第2课时
指数函数及其性质(2)
导入新课
思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.
思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).
应用示例
思路1
例1已知指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.
活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.
解：因为图象过点（3,π）,
所以f(3)=a3=π,即a=π,f(x)=(π)x.
再把0,1,3分别代入,得
f(0)=π0=1,
f(1)=π1=π,
f(-3)=π-1=.
点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.
例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.
活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.
证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则
y2－y1=ax2－ax1=ax1（ax2-x1－1）.
因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.
又因为ax1＞0,
所以y2－y1＞0,
即y1
所以当a＞1时,y=ax,x∈R是增函数.
同理可证,当0＜a＜1时,y=ax是减函数.
证法二：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则y2与y1都大于0,则==a.
因为a＞1,x2－x1＞0,所以a＞1,
即>1,y1所以当a＞1时,y=ax,x∈R是增函数.
同理可证,当0＜a＜1时,y=ax是减函数.
变式训练
若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？
答案：＜a＜1.
例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？
活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题：
1999年底
人口约为13亿;
经过1年
人口约为13（1+1%）亿;
经过2年
人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿;
经过3年
人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;
经过x年
人口约为13(1+1%)x亿;
经过20年
人口约为13(1+1%)20亿.
解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则
y=13(1+1%)x,
当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).
答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.
点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)x等形如y=kax(k∈R,a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.
思路2
例1求下列函数的定义域、值域：
(1)y=0.4;(2)y=3;(3)y=2x+1;(4)y=.
解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1,
即函数值域为{y|y>0且y≠1}.
（2）由5x-1≥0得x≥,所以所求函数定义域为{x|x≥}.由≥0得y≥1,
所以函数值域为{y|y≥1}.
（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.
所以函数值域为{y|y>1}.
(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.
因为y≠1,所以2x=.又x∈R,所以2x>0,>0.解之,得-2因此函数的值域为{y|-2点评：通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性.
变式训练
求函数y=()的定义域和值域.
解：要使函数有意义,必须x+3≠0,即x≠-3，即函数的定义域是{x|x≠-3}.
因为≠0,所以y=()≠()0=1.
又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).
例2
（1）求函数y=()的单调区间,并证明.
（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.
活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=()x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.
解法一：设x1因为x10.
当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,
即>1,所以y2>y1,函数单调递增;
当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,
即<1,所以y2所以函数y在（-∞,1］上单调递增,在［1,+∞）上单调递减.
解法二：（用复合函数的单调性）：
设u=x2-2x,则y=()u,
对任意的1所以y1对任意的x1u2,又因为y=()u是减函数,
所以y1引申：求函数y=()的值域（0点评：(1)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”.
（2）此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题型的解答方法.
证明：设x1,x2∈R,且x1f(x1)-f(x2)===.
由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1所以2x1<2x2,即2x1-2x2<0.
又由2x>0得2x1+1>0,2x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,f(x)为增函数.
点评：上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性.
知能训练
1.函数y=a|x|（a＞1）的图象是（
）
图2-1-2-8
分析：当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数.
答案：B
2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（
）
A.y=()2-x
B.y=
C.y=
D.y=+1
分析：因为（2－x）∈R,所以y=（）2－x∈（0,+∞）;y=∈［0,1］;y=∈［0,+∞);y=+1∈［2,+∞).
答案：A
3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2x）的定义域是（
）
A.（0,1）
B.（,1）
C.（－∞,0）
D.（0,+∞）
分析：由题意得0＜2x＜1,即0＜2x＜20,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.
答案：C
4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（
）
A.AB
B.AB
C.A=B
D.A∩B=
分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.
答案：A
5.对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的结论:
①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);
③>0;④<.
当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.
分析:因为f(x)=10x,且x1≠x2,所以f(x1+x2)===f(x1)·f(x2),所以①正确;
因为f(x1·x2)=≠=f(x1)+f(x2),②不正确;
因为f(x)=10x是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以>0,所以③正确.
因为函数f(x)=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.
图2-1-2-9
答案：①③④
另解：④
∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴>∴>,
即>∴>.
拓展提升
在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.
(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;
(2)①y=()x,②y=()x-1,③y=()x+1.
活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.
答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.
图2-1-2-10图2-1-2-11
观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系:
y=3x+1的图象由y=3x的图象左移1个单位得到;
y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;
y=3x-1的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.
观察图2-1-2-11可以看出,y=()x,y=()x-1,y=()x+1的图象间有如下关系:
y=()x+1的图象由y=()x的图象左移1个单位得到;
y=()x-1的图象由y=()x的图象右移1个单位得到;
y=()x-1的图象由y=()x+1的图象向右移动2个单位得到.
你能推广到一般的情形吗 同学们留作思考.
课堂小结
思考
我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获 把你的收获写在笔记本上.
活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.
本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.
作业
课本P59习题2.1
B组
1、3、4.
设计感想
本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分a>1,0指数函数及其性质（二）
（一）教学目标
(
)1．知识与技能：
(
)（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.
(
)（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
(
)2．过程与方法：
(
)展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.
(
)（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.
(
)（二）教学重点、难点
(
)1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.
(
)2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.
(
)（三）教学方法
(
)采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.
(
)（四）教学过程
(
)
教学
(
)环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
(
)引入
复习指数函数的概念和图象.
(
)1.指数函数的定义
(
)一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.
(
)2.指数函数的图象
(
)
(
)问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.
生：复习回顾
(
)师：总结完善
复习旧知，为新课作铺垫.
形成
(
)概念
(
)
图象特征＞10＜＜1向轴正负方向无限延伸图象关于原点和轴不对称函数图象都在轴上方函数图象都过定点（0，1）自左向右，
(
)图象逐渐上升自左向右，
(
)图象逐渐下降在第一象限内的图
(
)象纵坐标都大于1在第一象限内的图
(
)象纵坐标都小于1在第二象限内的图
(
)象纵坐标都小于1在第二象限内的图
(
)象纵坐标都大于1
师：引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.
(
)生：从渐进线、对称轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.
(
)师：帮助学生完善.
通过分析图象，得到图象特征，为进一步
得到指数函数的性质作准备.
概念
(
)深化
函数性质＞10＜＜1函数的定义域为R非奇非偶函数函数的值域为R+=1增函数减函数＞0，＞1＞0，＜1＜0，＜1＜0，＞1问题：指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.
(
)
生：从定义域、值域、定点、单调性、范围等方面研究指数函数的性质.
(
)师：帮助学生完善.
(
)师：画出几个提出问题.
(
)生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，在第一象限的函数图象越高.
(
)（底大图高）
获得指数函数的性质.
(
)明确底数是确定指数函数的要素.
应用举例
例1
求下列函数的定义域、值域（1）（2）课堂练习（P64
2）例2（P62例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5
与
1.73(
2
)与(
3
)
1.70.3
与
0.93.1课堂练习：1.已知按大小顺序排列；2.
比较（＞0且≠0）.例3（P63例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
例1分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.解：（1）由得所以函数定义域为.由得，所以函数值域为.（2）由得所以函数定义域为.由得，所以函数值域为.例2解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5,
3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以
.解法2：用计算器直接计算：
所以，解法3：由函数的单调性考虑因为指数函数在R上是增函数，且2.5＜3，所以，仿照以上方法可以解决第（2）小题
.注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合
.由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小
.练习答案1.
；2.
当时，则.当时，则.分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底
人口约为13亿经过1年
人口约为13（1+1%）亿经过2年
人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年
人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过年
人口约为13(1+1%)亿经过20年
人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则当=20时，答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数
.
掌握指数函数的应用.
归纳总结
本节课研究了指数函数性质及其应用，关键是要记住＞1或0＜＜1时的图象，在此基础上研究其性质
.本节课还涉及到指数型函数的应用，形如（a＞0且≠1）.
学生先自回顾反思，教师点评完善．
形成知识体系.
课后作业
作业：2.1
第五课时
习案
学生独立完成
巩固新知提升能力
备选例题
例1
求下列函数的定义域与值域
（1）；
（2）；
（3）；
【分析】由于指数函数且的定义域是，所以函数（且）与函数的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.
【解析】（1）令得
定义域为且.
，
∴的值域为且.
（2）定义域为.
≥0，
≥
故的值域为≥.
（3）定义域为.
且.
故的值域为.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.
例2用函数单调性定义证明a＞1时，y
=
ax是增函数.
【解析】设x1，x2∈R且x 1＜x2，并令x2
=
x1
+
h
(h＞0，h∈R)，
则有，
∵a＞1，h＞0，∴，
∴，即
故y
=
ax
(a＞1)为R上的增函数，
同理可证0＜a＜1时，y
=
ax是R上的减函数.2.1.2
指数函数及其性质
整体设计
教学分析
有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.
根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.
2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.
重点难点
教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.
教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时
指数函数及其性质(1)
导入新课
思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.
思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1,
,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.
思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［()］t,如果我们用x表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［()］x,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.(y=0.84x)
2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.(y=2x)
提出问题
(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗
(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念
(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1
(4)为什么指数函数的定义域是实数集
(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.
活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.
问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.
问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.
问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.
问题(4)在(3)的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.
问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.
讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值,y都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x和y.
(2)对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示,这样我们得到指数函数的定义:
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R.
(3)a=0时,x>0时,ax总为0;x≤0时,ax没有意义.
a<0时,如a=-2,x=,ax=(-2)=显然是没有意义的.
a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.
因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.
(4)因为a>0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.
(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.
提出问题
(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢
(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象 说明它的步骤.
(3)利用上面的步骤,作函数y=2x的图象.
(4)利用上面的步骤,作函数y=()x的图象.
(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点
(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗
(7)把y=2x和y=()x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗
(8)你能证明上述结论吗
(9)能否用y=2x的图象画y=()x的图象 请说明画法的理由.
活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.
讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.
(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.
(3)列表.
x
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
y=2x
1
2
4
作图如图2-1-2-1
图2-1-2-1
(4)列表.
x
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
0.00
1.00
1.50
2.00
2.50
y=()x
1
2
4
作图如图2-1-2-2
图2-1-2-2
(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点,x<0时00时y>1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.
通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时0可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=()x,y=()x.重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.
（6）一般地,指数函数y=ax在a>1和0图象特征
函数性质
a＞1
0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1
向x轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0,1）
a0=1
自左向右,图象逐渐上升
自左向右,图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于
1x＞0,ax＞1
x＞0,ax＜1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
x＜0,ax＜1
x＜0,ax＞1
一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
①定义域：R
②值域：（0,+∞）
③过点（0,1）,即x=0时y=1
④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1
④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1
（7）在同一坐标系中作出y=2x和y=()x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y轴对称.
图2-1-2-3
(8)证明:设点p(x1,y1)是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是p1(-x1,y1),它满足方程y=()x=2-x,即点p1(-x1,y1)在y=()x的图象上,反之亦然,所以y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称.
(9)因为y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处.
应用示例
思路1
例1判断下列函数是否是一个指数函数？
y=x2,y=8x,y=2·4x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2.
活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.
解：y=8x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指数函数;y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数.
变式训练
函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些
答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=［()-2］x是指数函数.
例2比较下列各题中的两个值的大小:
（1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.
活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.
解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x的图象,如图2-1-2-4.
图2-1-2-4
在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.
解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91,
所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.
解法三：利用函数单调性,
①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；
②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2；
③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.
点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值.
思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用
活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现.
变式训练
1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.
答案：b2.比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.
答案：分a＞1和0a;当a>1时,a例3求下列函数的定义域和值域:
(1)y=2;(2)y=();(3)y=10.
活动：学生先思考,再回答,由于指数函数y=ax,(a＞0且a≠1)的定义域是R,所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使指数有意义即可,转化为解不等式.
解：(1)令x-4≠0,则x≠4,所以函数y=2的定义域是｛x∈R∣x≠4｝,
又因为≠0,所以2≠1,即函数y=2的值域是｛y|y>0且y≠1｝.
(2)因为-|x|≥0,所以只有x=0.
因此函数y=()的定义域是｛x∣x=0｝.
而y=()=()0=1,即函数y=()的值域是｛y∣y=1｝.
(3)令≥0,得≥0,
即≥0,解得x<-1或x≥1,
因此函数y=10的定义域是｛x∣x<-1或x≥1｝.
由于-1≥0,且≠2,所以≥0且≠1.
故函数y=10的值域是｛y∣y≥1,y≠10｝.
点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y>0.
变式训练
求下列函数的定义域和值域:
(1)y=();(2)y=;(3)y=ax-1(a>0,a≠1).
答案：(1)函数y=()的定义域是R,值域是［,+∞）;(2)函数y=的定义域是［,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0思路2
例1一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质的剩留量随时间（年）变化的函数关系式,作出它的图象,并从图象上求出经过多少年剩留量是原来的一半？（结果保留一个有效数字）
活动：师生共同分析,先求出解析式,列出数值对应表,再描点,画出图象后,利用图象求解,由学生回答,学生有困难,教师可以提示,仔细审题,利用代数式分别表示出经过1年,2年,3年…,的剩留量,归纳出关系式,取几个关键点,作出函数图象,在纵轴上取表示0.5的点,作纵轴的垂线交图象于一点,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数.
解：设最初的质量为1,时间用变量x表示,剩留量用y表示,则经过1年,y=1×84%=0.841；经过2年,y=1×0.84×0.84=0.842;……这样,可归纳出,经过x年,y=0.84x,x∈N
.
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
画出指数函数y=0.84x的图象,如图2-1-2-5.从图上可以看出y=0.5时,只需x=4.
图2-1-2-5
答：约经过4年,剩留量是原来的一半.
点评：实际问题中要注意自变量的取值范围.
例2比较下列两个数的大小:
(1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4)(),2.
活动：教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生.
解法一：直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较:
对(1)因为30.8=2.408225,30.7=2.157669,所以30.8>30.7;
对(2)因为0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.1>0.750.1;
对(3)因为1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.6>0.81.6;
对(4)因为()=2.080084,2=0.659754,所以()>2.
解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较:
对(1)因为函数y=3x在R上是增函数,0.8＞0.7,所以30.8>30.7;
对(2)因为函数y=0.75x在R上是减函数,0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1;
对(3)由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6;
对(4)由指数函数的性质知()>()0=1=20>2,所以()>2.
解法三:利用图象法来解,具体解法略.
点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为“中间量法”.
变式训练
比较与(a>0,a≠1,n∈N
,n>2)的大小关系.
解：因为=a,=a,而n∈N
，n>2,
所以=>0,即.
因此：当a>1时a>a，即>；当0知能训练
课本P58练习
1、2.
【补充练习】
1.下列关系中正确的是(
)
A.()<()<()
B.()<()<()
C.()<()<()
D.()<()<()
答案：D
2.函数y=ax(a>0,a≠1)对任意的实数x,y都有(
)
A.f(xy)=f(x)·f(y)
B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)·f(y)
D.f(x+y)=f(x)+f(y)
答案：C
3.函数y=ax+5+1(a>0,a≠1)恒过定点________.
答案：（-5,2）
拓展提升
探究一：
在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比较这三个函数增长的快慢.
活动：学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,如图2-1-2-6.
x
-2
-1
0
1
2
3
10
y=2x
0.25
0.5
1
2
4
8
1024
y=3x
0.11
0.33
1
3
9
27
59049
y=10x
0.01
0.1
1
10
100
1000
1010
图2-1-2-6
从表格或图象可以看出:
(1)x<0时,有2x>3x>10x;
(2)x>0时,有2x<3x<10x;
(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1
024,而函数y=3x的值从1增加到59
049.这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快.
因此得：一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有ax(2)x=0时,有ax=bx=1;
(3)x>0时,有ax>bx>1;
(4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快.
探究二：
分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图2-1-2-7),对照底数为2、3、5的指数函数的图象,研究指数函数y=ax(0图2-1-2-7
由此得：一般地,00时,有axbx>1;(4)指数函数的底数越小,x>0时,其函数值减少就越快.
课堂小结
1.指数函数的定义.
2.指数函数的图象和性质.
3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法.
4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法.
作业
课本P59习题2.1A组
5、6、8、10.
设计感想
本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.2.1.2
指数函数及其性质（一）
(
)
（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象．
(
)2．过程与方法
(
)能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．
(
)3．情感、态度与价值观
(
)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．
(
)（二）教学重点、难点
(
)1．教学重点：指数函数的概念和图象．
(
)2．教学难点：指数函数的概念和图象．
(
)（三）教学方法
(
)采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．
(
)（四）教学过程
教学
(
)环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
(
)引入
1.
在本章的开头，问题（1）中时间与GDP值中的
(
)
(
)
(
)，
(
)请问这两个函数有什么共同特征.
(
)
2.
这两个函数有什么共同特征
(
)，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用（＞0且≠1来表示）.
学生思考回答函数的特征．
由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．
形成概念
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)理解概念
(
)
指数函数的定义
(
)一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.
(
)回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
(
)（1）
(
)（2）
(
)（3）
(
)（4）
(
)（5）
(
)（6）
(
)（7）
(
)（8）
（＞1，且）
(
)小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.
(
)
(
)若＜0，
(
)如在实数范围内的函数值不存在.
(
)若=1,
是一个常量，没有研究的意义，只有满足
(
)的形式才能称为指数函数，
(
)如：
(
)不符合
(
)
.
学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导，
(
)学生探讨分析，教师点拨指导．
由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．
(
)
(
)使学生进一步理解指数函数的概念.
深化概念
我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究.
下面我们通过先来研究（＞1）的图象，用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象124再研究先来研究（0＜＜1）的图象，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.124从图中我们看出通过图象看出实质是上的讨论：的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出的函数图象.问题：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看（＞1）与两函数图象的特征——关于轴对称.
学生列表计算，描点、作图．教师动画演示．学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评．
通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力．不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程．培养学生的归纳概括能力．
应用举例
例1：（P66
例6）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求
学生思考、解答、交流，教师巡视，注意个别指导，发现带有普遍性的问题，应及时提到全体学生面前供大家讨论．例1分析：要求再把0，1，3分别代入，即可求得解：将点（3，π），代入得到，即，解得：，于是，所以，，.
巩固所学知识，培养学生的数形结合思想和创新能力．
归纳总结
1、理解指数函数2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想
.
学生先自回顾反思，教师点评完善．
通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.
课后作业
作业：2.1
第四课时
习案
学生独立完成
巩固新知提升能力
备选例题
例1
指出下列函数哪些是指数函数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）且.
【分析】
根据指数函数定义进行判断.
【解析】
（1）、（5）、（8）为指数函数；
（2）是幂函数（后面2.3节中将会学习）；
（3）是与指数函数的乘积；
（4）底数，不是指数函数；
（6）指数不是自变量，而底数是的函数；
（7）底数不是常数.
它们都不符合指数函数的定义.
【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.
例2
用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，
⑴y=与y=.
⑵y=与y=.
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
0.25
0.5
1
2
4
8
16
0.5
1
2
4
8
16
32
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
⑵作出图像，显示出函数数据表
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
4
0.3125
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
小结：⑴当m>0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m>0时，将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象
02.1.2
指数函数及其性质（三）
（一）教学目标
(
)1．知识与技能：
(
)（1）熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
(
)（2）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法，以及单调性、奇偶性判断；
(
)（3）培养学生数学应用意识
(
)2．过程与方法：
(
)（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；
(
)（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)（1）
认识从特殊到一般的研究方法.
(
)（2）
了解数学在生产实际中的应用.
(
)（二）教学重点、难点
(
)1．教学重点：指数形式的函数图象、性质的应用.
(
)2．教学难点：判断单调性.
(
)（三）教学方法
(
)
启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步判断.
(
)（四）教学过程
(
)
教学
(
)环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
(
)引入
回顾
(
)1.指数函数的定义、图象、性质.
(
)2.函数的单调性、奇偶性的定义，及其判定方法.
(
)3.
复合函数单调性的判定方法.
(
)
老师提问
(
)学生回答
(
)复合函数y=f［g（x）］是由函数u=g（x）和y=f（u）构成的，函数u=g（x）的值域应是函数y=f（u）的定义域的子集.在复合函数y=f［g（x）］中，x是自变量，u是中间变量.当u=g（x）和y=f（u）在给定区间上增减性相同时，复合函数
(
)y=f［g（x）］是增函数；增减性相反时，y=f［g（x）］是减函数.
(
)
为学习新课作好了知识上的准备.
应用
(
)举例
例1
当a＞1时，判断函数y=是奇函数.
(
)例2
求函数y=（）的单调区间，并证明之.
(
)课堂练习1.
求函数y=3的单调区间和值域.2.
设a是实数，试证明对于任意a,为增函数；
例1师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性？（生口答，师生共同归纳总结）方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：（1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.（3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f（－x）和f（x）之间的关系.若f（－x）=f（x），则函数f（x）是定义域上的偶函数；若f（－x）=－f（x），则函数f（x）是定义域上的奇函数；若f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），则函数f（x）在定义域上既是奇函数又是偶函数.师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题）证明：由ax－1≠0，得x≠0，故函数定义域为{x|x≠0}，易判断其定义域关于原点对称.又f（－x）====－f（x），∴f（－x）=－f（x）.∴函数y=是奇函数.例2师：证明函数单调性的方法是什么 （生口答，师生共同归纳总结）方法引导：（1）在区间D上任取x1＜x2.（2）作差判断f（x1）与f（x2）的大小：化成因式的乘积，从x1＜x2出发去判断.（3）下结论：如果f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数；如果f（x1）＞f（x2），则函数f（x）在区间D上是减函数.解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，则==（）=（）.∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即＞1.∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即＜1.∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.
综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.
解法二、（用复合函数的单调性）：设：
则：对任意的，有，又∵是减函数∴
∴在是减函数对任意的，有，又∵是减函数∴
∴在是增函数小结：在讨论比较复杂的函数的单调性时，首先根据函数关系确定函数的定义域，进而分析研究函数解析式的结构特征，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数（）和外层函数（）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.课堂练习答案1.解：由题意可知，函数y=3的定义域为实数R.设u=－x2+2x+3（x∈R），则f（u）=3u，故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成.∵f（u）=3u在R上是增函数，而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.∴y=f（x）在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.又知u≤4，此时x=1，∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3＞0，∴函数y=f（x）的值域为（0，81］.2.分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法（1）证明：设∈R,且则
由于指数函数
y=在R上是增函数,且,所以即<0，又由>0得+1>0,
+1>0所以<0即因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数小结：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性
掌握指数形式函数奇偶性的判断.掌握指数形式函数单调性的判断.
归纳总结
1.复合函数单调性的讨论步骤和方法；2.复合函数奇偶性的讨论步骤和方法.
学生先自回顾反思，教师点评完善．
形成知识体系.
课后作业
作业：2.1
第六课时
习案
学生独立完成
巩固新知提升能力
备选例题
例1已知且，讨论的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，
指数，当≥时是减函数，≤时是增函数，
而的单调性又与和两种范围有关，应分类讨论.
【解析】设
，
则当≥时，是减函数，
当≤时，是增函数，
又当时，是增函数，
当时，是减函数，
所以当时，原函数在上是减函数，在上是增函数.
当时，原函数在上是增函数，在上是减函数.
【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.
例2已知函数
求函数的定义域、值域
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理.
定义域为
R
由得
∵xR,
∴△0,
即
,
∴,
又∵，∴
∴值域为.