1.3.2
函数的单调性和奇偶性
【学习导航】
学习要求：
1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。
2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。
3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。
【精典范例】
一、利用函数单调性求函数最值
例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)=
－.
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y可得：
f(－x)=
－f(x)，在R上任取x1
则x2－x1>0，
所以f(x2)
－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2－x1).
因为x10。
又因为x>0时f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，即f(x2)由定义可知f(x)在R上是减函数.
(2)因为f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.
所以f(－3)最大，f(3)最小。
所以f(－3)=
－f(3)=2
即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。
二、复合函数单调性
例2、求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y=的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.
解：设u=x2－2x－3，则y=.
因为u≥0，所以x2－2x－3≥0.所以x≥3或x≤－1.
因为y=在u≥0时是增函数，又当x≥3时，u是增函数，
所以当x≥3时，y是x的增函数。
又当
x≤－1时，u是减函数，
所以当x≤－1时，y是x的减函数。
所以y=的单调递增区间是[3,+
∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。
证明略
三、利用奇偶性，讨论方程根情况
例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是(
)
A.4
B.2
C.0
D.不知解析式不能确定
思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0.
答案：C
四、利用奇偶性，单调性解不等式
例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)思维分析：要求m的取值范围，就要列关于m的不等式，由f(1－m)0时的情况，从而使问题简单化。
解：因为函数f(x)在[－2,2]上是偶函数，则由f(1－m)又x≥0时，f(x)是单调减函数，
所以。
解之得：－1≤m<.
追踪训练
1、函数f(x)=的值域是(
)
A.[，+∞)
B.(－∞，]
C.(0,+∞)
D.[1,+
∞)
答案：A
2、下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是(
)
A.y=1+
B.y=－(x+1)2
C.y=
D.y=x3
答案：D
3、设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a2+a+1)答案：04、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x∈R且x≠±1}，若f(x)+g(x)=，则f(x)=________,g(x)=__________
答案：f(x)=，g(x)=
.
5、函数f(x)=是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()=.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)+f(t)<0；
答案：(1)f(x)=
(2)证明略
(3)0课前预习
·
预习案
【学习目标】
1．利用函数的奇偶性解决一些简单的问题，
2．掌握奇偶性的判断方法.
3．理解函数的奇偶性的概念和奇偶性图象的性质.
【学习重点】
1．函数奇偶性的性质及应用
2．奇、偶函数的概念及其几何意义
3．偶函数的概念及其几何意义
【学习难点】
1．奇、偶函数的概念及其判断
2．偶函数的概念及其判断
3．利用函数的奇偶性解决一些综合问题
【自主学习】
奇、偶函数的定义及图象特征
名称
定义
图象特征
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有
，那么函数就叫偶函数
图象关于
对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有
，那么函数就叫奇函数
图象关于
对称
【预习评价】
1．函数
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
2．奇函数()的图象必经过点
A.
B.
C.
D.
3．函数是
.(填“奇函数”“偶函数”)
4．函数，在上为偶函数，则
.
5．函数为奇函数，则
.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．偶函数的概念
观察下面函数的图象，根据图象探究下面的问题：
(1)分析3个函数的定义域，从图象的对称角度考虑它们有什么共性？
(2)对于函数，分析与所对应的函数值关系，说明函数的图象为何关于轴对称？
2．偶函数的概念根据偶函数的概念探究下面的问题：
(1)对于函数，若在定义域内有，能否说明函数是偶函数？
(2)若对定义域内任意的都有，则函数是
；若对定义域内任意的都有则函数是
.
3．奇函数的概念
观察函数与函数的图象，探究下面的问题：
(1)分析两个函数的定义域，从图象的对称性角度考虑图象之间有什么共性？
(2)什算当取-3，-2，-1，1，2，3时，函数的值，并总结函数值之间的关系.
4．奇函数的概念
根据奇函数的概念探究下面的问题：
(1)根据函数奇偶性的定义，对奇函数的定义域有何要求？
(2)若对定义域内任意的都有.则函数是
；若对定义域内任意的都有，则函数是
.
【教师点拨】
1．对奇函数图象及概念的三点说明
(1)奇函数的图象关于原点对称；反之如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.
(2)奇函数的定义域关于原点对称.
(3)若奇函数在处有定义，则有.
2．对偶函数概念及图象的两点说明
(1)对称性：偶函数的图象关于轴对称；反之如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数是偶函数.
(2)任意性：判断一个函数为偶函数，不能仅根据几个特殊值满足条件，就说明函数是偶函数.若一个函数为偶函数，则对任一特殊值都有成立.
【交流展示】
1．函数
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
2．设函数在区间上是奇函数，函数在区间上是偶函数，则函数在区间上是
A.偶函数
B.奇函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
3．函数的图象大致是
A.
B.
C.
D.
4．如图，给出了偶函数的局部图象，那么与的大小关系正确的是
A.
B.
C.
D.
5．若函数在[-5，5]上是奇函数，且，则下列各式中一定成立的是
A.
B.
C.
D.
6．是偶函数，且在上为减函数，则，，的大小关系是
A.
B.
C.
D.
7．已知定义域为的函数为奇函数，且在内是减函数，，则不等式的解集为
.
8．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x取值范围是
A.
B.
C.
D.
【学习小结】
1．判断函数的奇偶性三个步骤
(1)看定义域：是否关于原点对称.
(2)定关系：看与的关系.
(3)下结论：若，则是偶函数；若，则是奇函数.
2．奇偶函数图象的两个简单应用
根据奇、偶函数在某区间上的图象，利用奇偶性可作出对称区间上的图象，利用图象可解决以下两个问题：
(1)求值：已知某量的值，可求该量相反数的值.
(2)解不等式：由奇偶性得出图象后，根据轴上方函数值大于零，轴下方函数值小于零可写出不等式的解集.
3．已知函数奇偶性求参数的三种方法
(1)对称法：根据奇、偶函数的定义域关于坐标原点对称，则可求解所给区间含有的参数.
(2)定义法：根据函数的奇偶性定义，得到一个恒等式，比较系数可得.
(3)赋值法：根据函数的奇偶性采用赋值法，通过特殊值求参数的值.
4．根据函数奇偶性求解析式的三个步骤
提醒：利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是的情况
5．利用奇偶性和单调性比较大小的三个步骤
6．利用奇偶性与单调性解抽象不等式的四个步骤
提醒：在利用单调性解不等式时，要注意定义域的限制，以保证转化的等价性.
【当堂检测】
1．设奇函数的定义域为[-5，5]，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是
.
2．已知是偶函数，当时，，则当时，
.
3．判断下列函数的奇偶性.
(1)
(2)
(3)
4．已知函数是奇函数，又，，求，，的值.
5．已知函数是奇函数，且其图象在轴右侧的部分如图所示，请画出在轴左侧的图象.
答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x)
原点
【预习评价】
1．C
2．C
3．偶函数
4．1
5．0
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)函数f(x)＝x2的图象是定义域为全体实数的抛物线；函数的图象是定义域为非零实数的两条曲线；函数f(x)＝|x|的图象是定义域为全体实数的折线.各函数之间的共性为图象都关于y轴对称.
(2)任取x∈R，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，而点(x，f(x))与点(－x，f(x))关于y轴对称，所以函数y＝x2的图象关于y轴对称.
2．(1)不能.必须是在定义域内任意的x都有f(－x)＝f(x)成立，才能说明函数f(x)是偶函数.
(2)偶函数 偶函数
3．(1)两个函数的定义域都关于原点对称，函数图象也关于原点对称.
(2)f(－3)＝－f(3)，f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1).
结论：两个互为相反数的自变量x，其函数值互为相反数.
4．(1) 因为在函数奇偶性的定义中，对任意的一个x都有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，所以－x也属于定义域，因此奇函数的定义域必须关于原点对称.
(2)奇函数 奇函数
【交流展示】
1．B
2．B
3．C
4．D
5．A
6．C
7．{x|x≤－3或x≥3或x＝0}
8．A
【当堂检测】
1．(－2，0)∪(2，5]
2．
3．(1)函数定义域为[－1，0)∪(0，1]，
则|x＋2|－2＝x，所以.
因为f(－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，
所以为奇函数.
(2)f(x)的定义域关于原点对称，
因为f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)当x＜－1时，f(x)＝x＋2，－x＞1，所以f(－)＝(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
当x＞1时，f(x)＝－x＋2，－x＜－1，f(－x)＝－x＋2＝f(x)；
当－1≤x≤1时，f(x)＝0＝f(－x).
所以对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x).因此函数f(x)为偶函数.
4．a＝b＝1，c＝0
5．根据奇函数的图象关于原点对称的性质，可作出f(x))在y轴左侧的图象如图：1.3.3
函数的奇偶性（一）教学目标
(
)1．知识与技能：
(
)使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性.
(
)2．过程与方法：
(
)通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力.
(
)3．情感、态度与价值观：
(
)通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操.
通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：函数的奇偶性的概念；
(
)难点：函数奇偶性的判断.
(
)（三）教学方法
(
)应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解.
对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义
教师提出问题，学生回答.
为学生认识奇、偶函数的图象特征做好准备.
概念形成
1．要求学生同桌两人分别画出函数f
(x)
=x3与g
(x)
=
x2的图象.
(
)2．多媒体屏幕上展示函数f
(x)
=x3和函数g
(x)
=
x2的图象，并让学生分别求出x
=±3，x
=±2，x
=±，…
的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：
(
)f
(–x)
=
–
f
(x)，g
(–x)
=
g
(x).
然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.
(
)3．奇函数、偶函数的定义：
(
)奇函数：设函数y
=
f
(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有
(
)f
(–x)
=
–
f
(x)，
(
)则这个函数叫奇函数.
(
)偶函数：设函数y
=
g
(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有
(
)g
(–
x)
=
–
g
(x)，
(
)则这个函数叫做偶函数.
1．教师指导，学生作图，学生作完图后教师提问：观察我们画出的两个函数的图象，分别具有怎样的对称性？
(
)学生回答：f
(x)
=x3关于原点成中心对称图形；g
(x)
=
x2关于y轴成轴对称图形.
(
)2．老师边让学生计算相应的函数值，边操作课件，引导学生发现规律，总结规律，然后要求学生给出证明；学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特征：
(
)f
(–x)
=
–
f
(x)，
(
)g
(–x)
=
–
g
(x).
(
)3.教师引导归纳：这时我们称函数f
(x)
=
x3这样的函数为奇函数，像函数g
(x)
=
x2这样的函数为偶函数，请同学们根据对奇函数和偶函数的初步认识加以推广，给奇函数和偶函数分别下一个定义.
(
)学生讨论后回答，然后老师引导使定义完善.
在屏幕展示奇函数和偶函数的定义.
(
)老师：根据定义，哪些同学能举出另外一些奇函数和偶函数的例子？
(
)学生：f
(x)
=
，
(
)f
(x)
=
–x6
–
4x4，….
1．要求学生动手作图以锻炼学生的动手实践能力，为下一步问题的提出做好准备.
并通过问题来引导学生从形的角度认识两个函数各自的特征.
(
)2．通过特殊值让学生认识两个函数各自对称性实质：是自变量互为相反数时，函数值互为相反数和相等这两种关系.
(
)3．通过引例使学生对奇函数和偶函数的形和数的特征有了初步的认识，此时再让学生给奇函数和偶函数下定义应是水到渠成.
(
)
概念深化
（1）强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 .
(
)（2）奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
(
)（3）奇函数与偶函数图象的对称性：
(
)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
(
)如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
教师设计以下问题组织学生讨论思考回答.
(
)问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？
(
)问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？
(
)问题3：结合函数f
(x)
=x3的图象回答以下问题：
(
)（1）对于任意一个奇函数f
(x)，图象上的点P
(x，f
(x))关于原点对称点P′的坐标是什么？点P′是否也在函数f
(x)的图象上？由此可得到怎样的结论.
(
)（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？
(
)学生通过回答问题3
可以把奇函数图象的性质总结出来，然后老师让学生自己研究一下偶函数图象的性质.
通过对三个问题的探讨，引导学生认识到：（1）函数的奇偶性
是函数在定义域上的一个整体性质，它不同于单调性.（2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件.
(
)（3）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
应用举例
例1
判断下列函数的奇偶性；
(
)（1）f
(x)
=
x
+
x3
+x5；
(
)（2）f
(x)
=
x2
+1；
(
)（3）f
(x)
=
x
+
1；
(
)（4）f
(x)
=
x2，x∈[–1，3]；
(
)（5）f
(x)
=
0.
(
)学生练习：
(
)判断下列函数的是否具有奇偶性：
(
)(1)
f
(x)
=
x
+
x3；
(
)(2)
f
(x)
=
–
x2；
(
)(3)
h
(x)
=
x3
+1；
(
)(4)
k
(x)
=，x[–1，2]；
(
)(5)
f
(x)
=
(x
+
1)
(x
–
1)；
(
)(6)
g
(x)
=
x
(x
+
1)；
(
)(7)
h
(x)
=
x
+；
(
)(8)
k
(x)
=.
(
)例2
研究函数y
=的性质并作出它的图象.
(
)学生练习：
(
)1．判断下列论断是否正确：
(
)（1）
如果一个函数的定义域关于坐标原点对原对称，则这个函数关于原点对称；则这个函数为奇函数；
(
)（2）如果一个函数为偶函数，则它的定义关于坐标原点对称，
(
)（3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.2．如果f
(0)
=
a≠0，函数f
(x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？3.如果函数f
(x)、g
(x)为定义域相同的偶函数，试问F
(x)
=f
(x)
+
g
(x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？4．如图，给出了奇函数y
=
f
(x)的局总图象，求f
(–
4).5．如图，给出了偶函数y
=
f
(x)的局部图象，试比较f
(1)与
f
(3)
的大小.
1．选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行学生做好总结归纳.2．例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较哪种方案简单.3．做完例1和例2后要求学生做练习，及时巩固.
在学生练习过程中，教师做好巡视指导.例1
解答案（1）奇函数（2）偶函数（3）非奇非偶函数（4）非奇非偶函数（5）既奇又偶函数学生练习答案（1）奇函数（2）偶函数（3）非奇非偶函数（4）非奇非偶函数（5）偶函数（6）非奇非偶函数（7）奇函数（8）偶函数例2
偶函数（图略）学生练习1．（1）错（2）错（3）错（4）对2．不能为奇函数但可以是偶函数3．偶函数∵f
(–x
)
=
f
(x)g
(–x)
=
g
(x)∴F
(–x)
=
F
(x)4．f
(–4)
=
–
f
(4)
=
–2.5．∵f
(–3)＞f
(–1)又f
(–3)
=
f
(3)f
(–1)
=
f
(1)∴f
(3)＞f
(1)
1．通过例1解决如下问题：①根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f
(–x)
=
f
(x)还是判断f
(–x)
=
–
f
(x).②通过例1中的第（3）小题说明判断函数既不是奇函数也不是偶函数.③
例1中的第（4）小题说明判断函数的奇偶性先要看一下定义域是否关于原点对称.④
f
(x)
=
0既不奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数.
前提是定义域关于原点对称.⑤总结：对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数.2．对于例2主要让学生体会学习了函数的奇偶性后为研究函数的性质带来的方便.
在此问题的处理上要先求一下函数的定义域，这是研究函数性质的基础，然后判断函数图象的对称性，再根据奇、偶函数在y轴一侧的图象和性质就可以知道在另一侧的图象和性质.
归纳总结
从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结.
让学生谈本节课的收获，并进行反思.
关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获.
布置作业
1.3第三课时
习案.
学生独立完成
通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容.
并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会.
备选例题.
例1
判断下列函数的奇偶性：
（1）f
(x)
=；
（2）f
(x)
=.
解析：（1）函数的定义域是（–∞，+∞），将函数式分子有理化，得
f
(x)
=
=，
f
(–x)
=
=
=
–
f
(x)，
∴f
(x)是奇函数.
（2）函数定义域为（–∞，+∞），
f
(–x)
===
f
(x).
∴f
(x)为偶函数.
例2
（1）设f
(x)是偶函数，g
(x)是奇函数，且f
(x)
+
g
(x)
=，求函数f
(x)，g
(x)的解析式；
（2）设函数f
(x)是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f
(x)在(0，+∞)上是减函数，且f
(x)＜0，试判断函数F
(x)
=在(–∞，0)上的单调性，并给出证明.
解析：（1）∵f
(x)是偶函数，g
(x)是奇函数，
∴f
(–x)
=
f
(x)，g
(–
x)
=
–g
(x)，
由f
(x)
+
g
(x)
=
①
用–x代换x得f
(–x)
+
g
(–
x)
=，
∴f
(x)
–g
(x)
=，
②
(①
+
②)÷2
=
得f
(x)
=；
(①
–
②)÷2
=
得g
(x)
=.
（2）F
(x)在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明：
设x1，x2?(–∞，0)，且x1＜x2.
则△x
=
x2
–
x1＞0且–x1，–x2?(0，+∞)，
且–x1＞–
x2，
则△(–x)
=
(–x2)
–
(–x1)
=
x1–x2
=
–△x＜0，
∵f
(x)在（0，+∞）上是减函数，∴f
(–x2)
–
f
(–x1)＞0
①
又∵f
(x)在
(–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f
(–x1)
=
–
f
(x1)，f
(–x2)
=
–
f
(x2)，
由①式得
–
f
(x2)
+
f
(x1)
＞0，
即f
(x1)
–
f
(x2)＞0.
当x1＜x2＜0时，F
(x2)
–
F
(x1)
=，
又∵f
(x) 在(0，+∞)上总小于0，
∴f
(x1)
=
–
f
(–x1)＞0，f
(x2)
=
–
f
(–x2)＞0，f
(x1)·f
(x2)＞0，
又f
(x1)
–
f
(x2)＞0，∴F
(x2)
–
F
(x1)＞0且△x
=
x2
–
x1＞0，
故F
(x)
=在(–∞，0)上是增函数.
x
y
O
4
2
x
y
O
–
3
2
–
11.3.2
奇偶性
整体设计
教学分析
本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.
值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.
三维目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.
重点难点
教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.
教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.
思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.
图1-3-2-1
②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=x2
表1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=|x|
表2
③请给出偶函数的定义？
④偶函数的图象有什么特征？
⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］是偶函数吗？
⑥偶函数的定义域有什么特征？
⑦观察函数f(x)=x和f(x)=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？
活动：教师从以下几点引导学生:
①观察图象的对称性.
②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.
③利用函数的解析式来描述.
④偶函数的性质：图象关于y轴对称.
⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］的图象关于y轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在，
即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立.
⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.
⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.
给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.
讨论结果:
①这两个函数之间的图象都关于y轴对称.
②
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=x2
9
4
1
0
1
4
9
表1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=|x|
3
2
1
0
1
2
3
表2
这两个函数的解析式都满足：
f(-3)=f(3);
f(-2)=f(2);
f(-1)=f(1).
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f(-x)=f(x).
③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
④偶函数的图象关于y轴对称.
⑤不是偶函数.
⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.
⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称.
应用示例
思路1
例1判断下列函数的奇偶性:
（1）f(x)=x4；
（2）f(x)=x5；
（3）f(x)=x+；
（4）f(x)=.
活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).
解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，
所以函数f(x)=x4是偶函数.
（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),
所以函数f(x)=x4是奇函数.
（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)，
所以函数f(x)=x+是奇函数.
（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)===f(x)，
所以函数f(x)=
是偶函数.
点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(-x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
变式训练
2006辽宁高考，理2设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(
)
A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数
分析:A中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；
B中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；
C中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；
D中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.
答案：D
例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.
活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.
分析:当x∈(0,+∞)时，则-x<0.
又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，
∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.
答案：-x-x4
点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.
变式训练
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+，求f(x).
解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0；
当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则
f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+］=-x2+，
综上所得，f(x)=
思路2
例1判断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)=x2,x∈［-1,2］;
（2）f(x)=；
（3）f（x）=+；
（4）f（x）=.
活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R，有>=|x|≥-x，则+x>0.则函数的定义域是R.
解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.
（2）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.
（3）∵x2－4≥0且4－x2≥0，
∴x＝±2，
即f（x）的定义域是{－2，2}.
∵f（2）＝0，f（－2）＝0,
∴f（2）＝f（－2），f（2）＝－f（2）.
∴f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x）.
∴f（x）既是奇函数也是偶函数.
（4）函数的定义域是R.
∵f(-x)+f(x)=
=
=
=0,
∴f（－x）＝－f（x）.
∴f（x）是奇函数.
点评：本题主要考查函数的奇偶性.
定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；
（4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.
判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.
变式训练
2007河南开封一模，文10函数f(x)=x2－2ax+a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+∞）上一定(
)
A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
分析：函数f(x)=x2－2ax+a的对称轴是直线x=a，
由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值，
所以直线x=a位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝=x+-2，
下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.
设1则g(x1)-g(x2)=(x1+2)-(x2+2)=(x1-x2)+()
=(x1-x2)(1)
=(x1-x2).
∵11>0.
又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.
∴g(x1)∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值.
答案：D
例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1，
（1）求证：f(x)是偶函数；
（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（3）试比较f()与f()的大小.
活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f()和f()转化为同一个单调区间上的函数值.
解：（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.
令x1=x2=-1，得f(1)=f［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0.
∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
∴f(x)是偶函数.
（2）设x2>x1>0，则
f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().
∵x2>x1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f()＝f().
由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f()>f().∴f()>f().
点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.
变式训练
2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
（1）求f(1)、f(-1)的值；
（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).
解：（1）∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，
∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1).
∴f(1)=0.
∴令x=y=－1时，有f［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).
∴f(－1)=0.
（2）是奇函数.
∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，
∴令y=－1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).
将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)，
∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.
知能训练
课本P36练习1、2.
［补充练习］
1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_____.
分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).
∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.
∴2［f(1)+f(2)］=-6.∴f(1)+f(2)=-3.
答案：-3
2.f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a－1，2a］，则a=_________，b=________.
分析：∵偶函数定义域关于原点对称,
∴a－1+2a=0.∴a=.
∴f（x）=x2+bx+1+b.又∵f（x）是偶函数，∴b=0.
答案：
0
3.2006山东高考，理6已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∴f(6)＝0.故选B.
答案：B
拓展提升
问题：基本初等函数的奇偶性.
探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得
正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数；
反比例函数y=(k≠0)是奇函数；
一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.
课堂小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.
作业
课本P39习题1.3A组6，B组3.
设计感想
单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.
在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.
习题详解
(课本P32页练习)
1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.
2.图象如图1-3-2-2所示，
图1-3-2-2
函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)；
函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.
3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.
在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数.
4.证明：设x1、x2∈R，且x1f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=2(x2-x1).
∵x10.∴f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.
5.如图1-3-2-3所示，
图1-3-2-3
从图象上可以发现f（－2）是函数的一个最小值.
(课本P36练习)
1.（1）对于函数f（x）=2x4+3x2，其定义域为（－∞,+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有f（－x）=2（－x）4+3（－x）2=2x4+3x2=f（x）,
所以函数f（x）=2x4+3x2为偶函数.
（2）对于函数f（x）=x3－2x，其定义域为（－∞，+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有
f（－x）=（－x）3－2（－x）=－x3+2x=－（x3－2x）=－f（x）,
所以函数f（x）=x3－2x为奇函数.
（3）对于函数f(x)=，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有
f（－x）===－f（x）,
所以函数f(x)=为奇函数.
（4）对于函数f(x)=x2+1，其定义域为（－∞，+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有
f（－x）=(-x)2+1=x2+1=f（x）,
所以函数f(x)=x2+1为偶函数.
2.f(x)的图象如图1-3-2-4所示，g(x)的图象如图1-3-2-5所示.
图1-3-2-4
图1-3-2-5
(课本P39习题1.3)
A组
1.（1）函数的单调区间是(-∞,］,(,+∞).函数y=f(x)在区间(-∞,］上是减函数，在区间(,+∞)上是增函数.
（2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数.
图略.
2.（1）设0f(x1)-f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1-x2)(x1+x2).
∵0∴f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数.
（2）设0f(x1)-f(x2)=(1)-(1)==.
∵00.
∴f(x1)∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
3.设x1、x2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2.
则y1－y2=（mx1+b）－（mx2+b）
=m（x1－x2）.
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.
当m＜0时，∴y1－y2＞0，即y1＞y2.
∴此时一次函数y=mx+b（m＜0）在（－∞，+∞）上是减函数.
同理可证一次函数y=mx+b（m＞0）在（－∞,+∞）上是增函数.
综上所得，当m＜0时，一次函数y=mx+b是减函数；
当m＞0时，一次函数y=mx+b是增函数.
4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，
图1-3-2-6
5.y=+162x-2100=(x2-8100x)-2100=(x-4050)2+307
050.
由二次函数的知识,可得当月租金为4
050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307
050元.
6.图略，函数f(x)的解析式为
B组
1.（1）函数f(x)在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g(x)在［2,4］上为增函数.
（2）函数f(x)的最小值为－1，函数g(x)的最小值为0.
2.设矩形熊猫居室的宽为x
m，面积为y
m2，则长为m，那么y=x
=(30x-3x2)=(x-5)2+.
所以当x=5时，y有最大值,
即宽x为5
m时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是m2.
3.函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
证明：设x1-x2>0.
∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x1)∵函数f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).∴f(x1)∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
(课本P44复习参考题)
A组
1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.
2.（1）线段AB的垂直平分线；
（2）以定点O为原心，以3
cm为半径的圆.
3.属于集合的点是△ABC的外接圆圆心.
4.A={－1,1}，
（1）若a=0，则B=，满足BA；
（2）若a=－1，则B={－1}，满足BA；
（3）若a=1，则B={1}，满足BA.
综上所述，实数a的值为0,-1,1.
5.A∩B={（x,y）｜}={（x,y）|}={（0,0）};
A∩C={（x,y）|}=；
B∩C={（x,y）｜}={（x,y）｜}={（,）};
（A∩B）∪（B∩C）={(0,0),(,)}.
6.(1)要使函数有意义,必须|x|-2≥0,即x≤-2或x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤-2或x≥2};
（2）要使函数有意义，必须即得x≥2.
所以函数的定义域为{x｜x≥2}；
（3）要使函数有意义，必须即x≥4，且x≠5.
所以函数的定义域为{x｜x≥4，且x≠5}.
7.（1）f（a）+1==;
（2）f（a+1）==.
8.（1）∵f（－x）==，∴f（－x）=f（x）.
（2）∵f（）=====,∴f（）=－f（x）.
9.二次函数f(x)的对称轴是直线x=，则有≤5或≥20.解得k≤40或k≥160，即实数k的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞).
10.（1）函数y=x-2是偶函数；
（2）它的图象关于y轴对称；
（3）函数在（0，+∞）上是减函数；
（4）函数在（－∞，0）上是增函数.
B组
1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.
提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.
由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，
知共有9名同学参加两项比赛.
已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.
2.实数a的取值范围为{a｜a≥0}.
3.∵（A∪B）=（A）∩（B）={1，3}，A∩（B）={2，4}，
∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.
4.f（1）=1×（1+4）=5;
f（－3）=－3×（－3－4）=21;
f（a+1）=
5.证明：（1）f=a·+b
==（ax1+b）+（ax2+b）=［f（x1）+f（x2）］，
∴f（）=［f（x1）+f（x2）］.
（2）g（）=（）2+a·+b
=（+ax1+b）+（+ax2+b）－（x1－x2）2
=［g（x1）+g（x2）］－（x1－x2）2,
∵－（x1－x2）2≤0,
∴g（）≤［g（x1）+g（x2）］.
6.（1）奇函数f（x）在［－b,－a］上是减函数；
（2）偶函数g（x）在［－b,－a］上是减函数.
7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1
300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋≈1317.8（元）.1．3
函数的基本性质
1．3.2 奇偶性
●三维目标
1．知识与技能
(1)能从数和形两个角度认识函数奇偶性；
(2)能判断一些简单函数的奇偶性．
2．过程与方法
经历奇偶性概念的形成过程，提高抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力．
3．情感、态度与价值观
(1)培养学生观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合的数学思想；
(2)通过对函数奇偶性的研究，培养学生对数学美的体验、乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度．
●重点难点
重点：函数奇偶性的概念和几何意义．
难点：奇偶性概念的数学化提炼过程．
重难点的突破：函数的奇偶性实质就是函数图象的对称性，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，先让学生观察一组图形(关于原点对称或y轴对称)，从中寻找它们的共性．由于“数”与“形”有着密切的联系，为了便于从数值角度研究图象的对称，可提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，建立奇(偶)函数的概念，最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解．让学生在“观察—归纳—检验—应用”的学习过程中，
在掌握知识的同时培养数形结合的意识．
课标解读
1.了解函数奇偶性的含义．(难点)2．掌握判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易混点)
偶函数
【问题导思】
考察下列两个函数：
(1)f(x)＝－x2；(2)f(x)＝|x|.
1．这两个函数的图象有何共同特征？
【提示】 图象关于y轴对称．
2．对于上述两个函数，f(1)与f(－1)，f(2)与f(－2)，f(3)与f(－3)有什么关系？
【提示】 f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(3)＝f(－3)．
3．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？
【提示】 若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)＝f(－x)．反之，若f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(1)定义：对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．
(2)图象特征：图象关于y轴对称.
奇函数
【问题导思】
函数f(x)＝x及f(x)＝的图象如图所示．
1．两函数图象有何共同特征？
【提示】 关于原点对称．
2．对于上述两个函数f(1)与f(－1)，f(2)与f(－2)，f(3)与f(－3)有什么关系？
【提示】 f(－1)＝－f(1)，f(－2)＝－f(2)，f(－3)＝－f(3)．
3．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？
【提示】 若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则f(－x)＝－f(x)．反之，若f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
(1)定义：对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．
(2)图象特征：图象关于原点对称.
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝0.
【思路探究】 →→
【自主解答】 (1)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)∵f(x)的定义域为R，又f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
1．本题(3)在求解过程中，若先对f(x)化简得到f(x)＝2x，就会得出f(x)为奇函数的错误．
2．定义法判断函数奇偶性的步骤
下列函数中是奇函数的序号是________．
①y＝－；②f(x)＝x2；③y＝2x＋1；④f(x)＝－3x，x∈[－1,2]．
【解析】 y＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数；f(x)＝x2的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以是偶函数；y＝2x＋1的定义域为R，图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，是非奇非偶函数；f(x)＝－3x，x∈[－1,2]，定义域不关于原点对称，不具备奇偶性．
【答案】 ①
利用函数的奇偶性求参数
若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b等于( )
A. B.
C.
D．2
【思路探究】
【自主解答】 因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋2a＝0，
解得a＝.所以f(x)＝x2＋(b－1)x＋1＋b.
又因为f(－x)＝f(x)，所以x2－(b－1)x＋1＋b＝x2＋(b－1)x＋1＋b，
由对应项系数相等，得－(b－1)＝b－1.所以b＝1，所以a＋b＝.
【答案】 C
1．本题中由f(－x)＝f(x)求b时，运用了对应项系数相等的方法，这也是解决此类问题经常使用的方法．
2．利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略
(1)定义域含参数：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数可解．
函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝________.
【解析】 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即ax2－2x＝－ax2－2x，由对应项系数相等得，a＝0.
【答案】 0
利用函数的奇偶性求解析式
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：
(1)f(0)；
(2)当x<0时，f(x)的解析式；
(3)f(x)在R上的解析式．
【思路探究】 (1)利用奇函数的定义求f(0)；
(2)
【自主解答】 (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
(3)函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝
1．本题(1)在求解时，常犯f(0)＝1的错误．
2．已知函数奇偶性求解析式的步骤
一般步骤
3．若函数f(x)的定义域内含有0且为奇函数时，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
本例中若把“奇函数”换成“偶函数”，求x<0时f(x)的解析式．
【解】 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2x2－3x＋1，x<0.
忽略函数的定义域致误
判断函数f(x)＝·的奇偶性．
【错解】 因为f(－x)＝·
＝＝·＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
【错因分析】 错解中没有判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性．
【防范措施】 1.在判断函数奇偶性时，务必树立定义域优先的原则．
2．在定义域关于原点对称的前提下，判断f(－x)同f(x)的关系．
【正解】 由题意，得解得x≥1，即f(x)的定义域为[1，＋∞)，因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．
2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.
1．函数f(x)＝，x∈(0,1)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【解析】 f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数．
【答案】 C
2．函数f(x)＝x2的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于y＝x对称
【解析】 ∵f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴图象关于y轴对称．
【答案】 B
3．已知函数f(x)是定义在区间[a－1,2a]上的奇函数，则实数a的值为( )
A．0 B．1
C. D．不确定
【解析】 ∵奇函数f(x)的定义域为[a－1,2a]，∴a－1＋2a＝0，a＝.
【答案】 C
4．函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，当x≥0时f(x)＝x2－2x－3，求函数y＝f(x)的解析式．
【解】 令x<0，则－x>0，故f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3.
又f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(x)＝x2＋2x－3，
∴f(x)＝
一、选择题
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
【解析】 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
【答案】 B
2．已知f(x)是奇函数，且f(a)＝－2，则f(－a)＝( )
A．－2 B．2 C．±2 D．0
【解析】 f(－a)＝－f(a)＝2.
【答案】 B
3．下面为偶函数的是( )
A．y＝x2(x≥0)
B．(x－1)
C．y＝0
D．y＝|x|(x≤0)
【解析】 对于选项A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；又选项B中f(－1)＝0，而f(1)无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，无论x取何值都满足f(－x)＝f(x)＝0.
【答案】 C
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝( )
A．x－x2
B．－x－x2
C．－x＋x2
D．x＋x2
【解析】 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2，
又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.
【答案】 D
5．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图1－3－7所示，下列说法正确的是( )
图1－3－7
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
【解析】 结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7,7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．
【答案】 C
二、填空题
6．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－1，那么f(－1)＝________.
【解析】 ∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1.
【答案】 －1
7．若y＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝________.
【解析】 ∵函数y＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即(m－1)x2－2mx＋3＝(m－1)x2＋2mx＋3，∴－2m＝2m，得m＝0.
【答案】 0
8．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是________．
【解析】 因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以有f(2)＜f(3)＜f(π)．又f(x)是R上的偶函数，故f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)＜f(－3)＜f(π)．
【答案】 f(－2)三、解答题
9．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
【解】 (1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以此函数是奇函数．
10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间；
(3)求f(x)在区间[－1,2]上的值域．
图1－3－8
【解】 (1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)成立，∴当x>0时，－x<0即
f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，∴f(x)＝
(2)图象如图所示，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)
(3)值域为[－1,3]．
11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(－∞，0)上是减函数，实数a满足不等式f(3a2＋a－3)＜f(3a2－2a)，求实数a的取值范围．
【解】 ∵f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)的图象在y轴左侧递减．
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减．
又f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0，所以f(x)的图象在R上递减．
∵f(3a2＋a－3)＜f(3a2－2a)，
∴3a2＋a－3＞3a2－2a，解得a＞1.
∴实数a的取值范围为(1，＋∞).