2.2.1对数与对数运算（一）
（一）教学目标
(
)1．知识技能：
(
)①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
(
)②理解和掌握对数的性质；
(
)③掌握对数式与指数式的关系
.
(
)2.
过程与方法：
(
)通过与指数式的比较，引出对数定义与性质
.
(
)3．情感、态度、价值观
(
)（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
(
)（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质
.
(
)（3）在学习过程中培养学生探究的意识.
(
)（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.
(
)（二）教学重点、难点
(
)（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
(
)（2）难点：推导对数性质的
(
)（三）教学方法
(
)启发式
(
)启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
(
)引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.
(
)（四）教学过程
(
)
教学
(
)环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
(
)问题
1．提出问题
(
)（P72思考题）中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？
(
)即：在个式子中，分别等于多少？
(
)象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.
(
)
老师提出问题，
(
)学生思考回答.
(
)启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，
由实际问题引入，激发学生的学习积极性.
概念
(
)形成
合作探究：若1.01x=，则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？
(
)一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(
)举例：如：，读作2是以4为底，16的对数.
(
)，则，读作是以4为底2的对数.
(
)
合作探究
(
)师：适时归纳总结，引出对数的定义并板书.
(
)
让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力．
概念
(
)深化
1.
对数式与指数式的互化
(
)在对数的概念中，要注意：
(
)（1）底数的限制＞0，且≠1
(
)（2）
(
)指数式对数式
(
)幂底数←→对数底数
(
)指
数←→对数
(
)幂
←N→真数
(
)说明：对数式可看作一记号，表示底为（＞0，且≠1），幂为N的指数工表示方程（＞0，且≠1）的解.
也可以看作一种运算，即已知底为（＞0，且≠1）幂为N，求幂指数的运算.
因此，对数式又可看幂运算的逆运算.
(
)2.
对数的性质：
(
)提问：因为＞0，≠1时，则
由１、0=1
２、1=
如何转化为对数式②负数和零有没有对数？③根据对数的定义，=？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到①
（＞0，且≠1）②
∵＞0，且≠1对任意的力，常记为.
恒等式：=N3.
两类对数①
以10为底的对数称为常用对数，常记为.②
以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.
掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.
应用举例
例1
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625；（2）2－6=；（3）（）m=5.73；（4）log16=－4；（5）lg0.01=－2；（6）ln10=2.303.例2：求下列各式中x的值（1）
（2）
（3）
（4）课本P74练习第1，2，3，4题.
例1分析：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.（生口答，师板书）解：（1）log5625=4；（2）log2=－6；（3）log5.73=m；（4）（）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e2.303=10.例2分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：（1）（2）
（3）
（4）
所以练习（生完成，师组织学生进行课堂评价）解答：1.（1）log28=3；（2）log232=5；（3）log2=－1；（4）log27=－.2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=；（4）3－4=.3.（1）设x=log525，则5x=25=52，所以x=2；（2）设x=log2，则2x==2－4，所以x=－4；（3）设x=lg1000，则10x=1000=103，所以x=3；（4）设x=lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x=－3.4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.
通过这二个例题的解答，巩固所学的指数式与对数式的互化，提高运算能力．
归纳总结
1.对数的定义及其记法；2.对数式和指数式的关系；3.自然对数和常用对数的概念.
先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善．
巩固本节学习成果，形成知识体系.
课后作业
作业：2.2
第一课时
习案
学生独立完成
巩固新知提升能力
备选例题
例1
将下列指数式与对数式进行互化.
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】利用ax
=
Nx
=
logaN，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式.
【解析】（1）∵，∴x
=64
（2）∵，∴
（3）∵，∴
（4）∵logx64
=
–6，∴x－6
=
64.
【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点.
在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义ab
=
Nb
=
logaN进行转换即可.
例2
求下列各式中的x.
（1）；
（2）；
（3）；
【解析】（1）由
得=
2–2，即
.
（2）由，得，
∴.
（3）由log2
(log5x)
=
0得log5x
=
20
=
1.
∴x
=
5.
【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.
（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log2(log5x)
=
0及对数性质loga1=0.
知log 5 x
=
1，又log55
=
1.
∴x
=
5.2.2.1对数与对数运算（三）
（一）教学目标
(
)1．知识与技能：
(
)（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.
(
)（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.
(
)2．过程与方法：
(
)（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.
(
)（2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.
(
)（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.
(
)（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.
(
)（二）教学重点、难点
(
)1．教学重点：
(
)（1）换底公式及其应用.
(
)（2）对数的应用问题.
(
)2．教学难点：
(
)换底公式的灵活应用.
(
)（三）教学方法
(
)启发引导式
(
)通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.
(
)利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.
(
)（四）教学过程
教学
(
)环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
(
)问题
我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？
(
)
师：从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.
(
)
产生认知冲突，激发学生的学习欲望.
概念
(
)形成
1.
探求换底公式，明确换底公式的意义和作用.
(
)例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.01的值，利用换底公式与对数的运算性质，可得
(
)x=log1.01==≈=32.8837≈33（年）.
(
)由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿.
(
)
师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
(
)logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.
(
)（师生讨论并完成）
(
)当a＞0，且a≠1时，
(
)若ab=N，
①
(
)则logaN=b.
②
(
)在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数，
(
)则logcab=logcN，
(
)即blogca=logcN.
(
)∴b=.
③
(
)由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）.
(
)一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式.
(
)
推导换底公式
应用
(
)举例
（多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价）
(
)例1
计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值.
(
)（2）log89·log2732.
(
)（3）（log25+log4125）·.
(
)合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.
(
)例2
20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.
(
)（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
(
)（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.例3
科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.课堂练习1.课本P79练习第4题.2.在，，log，logan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠1，n∈N）中和logab相等的有A.2个
B.3个
C.4个
D.1个3.若log34·log48·log8m=log42，求m.4.（1）已知log53=a，log54=b，试用a、b表示log2512；（2）已知log1227=a，求log616.
例1分析：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.（1）解：原方程等价于××=2，即log3m=2，∴m=9.（2）解法一：原式=·=·=.解法二：原式=·=·=.（3）解：原式=（log25+log25）·=log225·log52=log25·log52=log25·log52=.小结（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logMn=logaM及换底公式logaN=.利用换底公式可以证明：logab=，即logablogba=1.例2解：（1）M=lg20－lg0.001=lg=lg20000=lg2+lg104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由M=lgA－lgA0可得M=lg=10MA=A0·10M.当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0·107.6；当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是==107.6－5=102.6≈398.答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.例3解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量.设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：死亡年数t12碳14含量Pxx23…t…x3…xt…因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt.由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以=x5730，于是x==（），这样生物死亡t年后体内碳14的含量P=（）.由对数与指数的关系，指数式P=（）可写成对数式t=logP.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log0.767，由计算器可得t≈2193.所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.课堂练习答案1.（1）1；（2）1；（3）.2.
A3.
.4.
（1）.（2）.
掌握换底公式的应用.掌握利用对数知识解决实际问题.
归纳总结
1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）.2.解决实际问题的一般步骤：
学生先自回顾反思，教师点评完善．
形成知识体系.
课后作业
作业：2.2
第三课时
习案
学生独立完成
巩固新知提升能力
备选例题
例1
已知log189
=
a，18b
=
5，求log3645.
【解析】方法一：∵log189
=
a，18b
=
5，
∴log185
=
b，
于是
=
=.
方法二：∵log189
=
a，18b
=
5，
∴lg9
=
alg18，lg5
=
blg8，
∴
=.
【小结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质；
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数与对数互化，统一成一种形式.
例2
我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y
=
10lg.
这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0
=
10－12w/m2，当I
=
I0时，y
=
0，即dB
=
0.
（1）如果I
=
1w/m2，求相应的分贝值；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的多少倍？
【解析】（1）∵I=1w/m2，
∴y
=10lg
（2）由70
=
10lg，即，∴，
又60
=
10lg，即lg=6，∴=106.
∴=10，即I
=
10I′
答：
（1）I
=
1w/m2，相应的分贝值为；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的10倍2.2
对数函数
2.2.1
对数与对数运算
整体设计
教学分析
我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.
3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.
重点难点
教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用.
教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时
对数与对数运算(1)
导入新课
思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？
2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1.()4＝？()x＝0.125x=
2.(1+8%)x=2x= 都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.
思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.
推进新课
新知探究
提出问题
(对于课本P572.1.2的例8)
①利用计算机作出函数y=13×1.01x的图象.
②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…
③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？
即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,x分别等于多少？
④你能否给出一个一般性的结论
活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.
对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.
对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.
对问题③,定义一种新的运算.
对问题④,借助③,类比到一般的情形.
讨论结果：①如图2-2-1-1.
图2-2-1-1
②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.
③=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,要求x分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若=1.01x,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.
④一般性的结论就是对数的定义:
一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,就是ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
有了对数的定义,前面问题的x就可表示了:
x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.
由此得到对数和指数幂之间的关系:
a
N
b
指数式ab=N
底数
幂
指数
对数式logaN=b
对数的底数
真数
对数
例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01
提出问题
①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1
②根据对数定义求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值.
③负数与零有没有对数
④=N与logaab=b(a>0,a≠1)是否成立
讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）;
若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;
若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.
②loga1=0,logaa=1.
因为对任意a>0且a≠1,都有a0=1,所以loga1=0.
同样易知：logaa=1.
即1的对数等于0,底的对数等于1.
③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,ab＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.
④因为ab=N,所以b=logaN,ab=a=N,即a=N.
因为ab=ab,所以logaab=b.故两个式子都成立.(a=N叫对数恒等式)
思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗
活动：同学们阅读课本P68的内容,教师引导,板书.
解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.
例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.
②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718
28……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.
例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.
应用示例
思路1
例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：
（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;
(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.
活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.
对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.
对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底的对数.
对（3）根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以为底5.73的对数.
对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是的-4次幂.
对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂.
对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e的2.303次幂.
解：（1）log5625=4;（2）log2=-6;（3）log5.73=m;
（4）()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10.
思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题
活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.
解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.
变式训练
课本P64练习
1、2.
例2求下列各式中x的值:
（1）log64x=;（2）logx8=6;
（3）lg100=x;（4）-lne2=x.
活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.
解：（1）因为log64x=-,所以x=64=(2)=2-4=.
（2）因为logx8=6,所以x6=8=23=()6.因为x>0,因此x=.
（3）因为lg100=x,所以10x=100=102.因此x=2.
（4）因为-lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2.
点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.
变式训练
求下列各式中的x：
①log4x=;②logx27=;③log5（log10x）=1.
解：①由log4x=,得x=4=2;
②由logx27=,得x=27,所以x=27=81;
③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.
点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.
思路2
例1以下四个命题中,属于真命题的是（
）
（1）若log5x=3,则x=15
（2）若log25x=,则x=5
（3）若logx=0,则x=
（4）若log5x=－3,则x=
A.（2）（3）
B.（1）（3）
C.（2）（4）
D.（3）（4）
活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.
对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果.
对于（1）因为log5x=3,所以x=53=125,错误;
对于（2）因为log25x=,所以x=25=5,正确;
对于（3）因为logx=0,所以x0=,无解,错误;
对于（4）因为log5x=－3,所以x=5-3=,正确.
总之（2）（4）正确.
答案：C
点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.
例2
对于a＞0,a≠1,下列结论正确的是（
）
（1）若M=N,则logaM=logaN
（2）若logaM=logaN,则M=N
（3）若logaM2=logaN2,则M=N
（4）若M=N,则logaM2=logaN2
A.（1）（3）
B.（2）（4）
C.（2）
D.（1）（2）（4）
活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.
回想对数的有关规定.
对（1）若M=N,当M为0或负数时logaM≠logaN,因此错误;
对（2）根据对数的定义,若logaM=logaN,则M=N,正确;
对（3）若logaM2=logaN2,则M=±N,因此错误;
对（4）若M=N=0时,则logaM2与logaN2都不存在,因此错误.
综上,（2）正确.
答案：C
点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.
例3计算：
(1)log927;(2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.
活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.
解法一：(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=;
(2)设x=log81,则()x=81,3=34,所以x=16;
(3)令x=log(2-)=log(2+)-1,
所以(2+)x=(2+)-1,x=-1;
(4)令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.
解法二：(1)log927=log933=log99=;
(2)log81=log()16=16;
(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;
(4)log625=log()3=3.
点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.
变式训练
课本P64练习
3、4.
知能训练
1.把下列各题的指数式写成对数式:
(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.
解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;
(6)-2=log3;(7)-2=log16.
2.把下列各题的对数式写成指数式:
(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7;
(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;
(9)log2128=7;(10)log327=a.
解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6
=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.
3.求下列各式中x的值:
(1)log8x=;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.
解：(1)因为log8x=,所以x=8=(23)==2-2=;
(2)因为logx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;
(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;
(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.
4.(1)求log84的值;
(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.
解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;
(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3,
所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.
点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用.
拓展提升
请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础.
课堂小结
(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数.
作业
课本P74习题2.2A组
1、2.
【补充作业】
1.将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.
（1）5=;（2）log24=x;（3）3x=;
（4）()x=64;（5）lg0.000
1=x;（6）lne5=x.
解：（1）5=化为对数式是log5=;
（2）x=log4化为指数式是()x=4,即2=22,=2,x=4;
（3）3x=化为对数式是x=log3,因为3x=()3=3-3,所以x=-3;
（4）()x=64化为对数式是x=log64,因为()x=64=43,所以x=-3;
（5）lg0.0001=x化为指数式是10x=0.0001,因为10x=0.000
1=10-4,所以x=-4;
（6）lne5=x化为指数式是ex=e5,因为ex=e5,所以x=5.
2.计算的值.
解：设x=log3,则3x=,(3)x=(),所以x=log.
所以3===.
3.计算(a>0,b>0,c>0,N>0).
解：===N.
设计感想
本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.2.2
对数函数
2.2.1
对数与对数运算
整体设计
教学分析
我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.
3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.
重点难点
教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用.
教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时
对数与对数运算(1)
导入新课
思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？
2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1.()4＝？()x＝0.125x=
2.(1+8%)x=2x= 都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.
思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.
推进新课
新知探究
提出问题
(对于课本P572.1.2的例8)
①利用计算机作出函数y=13×1.01x的图象.
②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…
③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？
即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,x分别等于多少？
④你能否给出一个一般性的结论
活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.
对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.
对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.
对问题③,定义一种新的运算.
对问题④,借助③,类比到一般的情形.
讨论结果：①如图2-2-1-1.
图2-2-1-1
②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.
③=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,要求x分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若=1.01x,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.
④一般性的结论就是对数的定义:
一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,就是ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
有了对数的定义,前面问题的x就可表示了:
x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.
由此得到对数和指数幂之间的关系:
a
N
b
指数式ab=N
底数
幂
指数
对数式logaN=b
对数的底数
真数
对数
例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01
提出问题
①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1
②根据对数定义求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值.
③负数与零有没有对数
④=N与logaab=b(a>0,a≠1)是否成立
讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）;
若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;
若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.
②loga1=0,logaa=1.
因为对任意a>0且a≠1,都有a0=1,所以loga1=0.
同样易知：logaa=1.
即1的对数等于0,底的对数等于1.
③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,ab＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.
④因为ab=N,所以b=logaN,ab=a=N,即a=N.
因为ab=ab,所以logaab=b.故两个式子都成立.(a=N叫对数恒等式)
思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗
活动：同学们阅读课本P68的内容,教师引导,板书.
解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.
例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.
②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718
28……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.
例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.
应用示例
思路1
例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：
（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;
(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.
活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.
对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.
对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底的对数.
对（3）根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以为底5.73的对数.
对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是的-4次幂.
对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂.
对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e的2.303次幂.
解：（1）log5625=4;（2）log2=-6;（3）log5.73=m;
（4）()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10.
思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题
活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.
解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.
变式训练
课本P64练习
1、2.
例2求下列各式中x的值:
（1）log64x=;（2）logx8=6;
（3）lg100=x;（4）-lne2=x.
活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.
解：（1）因为log64x=-,所以x=64=(2)=2-4=.
（2）因为logx8=6,所以x6=8=23=()6.因为x>0,因此x=.
（3）因为lg100=x,所以10x=100=102.因此x=2.
（4）因为-lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2.
点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.
变式训练
求下列各式中的x：
①log4x=;②logx27=;③log5（log10x）=1.
解：①由log4x=,得x=4=2;
②由logx27=,得x=27,所以x=27=81;
③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.
点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.
思路2
例1以下四个命题中,属于真命题的是（
）
（1）若log5x=3,则x=15
（2）若log25x=,则x=5
（3）若logx=0,则x=
（4）若log5x=－3,则x=
A.（2）（3）
B.（1）（3）
C.（2）（4）
D.（3）（4）
活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.
对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果.
对于（1）因为log5x=3,所以x=53=125,错误;
对于（2）因为log25x=,所以x=25=5,正确;
对于（3）因为logx=0,所以x0=,无解,错误;
对于（4）因为log5x=－3,所以x=5-3=,正确.
总之（2）（4）正确.
答案：C
点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.
例2
对于a＞0,a≠1,下列结论正确的是（
）
（1）若M=N,则logaM=logaN
（2）若logaM=logaN,则M=N
（3）若logaM2=logaN2,则M=N
（4）若M=N,则logaM2=logaN2
A.（1）（3）
B.（2）（4）
C.（2）
D.（1）（2）（4）
活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.
回想对数的有关规定.
对（1）若M=N,当M为0或负数时logaM≠logaN,因此错误;
对（2）根据对数的定义,若logaM=logaN,则M=N,正确;
对（3）若logaM2=logaN2,则M=±N,因此错误;
对（4）若M=N=0时,则logaM2与logaN2都不存在,因此错误.
综上,（2）正确.
答案：C
点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.
例3计算：
(1)log927;(2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.
活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.
解法一：(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=;
(2)设x=log81,则()x=81,3=34,所以x=16;
(3)令x=log(2-)=log(2+)-1,
所以(2+)x=(2+)-1,x=-1;
(4)令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.
解法二：(1)log927=log933=log99=;
(2)log81=log()16=16;
(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;
(4)log625=log()3=3.
点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.
变式训练
课本P64练习
3、4.
知能训练
1.把下列各题的指数式写成对数式:
(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.
解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;
(6)-2=log3;(7)-2=log16.
2.把下列各题的对数式写成指数式:
(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7;
(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;
(9)log2128=7;(10)log327=a.
解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6
=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.
3.求下列各式中x的值:
(1)log8x=;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.
解：(1)因为log8x=,所以x=8=(23)==2-2=;
(2)因为logx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;
(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;
(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.
4.(1)求log84的值;
(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.
解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;
(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3,
所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.
点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用.
拓展提升
请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础.
课堂小结
(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数.
作业
课本P74习题2.2A组
1、2.
【补充作业】
1.将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.
（1）5=;（2）log24=x;（3）3x=;
（4）()x=64;（5）lg0.000
1=x;（6）lne5=x.
解：（1）5=化为对数式是log5=;
（2）x=log4化为指数式是()x=4,即2=22,=2,x=4;
（3）3x=化为对数式是x=log3,因为3x=()3=3-3,所以x=-3;
（4）()x=64化为对数式是x=log64,因为()x=64=43,所以x=-3;
（5）lg0.0001=x化为指数式是10x=0.0001,因为10x=0.000
1=10-4,所以x=-4;
（6）lne5=x化为指数式是ex=e5,因为ex=e5,所以x=5.
2.计算的值.
解：设x=log3,则3x=,(3)x=(),所以x=log.
所以3===.
3.计算(a>0,b>0,c>0,N>0).
解：===N.
设计感想
本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.2.2.1对数与对数运算（二）
（一）教学目标
(
)1．知识与技能：理解对数的运算性质．
(
)2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
(
)3．情感、态态与价值观
(
)
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．
(
)（二）教学重点、难点
(
)1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.
(
)2．教学难点：
对数的运算性质发现过程及其证明.
(
)（三）教学方法
(
)针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．
(
)（四）教学过程
(
)
教学
(
)环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
(
)引入
(
)
复习：对数的定义及对数恒等式
(
)
（＞0，且≠1，N＞0），
(
)指数的运算性质.
(
)
(
)
(
)
学生口答，教师板书．
对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．
提出
(
)问题
探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？
(
)如：
(
).
(
)于是
由对数的定义得到
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
(
)提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？
(
)
学生探究，教师启发引导．
(
)
概念
(
)形成
（让学生探究，讨论）
(
)如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：
(
)（1）
(
)（2）
(
)（3）
(
)证明：
(
)（1）令
(
)
则：
(
)
(
)又由
(
)
(
)即：
(
)（3）
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)即
(
)当=0时，显然成立.
(
)
(
)
让学生多角度思考，探究，教师点拨．
(
)让学生讨论、研究，教师引导．
让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．通过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深学生对字母的认识和利用，体会从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
概念
(
)深化
合作探究：
(
)1.
利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？
(
)2.
性质能否进行推广？
(
)
（师组织，生交流探讨得出如下结论）
(
)底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.
(
)（生交流讨论）
(
)性质（1）可以推广到n个正数的情形，即loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn（其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）.
应用举例
例1
用，，表示下列各式（1）
（2）
例2
求下列各式的值.（1）
（2）例3计算：（1）lg14－2lg+lg7－lg18；（2）；（3）.课本P79练习第1，2，3.补充练习：若a＞0，a≠1，且x＞y＞0，N∈N，则下列八个等式：①（logax）n=nlogx；②（logax）n=loga（xn）；③－logax=loga（）；④=loga（）；⑤=logax；⑥logax=loga；⑦an=xn；⑧loga=－loga.其中成立的有________个.
学生思考，口答，教师板演、点评．例1分析：利用对数运算性质直接化简.（1）
（2）
=小结：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.例2解（1）（2）例3（1）解法一：lg14－2lg+lg7－lg18=lg（2×7）－2（lg7－lg3）+lg7－lg（32×2）=lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－2lg3－lg2=0.解法二：lg14－2lg+lg7－lg18=lg14－lg（）2+lg7－lg18=lg=lg1=0.（2）解：===.（3）解：===.小结：以上各题的解答，体现对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧，每题的各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，要避免错用对数运算性质.课本P79练习第1，2，3.答案：1.（1）lg（xyz）=lgx+lgy+lgz；（2）lg=lg（xy2）－lgz=lgx+lgy2－lgz=lgx+2lgy－lgz；（3）lg=lg（xy3）－lg=lgx+lgy3－lgz=lgx+3lgy－lgz；（4）lg=lg－lg（y2z）=lgx－lgy2－lgz=lgx－2lgy－lgz.2.（1）7；（2）4；（3）－5；（4）0.56.3.（1）log26－log23=log2=log22=1；（2）lg5－lg2=lg；（3）log53+log5=log53×=log51=0；（4）log35－log315=log3
=log3=log33－1=－1.补充练习答案：4
通过例题的解答，巩固所学的对数运算法则，提高运算能力．
归纳总结
1.对数的运算性质.2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质.3.对数和指数形式比较：式子ab=N名称a——幂的底数b——幂的指数N——幂值运算性质am·an=am+nam÷an=am－n（am）n=amn（a＞0，且a≠1，m、n∈R）式子logaN=b名称a——对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数运算性质loga（MN）=logaM+logaNloga=logaM－logaNlogaMn=nlogaM（n∈R）（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）
学生先自回顾反思，教师点评完善．
通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.
课后作业
作业：2.1
第四课时
习案
学生独立完成
巩固新知提升能力
备选例题
例1
计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【解析】（1）方法一：
原式=
=
=
=.
方法二：原式=
=
=.
（2）原式=2lg5
+
2lg2
+
lg5
(2lg2
+
lg5)
+
(lg2)2
=2lg10
+
(lg5
+
lg2)2
=
2
+
(lg10)2
=
2
+
1
=
3.
【小结】易犯lg52
=
(lg5)2的错误.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.
计算对数的值时常用到lg2
+
lg5
=
lg10
=
1.
例2：（1）已知lg2
=
0.3010，lg3
=
0.4771，求lg；
（2）设logax
=
m，logay
=
n，用m、n表示；
（3）已知lgx
=
2lga
+
3lgb
–
5lgc，求x.
【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.
【解析】（1）
0.4771+0.5
–
0.1505
=
0.8266
（2）
（3）由已知得：
，
∴.
【小结】①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等.
即logaN
=
logaMN
=
M.
