3.1.1
方程的根与函数的零点
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.
(
)（2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.
(
)2．过程与方法
(
)由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.
(
)难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.
(
)（三）教学方法
(
)在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
观察下列三组方程与函数方
程函
数x2–2x–3
=
0y=x2–2x–3x2–2x+1
=
0y=x2–2x+1x2–2x+3
=
0y=x2–2x+3利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系
师生合作
(
)师：方程x2
–
2x
–3
=
0的根为–1，3函数y
=
x2
–
2x
–
3与x轴交于点(–1，0)
(3，0)
(
)生：x2
–
2x
+
1
=
0有相等根为1.
(
)函数y=
x2
–
2x
+
1与x轴有唯一交点
(1，0).
(
)x2
–
2x
+
3
=
0没有实根
(
)函数y
=
x2
–
2x
+
3与x轴无交点
以旧引新，导入课题
概念形成
1.零点的概念
(
)对于函数y=f
(x),称使
y=f
(x)=
0的实数x为函数
y=f
(x)的零点
(
)2.函数的零点与方程根的关系
(
)方程f
(x)
=
0有实数根函数
(
)y
=
f
(x)的图象与x轴有交点函数y
=
f
(x)的零点
(
)3.二次函数零点的判定
(
)对于二次函数y
=
ax2
+
bx
+
c与二次方程ax2
+
bx
+
c，其判别式△=
b2
–
4ac判别
(
)式方程ax2
+
bx
+
c
=
0的根函数y
=
ax2
+
bx
+
c的零点△＞0两不相等实根两个零点△=0两相等实根一个零点△＜0没有实根0个零点
师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义
(
)师：考察函数①y
=
lgx
(
)②y
=
lg2(x
+
1)
③y
=
2x
(
)④y
=
2x
–
2的零点
(
)生：①y
=
lgx的零点是x
=
1
(
)②y
=
lg2(x
+
1)的零点是x=0
(
)③y
=
2x没有零点
(
)④y
=
2x
–
2的零点是x
=
1
归纳总结
(
)感知概念
(
)分析特征
(
)形成概念
概念深化
引导学生回答下列问题
(
)①如何求函数的零点？
(
)②零点与图象的关系怎样？
师生合作，学生口答，老师点评，阐述
(
)生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根
(
)②零点即函数图象与x轴交点的横坐标
(
)③求零点可转化为求方程的根
以问题讨论代替老师的讲援
应用举例
练习1.求函数y
=
–x2
–
2x
+
3的零点，并指出y＞0，y
=
0的x的取值范围练习2.求函数y
=x3
–
2x2
–
x
+
2的零点，并画出它的图象练习3.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）
–x2+3x+5
=
0；（2）2x
(x–2)
=
–3；（3）x2
=
4x
–
4；（4）5x2+2x=3x2+5.
学生自主尝试练习完成练习1、2、3生：练习1解析：零点–3，1x∈(–3，1)时y＞0时y＜0练习2解析：因为x3–2x2–x+2
=
x2
(x
–
2)
–
(x
–
2)
=
(x–2)
(x2–1)
=
(x
–
2)
(x
–
1)
(x
+
1)，所以已知函数的零点为–1，1，2.3个零点把x轴分成4个区间：，[–1，1]，[1，2]，在这4个区间内，取x的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表：x…–1.5–1–0.500.511.522.5…y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示练习3解析：（1）令f
(x)
=
–x2
+
3x
+
5，作出函数f
(x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程–x2
+
3x
+
5
=
0有两个不相等的实数根.（2）2x
(x
–
2)
=
–3可化为2x2–4x+3=0令f
(x)
=
2x2–4x+3作出函数f
(x)的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x
(x
–
2)
=
–3无实数根（3）x2
=
4x
–
4可化为x2
–
4x
+
4
=
0,令f
(x)
=
x2
–
4x
+
4，作出函数f
(x)的图象，它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2
=
4x
–
4有两个相等的实数根（4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2
+
2x
–
5
=
0，令f
(x)
=
2x2
+
2x–5，作出函数f
(x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根师：点评板述练习的解答过程
让学生动手练习或借助多媒体演示，加深对概念的说明，培养思维能力
归纳总结
（1）知识方面零点的概念、求法、判定（2）数学思想方面函数与方程的相互转化，即转化思想借助图象探寻规律，即数形结合思想
学生归纳，老师补充、点评、完善
回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力
课后作业
3.1
第一课时
习案
学生独立完成
固化知识，提升能力
备选例题
例：已知a∈R讨论关于x的方程|x2
–
6x
+
8|
=
a的实数解的个数.
【解析】令f
(x)
=
|x2
–
6x
+
8|，g
(x)
=
a，在同一坐标系中画出f
(x)与g
(x)的图象，如图所示，
f
(x)
=
|
(x
–
3)2
–
1|，
下面对a进行分类讨论，由图象得，
当a＜0时，原方程无实数解；
当a
=
0时，原方程实数解的个数为3；
当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；
当a＞1或a
=
0时，原方程实数解的个数为2.3.1.1方程的根与函数的零点教学设计
教学内容解析
《方程的根与函数的零点》是人教A版必修一第三章《函数的应用》第一节的内容.必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数.本章是函数应用问题，主要分为两个层面：（1）数学学科内部应用，如方程的根与函数的零点的关系，可以通过函数方程思想，及数形结合思想，获得函数的零点的具体取值或零点所在的区间.零点存在性定理的引入，为一些超越方程的近似解提供了求解方案.（2）生活中的应用.通过建立函数模型来解决相应问题，使之前一、二章所学内容与生活紧密联系起来，感受数学在生活中的重要性.
本节课根据学生已经掌握的函数的内容，从初中二次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念.进一步，通过对函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课.本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用.
二、教学目标设置
1．知识与技能：（1）理解函数零点的定义；（2）掌握零点存在区间的判断方法.
2.
过程与方法：（1）由特殊的一元二次方程的根与相应二次函数的关系，推广到一般方程与函数的
关系；（2）由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况；（3）由学生自主探究得到零点存在区
间的判断方法.
3.
情感、态度、价值观：（1）在学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；（2）感
受学习、探索、发现的乐趣.
教学重点：函数零点与方程根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识.
教学难点：理解函数零点存在的判定条件.
三、学生学情分析：
通过前面的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础.但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，它的证明需要用到《数学分析》中的连续函数的有关概念、区间套定理和局部保号定理，高中学生没有这个知识基础，因此高中学生学习这个知识只能通过一些特殊函数去探究.在探究过程中要突破三个关节点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二是如何想得到：当函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线时，连接两个端点的曲线经过轴（次数不限），即曲线与轴一定有公共点（个数不限），可以用来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度.为此，在教学中要从具体函数和几何直观入手，给学生搭建脚手架，让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点.
所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，自主探究，获得了一般性的结论的过程.
四、教学策略分析
1.教学方法的选定
在教学中，这节课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法.在教学手段上，充分利用
了多媒体及实物投影，发挥了教师的主导作用，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体.
在零点概念的教学上，我充分利用了
“由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二
次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广.而在零点存在性定理的教学中，
我主要采用了“启发－探究－讨论”的模式，找到问题讨论的切入点后，将学生分成小组充分进行讨
论，在思维上通过学生之间的质疑，产生火花，进而生成了定理的内容.这样的讲解，自然且易于理
解.
2.突破重、难点的策略
对于函数零点概念的引入，学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，为新知识提供“停靠点”.把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分.
探究函数零点存在性定理是本课的难点.为突破这一难点，本节先利用例1（4）的变式引出定理的必要性，即不是所有的函数都可以直接求出零点，所以我们有必要掌握零点存在区间的判断方法.而通过例1（4）的解决方法，由特殊到一般，过渡到对于一般的函数，，若在开区间内一定存在零点，应满足什么条件？学生很容易找到切入点，即讨论端点函数值的符号.之后通过分组讨论获得定理，这个过程体现了定理的合理性.这样的引入，会让学生感觉更加的自然，由此产生的讨论，使定理的生成过程更加的水到渠成.
五、教学过程
教学活动
教师活动
学生活动
设计意图
一．创设情境，提出问题
以短版形式讲述解方程的历史，而后出示引例：这样的超越方程的根应如何求解？给出具体的三个一元二次方程及相应的二次函数填表.提出问题：方程的根与函数的图象有什么联系？通过追问，引导学生准确回答二者的关系.继续追问：上述结论是否可以推广到一般的一元二次方程与二次函数关系上？再次追问：上述结论是否可以推广到一般方程与函数的关系上？
学生积极思考，认真填表，利用实物投影分享结果.回答出方程的根与函数图象和x轴交点的横坐标相等.学生思考，类比，归纳.
通过对数学史的了解增加民族自豪感，激发学生的求知欲.体会方程的根与函数图象的联系，为零点概念的引出做好铺垫.由特殊到一般，感受零点产生的过程，使零点不再抽象，而是更加具体形象，便于零点概念的理解.
二、概念引入
1.总结零点概念，提问：零点是点么？
2.概括零点的意义3.零点求法：（1）代数法（2）几何法
理解、归纳
三、概念应用
给出4
个例题，其中前3个为代数解法，最后一个为几何解法.
独立完成，并于台前展式.其中（4）题共有两种求解思路.
通过例题的设置，加深零点求法，求解过程体现了函数方程思想及数形结合思想.
四、自主探究
提出问题：函数的零点已直接求出，但是不是所有的函数零点都可以在不借助信息技术的条件下，准确求出？追问：的零点取值情况怎样？
学生思考、质疑.师生共同探究，发现不可直接获得其零点.
引导：像这样的函数，我们不能直接获得其零点，所以我们更加观注其零点所在区间.例如在[－1，1]上是否存在零点，只从解析式出发，如何判断？
推广：对于函数，，若在开区间内一定存在零点，应满足什么条件？巡视指导，适时点拨组织展示，评价追问
学生思考，分析可利用的条件，计算出端点函数值，判断其符号，结合图象连续，得到图象必穿过x轴的结论.学生分小组讨论：探究1：（1）（2）（3）探究2：在（2）的条件下，存在零点的个数唯一么？怎样可使零点唯一？零点个数最少有几个，最多有几个？探究3：(2)的结论可逆么？各小组积极参与，并派代表到前面总结，在讨论过程中，不断的质疑，产生思维的火花，使学生成为课堂的主体.
通过具体问题的探究，为零点存在性定理讨论的引出进行了铺垫.
由特殊到一般，学生很容易找到问题讨论的切入点：即利用端点函数值的符号进行分类，使得问题的引入更加自然.通过以上学生们的讨论，使得零点存在性定理的生成水到渠成.
五、定理应用
例2
判断函数的零点个数.变式：函数的零点所在区间为（
B
）(A)
(B)
(C)
(D)
学生积极思考，独立完成，并利用实物投影讲解答题过程.
六、反思总结
引导学生回顾整个探究过程，生成数学知识：一个概念、一种关系和一个定理.数学思想方法
反思探究过程中，归纳蕴含的数学思想方法一、数学知识方面1.函数零点的概念（1）定义：对于函数，使方程的实数叫做函数的零点（zero
point）.（2）方程有实数根函数图象与轴有交点函数有零点2.零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间上存在零点，即存在，使得，这个就是的根.二、数学思想方法方面函数与方程思想数形结合思想
反思核心任务的解决过程，归纳提升知识、方法.学生亲身经历核心任务的解决过程，体验所蕴含的思想方法，生成一个概念、一种关系和一个定理，符合学生的认知规律.
六、板书设计
§3.1.1
方程的根与函数的零点
一、函数零点的概念
1.定义
2.方程有实数根函数图象与轴有交点函数有零点
3.零点的求法：代数法、几何法
数形结合思想、函数与方程思想
二、零点存在性定理
三、例题解析
例1（4）
………………………………………………………………………………
………………………………………
例2
………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………“方程的根与函数的零点”
【教学目标】
一、知识与技能
1、通过探索一元二次方程的实根与二次函数图象之间的关系，让学生领会方程的根与函数零点之间的联系，了解零点的概念.
2、以具体函数在某区间上存在零点的特点，探索在某区间上图象连续的函数存在零点条件以及个数，理解并掌握在某个区间上图象连续的函数零点存在的判定方法.
二、过程与方法
1、采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件。
2、在课堂探究中渗透由特殊到一般的认识规律，渗透数形结合思想及转化思想以及函数与方程的思想，培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括能力.
三、情感、态度、价值观
努力营造平等、民主的课堂气氛，以学生为主体，营造学习氛围，使学生产生热爱学习数学的积极心理，引导学生进行积极主动的学习，培养良好的数学学习情感.
在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．从易到难，使学生体会到学习数学的成功感，体验规律发现的快乐．
【教学重点】
1、体会函数的零点与方程根之间的联系；
2、掌握函数零点存在的判定方法.
【教学难点】
函数零点存在的判定方法及其运用.
【教学方式与手段】
电脑，多媒体，黑板．
【教学过程设计】
（一）设问激疑，引出新知
方程解法史话：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.对于方程的求解问题，古今中外的数学家已经作了大量的工作，取得辉煌的成果，比如花拉子米公元825年左右编辑著成了《代数学》，比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理；我国南宋数学家秦九绍在《数书九章》中提出了“正负开方术”，此法可以求出任意次代数方程的正根；1824年，挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。随着计算机技术的发展，方程的数值解法得到了广泛的运用，如二分法，牛顿法、弦截法等，今天我们将沿着前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法.
【设计意图：了解数学史，激发学生学习兴趣。】
问题1
求下列方程的根．
（1）；
（2）；
（3）.
问题2
观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标。
方
程
函
数
函
数图
象（简图）
方程的实数根
函数的图象与轴的交点
提出疑问：方程的根与函数图象与轴交点的横坐标之间有什么关系？
结论：方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标。
问题3
若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
方
程
的
根
函数的图象（简图）
图象与x轴的交点
【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。】
总结归纳，形成概念
函数的零点：
对于函数y=f（x），我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
辨析练习：函数的零点是：（
）
A．（-1，0），（3，0）；
B．x=-1；
C．x=3；
D．-1和3．
问：零点是一个点吗？
说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．
【设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．】
2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？
等价关系：方程f（x）=0有实数根
函数y=f（x）的图象与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】
3、归纳函数的零点与方程根的关系
函数的零点与方程的根有什么联系和区别？
联系：（1）数值上相等：求函数零点就是求方程的根.
（2）存在性相同：函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．
【设计意图：进一步理解零点的概念，灵活运用三者之间的关系。以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．】
（三）初步运用，示例练习
例1：求函数的零点。
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点
变式练习：求下列函数的零点。
(1)；
（2）
【设计意图：让学生再次认识零点的概念,熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．】
实例探究,发现定理
重温《小马过河的故事》
问题4：观察下列三组画面，请你推断哪组画面一定能说明小马已经成功过河？
①
②
③
【设计意图：通过形象的生活问题，为引出函数零点存在性定理做准备.】
问题5：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？
观察下面函数的图象
1、在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
2、在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
3、在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
函数零点存在性定理：
如果函数在区间[]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（）内有零点，即存在，使得.这个也就是方程的根。
【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手，引导学生结合函数图象，通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系。总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。】
定理辨析与灵活运用：
练习：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例。
（1）已知函数在区间[]上连续，且，则f(x)在区间（）内有且仅有一个零点.
（
）
（2）已知函数在区间[]上连续，且，则f(x)在区间（）内没有零点.
（
）
（3）已知函数在区间[]上连续，且在区间（）内存在零点，则有。
（
）
（4）已知函数在区间[]
满足，则f(x)在区间（）内存在零点.
（
）
函数零点存在定理的四个注意点：
（1）函数是连续的。
（2）定理不可逆。
（3）至少存在一个零点，不排除更多。
（4）在零点存在性定理的条件下，如果函数具有单调性，函数y=f(x)在区间(a,b)
上存在唯一零点。
【设计意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解。】
（五）观察感知，例题学习
例2（教材第88页）求函数的零点个数。
（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象．
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4.0
-1.3
1.1
3.4
5.6
7.8
9.9
12.1
14.2
由表或图象可知，f
(2)<0，f
(3)>0,则f
(2)
f
(3)<0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点．
又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．
解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：
f(x)
－
－
＋
＋
x
1
2
3
4
结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．
解法3（函数交点法）：将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．
由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．
【设计意图：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．解法3作为选讲内容，视学生基础而定。】
试一试：你能判断出方程
实数根的个数吗？
【设计意图：学以致用，练习强化学生的解题能力。】
小结：函数零点的求法.
①
代数法：求方程的实数根；
②
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
口诀：函数零点方程根，形数本是同根生。是否存在端点判，函数连续要记清。
【设计意图：归纳总结函数零点的求法，通过口诀加深对本节内容的理解记忆。】
基础检测
1.
函数的零点个数为（
）.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2.若函数在上连续，且有．则函数在上（
）.
A.
一定没有零点
B.
至少有一个零点
C.
只有一个零点
D.
零点情况不确定
3、方程的一个实数解的存在区间为（
）
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(-1,1)
D.(1,2)
4.
函数的零点为
.
5.
若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点．则的零点个数为
.
能力提升（可供学生课外做作业）
6.
已知函数.
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.
思考题：方程在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．
【设计意图：练习强化学生解题能力，并利用拓展延伸对于零点存在取件进一步精确化，为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．】
反思小结,提升能力
学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来！
1．函数零点的定义
2．等价关系
函数Y=f(x)的零点
函数Y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标
方程f(x)＝0实数根
3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断
【设计意图：引导学生从知识和数学思想上去归纳总结.让学生对本节课有个完整的,系统的认识.培养他们的概括能力,同时也对本节课起到反馈的作用.及时评价与反馈,注重个体差异性.】
（七）板书设计
a
b
c
x
y
O
d
6
O
x
y
2
1
3
4
g(x)
h(x)
方程的根与函数的零点
函数的零点：
等价关系：
零点存在定理：
自由书写区域3.1.1方程的根与函数的零点
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习
·
预习案
【温馨寄语】
高尚的理想是人生的指路明灯。有了它，生活就有了方向；有了它，内心就感到充实。迈开坚定的步伐，走向既定的目标吧!
【学习目标】
1．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.
2．掌握判断函数零点的方法.
3．了解函数零点的概念,领会函数零点与相应方程的根的关系.
【学习重点】
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识
【学习难点】
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解
【自主学习】
1．一元二次方程的根与二次函数的图象的关系(以为例)：
请观察所给的三个二次函数的图象,完成下表：
图(1)
图(2)
图(3)
二次函数图象与轴交点的个数
2
1
0
方程实数根的个数
___________
___________
0
二次函数零点的个数
___________
___________
___________
方程的判别式
___________
___________
方程的根
,__________
___________
无实根
2．函数的零点
对于函数把使的实数
叫做函数的零点.
3．方程的根、函数的零点、函数图象之间的关系
方程有实根函数的图象与轴有
函数有
.
4．函数零点的判断
(1)条件：
函数在上,
①图象是
的一条曲线.
②
0.
(2)结论：
在区间内有
,即存在使得
.
【预习评价】
1．函数的零点是
A.1
B.2
C.4
D.-2
2．函数的零点个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
3．函数的零点所在的区间是
A.(1,2)
B.(-1,-2)
C.(0,1)
D.(-1,0)
4．函数的零点为
.
5．已知函数的图象与轴有三个不同的交点,则函数有
个零点.
6．已知函数在区间(2,5)上是减函数,且图象是一条连续不断的曲线,则函数在区间(2,5)上零点的个数是
.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．函数的零点
结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),思考是否所有的函数都有零点？并说明理由.
2．函数零点的判断
根据函数零点的判断依据,若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且那么函数在区间内存在零点.探究以下问题：
(1)若那么函数在区间内一定没有零点吗？
(2)若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数在区间内有零点一定有吗？
(3)若函数在区间上的图象不是连续不断的一条曲线,满足.那么函数在区间内有唯一零点的条件是什么？
【教师点拨】
1．对函数零点的两点说明
(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.
(2)由于函数的零点就是方程的实根,因此判断函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程是否有实根,有几个实根.
2．对函数零点判断的两点说明
(1)当函数同时满足：
①函数的图象在闭区间上是连续曲线；
②则可以判断函数在区间内至少有一个零点.
(2)当函数的图象在闭区间上不是连续曲线或不满足时,函数在区间内可能存在零点,也可能不存在零点.
【交流展示】
1．函数的图象与轴的交点坐标及其零点分别是
A.2；2
B.(2，0)；2
C.-2；-2
D.(-2，0)；-2
2．函数的零点是
A.±3
B.(3，0)和(-3，0)
C.3
D.-3
3．若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是
A.若，则不存在实数使得
B.若，则存在且只存在一个实数使得
C.若，则有可能存在实数使得
D.若，则有可能不存在实数使得
4．设函数的零点为，则所在区间是
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
5．函数的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数的限值范围是
.
6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求的取值范围.
【学习小结】
1．求函数零点的两种方法
(1)代数法：求相应方程的实数根.
(2)几何法：对于方程的根不易求解时,或者只探究函数零点的个数问题,可以通过将方程的根转化为函数的图象与轴交点的横坐标问题.
2．判断函数存在零点的三种方法
(1)方程法：若方程的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.
(2)图象法：由得在同一坐标系内作出
和的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.
(3)定理法：函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线,由
即可判断函数在区间内至少有一个零点.若函数在区间上是单调函数,则函数在区间内只有一个零点.
【当堂检测】
1．若函数有一个零点为2，那么函数的零点是
A.
B.
C.0，2
D.
2．函数有零点的区间是
A.(-2，-1)
B.(-1，0)
C.(1，2)
D.(2，3)
3．函数的零点的个数是
.
4．函数的两个零点是2和3，求函数的零点.
5．若函数没有零点，求实数取值范围.
答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．2个不等实根 2个等根 2 1 0,
Δ＝0 Δ＜0
2．x
3．交点 零点
4．(1)①连续不断 ②＜
(2)零点 f(c)＝0
【预习评价】
1．B
2．A
3．D
4．1,－2,3
5．3
6．1
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．不一定.因为函数的零点就是方程的根,但不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点.如：指数函数,其图象都在x轴的上方,与x轴没有交点,故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点.
2．(1)不一定.如y＝x2－1在区间(－2,2)上有两个零点,但f(2)·f(－2)＞0.
(2)不一定.可能有f(a)·f(b)≥0.
(3)函数y＝f(x)在区间(a,b)内单调.
【交流展示】
1．B
2．A
3．C
4．B
5．
6．m的取值范围为
【当堂检测】
1．A
2．C
3．2
【解析】由y＝1nx：与的图象如图，可知有两个交点.
4．由题意知方程x2－ax－b＝0的两根分别为2和3，所以a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1.由－6x2－5x－1＝0，得，.
所以函数g(x)的零点是，.
5．由题意令，函数的图象如图.
函数f(x)没有零点，即直线y＝a与函数的图象没有交点，观察图象可知，此时a＜0.故a的取值范围为(－∞，0).3.1.1
函数零点的存在性定理
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间.
(
)2．过程与方法
(
)经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：掌握零点存在性定理并能应用.
(
)难点：零点存在性定理的理解
(
)（三）教学方法
(
)通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习回顾提出问题
1．函数零点的概念
(
)2．函数零点与方程根的关系
(
)3．实例探究
(
)已知函数y=
x2+4x–
5，则其零点有几个？分别为多少？
生：口答零点的定义，零点与根的关系
(
)师：回顾零点的求法
(
)生：函数y=
x2+4x–
5的零点有2个，分别为–5，1
回顾旧知，
(
)引入新知
示例探究引入课题
1．探究函数y
=
x2
+
4x
–
5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系
师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数.
(
)生：零点–5∈(–6，–4)
(
)零点1∈(0，2)
(
)且f
(–6)·f
(–4)＜0
(
)f
(0)·f
(2)＜0
(
)师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间.
(
)①f
(x)
=
2x
–
1，
(
)②f
(x)
=
log2(x
–
1)
(
)生：函数f
(x)
=
2x
–
1的零点为且f
(0)
f
(1)＜0.
(
)函数f
(x)
=
log2(x
–
1)的零点为2∈(1，3)且f
(1)
f
(3)＜0
由特殊到一般，归纳一般结论，引入零点存在性定理
发现定理
零点存在性定理
(
)如果函数y
=
f
(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f
(a)·f
(b)＜0那么，函数y
=
f
(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f
(c)
=
0这个c也就是方程f
(x)
=
0的根
师生合作分析，并剖析定理中的关键词
(
)①连续不断
(
)②f
(a)·f
(b)＜0
(
)师：由于图象连续不断，
(
)若f
(a)＞0，f
(b)＜0，则y
=
f
(x)的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点
形成定理，分析关键词，了解定理.
深化理解
定理的理解
(
)（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点
(
)（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号
(
)（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数
师：函数y
=
f
(x)
=
x2
–
ax
+
2在(0，3)内，①有2个零点.
(
)②有1个零点，分别求a的取值范围.
(
)生：①f(x)在(0，1)内有2个零点，则其图象如下
(
)
(
)则
(
)②f(x)在(0，3)内有1个零点
(
)则
通过实例
(
)分析，从而进一步理解
(
)定理，深化
(
)定理.
应用举例
例1
求函数f
(x)
=
lnx
+
2x
–
6的零点的个数.
师生合作探求解题思路，老师板书解答过程
(
)例1
解：用计算器或计算机作出x，f
(x)的对应值表和图象.x12345f
(x)–4–1.03691.09863.38635.6094x6789f
(x)7.79189.945912.079414.1972
(
)由表和图可知，f
(2)＜0，f
(3)＞0，则f
(2)·
f
(3)＜0，这说明函数f
(x)在区间(2，3)内有零点.由于函数f
(x)在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点.
师生合作交流，体会定理的应用
练习巩固
练习1.利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f
(x)
=
–x3
–3x
+
5；（2）f
(x)
=
2x·ln(x
–
2)
–
3；（3）f
(x)
=ex–1
+
4x
–
4；（4）f
(x)
=
3
(x
+
2)
(x
–
3)
(x
+
4)
+
x.
学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题.练习1解：（1）作出函数图象，因为f
(1)
=
1＞0，f
(1,5
)
=
–2.875＜0所以f
(x)
=
–x3
–3x
+
5在区间(1，1.5)上有一个零点.又因为
f(x)是上的减函数，所以f(x)
=
–x3
–3x
+
5在区间(1，1.5)上有且只有一个零点.（2）作出函数图象，因为f(3)＜0，f(4)＞0，所以f(x)=2x·ln(x–2)
–3在区间(3，4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x–2)
–3在上是增函数，所以f(x)
在上有且仅有一个(3，4)上的零点（3）作出函数图象，因为f(0)＜0，f(1)＞0，所以f
(x)
=ex–1
+
4x
–
4在区间(0，1)上有一个零点又因为f(x)
=ex–1
+
4x
–
4在上是增函数，所以f(x)在上有且仅有一个零点.（4）作出函数图象，因为f
(–4)＜0，f
(–3)＞0，f
(–2)＜0，f
(2)＜0，f
(3)＞0，所以f
(x)
=
3
(x
+
2)
(x
–
3)
(x
+
4)
+
x在(–4，–3)，(–3,
–2)，(2，3)上各有一个零点.
尝试学生动手模仿练习，老师引导、启发，师生合作完成问题求解，从而固化知识与方法，提升思维能力.
归纳总结
1．数形结合探究函数零点2．应用定理探究零点及存在区间.3．定理应用的题型：判定零点的存在性及存在区间.
学生总结师生完善补充
学会整理知识，培养自我归纳知识的能力
课后练习
3.1第二课时
习案
学生自主完成
整合知识，提升能力
备选例题
例1
已知集合A
=
{x∈R|x2
–
4ax
+
2a
+
6
=
0}，B
=
{
x∈R|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.
【解析】设全集U
=
{a|△=
(–4a)2
–
4
(2a
+
6)≥0}
=
=
若方程x2
–
4ax
+
2a
+
6
=
0的两根x1，x2均非负，则
因为在全集U中集合的补集为{a|a≤–1}，所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}.
例2
设集合A
=
{x
|
x2
+
4x
=
0，x∈R}，B
=
{x
|
x2
+
2
(a
+
1)
x
+
a2
–
1
=
0，
x∈R}，若A∪B
=
A，求实数a的值.
【解析】∵A
=
{x
|
x2
+
4x
=
0，x∈R}，∴A
=
{–4，0}.
∵A∪B=A，∴BA.
1°当B
=
A，即B
=
{–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得
2°当B=，即方程x2
+
2
(a
+
1)x
+
a2
–1
=
0无实解.
∴△=
4
(a
+
1)2
–
4
(a2
–
1)
=
8a
+
8＜0.
解得，a＜–1.
3°当B
=
{0}，即方程x2
+
2(a
+
1)x
+
a2
–
1
=
0有两个相等的实数根且为零时，
4°当B
=
{–4}时，即需
无解.
综上所述，若A∪B=A，则a≤–1或a
=
1.
3
y
x
O
