3.2函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
●三维目标
1．知识与技能
在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题．
2．过程与方法
(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；
(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力．
3．情感、态度与价值观
体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．
二、重点与难点
重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用．
难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题．
重难点突破：主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解．首先对具体函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长的差异性进行比较．在比较函数y＝2x，y＝x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择．
在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法．然后将结论推广到一般的指数函数y＝ax(a＞1)、对数函数y＝logax(a＞1)、幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，ax＞xn＞logax，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的特点．整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力．
课前自主导学
课标解读
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．(重点)2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及三种函数模型的性质的比较．(易混点)3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)
知识
三类函数增长速度的比较
1．当x∈(2,4)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？
【提示】 y＝x2.
2．当x∈(4，＋∞)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？
【提示】 y＝2x.
3．是否存在一个x0，使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立？
【提示】 存在．
1．三种函数模型的性质
函数性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐渐变陡
随x增大逐渐变缓
随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax
课堂互动探究
类型1
函数模型的增长差异
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【思路探究】 解答本题的关键是在同一坐标系中画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．
【自主解答】 分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5ex0－2＝x－1的x0，当x>x0时，ln(x＋1)1．判断不同函数增长模型的差异有两种方法，一是根据图象判断，二是根据函数的变化量的情况判断．
2．三种函数模型的表达形式及其增长特点
(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，c，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．
三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3
B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1
D．y1，y3，y2
【解析】 通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
【答案】 C
根据函数增长差异确定图象并比较大小
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2012)，g(2012)
的大小．
【思路探究】 根据指数函数、幂函数增长差异进行判断．
【自主解答】 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1x2.
从图象上可以看出，当x1∴f(6)x2时，f(x)>g(x)，∴f(2012)>g(2012)．
又∵g(2012)>g(6)，∴f(2012)>g(2012)>g(6)>f(6)．
1．解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．
2．体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．
本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由．
【解】 a＝1，b＝9.理由如下：
令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(x)在[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9.
类型3
根据函数增长差异选择函数模型
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
【思路探究】 →
【自主解答】
借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
不同的函数增长模型描述增长速度的差异：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )
A．B，A，C
B．A，C，B
C．A，B，C
D．C，A，B
【解析】 A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利率为，所以100元一年到期的本息和为100×2≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元．
【答案】 B
思想方法技巧
数形结合思想在函数中的应用
(12分)电信局为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图3－2－2所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)
图3－2－2
(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
【思路点拨】 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．
【规范解答】 由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500，168)，MN∥CD.1分
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝fB(x)＝3分
(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元.4分
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝0.3(n>500)，6分
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元.7分
(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)当x>500时，fA(x)>fB(x).9分
当60当60fA(x)；当≤x≤500时，fA(x)>fB(x).11分
即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠.12分
思维启迪
1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．
2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．
课堂小结
1．直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
2．函数模型选取的择优意识
解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．
3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．
当堂测试
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝3x
D．y＝log3x
【解析】 结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
【答案】 C
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.
【答案】 D
3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1
130
2
005
3
130
4
505
y2
5
94.478
1
785.2
33
733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310
7
1.429
5
1.140
7
1.046
1
1.015
1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
【解析】 指数型函数呈“爆炸式”增长．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
【答案】 y2
4．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图3－2－3所示．
图3－2－3
(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；
(2)比较函数增长差异〔以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较〕．
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x).
课后知能检测
一、选择题
1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
【解析】 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
【答案】 D
2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图3－2－4所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是( )
图3－2－4
A．310元
B．300元
C．290
D．280元
【解析】 由射线线经过点(1,800)，(2,1
300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，
∴当x＝0时，y＝300.
【答案】 B
3．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
【解析】 观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”．故选C.
【答案】 C
4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lgx
B．2x>lgx>x
C．x>2x>lgx
D．lgx>x>2x
【解析】 如图所示，由图可知当x∈(0,1)时，2x>x>lgx.
【答案】 A
5．(2014·郑州高一检测)某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x
B．y＝x2＋2x
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
【解析】 取x＝1,2,3代入各选项函数解析式中检验即可．
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有________个交点．
【解析】 如图所示，函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有3个交点．
【答案】 3
7．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．
【解析】 由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有logax【答案】 logax8．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3－2－5所示．现给出下列说法：
图3－2－5
①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(填序号)
【解析】 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
【答案】 ②④
三、解答题
9．(2014·大连高一检测)画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
【解】 函数f(x)与g(x)的图象如下．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)10．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图3－2－6(1)、图(2)所示．
图(1)
图(2)
图3－2－6
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．
【解】 (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，
把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，即便民卡便宜；
当x>96时，y111．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30
000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)工厂每月生产3
000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6
000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
【解】 设工厂生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30
000＝24x－30
000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3
000时，y1＝42
000，y2＝54
000，
∵y1(2)当x＝6
000时，y1＝114
000，y2＝108
000，
∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水.3.2.1
几种函数增长快慢的比较
(
)
（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
(
)（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律
(
)2．过程与方程
(
)利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：函数增长快慢比较的常用途径；
(
)难点：了解影响函数增长快慢的因素.
(
)（三）教学方法
(
)合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题引入课题
观察函数在
[0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
(
)在同一坐标中函数图象如下
(
)结论：若0＜x＜16则
(
)
(
)若x＞16则
师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？
(
)师生合作观察研究函数的增长快慢.
(
)①x∈(0，16)时，的图象在图象上方
(
)可知增长较快
(
)②时，的图在图象下方，
(
)可知增长较快
由问题引入课题，激发学习兴趣.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法.
1．实例探究：
(
)比较函数y=2x，y=
x2，y
=
log2x的增长快慢.
(
)方法：①作图，列表比较、验证
(
)②应用二分法求2x
=
x2的根，即y
=
2x与y
=
x2的交点横坐标.
(
)2．规律总结
(
)①一般地，对于指数函数y=ax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0 ，当x＞x0 时，就会有ax＞xn.
(
)②对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y
=
xn(n＞0)在区间上，随着x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
(
)③在区间上，尽管函数y
=
ax(a＞1)，y
=
logax(a＞1)和y
=
xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y
=
ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y
=
xn(n＞0)的增长速度，而y
=
logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.
师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究
(
)①列表x0.20.61.01.41.8y
=2x1.1491.51622.6393.482y
=x20.040.3611.963.24y=log 2 x–2.322–0.73700.4850.848x2.22.63.03.4…y=2x4.5956.063
810.556…y=x24.846.76911.56…y=log 2 x1.1381.3791.5851.766…②作图
(
)
(
)③结论
(
)x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.
(
)进一步探究y
=
x2与y
=
2x的增长快慢.①列表x01234y=2x124816y=x2014916x5678…y=2x3264128256…y=x225364964…②作图③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈时2x＞x2
由特殊到一般探究规律
巩固练习
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：（1）y=0.1ex–100,x∈[1,10]；（2）y=20lnx+100,x∈[1,10]；（3）y=20x,
x∈[1,10].
三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加.
进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.
课后作业
3.2
第一课时
习案
学生独立完成
巩固知识，培养能力
备选例题
例1
某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：
第一种方案：存入银行，年利润Q1
=
0.018x；
第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2
=
0.02x
+
0.2；
第三种方案：办工厂，年利润Q3
=
0.2x2
+
2x
–
35；
问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.
(2)投资10万元，选择哪种投资方案.
【解析】
(1)投资4万元，则有：
Q1
=
0.072；Q2
=
0.28；Q3
=
–
23.8，
∴Q2＞Q1＞Q3
∴选择第二种方案
(2)投资10万元，则有：Q1
=
0.18；Q2
=
0.4；Q3
=
5，
∴Q3＞Q2＞Q1，
∴选择第三种方案.
例2
为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.
（1）分别求出通话费y1，
y2 与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】（1）由图象可设y1
=
k1x
+29，y2
=
k2x，把点B
(30,
35)，C
(30,
15)分别代入y1，y2得.
∴.
（2）令y1
=
y2，即，则.
当x
=
96时，y1
=
y2，两种卡收费一致；
当x＜96时，y1＞y 2，即如意卡便宜；
当x＞96时，y1＜y2，即便民卡便宜.
【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x，y之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决.
图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.
y
y
x
O
16
如意卡
便民卡3.2.1几类不同增长的函数模型
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习
·
预习案
【温馨寄语】
生活的海洋已铺开金色的路，浪花正分列两旁摇动着欢迎的花束。勇敢地去吧，朋友!前进，已吹响出征的海螺；彩霞，正在将鲜花的大旗飞舞……
【学习目标】
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们的增长差异.
2．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
3．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.
【学习重点】
1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义
2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
【学习难点】
1．怎样选择数学模型分析解决实际问题
2．难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合
【自主学习】
1．三类增长型函数图象性质的变化特征
2．三类增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数和幂函数在区间(0，+∞)上，由于的增长速度
的增长速度，因而总存在一个实数，当时，就会有_____________(，).
(2)对数函数和幂函数，的增长
的增长，因而在区间(0，+∞)上，总存在一个实数，使时有_____________(，).
结论：三类增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上，在(0，+∞)上，总会存在一个，当时有
.
【预习评价】
1．下表显示了函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为
-2
-1
0
1
2
1
4
16
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
2．某种植物生长发育的数量与时间的关系如下表：
1
2
3
1
3
8
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是
A.
B.
C.
D.
3．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是
.
4．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价
.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．几类函数模型的特征及其增长差异的比较
观察函数，，在区间(0，+∞)上的图象，思考以下几个问题：
(1)三个函数在区间(0，+∞)上的图象有什么特点？
(2)当趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？
(3)一般情况下，函数，和在区间(0，+∞)上增长速度怎样？
2．几类函数模型的应用
当题目条件中的信息以表格等形式给出时，常常先根据相关数据中的信息进行描点，结合描点后的图象，选择合适的函数模型来解决有关问题，观察下列图象探究有关问题：
(1)根据图象的特点，①②③④应分别选用哪种函数模型较好？
(2)已知函数模型，求函数的解析式一般常用的方法是什么？
【教师点拨】
1．四类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.
(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.
2．几类函数模型的选择
(1)一次函数模型：当增加一个单位时，增加或减少的量为定值，则是的一次函数，一次函数的图象为直线.
(2)二次函数模型：二次函数是常用的重要模型，是或其他量的二次函数，常用来求最大值或最小值问题，但要注意定义域.
(3)指数函数模型、对数函数模型：当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同，则为指数函数模型或对数函数模型，一般与增长率、衰减率、利息等现实问题联系紧密.
【交流展示】
1．当自变量足够大时，下列函数中增长速度最快的是
A.
B.
C.
D.
2．若，试分析三个函数模型，，的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来为
.
3．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此判断符合这组数据的最恰当的函数模型是
4
5
6
7
8
9
10
13
15
17
19
21
23
25
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
4．2005年1月6日是“中国十三亿人口日”，如果要使我国总人口在2015年以前控制在十四亿之内，那么从2005年1月6日开始的随后10年由我国的年平均人口自然增长率应控制在多少以内.
【学习小结】
1．建立函数模型要遵偱的原则
(1)简化原则
建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则
建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.
(3)反映性原则
建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.
2．三种函数模型的表达式及其增长特点的总结
(1)指数函数模型：表达式为(，，为常数，)，当时，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当时，函数值由快到慢地减少.
(2)对数函数模型：表达式为，，为常数，)，当时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当时，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢.
(3)幂函数模型：表达式为((，，为常数，，，为常数，，)，其增长情况由和的取值确定，常见的有二次函数模型.
【当堂检测】
1．三人赛跑，假设其路过的路程和时间的函数关系分别是，，，他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是
A.
B.
C.
D.一样快
2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售800台，则下列函数模型中能准确地反映销售量与投放市场的月数之间关系的是
A.
B.
C.
D.
答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．增函数 增函数 增函数 y轴 x轴
2．(1)快于 ax＞xn
(2)慢于 xn＞logax ax＞xn＞logax(a＞1，n＞0)
【预习评价】
1．C
2．D
3．
4．11.11％
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增.
(2)三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢.
(3)一般情况下，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，一般称为爆炸式增长，y＝logax(a＞1)增长会越来越慢，y＝xn(n＞0)介于它们两个之间.
2．(1)①随着x值的增大y值的变化越来越大，所以常选用指数型函数来模拟；②随着x值的增大y值的变化越来越近似为零，所以常用对数型函数模拟；③图形中的点先升后降，所以常选用二次函数模拟；④数据点大致都落在一条直线附近，所以常选用一次函数模拟.
(2)已知函数类型求函数的解析式一般常用的方法是待定系数法，根据函数的类型，可设出其函数解析式，用待定系数法求解.
【交流展示】
1．A
2．
3．A
4．74％
【当堂检测】
1．A
2．C3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
1．借助计算器或计算机制作数据表格和函数图像，对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异。
2．通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图像分析问题和解决问题；引导学生充分体验将实际问题“数学化”解决的过程，
从而理解“数学建模”的思想方法解决问题的有效性。
3．鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，从而培养学习数学的兴趣。
教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
技术手段：计算机辅助教学。
教学方法：启发探究式。
教学过程
一、创设情境，引入课题
（1）先看一张图片，这是什么动物？
（2）关于兔子有这样一段故事：
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．
（3）请看画面。
（4）可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
（5）一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期的增长.
（6）生活中的增长现象比比皆是，在我们学过的函数中也有许多成增长形态发展的。因此研究不同增长函数模型是非常必要的。
二、组织引导，合作探究
例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0
.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
【问题1】选择最佳投资方案的原则是什么？
预案一：谁的回报多。
（有条件限制吗？回报指的是什么——是每天回报还是总回报）
预案二：相同条件下，谁的回报多。
（相同条件指的是什么？）
答案：从第一天起，相同时间内哪一个方案的累计回报数（总回报数）多，就选哪一个方案。
【问题2】本题中涉及哪些数量关系
如何利用函数描述这些数量关系
预案一：总回报数与天数的关系。
设总回报数为y元，投资天数为x
则方案一：y=40x(x∈N
)；
方案二：；
方案三：。
请学生课下进一步探究。
预案二：每天回报数与投资天数之间的关系。
设第x天所得回报是y元,则
方案一可用函数y=40(x∈N
)进行描述;
方案二可以用函数y=10x(x∈N
)进行描述;
方案三可以用函数进行描述。
【问题3】你能认识一下方案中的三个函数吗？
方案一是常数函数；方案二是一次函数；方案三是指数型函数，方案二、三中的函数都是增函数。
【问题4】下面利用这三个函数关系式,算出每天的回报数，请填写在表一中。
x/天
方案一
方案二
方案三
每天回报数y/元
每天回报数y/元
每天回报数y/元
1
40
10
0.4
2
40
20
0.8
3
40
30
1.6
4
40
40
3.2
5
40
50
6.4
6
40
60
12.8
7
40
70
25.6
8
40
80
51.2
9
40
90
102.4
10
40
100
204.8
…
…
…
…
30
40
300
214748364.8
【问题5】这三个函数增长速度怎样，通过哪个量来判断这三个函数的增长速度？
（通过增加量（增长量）来判断，也就是从第二天起，每一天与前一天的变化量）
下面请同学再算一下每一种方案的增加量。
x/天
方案一
方案二
方案三
每天回报数y/元
增加量
每天回报数y/元
增加量
每天回报数y/元
增加量
1
40
10
0.4
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
9
40
0
90
10
102.4
51.2
10
40
0
100
10
204.8
102.4
…
…
…
…
…
…
…
30
40
0
300
10
214748364.8
107374182.4
【问题6】这三种方案的增加量有何特点？
可以看到，方案一、方案二增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的。
下面再从图象的角度来认识一下：
（函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线连接离散的点）
我们看到：底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。因此，把指数增长也称为指数爆炸。
【问题7】从这三种方案每天所得回报看，你能得到什么结论？
第1~3天，方案一最多；
在第四天，方案一和方案二一样多，方案三最少；
在第5~8天，方案二最多；
第9天以后，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。
【问题8】根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？
【问题9】下面再算一下三种方案的累计回报，填写在表格中。
【问题10】从累计的回报数看，你会选择哪种方案？
结论：投资1~6天，应选择第一种投资方案；
投资7天，应选择第一或二种投资方案；
投资8~10天，应选择第二种投资方案；
投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
【问题11】从上面问题可以看出，几种常见函数的增长情况如下：
常数函数
一次函数
指数型函数
保持不变
直线上升
指数爆炸
【问题12】解决实际问题的一般步骤是什么？
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元．现有三个奖励模型：，，．问：其中哪个模型能符合公司的要求？
【问题1】本题涉及到的三个函数都是什么函数？
【问题2】的取值范围，即函数的定义域是什么？
由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，
[10,1000]。
【问题3】某个奖励模型符合公司要求，要满足哪些条件？
奖金总数不超过5万元，即。
【问题4】结合图象，并通过计算哪个模型的奖金总数不超过5万？
（1）对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x=20时，y=5，因此，当x∈(20,1000)时,y>5,因此该模型不符合要求。
（2）对于模型,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点满足
,由于它在[10,1000]上递增,因此当时,y>5,因此该模型也不符合要求。
（3）对于模型,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时,
,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。
【问题5】你对对数型函数模型增长有怎样的认识？
结论：对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。
【问题6】请你研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异。
三、课堂练习
1、四个变量随变量变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是
。
四、小结与反思
五、作业
收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用.
教学设计说明
本节课的内容是人教社普通高中课程标准实验教科书A版数学必修1第三章3.2.1几种不同增长的函数模型（第一课时），本节课的重点是将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。难点在于如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题．本课设计的思路是通过“澳大利亚兔灾”的故事引入，一则激发学生兴趣，二则让学生初步感知指数增长即“指数爆炸”的含义。然后组织学生探究投资决策和奖励模型两个实际问题，通过选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异。
结合计算机辅助教学在培养学生能力方面体现如下
1.设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，培养独立思考、积极探索的习惯。
2.引导学生自主探索函数模型的差异性、动手制作表格和作图、合作交流讨论、阅读自学等学习数学的方式。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
3.通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解函数模型差异、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
4.利用信息技术来呈现教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、多媒体教育技术平台，加强数学教学与信息技术的整合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。
实际问题
数学问题
(转化成数学问题)
数学化
问题解决
数学解答
符合实际
回到实际问题
数学问题结论
实际问题结论3.2.1
几类不同增长的函数模型
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.
(
)2．进程与方法
(
)在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升
(
)难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.
(
)（三）教学方法
(
)尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
回顾复习
(
)引入深题
①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论.
师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.
(
)生：回顾总结，口述回答.
以旧引新导入课题
实例分析
例1
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
(
)方案一：每天回报40元；
(
)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
(
)方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.
(
)请问，你会选择哪种投资方案？
(
)例2
某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y
=
0.25x，y
=
log7x
+
1，y
=
1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
师生合作探究解答过程
(
)例1
解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y
=
40
(x∈N
)进行描述；方案二可以用函数y
=
10x(x∈N
)进行描述；方案三可以用函数y
=
0.4×2x–1(x∈N
)进行描述.
(
)三种方案所得回报的增长情况x/天方案一y/元增加量/元1402400340044005400640074008400940010400………30400x/天方案二y/元增加量/元11022010330104401055010660107701088010990101010010………3030010x/天方案三y/元增加量/元10.420.80.431.60.843.21.656.43.2612.86.4725.612.8851.225.69102.451.210204.8102.4………30214748364.8107374182.4再作三个函数的图象
(
)
(
)在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
(
)例2
解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x
+1，y=1.002x的图象.
(
)
(
)观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
(
)首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
(
)对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
(
)对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
(
)再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有
(
)成立.
(
)令f(x)=log7 x+1–
0.25x，x∈[10,1000]
将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.
巩固练习
1．四个变量y1 ，y2 ，y3 ，y 4随变量x变化的数据如下表x051015y151305051130y2594.4781785.233733y35305580y452.31071.42951.1407x202530y1200531304505y26.37×1051.2×1072.28×108y3105130155y41.04611.01511.005关于x呈指数型函数变化的变量是
.
(
)2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？
1．解：y2
(
)2．解：设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3 台……被感染，依题意有a5=10×204=160.
(
)答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.
动手尝试提升解题能力
归纳总结
2．中学数学建模的主要步骤
(
)（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.
(
)（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.
(
)（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.
(
)（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.
师生合作
反思归纳总结完善生：通过独立思考和必要的交流，分析归纳例1、例2的解题过程，简述建模的主要步骤.师：点评、总理学生的回答，然后完善归纳步骤.师生合作：结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会.
培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力.
课后练习
3.2
第二课时
习案
学生独立完成
强化基础提高能力
备选例题
例1
有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售.
甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机，
在甲商场购买，每台的单价为800
–
20x，则总费用
在乙商场购买，费用y
=
600x.
（1）当0＜x＜10时，(800x
–
20x2)＞600x
∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.
（2）当x
=
10时，(800x
–
20x2)
=
600x
∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.
（3）当10＜x≤18时，(800x
–
20x2)＜600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.
（4）当x≥18时，600x＞440x
∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.
答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.
【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.
例2
某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.
由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.
厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.
厂里也暂时不准备增加设备和工人.
假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y
=
ax
+
b，y
=
ax2
+
bx
+
c，y
=
a+
b，y
=
abx
+
c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.
（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得
所以得y=0.1x+1.
因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
（2）设y
=
ax2
+
bx
+
c，将A、B、C三点代入，有，解得，
所以y=
–
0.05x2+0.35x+0.7.
因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.
（3）设y=+b，将A，B两点的坐标代入，有，解得，
所以y=.
因此把x
=
3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.
（4）设y
=
abx
+
c，将A，B，C三点的坐标代入，得，解得，
所以y=
–
0.8×(0.5)x+1.4.
因此把x=
4代入得y=
–
0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性.
经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.
因此，选用y=
–0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.
【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.