2.3
幂函数
整体设计
教学分析
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.
三维目标
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.
2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.
3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.
教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.
5.如果某人t
s内骑车行进了1
km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量).
（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）.
思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？
问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.
问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路 研究幂函数的性质呢
问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.
函数
性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
特殊点
图象分布
问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？
问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗
活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.
讨论结果：
①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.
②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:
一般地,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.
④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.
列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
0
1
1.41
1.73
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x3
…
-27
-8
-1
0
1
8
27
…
y=x-1
…
-
-1
1
…
描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.
图2-3-1
让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图象,完成表格.
函数
性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
单调性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
特殊点
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
图象分布
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ、Ⅱ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.
⑥幂函数y=xα的性质.
（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；
（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.
特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.
当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.
（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.
在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
应用示例
思路1
例1判断下列函数哪些是幂函数.
①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.
活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.
解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;
②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
④y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.
点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数？
①y=x;②y=2x2;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3.
解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;
④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;
⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.
例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.
活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.
解：（1）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R.所以函数y=x的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数.
（2）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R+,所以函数y=x的定义域是R+,由于函数y=x的定义域不关于原点对称,所以函数y=x是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.
（3）要使函数y=x-2有意义,只需y=有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
例3证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.
活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.
证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.
证明：任取x1,x2∈［0,+∞),且x1＜x2,则
f(x1)-f(x2)===,
因为x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以＜0.
所以f(x1)
点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与f(x2)的符号要一致.
思路2
例1函数y＝（x2-2x）的定义域是(
)
A.{x|x≠0或x≠2}
B.（-∞,0）∪（2,＋∞）
C.（-∞,0］∪［2,＋∞)
D.（0,2）
分析：函数y＝（x2-2x）化为y=,要使函数有意义需x2-2x＞0,即x＞2或x＜0,所以函数的定义域为{x|x＞2或x＜0}.
答案：B
变式训练
函数y＝（1-x2）的值域是(
)
A.［0,＋∞)
B.（0,1］
C.（0,1）
D.［0,1］
活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.
函数的值域要根据函数的定义域来求.
函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.
分析：令t＝1-x2,则y＝,
因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
答案：D
点评：注意换元法在解题中的应用.
例2
比较下列各组数的大小：
（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.
比较数的大小,常借助于函数的单调性.
对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.
对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.
解：（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.
（2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.
点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.
知能训练
1.下列函数中,是幂函数的是(
)
A.y=2x
B.y=2x3
C.y=
D.y=2x
2.下列结论正确的是(
)
A.幂函数的图象一定过原点
B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是(
)
A.y=x3
B.y=x2
C.y=
D.y=x
4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.
答案：1.C
2.D
3.A
4.y=x
拓展提升
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.
①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x,y＝x;
③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y＝x.
活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.
解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.
图2-3-2
图2-3-3
图2-3-4
图2-3-5
①观察图2-3-2得到:
函数y＝x-1、y＝x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
②观察图2-3-3得到:
函数y＝x、y＝x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
③观察图2-3-4得到:
函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.
④观察图2-3-5得到:
函数y=x、y＝x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.
根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.
课堂小结
1.幂函数的概念.
2.幂函数的性质.
3.幂函数的性质的应用.
作业
课本P87习题2.3
1、2、3.
设计感想
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.
习题详解
(课本第79页习题2.3)
1.函数y=是幂函数.
2.解析:设幂函数的解析式为f（x）=xα,
因为点（2,）在图象上,所以=2α.
所以α=,即幂函数的解析式为f（x）=x,x≥0.
3.（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4；
（2）把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k=＝,即v=r4；
（3）把r=5代入v=r4,得v=×54≈3
086（cm3/s）,即r=5
cm时,该气体的流量速率为3
086
cm3/s.
备课资料
历史上数学计算方面的三大发明
你知道数学计算方面的三大发明吗 这就是阿拉伯数字、十进制和对数.
研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.
十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表示出来.
16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(Napier,J.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs,H.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”
一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.1707~1783)才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受.
(设计者：邓新国)
本章复习
整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型,面对纷繁复杂的变化现象,我们还可以根据变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界的变化规律的三类重要且常用的基本初等函数,本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质,因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下,综合复习所学知识,进行知识梳理和整合,同时通过进行知识梳理和整合,使学生形成知识网络,强化数学思想和方法的运用,通过复合函数和抽象函数的复习,提高学生的综合能力.
三维目标
1.理解指数与对数,指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系,通过提问,提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认知结构.
2.让学生熟悉,能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题,培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.
3.对复合函数,抽象函数有一个新的认识,培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力.
重点难点
教学重点：指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质.
教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题.
课时安排
1课时
教学过程
应用示例
思路1
例1计算:
(1)［(3)(5)0.5+(0.008)÷(0.02)×(0.32)］÷0.062
50.25;
（2）.
活动：学生观察、思考,学生观察式子的特点,特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价.
解：(1)原式=［()3×()·()2×0.5+(0.2)3×()÷(0.2)］÷(0.5)4×=［×+52÷］÷0.5=+10=.
（2）=
===.
点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用.
变式训练
如果已知log5427＝a,54b＝3,如何用a、b表示log10881
解法一：由54b＝3得log543＝b.
所以log10881＝＝==.
解法二：由log5427=a,得54a=27,设x=log10881,则108x=81,
所以(542×27-1)x=3×27,即(542×54-a)x=54b×54a.
所以542x-ax=54a+b,即2x-ax=a+b.
因此,得x=.
点评：解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;解法二是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但解法二运算的技巧性较大.
例2已知a＞0,a≠1,x=,求(x+)n的值.
活动：学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,a与a具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,必要时给予提示.
x2-1=(a+a)2-1=(a+2·a0+a)-1=(a-2·a0+a)=(a-a)2.
这时应看到==|a-a|.
解：将x=(a+a)代入x2-1,得x2-1=(a+a)2-1=(a-a)2.
所以==|a-a|,
x+=(a+a)+
|a-a|=
所以(x+)n=
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.
例3若函数f(x)的定义域是(,3］,求f(log3x)的定义域.
活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数f(x)的定义域,求抽象函数f［g(x)］的定义域,要借助于f(x)的定义域来求,由于函数f(x)的定义域是(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,从中解出x,即为f(log3x)的定义域.
解：因为函数f(x)的定义域为(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,
即0.5＜log3x≤3,即＜x≤9.
因此函数f(log3x)定义域为(3,9］.
点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的定义域要严格注意对应法则.
变式训练
1.求函数y=的定义域.
2.求函数f(x)=的定义域.
答案：1.{x|x≠0且x≠1}.2.{x|x≤0}.
思路2
例1求函数y=的定义域、值域和单调区间.
活动：学生观察,思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;函数的值域要根据定义域来求;求函数的单调区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分母是一个指数式,因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单调性确定.
解：函数y=的定义域是全体实数,
因为y===［()x］2≥,所以函数的值域为［,+∞).
设u=()x,则它在(-∞,+∞)上单调递减,
而二次函数y=(u)2在u≤时是减函数,在u≥时是增函数,
令()x≤,则x≥1,令()x≥,则x≤1,
所以函数y=在［1,+∞)上是增函数,在(-∞,1］上是减函数.
点评：这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的.
例2已知函数f(x)=x(+).
(1)指出函数的奇偶性,并予以证明；
(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0),都有f(x)＞0.
解：(1)因为f(x)的定义域是不为0的实数,关于原点对称,
又f(-x)=-x(+)=x()=x(-1+)=x(+)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)当x＞0时,2x＞1,所以f(x)＞0.
当x＜0时,由f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x)＞0.
所以对一切x∈R,x≠0,恒有f(x)＞0.
点评：利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题,当x＜0时,证明f(x)＞0较繁,若注意到f(x)为偶函数,则只需证明当x＞0时,f(x)＞0,而这是显然的.
知能训练
课本P82复习参考题A组
1、3、4、6、8、10.
拓展提升
问题：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,过
A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,若
C恰好在函数y=log2x的图象上,试求A、B、C三点的坐标.
活动：学生先仔细审题,理解题目的含义,然后思考交流,教师适当时候提示指导.
画出函数的图象,设出点的坐标,由图形间的关系建立方程求解.
解：先画出函数的图象如图.
图2-1
设A(x1,log8x1)、B(x2,log8x2),
则C(x1,log8x2).因为C在函数y=log2x的图象上,
所以log8x2=log2x1,即log2x2=log2x1.
所以x2=x13.
又=,即=,
所以x1log8x13=x13log8x1.
所以3x1log8x1=x13log8x1.由x1>1,所以log8x1≠1.
从而有3x1=x13.所以x1=,x2=3.
所以A、B、C三点的坐标分别为A(,log83)、B(3,log83)、C(,log2).
课后作业
课本P82复习参考题A组
2、5、7、9.
设计感想
本堂课是对过去学过的一章知识进行复习,目的是构建知识体系,形成知识网络,总结解题的方法规律和思想,以便综合运用这些知识,使学生能够见题想法,见题有法,能够做到一题多解,触类旁通,由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题方法的总结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果,做到以不变应万变,使全体同学在知识和技能上都有较大的提高.
习题详解
(课本第82页复习参考题)
A组
1.（1）11；（2）；（3）；（4）.
2.（1）原式===;
（2）原式===.
3.（1）因为lg2=a,lg3=b,log125===,
所以log125=.
（2）因为log23=a,log37=b,log1456=====.
4.（1）（-∞,）∪（,+∞）;（2）［0,+∞）.
5.（,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.
6.（1）因为log67>log66=1,所以log67>1.
又因为log76log76.
（2）因为log3π>log33=1,所以log3π>1.又因为log20.8<0,所以log3π>log20.8.
7.证明：（1）因为f（x）=3x,所以f（x）·f（y）=3x×3y=3x+y.
又因为f（x+y）=3x+y,所以f（x）·f（y）=f（x+y）.
（2）因为f（x）=3x,所以f（x）÷f（y）=3x÷3y=3x-y.
又因为f（x-y）=3x-y,所以f（x）÷f（y）=f（x-y）.
8.证明:因为f（x）=lg,a、b∈（-1,1）,
所以f（a）+f（b）=lg=lg,
f（）=lg（）
=lg
=lg.
所以f（a）+f（b）=f（）.
9.（1）设保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式为y=k·ax（a>0,且a≠1）.
因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,
所以解得
所以y=192×0.93x,
即所求函数解析式为y=192×0.93x.
（2）当x=30
℃时,y≈22（小时）；
当x=16
℃时,y≈60（小时）,
即温度在30
℃和16
℃的保鲜时间约为22小时和60小时.
（3）图象如图：
图2-2
10.解析：设所求幂函数的解析式为f（x）=xα,因为f（x）的图象过点（2,）,
所以=2α,即2=2α.所以α=.所以f（x）=x（x>0）.
图略,f(x)为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.
B组
1.A
2.因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以+=+=lg2+lg5=lg10=1.
3.（1）f（x）=a在x∈（-∞,+∞）上是增函数.
证明：任取x1,x2∈（-∞,+∞）,且x1f（x1）-f（x2）=a-a+
=-
=.
因为x1,x2∈（-∞,+∞）,
所以
又因为x1所以即<0.所以f（x1）-f（x2）<0,即f（x1）所以函数f（x）=a在（-∞,+∞）上是增函数.
（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数,则f（-x）+f（x）=0,即a+a=0a=+=+=1,即存在实数a=1使f（x）=为奇函数.
4.证明:（1）因为f（x）=,g（x）=,
所以［g（x）］2-［f（x）］2=［g（x）+f（x）］［g（x）-f（x）］
=
=ex·e-x=ex-x=e0=1,
即原式得证.
（2）因为f（x）=,g（x）=,
所以f（2x）=,2f（x）·g（x）
=2··
=.
所以f（2x）=2f（x）·g（x）.
（3）因为f（x）=,g（x）=,
所以g（2x）=,
［g（x）］2+［f（x）］2=（）2+（）2
=
=.
所以g（2x）=［f（x）］2+［g（x）］2.
5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t=1时,θ=52,于是
52=15+(62-15)e-k,
解得k≈0.24,那么θ=15+47e-0.24t.
所以,当θ=42时,t≈2.3;当θ=32时,t≈4.2.
答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42
℃和32
℃.物体不会冷却到12
℃.
6.(1)由P=P0e-kt可知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=(1-10%）P0.于是有(1-10%)P0=P0e-5k,
解得k=ln0.9,那么P=P0e.
所以,当t=10时,P=P0e=P0eln0.81=81%P0.
答:10小时后还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P0时,有50%P0=P0e,
解得t=≈33.
答:污染减少50%需要花大约33h.
(3)其图象大致如下:
图2-3
备课资料
【备用习题】
1.2006湖南卷函数y=的定义域是(
)
A.(3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(4,+∞)
D.[4,+∞)
2.2006全国卷I已知函数f(x)=a,若f(x)为奇函数,则a=_________.
3.函数y=log2的值域是__________.
4.已知函数y=2x的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(16)=_________.
5.若函数y=log2［ax2+（a-1）x+］的定义域为R,则a的取值范围是_________.
参考答案：
1.D
2.a=
3.［2,+∞)
4.4
5.2.3幂函数
（一）实例观察，引入新课
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P
=
W元
P是W的函数
（y=x）
(2)如果正方形的边长为
a,那么正方形的面积S=a2
S是a的函数
（y=x2）
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V
=a3
S是a的函数
（y=x3）
(4)如果一个正方形场地的面积为
S,那么正方形的边长a=
a是S的函数
（y=）
(5)如果某人
t
s内骑车行进1
km,那么他骑车的平均速度v=t-1
V是t的函数
（y=x-1）
问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征
学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.
【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.
（二）类比联想，探究新知
1.幂函数的定义
一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power
function)
，
其中x为自变量，ɑ 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y
=
ｘa
的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2
y=（x+1）2
y=x2+1
是否为幂函数）
【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.
2.幂函数的图像与简单性质
同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）
不妨也找出典型的函数作为代表：
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像
问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？
学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.
问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？
学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.
教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减.
问题五：所有图像都过哪些点，为什么？
学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.
问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？
学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.
问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？
学生反应：当01时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.
教师活动：在01时，指数大的函数值就大.
【总结】
幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
定义域
R
R
R
[0，+∞)
{x︱x≠0}
值域
R
[0，+∞)
R
[0，+∞)
{y︱y≠0}
单调性
增
(-∞,0)增[0，+∞)减
增
增
(-∞,0)减（0+∞)减
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
公共点
（1,1）
【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.
（三）新知应用
【性质证明】证明幂函数y=在[0，+∞)上是增函数
证明：
教师活动：强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习定义证明单调性的过程.(2)
幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断
【例】比较下列各组数种两个值的大小
（1）
（2）
（3）
解：:(1)
y=
5.2x是增函数,
∵0.1<0.2 ∴
5.20.1
<
5.20.2
(2)
y=x0.9在(0,+∞)内是增函数
∵
3.2<3.7∴
3.20.9
<3.70.9
（3）
1.72.5<1.82.5<1.83.5
【练习】
已知一个函数
是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
解：依题意,得
解方程,得
m=2或m=-1
检验:当
m=2时,函数为符合题意.
当m=-1时，不合题意,舍去.所以m=2
【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化.
（四）课堂小结，归纳提升
（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.
（2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.
（五）课后作业，巩固训练
P79习题2.3：
1，2，3.
函
数
性
质2.3
幂函数
（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象.
(
)（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.
(
)2．过程与方法
(
)（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.
(
)（2）使学生进一步体会数形结合的思想.
(
)3.
情感、态度、价值观
(
)（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.
(
)（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.
(
)（二）教学重点、难点
(
)重点：常见幂函数的概念、图象和性质.
(
)难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.
(
)（三）教学方法
(
)采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.
(
)利用实物投影仪及计算机辅助教学.
(
)（四）教学过程
(
)
教学
(
)环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
(
)引入
（多媒体显示以下5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）
(
)问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.
(
)问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.
(
)问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.
(
)问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.
(
)问题5：如果某人t
s内骑车行进了1
km，那么他骑车的平均速度v=t－1
km/s，这里v是t的函数.
(
)
学生阅读、思考、交流、口答，教师板演．
(
)师：观察上述例子中函数模型，这几个函数表达式有什么共同特征？
(
)生：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量.
变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.
(
)（引入新课，书写课题）
(
)
培养学生的观察、归纳、概括能力，
形成
(
)概念
(
)
幂函数的定义
(
)一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.
(
)
师：请同学们举出几个具体的
(
)幂函数.
(
)生：如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
(
)
理解幂函数的定义.
(
)
深化
(
)概念
(
)
1.研究幂函数的图像
(
)（1）
(
)（2）
(
)（3）
(
)（4）
(
)（5）
(
)2.通过观察图像，填P86探究中的表格定义域RR奇偶性奇奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增定点（1，1）（1，1）R奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减（1，1）（1，1）（1，1）3.幂函数性质
(
)
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；
(
)
（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
(
)
特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
(
)
当0<α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
(
)
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
(
)在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
(
)
(
)让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)探究幂函数的性质和图像的变化规律，
(
)
应用
(
)举例
例1
求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.
(
)（1）y=x；（2）y=x；（3）y=x－2.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)例2
证明幂函数f（x）=在［0，+∞）上是增函数.请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书.合作探究：【例3】
比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1；（2）（－），（－），1.1；（3）3.8，3.9，（－1.8）；（4）31.4，51.5.课堂练习1.下列函数中，是幂函数的是A.y=－x
B.y=3x2
C.y=
D.y=2x2.下列结论正确的是A.幂函数的图象一定过（0，0）和（1，1）B.当α＜0时，幂函数y=xα是减函数C.当α＞0时，幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数3.函数y=x的图象大致是
4.幂函数f（x）=ax（m∈Z）的图象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a和m.
例1分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.解：（1）函数y=x，即y=，其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.（2）函数y=x，即y=，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减.（3）函数y=x－2，即y=，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.例2证明：设0≤x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－==，因为x1－x2＜0，+＞0，所以f（x1）＜f（x2），即幂函数f（x）=在［0，+∞）上是增函数.小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得＜1后，要比较f（x1）与f（x2）的大小，要注意分母的符号.例3分析：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1.（2）（－）=（），（－）=（），1.1=［（1.1）2］=1.21.∵幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，∴（）＞（）＞1.21，即（－）＞（－）＞1.1.（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小.（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5.小结：（1）当底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（2）当底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.课堂练习答案：1.
C
2.
D
3.
D
4.
a=1，m=1，3，5，7.
掌握幂函数知识的应用.
归纳总结
1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象和性质.3.幂值的大小比较方法.
学生先自回顾反思，教师点评完善．
形成知识体系.
课后作业
作业：2.3
第一课时
习案
学生独立完成
巩固新知提升能力
备选例题
例1
已知是幂函数，求m，n的值.
【解析】由题意得，
解得，
所以.
【小结】做本题时，常常忽视m2
+
2m
–
2
=
1且2n
–
3
=
0这些条件.
表达式y
=(x∈R)的要求比较严格，系数为1，底数是x，∈R为常数，如，y
=
1
=
x0为幂函数，而如y
=
2x2，y
=
(x
–
1)3等都不是幂函数.
例2
比例下列各组数的大小.
（1）；
（2）(–2)–3和(–2.5)–3；
（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；
（4）.
【解析】（1），函数在
(0,
+∞)上为增函数，又，则，
从而.
（2）幂函数y
=
x–3在(–∞,
0)和(0,
+∞)上为减函数，
又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.
（3）幂函数y
=
x–0.1在(0,
+∞)上为减函数，
又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.
（4）＞=
1；0＜＜=
1；
＜0，
∴＜＜.
【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.
y=x-1
y=x3
02.3幂函数
教学教法分析
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解幂函数的概念，会画幂函数的图象；
(2)结合几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和简单性质．
2．过程与方法
(1)类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．能运用幂函数概念解决简单的问题；
(2)使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；
(2)进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
(3)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
●重点难点
重点：从五个具体的幂函数中认识概念和性质．
难点：从幂函数的图象中概括其性质．
重难点的突破：以学生熟知的函数y＝x，y＝x2，y＝，y＝x3，y＝x为切入点，类比指数函数及对数函数的概念得出幂函数的概念．通过学生自主作图，并观察五个具体的幂函数的图象，经小组讨论并结合多媒体的直观演示，师生共同总结出函数y＝xα的图象特征.
课前自主导学
课标解读
1.掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点)3．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)
知识1
幂函数的概念
【问题导思】
1．函数y＝2x与y＝x2有何不同？
【提示】 在函数y＝2x中，常数2为底数，自变量x为指数，故为指数函数；而在函数y＝x2中，自变量x为底数，常数2为指数，故为幂函数．
2．函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1及y＝x解析式有何共同特征？
【提示】 指数为常数；底数是自变量，自变量的系数为1；幂xα的系数为1；只有1项．
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识2
幂函数的图象及性质
【问题导思】 ?
在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x\f(1,2)，y＝x－1的图象如图.
1．它们的图象都过同一定点吗？
【提示】 是的，都过定点(1,1)．
2．上述五个函数，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？
【提示】 在(0，＋∞)内是增函数的有：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x.
在(0，＋∞)内是减函数的有：y＝x－1.
3．上述5个函数的图象关于原点对称，是奇函数的有哪几个？图象关于y轴对称，是偶函数的呢？
【提示】 图象关于原点对称是奇函数的有：y＝x，y＝x3，y＝x－1；图象关于y轴对称，为偶函数的是y＝x2.
幂函数的性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上是增函数
在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数
在R上是增函数
在[0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数
公共点
(1,1)
课堂互动探究
类型1
幂函数的概念
已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
【思路探究】
【自主解答】 ∵函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，
由幂函数的定义得解得m＝－3或1，n＝.
1．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．反之，若一个函数具有这种形式，则该函数必为幂函数．
2．判断函数解析式以根式形式给出的函数是否为幂函数，要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________.
【解析】 由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，∴f(x)＝x，
∴f(100)＝100＝10.
【答案】 10
类型2
幂函数的图象
已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图2－3－1所示，则a，b，c的大小关系为( )
A．cB．aC．bD．c图2－3－1
【思路探究】
【自主解答】 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.
由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.
综上所述，可知c【答案】 A
1．本题也可采用特殊值法，如取x＝2，结合图象可知2a>2b>2c，又函数y＝2x在R上是增函数，于是a>b>c.
2．对于函数y＝xα而言，其图象有以下特点：
(1)恒过点(1,1)，且不过第四象限．
(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．
(3)在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．
幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x的图象经过的“卦限”是( )
A．④⑦ B．④⑧
C．③⑧
D．①⑤
【解析】 ∵x－＝(－1)，当0即x<<1，∴幂函数y＝x的图象经过“卦限①”；
当x>1时，x－>0，即x>>1，∴幂函数y＝x的图象经过“卦限⑤”．
【答案】 D
类型3
幂函数的性质及应用
比较下列各组数的大小：
(1)3－和3.1－；
(2)－8－和－；
(3)－和－；
(4)4.1，3.8－和(－1.9)－.
【思路探究】 .
【自主解答】 (1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3－>3.1－.
(2)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，
又>，则>，从而－8－<－.
(3)－＝－，－＝－.
函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又>，
所以－＝－<－＝－.
(4)4.1>1＝1；0<3.8－<1－＝1；(－1.9)－<0，
所以(－1.9)－<3.8－<4.1.
1．比较幂的大小的三种常用方法
2．利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．
已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N
)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
【解】 ∵f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，∴m－3<0，∴m<3.
又∵m∈N
，∴m＝1,2.又∵f(x)＝xm－3是偶函数，∴m－3是偶数．
∴m＝1.∴f(x)＝x－2.
思想方法技巧
巧用幂函数的性质求参数的范围
(12分)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N
)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
【思路点拨】 →→→→→
【规范解答】 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3.
4分
又m∈N
，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1.
8分
∴有(a＋1)－<(3－2a)－.
又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，
10分
解得
1．本题涉及到幂函数的单调性、奇偶性、图象等问题，解题的关键是准确把握幂函数的图象，实质上，抓住了幂函数的图象也就抓住了性质．
2．分类讨论思想．本题中依“a＋1,3－2a”是否在同一区间为分类标准，从而做到不重不漏，学习中应注意分类意识的培养．
课堂小结
1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x)图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．
当堂双基检测
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x
B．y＝x5
C．y＝5x
D．y＝(x＋1)3
【解析】 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
【答案】 B
2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝x
B．y＝x2
C．y＝x3
D．y＝x
【解析】 结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3及y＝x的图象可知，幂函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．
【答案】 B
3．若幂函数f(x)的图象经过点，则f＝________.
【解析】 设幂函数f(x)＝xα，则由题意可知
f(2)＝2α＝，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，∴f＝－2＝4.
【答案】 4
4．比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.5与1.6；(2)0.61.3与0.71.3；
(2)3.5－与5.3－；(4)0.18－0.3与0.15－0.3.
【解】 (1)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.5<1.6，∴1.5<1.6.
(2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6<0.7，∴0.61.3<0.71.3.
(3)∵幂函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，且3.5<5.3，∴3.5－>5.3－.
(4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18>0.15，∴0.18－0.3<0.15－0.3.
课后知能检测
一、选择题
1．下列函数中，定义域为R的是( )
A．y＝x－2
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝x－1
【解析】 对A，由y＝x－2＝，知x≠0；
对B，由y＝x＝，知x≥0；
对D，由y＝x－1＝，知x≠0.
故A，B，D中函数的定义域均不为R，从而选C.
【答案】 C
2．函数y＝x的图象大致是( )
【解析】 ∵函数y＝x在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，故排除选项A、D，又>1，故排除选项C.
【答案】 B
3．下列命题中正确的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图象不可能在第四象限
【解析】 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为两条射线，故A选项不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故选项B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x>0，α∈R时，y＝xα>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确．
【答案】 D
4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c
B．c>a>b
C．aD．b>c>a
【解析】 ∵函数y＝x在R上是减函数，又>，∴<，即a又∵函数y＝x在R上是增函数，且>，∴>，即c>b，∴a【答案】 C
图2－3－3
5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是递减的，且f(－2)＝0，如图2－3－3所示，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
【解析】 由图可得在(－∞，0)上，f(x)<0的解集为(－2,0]．因为f(x)为偶函数，所以x的取值范围为(－2,2)．
【答案】 D
二、填空题
6．函数y＝x－2在区间上的最大值为________．
【解析】 ∵函数y＝x－2在上是减函数，
故该函数在上的最大值为－2＝4.
【答案】 4
7．设α∈，则使y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．
【解析】 当α＝－1或α＝时，所得幂函数的定义域不是R；
当α＝1或α＝3时，所得幂函数的定义域为R且为奇函数．
【答案】 {1,3}
8．幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝－27的x值等于________．
【解析】 设f(x)＝xα，由题意可知2α＝，α＝－3，即f(x)＝x－3.
由x－3＝－27可知x＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．(2014·济南高一检测)已知函数y＝(m2－3m＋3)x－1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性．
【解】 由题意得m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0.∴m＝1或m＝2.
当m＝2时，y＝x，定义域为R，
y＝x在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数．
当m＝1时，y＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
由于y＝x－＝＝，∴函数y＝x－为偶函数．
又－<0，∴y＝x－在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
10．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)图象上，当x为何值时，有
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)【解】
设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0,1)时，f(x)11．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0且a≠1)．
(1)由5＝2＋3，请你探究g(5)能否用f(2)，g(2)，f(3)，g(3)来表示；
(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广．
【解】 (1)∵g(5)＝，
而f(2)g(3)＋g(2)f(3)＝·＋·
＝(a5＋a－a－1－a－5＋a5－a＋a－1－a－5)＝(a5－a－5)，
∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由(1)可得g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明：f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋·
＝(ax＋y＋ay－x－ax－y－a－y－x＋ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y)
＝(ax＋y－a－x－y)＝g(x＋y).2.3
幂函数
课前预习
·
预习案
【温馨寄语】
你是花季的蓓蕾，你是展翅的雄鹰，明天是你们的世界，一切因你们而光辉
【学习目标】
1．能熟练利用幂函数的图象和性质解决相关的综合问题.
2．结合函数，，，，的图象，了解它们的变化情况.
3．通过实例了解幂函数的概念.
【学习重点】
幂函数的图像和性质
【学习难点】
幂函数的图像和性质
【自主学习】
1．幂函数的概念
(1)解析式为：
(其中为常数).
(2)自变量是：
.
2．常见的五种幂函数的图象与性质
幂函数
图象
定义域
__________
__________
__________
________
__________
值域
__________
_________
__________
__________
__________
奇偶性
__________
__________
__________
__________
__________
单调性
__________
__________
__________
_________
__________
过定点
____________________________
【预习评价】
1．下列函数中不是幂函数的是
A.
B.
C.
D.
2．幂函数是二次函数，则
A.1
B.4
C.2
D.3
3．已知，，则
.
4．幂函数的定义域为
，其奇偶性是
.
5．幂函数在(0，+∞)上是减函数，则的取值范围是
.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．幂函数的解析式
根据幂函数的解析式，完成下列填空，并明确其具有的三个结构特征：
(1)特征1：自变量在
位置，且只能是而不能为关于的代数式.
(2)特征2：指数位置为
，不含变量.
(3)特征3：的系数是
.
2．幂函数的图象和性质
根据幂函数为常数)的解析式及当到不同范围内值时在第一象限的图象的特征，思考下列问题：
(1)观察上面的图象，①当时图象都经过定点
，
.
②当时，图象经过定点
.
(2)观察上面的幂函数图象，分析幂函数在区间(0，+∞)上为增函数时，满足的条件是什么？在区间(0，+∞)上为减函数时，满足的条件是什么？
3．幂函数的图象和性质
幂函数中，令(其中，).讨论，的取值是如何影响函数的奇偶性的？
【教师点拨】
1．对幂函数解析式的说明
(1)定义中所说的形如为常数)的形式一般来说是不可改变的，否则就不是幂函数.
(2)解析式中的指数是常数.
2．对幂函数图象与性质的三点说明
(1)定点：所有幂函数的图象均过定点(1，1).
(2)单调性：当时，在区间(0，+∞)上是增函数；当时，在区间(0，+∞)上是减函数.
(3)图象特征：当时在区间(0，+∞)上增加得越来越快；当时在区间(0，+∞)上增加得比较缓慢.
【交流展示】
1．在，，，四个函数中，幂函数有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2．已知是幂函数，求，的值.
3．如图所示的曲线是幂函数的第一象限的图象，已知，相应于曲线，，，的值依次为
A.
B.
C.
D.
4．已知幂函数的图象过点，试求出该函数的定义域、单调区间、奇偶性.
5．若 ，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
6．把，，，，按从小到大的顺序排列
.
【学习小结】
1．幂函数的判断方法
(1)看形式：判断一个函数是否是幂函数，关键看解析式是否符合为常数)这一结构形式.
(2)明特征：幂函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是幂函数.
2．求幂函数解析式的依据及常用方法
(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.
(2)常用方法：设幂函数解析式为，根据条件求出.
3．幂函数图象的画法
(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据的取值，确定幂函数在第一象限内的图象.
(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数在其他象限内的图象.
4．求幂函数中含参数问题的三个步骤
【当堂检测】
1．已知函数为幂函数，求其解析式.
2．比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与.
(2)
与.
(3)
与.
答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．(1)y＝xa (2)x
2．R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R [0，＋∞) R [0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0} 奇 偶 奇
非奇非偶 奇 增 x∈[0，＋∞)增，x∈(－∞，0)减 增 增 x∈(0，＋∞)减，x∈R(－∞，0)减 (1，1)
【预习评价】
1．D
2．B
3．-1
4．(0，＋∞) 非奇非偶函数
5．a＞2
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)底数 (2)常数α (3)1
2．(1)①(0，0) (1，1) ②(1，1)
(2)当α＞0时，y＝xa在(0，＋∞)上为增函数.
当α＜0时，y＝xa在(0，＋∞)上为减函数.
3．当p，q都为奇数时，幂函数y＝xa(α为常数)为奇函数；当p为奇数，q为偶数时，幂函数y＝xa(α为常数)为偶函数.
【交流展示】
1．B
2．由题意得
解得
所以m＝－3，.
3．B
4．因为，所以，
即，所以.
由，得x≠0，
所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
又因为，
所以f(x)是偶函数.
因为，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上是增函数.
故f(x)的单调减区间为(0，＋∞)，增区间务(－∞，0).
5．C
6．
【当堂检测】
1．因为为幂函数，所以m2－3m＋3＝1，
解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数解析式为；
当m＝2时，幂函数解析式为.
2．(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又，所以.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又，所以.
(3)因为函数力为减函数，
又，所以，
又因为函数在(0，＋∞)上是增函数，且，所以，所以.