3.1.2用二分法求方程的近似解
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习
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预习案
【温馨寄语】
朝霞般美好的理想，在向你们召唤。你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里!
【学习目标】
1．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解.
2．让学生初步了解逼近思想，体会数学逼近过程，感受精度与近似的相对统一.
3．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.
【学习重点】
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识
【学习难点】
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解
【自主学习】
1．二分法的定义
(1)满足条件：
①在区间上的图象
.
②在区间端点的函数值
.
(2)操作过程：
把波函数的零点所在的区间不断地
，使区间的两个端点逐步逼近
，进而得到零点的近似值.
2．二分法的步骤
(1)验证：确定区间，验证
，给定精确度.
(2)求中点：求区间的中点.
(3)计算：①若，则
就是函数的零点；
②若，则令(此时零点
)；
③若，则令(此时零点
).
(4)判断：若
，则得到零点近似值(或)；否则重复(2)～(4).
【预习评价】
1．用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是
A.
B.
C.
D.
2．已知，用二分法求方程的近似解时，在下列哪一个区间内至少有一个解
A.(-3，-2)
B.(0，1)
C.(2，3)
D.(-1，0)
3．用二分法求方程在区间[0，1]上的近似解时，经计算，，，，即得到方程的一个近似解为
(精确度为0.1).
知识拓展
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探究案
【合作探究】
1．二分法的定义
图中函数在区间上的零点是否可以用二分法求解？
2．二分法的定义
用二分法求函数的近似零点，采用什么方法能进一步缩小零点所在的区间？
3．二分法的定义
用二分法求函数的零点时，决定二分法步骤结束的条件是什么？
4．用二分法求方程的近似解
如图为函数，的图象，根据图象回答下列问题：
(1)方程的解与函数与的交点坐标有何关系？
(2)用二分法求方程在区间上的近似解的步骤是什么？
【教师点拨】
1．对二分法定义的两点说明
(1)二分法就是通过不断地将零点所在区间一分为二，逐步逼近零点的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示函数的零点.
(2)二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用.
2．精确度与计算次数即等分区间次数的关系
精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定，若初始区间是，那么经过次取中点后，区间的长度是，只要这个区间的长度小于精确度，那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系，即，其中只取正整数.
3．用二分法求方程近似解的四个关注点
(1)解的近似性：所得的解一般是近似解.
(2)局限性：只能解决一部分函数的零点问题.
(3)精确度问题：精确度决定二分法的步骤次数.
(4)解的不唯一性：在最终的满足精确度的区间内的任意一个值都是满足要求的近似解，一般取左右端点值.
【交流展示】
1．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是
A.
B.
C.
D.
2．已知的图象是一条连续不断的曲线，且在区间内有唯一零点，用二分法求得一系列含零点的区间，这些区间满足：，若，则的符号为
A.正
B.负
C.非负
D.正、负、零均有可能
3．在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是(1，5)，精确度是0.1，则对区间(1，5)至多二等分的次数是
.
4．利用计算器或计算机用二分法求方程的一个正值近似解(精确度0.1).
【学习小结】
1．二分法的局限性
(1)二分法一次只能求一个零点.
(2)在内有零点时，未必成立，而这样的零点不能用二分法求解.
(3)二分法计算量较大，常要借助计算器完成.
2．利用二分法求函数零点必须满足的两个条件
(1)图象：函数图象在零点附近是连续不断的.
(2)函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反.
3．二分法求方程近似解的三个关注点
(1)有根区间的判断原则：每一次取中点后，若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解；若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间.
(2)知二求一：精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个.
(3)列表法：二分法求解过程中，每次取中点求值可以采用列表的方式，使计算步数明确，当区间长度小于精确度时，即为计算的最后一步.
【当堂检测】
用二分法求方程在(1，2)内近似解的过程中得，，，则方程的根所在的区间为
A.(1.25，1.5)
B.(1，1.25)
C.(1.5，2)
D.不能确定
答案
课前预习
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预习案
【自主学习】
1．(1)①连续不断 ②f(a)·f(b)＜0
(2)－分为二 零点
2．(1)f(a)·f(b)＜0 (3)①c ②(a，c)
③(c，b)
(4)|a－b|＜ε
【预习评价】
1．C
2．D
3．0.532(答案不唯一)
知识拓展
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探究案
【合作探究】
1．可以.因为该函数y＝f(x)满足二分法求函数零点的两个条件：①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)＜0.
2．可采用把区间一分为二即取中点的方法逐步缩小零点所在的区间.
3．根据二分法的步骤和题目精确度的要求，若出现f(c)＝0，则步骤结束，否则需要零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度ε时，二分法的步骤结束.
4．(1)方程f(x)＝g(x)的解就是函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的横坐标.
(2)①构造：令F(x)＝f(x)－g(x)；
②定区间：确定区间[a，b]，使F(a)·F(b)＜0；
③求解：用二分法求F(x)在区间[a，b]上的零点近似值.
【交流展示】
1．B
2．A
3．6
4．近似解可取为2.437
5.过程略
【当堂检测】A3．1函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；
(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解；
(3)培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及辨证思维的能力．
2．过程与方法
(1)通过对生产、生活实例的介绍，使学生体验逼近的思想和二分法的思想；
(2)通过具体实例和具体的操作步骤，体验算法的程序化思想．
3．情感、态度与价值观
(1)通过二分法的生活实例，使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣；
(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
●重点难点
重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点：对二分法概念的理解，精确度的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解．
重难点的突破：以李咏主持的幸运52猜商品价格创设情境，导入二分法，激发学生情趣的同时初步体会二分法的含义，并尝试总结二分法解决实际问题的步骤及隐含的思想——逼近思想，难点之一得以突破．在此基础上，提出问题：如何探寻方程在某一区间上的零点，引导学生借助零点存在性定理，类比案例分组协作，交流意见，归纳、总结利用“二分法”求方程的近似解的过程，基于二分法求解步骤的重复性，学生存在运算无限的茫然性，此时引出精确度的概念，化难为易，难点之二精确度的作用得以破解．
课前自主导学
课标解读
1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤．(重点)2．会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助求解．(重点)3．会用二分法思想解决其他的实际问题．(难点)
知识1
二分法的定义
【问题导思】
在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在800元～1200元之间的一款手机，选手开始报价：
选手：1000.
主持人：低了．
选手：1100.
主持人：高了．
选手：1050.
主持人：祝贺你，答对了．
1．主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？
【提示】 [1000,1200]．
2．选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？
【提示】 报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值．
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【问题导思】
在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？
【提示】 竞猜过程归结为：设原价为x，则(1)给定价格区间[a，b]；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)若c>x，则在区间(a，c)内竞猜；若c给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)，
若f(c)＝0，则c就是零点；
若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4).
课堂互动探究
类型1
二分法的定义
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【思路探究】
【自主解答】 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.
【答案】 B
判断一个函数能否用二分法求零点的依据是：函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点．
下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝lnx
【解析】 结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．
【答案】 C
类型2
用二分法求函数的零点
用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．
【思路探究】 →
【自主解答】 经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b)
(a，b)的中点
f(a)
f(b)
f
(1,1.5)
1.25
f(1)<0
f(1.5)>0
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.25)<0
f(1.5)>0
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312
5
f(1.25)<0
f(1.375)>0
f(1.312
5)<0
(1.312
5，
1．375)
1.343
75
f(1.3125)<0
f(1.375)>0
f(1.343
75)>0
(1.312
5，
1．343
75)
1.328
125
f(1.312
5)<0
f(1.343
75)
>0
f(1.328
125)
>0
(1.312
5，
1．328
125)
1.320
312
5
f(1.312
5)<0
f(1.328
125)
>0
f(1.320
312
5)
<0
因为|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125.
1．用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为
( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】 由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f>0，区间长度＝0.5>0.2，分二次，f>0，区间长度＝0.25>0.2，
分三次f<0，区间长度＝<0.2，
所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.
【答案】 A
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
【思路探究】 构造函数f(x)＝2x3＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<0.1是否成立→下结论
【自主解答】 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f()
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687
5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687
5)<0
由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.
根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤求解．
用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
【解】 令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1,1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25,1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.035<0
(1.375,1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.
思想方法技巧
巧用二分法求根式的近似值
(12分)求的近似值(精确到0.01)．
【思路点拨】 →→
【规范解答】 设x＝，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值.2分
以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.4分
用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1,2]
1.5
1.375
[1,1.5]
1.25
－0.046
9
[1.25,1.5]
1.375
0.599
6
[1.25,1.375]
1.312
5
0.261
0
[1.25,1.312
5]
1.281
25
0.103
3
[1.25,1.281
25]
1.265
625
0.027
3
[1.25,1.265
625]
1.257
81
－0.01
[1.257
81,1.265
625]
由于区间[1.257
81,1.265
625]的长度1.265
625－1.257
81＝0.007
815<0.01，所以这个区间的中点1.26可以作为函数f(x)零点的近似值，即的近似值是1.26.12分
思维启迪
1．求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解．
2．二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确度ε.
课堂小结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0.
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.
当堂检测
1．已知函数f(x)的图象如图3－1－1，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )
图3－1－1
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
【解析】 由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．
【答案】 D
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间为
( )
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
【解析】 由f(－2)·f(1)<0知初始区间可以取[－2,1]．
【答案】 A
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似解，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
【解析】 ∵x1＝3，且f(2)·f(3)<0，∴x0∈(2,3)．
【答案】 (2,3)
4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度为0.1)．
【解】 设f(x)＝x2－2x－1，因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值的符号
取值区间
f(2)<0，f(3)>0
(2,3)
x1＝＝2.5
f(2.5)>0
(2,2.5)
x2＝＝2.25
f(2.25)<0
(2.25,2.5)
x3＝＝2.375
f(2.375)<0
(2.375,2.5)
x4＝＝2.4375
f(2.4375)>0
(2.375,2.4375)
由上表的计算可知，|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1.因此方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4375.
课后智能检测
一、选择题
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
【解析】 根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．
【答案】 C
2．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表所示：
x
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
f(x)
1.16
1.00
0.68
0.24
－0.25
－0.70
－1.00
则函数f(x)的一个零点所在的区间是( )
A．(0.6,1.0)
B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2)
D．(2.6,3.0)
【解析】 ∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)<0，∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选C.
【答案】 C
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )
A．(0,0.5)，f(0.25)
B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.25)
D．(0,0.5)，f(0.125)
【解析】 ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)．
【答案】 A
4．下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法
【解析】 A不正确，二分法只能求变号零点的近似值．
B正确，因为二分法的近似解取决于精确度ε.
C不正确，二分法每次均是取(a，b)的中点，并验证|a－b|<ε是否成立，故二分法有规律可循．
D不正确，二分法思想应用广泛，可以应用于生产实际中．
【答案】 B
5．(2014·合肥高一检测)函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为( )
A．(－2,0)
B．(0,2)
C．[－2,0]
D．[0,2]
【解析】 由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0∴0【答案】 B
二、填空题
6．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
【解析】 令f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，f＝ln－>0，∴下一个含根的区间是.
【答案】
7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，则可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
【解析】 因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，
所以[0.75,0.6875]内的任意一个值都可作为方程的近似解．
【答案】 0.75(答案不唯一)
8．(2014·广州高一检测)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．
图3－1－2
【解析】 第1次取中点把焊点数减半为＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为＝16(个)，第3次取中点把焊点数减半为＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为＝4(个)，第5次取中点把焊点数减半为＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6.
【答案】 6
三、解答题
9．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个近似零点，其参考数据如下：
f(1.600
0)＝0.200
f(1.587
5)＝0.133
f(1.575
0)＝0.067
f(1.562
5)＝0.003
f(1.556
2)＝－0.029
f(1.550
0)＝－0.060
根据此数据，求方程3x－x－4＝0的一个近似解(精解度0.01)．
【解】 因为f(1.562
5)·f(1.556
2)<0，所以函数的零点在区间(1.556
2,15
625)内，
因为|1.562
5－1.556
2|＝0.006
3<0.01，
所以方程3x－x－4＝0的一个近似解可取为1.562
5.
10．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．
【解】 图象如图所示，
因为f(0)＝－1<0，f(2)＝1>0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25<0，所以f(1.5)·f(2)<0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.312
5>0，所以f(1.5)·f(1.75)<0，根x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．
11．在26个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠(铜珠稍重)，现只有一台天平，你能否设计一个方案，称最少的次数把铜珠找出来．
【解】 把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而最少称4次便可把铜珠找出来.3.1.2
用二分法求方程的近似解
整体设计
教学分析
求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.
三维目标
1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.
2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.
3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.
重点难点
用二分法求方程的近似解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情景导入)
师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.
生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3
500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？
生：(齐答)按照生3那样来检测.
师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).
思路2.(事例导入)
有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.
第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①解方程2x-16=0.
②解方程x2-x-2=0.
③解方程x3-2x2-x+2=0.
④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.
⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？
⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间
⑦什么叫二分法
⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.
⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.
⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.
讨论结果：
①x=8.
②x=-1,x=2.
③x=-1,x=1,x=2.
④x=,x=,x=1,x=2.
⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=称为区间(a,b)的中点〕
⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).
同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).
区间
中点的值
中点函数的近似值
(2，3)
2.5
-0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
2.53-1-2-5
-0.009
(2.53-1-2-5,2.5625)
2.546875
0.029
(2.53-1-2-5,2.546875)
2.5390625
0.010
(2.53-1-2-5,2.5390625)
2.53515625
0.001
图3-1-2-1
由于(2,3)?(2.5,3)?(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.
⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.
2°求区间(a,b)的中点c.
3°计算f(c):
a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；
b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；
c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.
4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．
⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.
应用示例
思路1
例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
活动：①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；
②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；
③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；
④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；
⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.
学生简述上述求方程近似解的过程.
解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
图3-1-2-2
观察图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.
取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.
因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1.25,1.5).
同理,可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.437
5|=0.0625<0.1,
所以，原方程的近似解可取为1.4375.
例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)．
活动：教师帮助学生分析:
画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.
根据图象，我们发现f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.
图3-1-2-3
计算得f()=>0，发现x1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.
解：设f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.
因为f(2)=-1<0，f(3)=2>0，
所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.
取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0，
所以2再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)=-0.437
5<0，
所以2.25如此继续下去，得f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3),
f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2,2.5),
f(2.25)<0，f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5),
f(2.375)<0，f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5),
f(2.375)<0，f(2.437
5)>0x1∈(2.375,2.437
5).
因为2.375与2.437
5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.
点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
思路2
例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).
活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.
分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.
图3-1-2-4
解：设f(x)=lgx+x-3，设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.
用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3)，
f(2.5)<0，f(3)>0x1∈(2.5,3)，
f(2.5)<0，f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75)，
f(2.5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625)，
f(2.562
5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.562
5,2.625).
因为2.562
5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.
例2求方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根(精确度0.1).
解：设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.
设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.
如图3-1-2-5,因为f(1)=1,f(2)=-0.306
852
819,
所以f(1)f(2)<0,即函数f(x)在［1,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以下表格：
x
y
1
1
2
-0.306852819
3
-1.901387711
4
-3.613705639
5
-5.390562088
6
-7.208240531
7
-9.054089851
8
-10.92055846
(步长为1)
x
y
1
1
1.5
50.405465108
2
-0.306852819
2.5
-1.083709268
3
-1.901387711
3.5
-2.747237032
4
3.613705639
4.5
-4.495922603
(步长为0.5)
x
y
1
1
1.25
0.723143551
1.5
0.405465108
1.75
0.059615787
2
-0.306852819
2.25
-0.689069783
2.5
-1.083709268
2.75
-1.488399088
(步长为0.25)
x
y
1
1
1.125
0.867783035
1.25
0.723143551
1.375
0.568453731
1.5
0.405465108
1.625
0.235507815
1.75
0.059615787
1.875
-0.12139134
(步长为0.125)
x
y
1.5
0.405465108
1.5625
0.3-2-1-287102
1.625
0.235507815
1.6875
0.148248143
1.75
0.059615787
1.8125
-0.030292892
1.875
-0.12139134
1.9375
-0.213601
517
(步长为0.062
5)
由上述表格可以得到下表与图象3-1-2-5:
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
0.405465108
(1.5,2)
1.75
0.059615787
(1.75,2)
1.875
-0.12139134
(1.75,1.875)
1.8125
-0.030292892
图3-1-2-5
因为f(1.75)=0.059
615
787>0,f(1.812
5)=-0.030
292
892<0,
所以x1∈(1.75,1.812
5).
由于|1.812
5-1.75|=0.062
5<0.1,
所以区间(1.75,1.812
5)内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根.
点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.
②二分法,即逐渐逼近的方法.
③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易.
知能训练
1.根据下表中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(
)
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.27
7.39
20.0
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:1.C.设f(x)=ex-x-2,f(1)<0,f(2)>0,即f(1)f(2)<0,∴x∈(1,2).
2.C.设f(x)=2x-x2(下表),画出函数y=2x与y=x2的图象(图3-1-2-6).
x
-1
0
1
2
3
4
5
f(x)
-0.5
1
1
2
-1
0
7
图3-1-2-6
由图与表,知有三个根.
拓展提升
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？
(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)
答案:至少需要检查接点的个数为4.
课堂小结
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.
①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.
②思想方法：函数方程思想、数形结合思想.
作业
课本P92习题3.1A组
1、3.
设计感想
“猜价格”的游戏深受人们的喜欢,它是二分法的具体应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用.本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性.
习题详解
(课本第88页练习)
1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.
(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.
(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.
(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.
图3-1-2-7
2.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.
又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.
(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.
又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.
(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=ex-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.
又因为f(x)=ex-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.
(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.
图3-1-2-8
(课本第91页练习)
1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,
于是f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.
下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.
取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.
因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).
再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.
因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).
同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687
5)，x0∈(0.656
25,0.687
5).
由于|0.687
5-0.656
25|=0.031
25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.656
25.
2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,
所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.
下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.
取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).
再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).
同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562
5,2.625),x0∈(2.562
5,2.593
75),x0∈(2.578
125,2.593
75),x0∈(2.585
937
5,2.59
375).
由于|2.585
937
5-2.593
75|=0.007
812
5<0.01,
所以原方程的近似解可取为2.593
75.
(课本第92页习题3.1)
A组
1.A,C
点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.
2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,
又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.
3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.
于是f(-1)·f(0)<0,
所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.
下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.
取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.
因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).
再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.
因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).
同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937
5,-0.875).
由于|(-0.875)-(-0.937
5)|=0.062
5<0.1,
所以原方程的近似解可取为-0.937
5.
4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.
于是f(0.5)·f(1)<0,
所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.
下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.
取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.
因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).
再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.
因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875).
同理,可得x0∈(0.812
5,0.875)，x0∈(0.812
5,0.843
75).
由于|0.812
5-0.843
75|=0.031
25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.843
75.
5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,
于是f(2)·f(3)<0,
所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.
下面用二分法求函数f(x)=lnx在区间(2，3)内的近似解.
取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0.12.
因为f(2)·f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5).
再取(2，2.5)的中点x2=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.
因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5).
同理,可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.312
5,2.375),x0∈(2.343
75,2.375),x0∈(2.343
75,2.359
375),x0∈(2.343
75,2.351
562
5),x0∈(2.343
75,2.347
656
25).
由于|2.343
75-2.347
656
25|=0.003
906
25<0.01,
所以原方程的近似解可取为2.347
656
25.
B组
1.将系数代入求根公式x=,得x==,
所以方程的两个解分别为x1=,x2=.
下面用二分法求方程的近似解.
取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.
在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.023
75,f(1.8)=0.08.
于是f(1.775)·f(1.8)<0.
所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.
由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,
所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.
同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.
所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.
2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如下图所示.
图3-1-2-9
所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.
取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.
因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).
再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.
因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).
同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062
5).
由于|(-1.062
5)-(-1.125)|=0.062
5<0.1,
所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062
5.
同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.
3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.
(2)函数图象如下图所示.
图3-1-2-10
(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.
取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187
5.
因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).
再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.
因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).
同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.812
5,-2.75).
由于|-2.75-(-2.812
5)|=0.062
5<0.1,
所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812
5.
同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.
所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.
点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.3.1.2
用二分法求方程的近似解
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.
(
)2．过程与方法
(
)体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.
(
)3．情感、态度及价值观
(
)在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：用二分法求方程的近似解；
(
)难点：二分法原理的理解
(
)（三）教学方法
(
)讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题引入课题
1问题：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式.
求根：如何求得方程的根呢？
(
)①函数f
(x)
=
lnx
+
2x
–
6在区间(2，3)内有零点.
(
)②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.
(
)③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
(
)④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f
(2.5)≈–0.084.因为f
(2.5)·f
(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f
(2.75)≈0.512.因为f
(2.5)·f
(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
(
)⑤由于(2，3)
(2.5，3)
(
)
(2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.
(
)⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539
062
5
–
2.531
25|
=
0.007
812
5＜0.01，所以，我们可以将x
=
2.531
25作为函数
(
)f
(x)
=
lnx
+
2x
–
6零点的近似值，也即方程lnx
+
2x
–
6
=
0根的近似值.
(
)
师：怎样求方程lnx
+
2x
–
6
=
0的根.
(
)引导：观察图形
(
)
(
)生：方程的根在(2，3)区间内
(
)师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根
(
)生：应该可用
(
)师：我们现用一种常见的数学方法—二分法，共同探究已知方程的根.
(
)师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.
(
)区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.5–0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125–0.009(2.53125,2.5625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001
由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.
形成概念
1．对于区间[a，b]上连续不断且f
(a)·f
(b)＜0的函数y
=
f
(x)，通过不断地把函数f
(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(
)2．给定精确度，用二分法求函数f
(x)零点近似值的步聚如下：
(
)（1）确定区间[a，b]，验证f
(a)·f
(b)＜0，给定精确度；
(
)（2）求区间(a，b)的中点c；
(
)（3）计算f
(c)；
(
)①若f
(c)
=
0，则c就是函数的零点；
(
)②若f
(a)·f
(c)＜0，则令b
=
c(此时零点x0∈(a，c))；
(
)③若f
(c)·f
(b)＜0，则令a
=
c(此时零点x0∈(c，b)).
(
)（4）判断是否达到精确度：即若|a
–
b|＜，则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4.
师生合作回顾实例：
(
)求方程lnx
+
2x
–
6
=
0的近似解(精确度0.01)的操作过程.掌握二分法，总结应用二分法的步骤
(
)师：讲授二分法的定义.
(
)生：总结应用二分法的步骤.
(
)学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书.
由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.
应用举例
例1
借助计算器或计算机用二分法求方程2x
+
3x
=
7的近似解(精确度0.1).
师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.
(
)例1
解：原方程即2x
+
3x
–7
=
0，令f
(x)
=
2x
+
3x
–7，用计算器或计算机作出函数f
(x)
=
2x
+
3x
–7的对应值表与图象
(
)x01234f(x)=2x+3x–7–6–231021x5678f(x)=2x+3x–74075142273
(
)观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.
(
)取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).
(
)再取(1，1.5)的中点x 2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).
(
)同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)由于|1.375–1.4375|
=
0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.
尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能
巩固练习
1．借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)
=
x3
+
1.1x2
+
0.9x–
1.4在区间(0，1)内的零点(精确度0.1).2．借助计算器或计算机，用二分法求方程x
=
3
–
lgx在区间(2，3)内的近似解(精确度0.1).
学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解.1．解：由题设可知f(0)=
–1.4＜0，f(1)=1.6＞0，于是f(0)·f(1)＜0，所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点.下面用二分法求函数f(x)
=
x3
+
1.1x2
+
0.9x–
1.4在区间(0，1)内的零点取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)=
–0.55.因为f(0.5)·f(1)＜0，所以x0∈(0.5，1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)＜0，所以x0∈(0.5，0.75).同理可得x0∈(0.625，0.75)，x0∈(0.625，0.6875)，x0∈(0.65625，0.6875)由于|0.6875–0.65625|=0.3125＜0.1，所以原方程的近似解可取为0.65625.2．解原方程即x
+
lgx–
3
=
0，令f(x)
=
x
+
lgx–
3，用计算器可算得f(2)≈–0.70，f(3)≈0.48，于是f(2)·
f(3)＜0，所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解.下面用二分法求方程x
=
3
–
lgx在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3)的中点x1
=
2.5，用计算器可算得f(2.5)≈–0.10.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0 ∈(2.5，3).再取区间(2.5，3)的中点x2
=
2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0 ∈(2.5，2.75).同理可得x0 ∈(2.5，2.625)，x0 ∈(2.5625，2.625).由于|2.625–2.5625|=0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取为2.5625.
进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项.
课后练习
3.1
第三课时
习案
学生独立完成
巩固二分法应用技能
备选例题
例1
用二分法求函数f
(x)
=
x3
–
3的一个正实数零点(精确到0.1).
【解析】由于f
(1)
=
–2＜0，f
(2)
=
5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0
=
1，b0
=
2
f(1)=
–2，f(2)=5
[1，2]
f
(x0)
=
0.375＞0
[1，1.5]
f
(x1)
=
–1.0469＜0
[1.25，1.5]
f
(x2)
=
–0.4004＜0
[1.375，1.5]
f
(x3)
=
–0.0295＜0
[1.4375，1.5]
f
(x4)
=
0.1684＞0
[1.4375，1.46875]
f
(x5)＞0
[1.4375，1.453125]
x6
=
1.4453125
f
(x6)＞0
[1.4375，1.4453125]
由上表的计算可知区间[1.4375，1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
≠
≠3.1.2
用二分法求方程的近似解
教学目标：1.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解
2.了解用二分法是求方程近似解的常用方法
3.通过二分法求方程的近似解使学生体会方程与函数之间的关系
4．培养学生动手操作的能力
教学重点：用二分法求方程的近似解
教学难点：用二分法求方程的近似解
教学方法：探讨法
教学过程：
引入问题
我们已经知道函数的零点个数是一个，那么进一步的问题是如何找出这个零点？引出课题——（板书）
新课讲解
解决上述问题的一个直观的想法是：如果能够将零点所在范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。为了方便，通过“取中点”，不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。这样的方法称为二分法。
一、用二分法求函数零点近似值的步骤
通过上述问题的分析解答总结：在给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤是：
1．确定区间，验证，给定精确度；
2．求区间的中点；
3．计算：
（1）若=0，则就是函数的零点，计算终止；
（2）若，则令（此时零点；
（3）若，则令（此时零点。
4．判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值；否则重复2~4。
由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解。由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算。
二、二分法的评注
1．用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；
2．从引入函数零点的概念到函数零点的研究和求解，应用到由特殊到一般的转化思想，通过学习提高函数思想和数形结合的能力。
三、例题讲解
例1．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到0.1）。
解：原方程即，用计算器或计算机作出函数的对应值表与图象：
0
1
2
3
4
5
6
7
-6
-2
3
10
21
40
75
142
观察右图和表格，可知，说明在区间（1，2）内有零点。
y
取区间（1，2）的中点，用计算器可的得。
o
x
因为，所以，再取的中点，
用计算器求得，因此，所以。
同理可得，由，此时区间的两个端点，精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。
例2．求函数的零点，并画出它的图象。
略解：，所以零点为，3个零点把横轴分成4个区间，然后列表描点画图。
y
例3．已知函数的图象如图所示，则
A．
B．
C．
D．
0
1
2
x
略解：选A。
例4．已知函数的图象与轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
略解：选D.
练习
教材第106页练习1、2题和第108页第1题。
作业
教材第108页第3、4、5、6题。
