③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1function）
④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→
区间局部性、取值任意性
⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。
⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？
所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？
y＝x的单调区间怎样？
③练习（口答）：如图，定义在[-4,4]上的f(x)，根据图像说出单调区间及单调性。
(2)增函数、减函数的证明：
①出示例1：指出函数f(x)＝－3x＋2、f(x)＝的单调区间及单调性，并给出证明。
（由图像指出单调性→示例f(x)＝－3x＋2的证明格式→练习完成。）
②出示例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.
（学生口答→
演练证明）
③小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。
判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x→计算f(x)－f(x)至最简→判断差的符号→下结论。
(3)函数最大（小）值：
①
指出下列函数图象的最高点或最低点，→
能体现函数值有什么特征？
，
；，
②
定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)
=
M.
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum
Value）
③
探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum
Value）的定义．
→
一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法）
→
试举例说明方法.
设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会证明的一般方法。
（二）类型题探究
题型一
求函数的单调区间
例1
求函数的单调区间.
【思维导图】
【解答关键】去掉绝对值号，化为分段函数，并画出函数的图象，借助图象可以直观地判断出函数的单调区间.
【规范解答】，
其图象如右图所示：
由函数的图象可知，函数的单调增区间是
，；单调减区间是，.
【技巧感悟】本题中所给出的函数式中含有绝对值，可以采用零点分段法去绝对值，将函数转化为分段函数，再画出函数的图象，通过函数的图象观察函数的单调性.
【误区警示】该函数的单调递增区间是由两个区间组成，注意不能写成下列形式：
，或
【思想方法】数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想，可以利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，然后画出图象，最后根据函数的定义域与图象的位置、状态确定函数的单调区间.另外，研究函数的单调性的方法还有定义法以及利用已知函数的单调性进行判断.
【活学活用】1.（1）
(广东执信中学09-10高一上学期期末)函数和的递增区间依次是
（
）
A．，
B．，
C．，
D．
，
(2)写出函数的单调区间.
1．（1）C
解析如图
(2)解析：先作出函数的图象，由于
绝对值的作用，把轴下方的图象沿轴对折到轴的上方，所
得函数的图像如右图所示：
由函数的图象可知，函数在、上是减函数，
在、上是增函数．
题型二
判断并证明函数的单调性
例2证明：函数在区间上单调递减，在上单调递增.
【思维导图】
【解答关键】用定义法证明函数的单调性，主要是四个步骤，证明的关键是进行变形，尽量变成几个最简单因式的乘积的形式.
证明：任取且，于是，
.
由于且，所以
，，
则，，故，即，
故，由减函数定义，得在区间单调递减.
同理可证：在区间上单调递增.
【知识归纳】函数在区间上是减函数，在上是增函数.这一结论在求此类函数的值域或最值时非常方便，但解答题需要先证明结论后才能用.
【技巧感悟】在“作差变形”的过程中，为了确定符号，一般是分解出含有的因式，再将剩下的因式通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，化为几个因式的积、商，或化为几个非负实数的和的形式，然后判断符号.
【误区警示】用定义证明函数的单调性时要注意详细写出解题步骤，如果省略必要的步骤，将会导致错误.另外，有的同学没有化简彻底，就开始判断符号，这也是容易出错的.“题要一步一步地解”，在数学证明题中显得尤为重要.
【活学活用】2.（2009湖北黄冈中学高一测试）下列函数中，在上为减函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
2．D
解析：注意到函数是一个以为顶点的开口向下的抛物线，
是一个以为顶点，开口向上的抛物线，它们在上都不是单调减函数，而的图象是出现在第二和第四象限的两支曲线，在上单调递增，所以正确选项是D．
题型三
单调性的应用
例3
已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.
【思维导图】
【解答关键】先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解.
【规范解答】，故此二次函数的对称轴为，所以函数的单调递减区间为，又因为在上是减函数，所以对称轴必须在直线的右侧或与其重合.故，解得.
【技巧感悟】函数在是为单调递增(递减)函数与函数的单调递增(递减)区间为有着本质差异.可理解如下：
(1)
函数在是为单调递增(递减)函数，说明除此区间之外，在其它区间上也可能单调递增(递减)函数.
(2)
函数的单调递增(递减)区间为，说明函数除此区间外，在其它区间上不再有单调递增(递减)区间.
【活学活用】3.(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为
；
（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为
.
3.解析：（1）由二次函数的图象可知，该二次函数的对称轴是，即，即．
（2）由题意可知，二次函数的对称轴是，若在上是增函数，则需满足，即．
(三）小结：
目标检测
目标检测一
一、选择题
1．若函数是上的减函数，那么
(
)
A．
B．
C．
D．无法确定
1．
B
解析：因为函数是上的减函数，所以对任意，应有，即，又，所以．
2．下列函数中，在区间上为增函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
2．D
解析：画出图象可得，在区间上，，，都是递减函数．
3．.(河南宝丰一高2009-2010月考)定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有
成立，则必有
（
）
A．函数是先增加后减少
B．函数是先减少后增加
C．在上是增函数
D．在上是减函数
3．C
解析：由于，所以，得当时，；同理当时，.故在上是增函数．
4．(河南新乡2009-2010学年高一上学期期末)已知二次函数在区间上单调函数，则实数的取值范围为（
）
A．或
B．
C．或
D．
4．
A
解析：的对称轴，若在区间上是增函数，则；若在区间上是减函数，则．
5．.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
5．A
解析：数形结合与的对称轴，则，得，
．
二、填空题
6.定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的集合
.
6.
解析：通过函数单调性的可逆转化为自变量的关系
即
7．
的单调区间是
此时单调性为
.
7.，增．解析：函数的单调区间求出后，再判断其增减性，是求解单调性问题的常用方法．函数的定义域为，易判断在定义域为恒增．证明如下：取，,容易判断符号，得到，故为增函数．
三、解答题
8．已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围．
8．解析：∵时，，∴函数是减函数，
∴由得：，解得，
∴的取值范围是．
9．判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
9．证明：函数是增函数.证明如下：
设，则
，
因为，所以，，
则，
即，故函数是增函数．
高考能力演练
10．（2009福建理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是(
)
A．=
B．=
C．
D．
10．
A
解析：依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确.
目标检测二
一、选择题
1.
关于函数y=的单调性的表述正确的是(
)
A.在（－∞，0）上增加，在（0，+∞）上减少
B.在（－∞，0）∪（0，+∞）上减少
C.在［0，+∞）上减少
D.在（－∞，0）和（0，+∞）上都减少
1.
D
解析：对于反比例函数y=（k≠0），当k＞0时
，在区间上是单调递减函数，在区间上也是单调递减函数，这种函数的单调区间只能分开写；当k＜0时,
在区间上是单调递增函数，在区间上也是单调递增函数.
2.
已知函数定义在上，且有，则下列判断正确的是
(
)
A.必为上的单调增函数
B.不是上的单调增函数
C.必为上的单调减函数
D.不是上的单调减函数
2.
B
解析：
根据增函数的定义知选B.
3.
函数，在[2，+∞）上是增函数，在（-∞，2]上是减函数，则
A．
B．
C．
D．
3.
A
解析：由二次函数图象的特性及单调性可知.
4.函数在其定义域上是增函数，且，那么在上为减函数是
(
)
A．
B．
C．
D．
4.
C解析：取很容易可以判断在定义域内为减函数.
二、填空题
5.
函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，则y＝f(|x＋2|)的单调减区间是______．
5.
［－2，＋∞)
解析：∵y＝f(u)在R上递减；u＝|x＋2|在［－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2］上递减∴y＝f(|x＋2|)在［－2，＋∞)上递减
6.
函数，在[-2，+∞）上是增函数，在（-∞，-2]上是减函数，则————————
6.
2
解析：由抛物线呈轴对称可知，.
7.若函数在区间（-2，3）上是增函数，则函数的递减区间为_________
7.（-2，3）解析：设t=x+5其在R上增函数，则在区间（-2，3）上是增函数,即x+5（-2，3）
三、解答题
8.
讨论函数的单调性．
8.设，则：
，，．
∴当时，，在(-1，1)上是增函数．
当时，，在(-1，1)上是减函数．
当时，为常数函数，没有单调性．
9.
函数在上是增函数，求的取值范围．
9.
∵函数在上是增函数，∴对任意的有，即，得，即，
∵，∴
，
∵，∴要使恒成立，只要；
又∵函数在上是增函数，∴，
即，综上的取值范围为．
高考能力演练
10.作出函数f（x）=+的图象，并指出函数f（x）的单调区间.
10.由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再作图写出单调区间.
原函数可化为
f（x）=+=|x+1|+|x－1|=
作出函数的图象：
所以函数的递减区间是（－∞，－1］，函数的递增区间是［1，+∞）.
11.已知点p(t,y)在函数的图象上，且有
（1）求证：；
（2）求证：在（－1，+∞）上单调递增；
（3）求证：
11.（1），
（2）由
设，则
时，单调递增.
（3）在时单调递增，
去绝对值符号
由定义法
或图象法
结论
作差
任取
得出结论
代入
化简
判断
判断
函数解析式配方
图象的对称轴
对称轴与所给区间的关系
－2x，x≤－1，
2，－1＜x＜1，
2x，x≥1.1.3.2
函数的最大（小）值（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.
(
)（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数.
体会求函数最值是函数单调性的应用之一.
(
)2．过程与方法
(
)借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念.
培养应用函数的单调性求解函数最值问题.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.
(
)（三）过程与方法
(
)合作讨论式教学法.
通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念.
从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题
1．函数f
(x)
=
x2.
在(
–
∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数.
当x≤0时，f
(x)≥f
(0)，
x≥0时，
f
(x)≥f
(0).
(
)从而x?R.
都有f
(x)
≥f
(0).
(
)因此x
=
0时，f
(0)是函数值中的最小值.
(
)2．函数f
(x)
=
–x2同理可知x?R.
都有f
(x)≤f
(0).
即x
=
0时，
(
)f
(0)是函数值中的最大值.
师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征；
(
)师生合作定性分析函数f
(x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值.
应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.
形成概念
函数最大值概念：
(
)一般地，设函数y
=
f
(x)的定义域为I.
如果存在实数M满足：
(
)（1）对于任意x都有f
(x)
≤M.
(
)（2）存在x0?I，使得f
(x0)
=
M.
(
)那么，称M是函数y
=
f
(x)
的最大值.
师：对于函数y
=
f
(x)、f
(x0)为其最大值.
即
(
)f
(x0)≤
f
(x)意味着什么？
(
)生：f
(x0)为函数的最大值，必须满足：
(
)①x0?定义域；
(
)②f
(x0)
?值域；
(
)③f
(x0)是整个定义域上函数值最大的.
由实例共性抽象获得最大值概念.
形成概念
函数最小值概念.
(
)一般地：设函数y
=
f
(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
(
)（1）对于任意x?I，都有f
(x)≥M.
(
)（2）存在x0?I，使得f
(x0)
=
M.
(
)那么，称M是函数y
=
f
(x)的最小值.
师：怎样理解最大值.
(
)生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.
(
)师：函数最小值怎样定义？
(
)师生合作，学生口述，老师评析并板书定义.
由最大值定义类比最小值定义.
应用举例
例1
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.
制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.
如果烟花距地面的高度h
m与时间t
s之间的关系为h
(t)
=
–
4.9t
2
+
14.7t
+
18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
(
)训练题1：
(
)已知函数f
(x)
=
x2
–
2x
–
3，若x?[t，t
+2]时，求函数f
(x)的最值.
(
)例2
已知函数y
=(x?[2，6])，求函数的最大值和最小值.
(
)
(
)训练题2：设f
(x)是定义在区间[–6，11]上的函数.
如果f
(x)
在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f
(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现f
(–2)是函数f
(x)的一个
.
(
)训练题3：甲、乙两地相距s
km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固
定部分组成，可变部分与速度x
(km
/
h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
(
)
师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3.
老师点评.
阐述解题思想，板书解题过程.
(
)例1解：作出函数h(t)
=
–
4.9t
2
+
14.7t
+
18的图象(如图).
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
(
)
(
)由二次函数的知识，对于函数h
(t)
=
–
4.9t
2
+
14.7t
+18，我们有：
(
)当t
==1.5时，函数有最大值
(
)h
=≈29.
(
)于是，烟花冲出后1.5
s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
(
)师：投影训练题1、2.
(
)生：学生相互讨论合作交流完成.
(
)训练题1解：∵对称轴x
=
1，
(
)（1）当1≥t
+2即t≤–1时，
(
)f
(x)max
=
f
(t)
=
t
2
–2t
–3，
(
)f
(x)min
=
f
(t
+2)
=
t
2
+2t
–3.
(
)（2）当≤1＜t
+2，即–1＜t≤0时，
(
)f
(x)max
=
f
(t)
=
t
2
–2t–3，
(
)f
(x)min=
f
(1)
=
–
4.
(
)（3）当t≤1＜，即0＜t≤1，
(
)f
(x)max
=
f
(t
+2)
=
t
2
+
2t
–
3，
(
)f
(x)min
=
f
(1)
=
–
4.
(
)（4）当1＜t，即t＞1时，
(
)f
(x)max
=
f
(t
+2)
=
t
2
+2t
–3，
(
)f
(x)min
=
f
(t)
=
t
2
–2t
–3.
(
)设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有
(
)g
(t)
=
(
)
(
)例2分析：由函数y
=(x?[2，6])的图象可知，函数y
=在区间[2，6]上递减.
所以，函数y
=在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f
(x1)
–
f
(x2)
===.
由2≤x1＜x2≤6，得x2
–x1＞0，(x1–1)
(x2–1)＞0，于是
f
(x1)
–
f
(x2)＞0，即
f
(x1)＞f
(x2).所以，函数y
=是区间[2，6]上是减函数.
因此，函数y
=在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x
=2时取得的最大值，最大值是2，在x
=
6时的最小值，最小值是0.4.训练题2答案：最小值.训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x
km
/
h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决.解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：y
=
b·+
ax2·.∴y
=
s
(a
x
+)
.
（其中x?(0，+∞).
即将此时的问题转化成：“函数y
=
s(ax
+)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y
取最小值？”下面讨论函数y
=
s
(ax
+)[x?(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性.设x1，x2?(0，+∞)，且x1＜x2，则f
(x1)
–
f
(x2)
=
s[(ax1
+)–
(ax2
+)]=
s[a
(x1–
x2)
+]==∵x1，x2＞0，且x1＜x2∴x1x2＞0，a
(x1
–
x2)＜0∴当x1，x2?(0，)时，x1，x2＜，x1x2
–＜0，∴f
(x1)＞f
(x2)，当x1，x2?[，+∞]时，x1x2＞，x1x2
–＞0，∴f
(x1)＜
f
(x2).综上所述，我们看到函数y
=
s(ax
+)
(a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x
=时，y取得最小值即y
min
=2s.
那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x
=km
/
h的速度行驶.
自学与指导相结合，提高学生的学习能力.讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养进一步固化求最值的方法及步骤.（1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现.（2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.
归纳总结
1．最值的概念2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.
师生交流合作总结、归纳.
培养学生的概括能力
课后作业
1.3第二课时
习案
学生独立完成
能力培养
备选例题
例1
已知函数f
(x
)
=，x∈[1，+∞).
（Ⅰ）当a
=时，求函数f
(x)的最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f
(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
分析：对于（1），将f
(x)变形为f
(x)
=
x
+2
+
=
x
++2，然后利用单调性求解.
对于（2），运用等价转化(x?[1，+∞)恒成立，等价于x2
+
2x
+
a＞0
恒成立，进而解出a的范围.
解：（1）当a
=时，f
(x)
=
x
++2
因为f
(x)在区间[1，+∞）上为增函数，
所以f
(x)在区间[1，+∞）上的最小值为f
(1)
=.
（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f
(x)
=恒成立x2
+
2x
+
a＞0恒成立.
设y
=
x2
+2x+a，∵(x
+
1)
2
+
a
–1在[1，+∞)上递增.
∴当x
=1时，ymin
=3
+
a，于是当且仅且ymin
=3
+
a＞0时，函数f
(x)＞0恒成立，
∴a＞–3.
解法二：f
(x)
=
x
++2
x[1，+∞).
当a≥0时，函数f
(x)的值恒为正；当a＜0时，函数f
(x)递增.
故当x
=1时，f
(x)min
=
3+a.
于是当且仅当f
(x)min
=3
+a＞0时，函数f
(x)＞0恒成立.
故a＞–3.
例2
已知函数f
(x)对任意x，y?R，总有f
(x)
+
f
(
y)
=
f
(x
+
y)，且当x＞0时，f
(x)＜0，f
(1)
=.
（1）求证f
(x)是R上的减函数；
（2）求f
(x)在[–3，3]上的最大值和最小值.
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.
证明：（1）令x
=
y
=0，f
(0)
=
0，令x
=
–
y可得：
f
(–x)
=
–
f
(x)，
在R上任取x1＞x2，则f
(x1)
–
f
(x2)
=
f
(x1)
+
f
(–
x2)
=
f
(x1–x2).
∵x1＞x2，∴x1–x2＞0.
又∵x＞0时，f
(x)＜0，∴f
(x1–x2)＜0，
即f
(x1)
–
f
(x2)＞0.
由定义可知f
(x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f
(x)在R上是减函数，∴f
(x)在[–3，3]上也是减函数，
∴f
(–3)最大，f
(3)最小.
f
(3)
=
f
(2)
+
f
(1)
=
f
(1)
+
f
(1)
+
f
(1)
=3×()
=
–2.
∴f
(–3)
=
–
f
(3)
=2.
即f
(–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.1.3.1单调性与最大（小）值
课前预习
·
预习案
【学习目标】
1．理解函数的单调性及其几何意义.
2．能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间；理解增(减)函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性.www.21-cn-jy.com
3．理解函数的最大值、最小值的概念.
4．会根据函数的单调性求函数的最大值和最小值.
5．掌握函数的最值在实际中的应用.
【学习重点】
1．函数的最大(小)值及其几何意义
2．利用定义函数的单调性的步骤
3．函数单调性的有关概念的理解
【学习难点】
1．利用函数的单调性求函数的最大(小)值
2．利用定义判断函数的单调性的步骤
3．函数单调性的有关概念的理解
【自主学习】
1．函数的单调性与单调区间
(1)单调性：如果函数在区间上是
，那么说函数在这一区间具有(严格的)单调性.21世纪教育网版权所有
(2)单调区间：指的是
.
2．函数单调性的定义
条件
结论
增函数
设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的两个自变量的值，，当时
都有
，则函数在区间上是增函数
减函数
都有
，则函数在区间上是减函数
3．函数的最大值和最小值
最大值
最小值
前提
设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件
(1)对任意，都有
；(2)存在，使得
(1)对任意，都有
；(2)存在，使得
结论
___________是函数的最大值
___________是函数的小值
【预习评价】
1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是
A.
B.
C.
D.
2．若函数，则其在上是
(填“增函数”或“减函数”).
3．已知函数，则与的大小关系为
.
4．函数，，则的最大值为
A.-1
B.0
C.3
D.-2
5．若函数在[1，2]上的最大值与最小值的差是2，则
A.2
B.-2
C.2或-2
D.0
6．函数，，则的最大值为
；最小值为
.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．函数单调性的定义与单调区间
根据下面的图象探究下列问题.
(1)图①中任取，，当时与的大小关系如何？图②昵？
(2)图①，图②分别反映了函数的什么性质？
(3)如果在函数中有，能否得到函数为增函数？
(4)若函数在上是增函数，，则在上是什么函数？
2．函数单调性的定义与单调区间
根据函数单调性的定义，思考下列问题：
(1)在函数单调性的定义中能否将“任取，”改为“任取，”？
(2)在函数增减性的定义中，的符号与的符号之间有什么关系？
3．函数的最大(小)值
根据提示完成下面的问题，明确函数的单调性与最值的关系：
(1)若函数在区间上是单调递增的，则函数的最大值是
；最小值是
.
(2)若函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则函数在区间上的最小值是
；最大值是
.21教育网
4．函数的最大(小)值
请根据函数最大(小)值的定义探究下面的问题：
(l)定义中的应满足什么条件？
(2)该定义中若只满足第一条，是不是函数的最大(小)值？
【教师点拨】
1．对函数单调性和单调区间的三点说明
(1)任意性；“任取，”中的“任取”二字不能去掉，更不能用两个特殊值替换.
(2)确定性：，有大小之分且属于同一个单调区间，通常规定.
(3)区间表示：函数的单调区间是函数定义域的子区间，两个单调区间要用“，”或“和”连接，而不能用“”连接.21·cn·jy·com
2．对函数最大值、最小值的四点说明
(1)最值中一定是一个函数值，是值域中的一个元素.
(2)最值定义中的两条缺一不可，必须同时满足时，是函数的最值.
(3)求函数的最值一般是先判断函数的单调性，然后再求最值.
(4)几何意义：如图函数图象最高点的纵坐标即为函数的最大值，函数图象的最低点的纵坐标即为函数的最小值.2·1·c·n·j·y
【交流展示】
1．已知的图象如图所示,则的增区间是
,减区间是
.
2．作出函数的图象,并指出函数的单调区间.
3．函数有如下性质：若常数,则函数在上是减函数,在上是增函数.已知函数(为常数),当时,若对任意,都有,则实数的取值范围是
.【来源：21·世纪·教育·网】
4．已知函数.
(1)若的单调减区间为,求的取值范围.
(2)若在区间上为减函数,求的取值范围.
5．如图为函数，的图象，则它的最大值为
；最小值为
.
6．求函数的最小值.
7．函数在区间()上有最大值9，最小值-7，则
,
.21·世纪
教育网
8．设函数，，为常数，求的最小值的解析式.
【学习小结】
1．求单调区间的三个注意点
注意点一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域；
注意点二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用；
注意点三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接.
2．利用定义证明函数单调性的变形技巧和步骤
(1)变形技巧：
①因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解.
②通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解.
③分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.
(2)四个步骤：
提醒：利用定义证明函数单调性，作差变形要“彻底”，也就是说要转化为几个因式相乘的形式，且每个因式都能够利用题设条件判断其符号.www-2-1-cnjy-com
3．由单调性求参数取值范围的两种方法
(1)定义法：借助函数的定义，根据结合函数单调性的定义，建立与
的关系.
(2)图象法：借助函数图象的特征，例如二次函数的图象被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给的单调区间的位置求参数的取值范围.21
cnjy
com
提醒：求函数中参数的取值范围问题中，将函数单调性的大小关系转化为参数大小关系的同时注意函数的定义域.【出处：21教育名师】
4．求函数最值的三种方法
(1)观察法：对于简单的初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数，可以依据定义域求出值域，观察得出.
(2)图象法：对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助于图象直观求出.
(3)单调性法：对于较复杂的函数，可利用单调性的判断方法，判断出函数的单调性，然后
求最值.
提醒：利用单调性求最值时，一定要先确定函数的定义域.
5．求二次函数在指定区间上最值的方法及三点注意
(1)常用方法：利用二次函数的单调性结合对称轴与区间的位置关系.分三种情况：
①对称轴在区间左侧；②对称轴在区间内；③对称轴在区间右侧.
(2)求二次函数最值的三点注意：
①注意开口方向，即与0的关系；
②注意对称轴，的位置；
③注意所给定的区间，即对称轴与区间的关系.
【当堂检测】
1．已知函数在上是减函数,则实数的取值范围为
A.[2,3)
B.(1,3)
C.(2,3)
D.[1,3]
2．已知函数(l).
(2).(3).上述函数中在
区间上为增函数的有
.【来源：21cnj
y.co
m】
3．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不出的报纸以每份0.05元的价格退回报社.一个月按30天算，其中有18天每天可以卖出400份，12天每天只能卖出180份，摊主每天从报社买进 份，才能使每月获得最大的利润.【版权所有：21教育】
4．作出函数的图象,并写出其单调区间.
答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．(1)增函数或减函数 (2)区间D
2．任意 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2)
3．(1)≤ (2)＝
(1)≥ (2)＝ M M
【预习评价】
1．B
2．增函数
3．＞
4．C
5．C
6．1
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)由图①可知函数y＝f(x)图象随x的增大而“上升”，即x1＜x2时，f(x1)＜f(x2).图②中函数y＝f(x)图象随x的增大而“下降”，即x1＜x2时，f(x1)＞f(x2).21教育名师原创作品
(2)图①②反映了函数的单调性，其中图①对应的函数为增函数；图②对应的函数为减函数.
(3)不能，函数单调性的定义中任取x1，x2，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则函数y＝f(x)为增函数，而1和2只是定义域上的两个特殊值，不能说明对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，所以由f(1)＜f(2)得不到函数为增函数.21
cnjy
com
(4)增函数.
2．(1)当函数在定义域上单调时，是可以的，当函数在定义域上有增有减时不可以.
(2)当函数是增函数时，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同；当函数是减函数时，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相反.2-1-c-n-j-y
3．(1)f(b) f(a)
(2)f(b) f(a)或f(c)
4．(1)M是一个函数值，即存在一个元素x0，使M＝f(x0).
(2)M不一定是最大(小)值，如函数f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1，但1不是函数的最大值，因为不存在x0∈R，使f(x0)＝1.
【交流展示】
1．[-1.5,3),[5,6)
[－4,－1.5),[3,5),[6,7]
2．图象如图所示,可得(－∞,－3]为递减区间,(3,＋∞)为递增区间,而f(x)在(－3,3]为常函数.
3．[12,20]
4．(1)由题意知得.
(2)由f(x)在区间(－∞,4)上为减函数,说明(－∞,4)只是函数f(x)的一个减区间.当a＝0时,f(x)＝－2x＋2在(－∞,4)上单调递减,故成立.
当a≠0时,由,得.
综上可知.
5．3 －1
6．f(x)有意义，则满足，得.
则f(x)的定义域为，
任取且x1＜x2，
则
，
所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是增函数，则f(x)的最小值为.
7．－2 0
8．
【当堂检测】
1．A
2．y＝2x－1
3．180
4．
即
作出图象如图所示.由图象可知函数的单调增区间为(－∞,－1]和[0,1],单调减区间为(－1,0)和(1,＋∞).21cnjy.com单调性与最大（小）值
教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；
2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；
3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；
4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；
5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
教学重点：函数单调性的概念
教学难点：函数单调性的判断和证明
教学方法：讲授法
教学过程：
（I）复习回顾
1.函数有哪几个要素？
2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？
3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？
4.区间的表示方法.
前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。
（II）讲授新课
1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）
问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？
随着x的增加，y值在增加。
问题2：怎样用数学语言表示呢？
设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1),
y2=f(x2).当x1f(x2).
(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。
结论：这时，说y1=
x2在[0，+∞]上是增函数。（同理分析y轴左侧部分）由此可有：
2.定义：（投影2）
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)<
f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing
function）。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing
function)。
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
（III）例题分析
例1.下图是定义在闭区间上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。
问题3：y=f(x)在区间，上是减函数；在区间，上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？
分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。
说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。
例2．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
证明：设任意x1、x2∈R，且x1则f(x1)-
f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).
由x1f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)=3x+2
在R上是增函数。
分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
a.设x1、x2∈给定区间，且x1b.计算f(x1)-
f(x2)至最简；
c.判断上述差的符号；
d.下结论。
例3．教材第34页例2。
（IV）课堂练习
课本P35
“探究题”和P38练习1—3
注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。
（V）课时小结
本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。
（VI）课后作业
1、书面作业：课本P45习题1.3A组题1、2、3、4题。
2、预习作业：
预习内：容函数的最大值与最小值（P35—P38）；
预习提纲：
a.函数最大值与最小值的含义是什么？
b.
函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？
1.3.1
单调性与最大（小）值（第二课时）
教学目标：1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；
2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；
3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法；
4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；
5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
教学重点：函数最值的含义
教学难点：单调函数最值的求法
教学方法：讲授法
教学过程：
（I）复习回顾
1．函数单调性的概念；
2．函数单调性的判定。
（II）讲授新课
通过观察二次函数和的最高点和最低点引出函数最值的概念（板书课题）
1．函数最大值与最小值的含义
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得。
那么，我们称是函数的最大值（maximum
value）.
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimum
value）吗？
2．二次函数在给定区间上的最值
对二次函数来说，若给定区间是，则当时，函数有最小值是，当时，函数有最大值是；若给定区间是，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。
3．例题分析
例1．教材第36页例题3。
例2．求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第37页例4）。
分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。
变式：若区间为呢？
例3．求函数在下列各区间上的最值：
（1）
（2）[1，4]
（3）
（4）
（5）
练习：教材第38页练习4及第二教材相关题目。
作业：教材第45页习题1.3
A组题第6、7、8题