3.2.2函数模型的应用实例
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习
·
预习案
【温馨寄语】
有人说：“人人都可以成为自己的幸运的建筑师。”愿你们在前行的道路上，用自己的双手建造幸运的大厦
【学习目标】
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义
2．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.
【学习重点】
1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义
2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
【学习难点】
运用数学模型分析解决实际问题
对数函数应用题的基本类型和求解策略
知识拓展
·
探究案
【交流展示】
1．某市原来民用电价为0.52元/kW·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h，对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量
A.至少为82kW·h
B.至少为118kW·h
C.至多为198kW·h
D.至多为118kW·h
2．一等腰三角形的周长是20，底边长是关于腰长的函数，它的解析式为
A.
B.
C.
D.
3．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元.每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件，则在同样的时间内，生产哪一档次的产品的总利润最大？
A.10
B.9
C.8
D.7
4．某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量(单位：件)的函数，满足关系式：求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？
5．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是
(下列数据仅供参考：)
A.38%
B.41%
C.44%
D.73%
6．某人2013年1月1日到银行存入一年期存款元，若年利率为,按复利计算，到2016年1月1日，可取回款
元.
A.
B.
C.
D.
7．如图，开始时桶1中有升水，分钟后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中水就是，假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过
分钟桶1中的水只有升.
8．某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：
(1)写出该城市人口数(万人)与年份(年)的函数关系.
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).
(3)
计算大约多少年后该城市人口将达到120人(精确到1年).
9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量(只)与引入时间(年)的关系为，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是m/s，其中表示燕子的耗氧量.
(1)当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
11．今有一组数据，如表所示：
1
2
3
4
5
3
5
6.99
9.01
11
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
12．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：
第天
1
2
3
4
5
被感染的计算机数量(台)
10
20
39
81
160
则下列函数模型中能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是
A.
B.
C.
D.
【学习小结】
1．幂函数模型解析式的两种类型及求解方法
(1)已知函数解析式形式：用待定系数法求解.
(2)解析式形式未知：审清题意，弄清常量，变量等各元素之间的关系，列出两个变量，之间的解析式，进而解决问题.
2．二次函数模型应用题的解法
(1)理解题意，设定变量，.
(2)建立二次函数关系，并注明定义域.
(3)运用二次函数相差知识求解.
(4)回归到应用问题中去，给出答案.
3．一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.
4．对一次函数解析式的三点说明
解析式：.
(1)一次项的系数.
(2)时，是的正比例函数，即为非零常数).
(3)时，直线必经过一、二象限；时，直线必经过原点；时，直线必经过三、四象限.
5．数据拟合问题的三种求解策略
(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解.
(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.
(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.
6．对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.
7．指数型函数模型在生活中的应用
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率总理常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为(其中为基础数，为增长率，为时间)的形式.
(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相差的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解.是数学常用的方法之一.
【当堂检测】
1．某商人购货，进价按原价扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是
.
2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为
.
3．某企业实行裁员增效.已知现有员工人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员人后年纯收益为万元.
(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.
(2)
当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)
4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数(其中，，为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.
答案
【交流展示】
1．D
2．D
3．B
4．y＝R－100Q－20000
.
(1)0≤Q≤400时，，
当Q＝300时，ymax＝25
000.
(2)Q＞400时，y＝60
000－100Q＜20
000，
综合(1)(2)，当每年生产300件产品时，总利润最大，为25
000元.
5．B
6．A
7．10
8．(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2％＝100×(1＋1.2％)，
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)2，
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)3，
……
x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)x(x∈N).
(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)10＝100×1.01210≈112.7(万人).
(3)设x年后人口将达到120万人，
即可得到＝120，
.所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.
9．A
10．(1)由题意，当燕子静止时，它的速度υ＝0，
所以，，解得：O＝10，
则燕子静止时的耗氧量是10个单位.
(2)由耗氧量O＝80得：.
11．C
12．C
【当堂检测】
1．(x N
)
2．
3．(1)由题意可得
y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x
，
因为，所以.
即x的取值范围是中的自然数.
(2)因为，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，，y取最大值.
当a为奇数时，，y取最大值.
(因为尽可能少裁人，所以舍去.)
答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.
4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有
解得
所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①
设y2＝g(x)＝mnx＋p则有
解得
所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②
比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.《函数模型的应用实例》
一、教学内容分析：
本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·
数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．
例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．
例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．
整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．
二、教学目标：
知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．
2．会利用选择或建立的函数模型．
3．会运用函数模型解决实际问题．
过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．
2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．
情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．
2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．
3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．
三、学生学情分析：
已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．
在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．
学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．
四、教学重点、难点
重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．
难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．
五、教学策略分析：
基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：
1．问题教学法．
在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．
2．分组讨论法．
在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．
3．多媒体辅助教学法：
在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。通过实物展台，增进交流，增加思维碰撞，优化学生思维，强化学生成就感和认同感，激发学生学习兴趣．
六、教学过程：
问
题
设
计
意
图
师
生
活
动
上节课我们已经学习了应用已知函数模型解决实际问题，主要的函数模型有，，，．但在实际解决问题中，我们常常碰到没有函数模型或不能建立确切的函数模型，那我们又改如何选择和确定函数模型，如何解决实际问题呢？
从温故的角度自然地复习已经学习的函数模型内容，进入学习函数模型实际应用的情景，以及为本节课中选择函数模型作好铺垫．同时提出没有函数模型或不能建立确切的函数模型的实际问题如何解决，明确本节课的任务，以及点出本节课的课题．
师生共同回顾已经学习的函数模型，罗列已经涉及过的函数模型，为下面的函数模型选择作好铺垫．提出如何解决没有函数模型或确切的函数模型的实际问题．
引入：日前，国际流行的体重指数法（BMI），即体重（千克）与身高（米）平方的比值，结果大于23即为超重，大于25即为肥胖，介于18.5至22.9之间属于正常．
介绍体重指数法，一则让学生熟悉问题背景，为下面的问题铺设一条主线，即体重与身高；二则从学生自身的数据调动学生的参与程度及学习积极性；三则依据学生计算的数据进行人文关怀，拉近师生关系，为下面良好地开展教学奠定感情基础．
从生活出发，介绍国际体重指数法的计算方式，熟悉问题背景，同时学生计算自己的体重指数法，并个别分享数据，进行点评和关怀．
思考计算体重指数法的身高数据是什么时候测量？是否有长高的的可能性？身体上是否有其它数据能反应身高？
提出对计算数据时效性的怀疑，激发学生的思考；同时沿用已有的问题背景，为引入正题进行铺垫．
教师利用学生的体重指数，提出对计算数据的怀疑，引发学生积极思考．
例1
如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．下表是测得指距与身高的一组数据：指距/cm20212223身高/cm160169178187观察表格数据思考指距与身高之间有何关系？
利用问题串引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型，培养学生建模能力，从而提高解决问题的能力．学生独立思考与学生小组合作，即锻炼学生的思考能力，又加强学生的小组合作，学会团结合作，为下一种选择函数模型作好必要知识和能力铺垫．利用图像发现函数模型，渗透数形结合思想，同时加深对函数的表格、解析式、图像的三种表示形式．
教师提出问题：①思考指距与身高之间有什么关系？学生思考后单独回答（可能不准确）；进一步补充提问：指距和身高分别是怎么变化的？学生独立回答．②指距和身高是怎样的变化关系？你能联想到什么知识？学生小组讨论后回答．③你是如何得到得到一次函数模型？你认为所得一次函数模型符合实际吗？学生小组交流、讨论后回答．④有么有更加直观的方法发现一次函数模型，学生独立思考与交流相结合后回答．教师板书解题的过程．
回答(2)某人身高为196cm，一般情况下他的指距应该是多少？书写完整的解答过程．
计算问题(2)，让学生应用数学建模后的成果，感受数学源自生活有服务生活，体会数学的应用价值，同时为最后总结应用函数模型解决实际问题基本过程的用模提供了素材，有利学生总结出基本过程．书写解答过程，并投影展示，规范学生答题，养成良好的学习习惯．
教师提出问题(2)，学生独立思考与计算，教师点名回答问题，教师与学生共同总结感受，数学来自生活，又服务于生活，体会数学的应用价值．教师提出完整的书写解答过程，并投影展示，肯定好的方面，同时提出解答规范性，为高中数学的规范解答提供模板，养成良好的学习习惯．
例2
以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.3338.8547.2555.05根据表格数据，若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175
cm体重为78
kg的未成年的男性的体重是否正常？
与书上例6相比，此处删去第(1)小题，为了让问题更加贴近生活实际情况，经历一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，培养学生对实际问题的思维方式，优化学生解决问题的思维方式，提高学生解决实际问题的能力．利用选择函数模型的类型和待定系数确定函数中系数，反复地让学生思考和交流，亲身体验建模的过程的难点，突破知识难点，加深理解，从而培养学生探索精神和钻研品质．利用动态数学软件展示，加深数形结合思想理解，促进对数学问题解决与优化的探索．小组合作与成果交流促进优化思维，培养团队合作能力．
教师展示例2，请同学思考后提出①要判断该名未成年男性体重是否正常需知道什么数据？②如何预测该地区身高为175
cm未成年男性的体重平均值？③观察表中身高和体重数据的变化，回顾例1的解决实际问题的郭晨个，你认为是什么类型的函数模型？（学生画图，教师应用软件展示图像）④你能和小组的其他同学交流一下你的模型并说明其合理性吗？（学生探索验证方法）⑤你对目前建立的函数模型满意吗？是否有更好的函数模型？（学生不断完善和改进函数模型）．师生共同得出问题的答案．
应用函数模型解决实际问题基本过程
回顾解题过程，系统总结一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，学生理解从解题过程上升为解题策略，培养学生的反思和总结能力．
师生共同回顾例1，例2的解答过程，分析它们的共性，总结应用函数模型解决实际问题基本过程．教师进一步提炼基本过程为选模、解模、验模、用模等四步骤．
练习
某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，（其中是患病人数，为月份数，都是常数)
．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型较好？
通过练习，学以致用，加深对应用函数模型解决实际问题基本过程的理解，让学生感受更加深刻，并从中体会数学的实用性．
教师展示练习，学生独立思考，并给出确定模型和验证模型的思路，教师进行点评．
小结：你能和大家分享今天的收获吗？
让学生学会反思与总结，回顾知识、思维、能力和情感上的收获，及时巩固与提炼；学会与同伴分享成果，提高学习的成就感，激发学习兴趣．
教师提问：今天这堂课收获了什么？给你印象最深刻的是什么？通过个别提问和小组交流后提问相结合．
作业：1.
收集生活中数据进行函数建模并尝试拟合2、课本：P107A组1，2,
B组1
常规练习进行巩固所学知识与思维；解决生活实例培养学生动手能力、分析能力和解决问题的能力．
用
模
解
模
验
模
选
模
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
检验
用函数模型解实际问题
符合实际
不符合实际3.2.2
函数模型的应用实例（一）
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.
(
)2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.
(
)3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.
(
)（二）教学重点、难点
(
)一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.
(
)（三）教学方法
(
)本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
回顾一次函数和二次函数的有关知识.
教师提出问题，学生回答.
(
)师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.
(
)生：回答上述问题.
以旧引新，激发兴趣.
应用举例
1．一次函数模型的应用
(
)例1
某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.
教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.
(
)例1
解：因为火车匀速运动的时间为(200
–
13)÷120
=
(h)，
(
)所以.
(
)因为火车匀速行驶时间t
h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是
(
)
(
)2h内火车行驶的路程=233(km).
通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.
解题方法：
(
)1．读题，找关键点；
(
)2．抽象成数学模型；
(
)3．求出数学模型的解；
(
)4．做答.
学生总结，教师完善.
培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.
2．二次函数模型的应用
(
)例2
某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
让学生自己读题，并回答下列问题：
(
)①题目求什么，应怎样设未知量；
(
)②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；
(
)③学生完成题目.
(
)法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.
(
)师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.
(
)例2
解答：方法一
依题意可列表如下：xy0300×20
=
60001(300
–
10×1)(20
+
2×1)
=
63802(300
–
10×2)(20
+
2×2)
=
67203(300
–
10×3)(20
+
2×3)
=
70204(300
–
10×4)(20
+
2×4)
=
72805(300
–
10×5)(20
+
2×5)
=
75006(300
–
10×6)(20
+
2×6)
=
76807(300
–
10×7)(20
+
2×7)
=
78208(300
–
10×8)(20
+
2×8)
=79209(300
–
10×9)(20
+
2×9)
=
798010(300
–
10×10)(20
+
2×10)
=
800011(300
–
10×11)(20
+
2×11)
=
798012(300
–
10×12)(20
+
2×12)
=
792013(300
–
10×13)(20
+
2×13)
=
7820……由上表容易得到，当x
=
10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.
(
)方法二
设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为
(
)y
=
(20
+
2x)
(300
–
10x
)
(
)
=
–20x2
+
600x
–
200x
+
6000
(
)
=
–20(x2
–
20x
+
100
–
100)
+
6000
(
)
=
–20(x
–
10)2
+
8000.
(
)由此得到，当x
=
10时，ymax
=
8000.即每间租金为20
+
10×2
=
40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.
(
)
解应用题首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.
3．分将函数模型的应用
(
)例3
一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
(
)（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(
)（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象.
(
)
生：解答：
(
)（1）阴影部分的面积为
(
)50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.
(
)阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
(
)（2）根据图，有
(
)
(
)这个函数的图象如图所示.
(
)
实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题简化假设数学建模解答模型检验模型评价与应用的进一步深体.
巩固练习
课堂练习
(
)习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.
(
)习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.
(
)习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？
(
)习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.
学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t
h，则汽车行驶的路程Skm与时间t
h之间的函数关系为S
=
vt.当t
=
1.5时，S
=
90，则v
=
60.因此所求的函数关系为S=60t，当t
=
3时，S
=
180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为xkg，则食品的价格y元与重量xkg之间的函数关系式为y=8x，当x
=
8时，y
=
64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为xcm，则另一组对边的长为m，从而矩形菜地的面积为：当x
=
150时，Smax
=
11250.即当矩形的长为150m，宽为75m时，菜地的面积最大.4．解：所求函数的关系式为
学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.
归纳小结
课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答.
学生总结，师生完善
使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程.
布置作业
习题2—3B第1、3题：教材第71页“思考与讨论”.
学生练习
使学生巩固本节所学知识与方法.
备选例题
例1
某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？
【解析】根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：
（1）当0≤x≤400时，由3.75x=750，得x=200.
（2）当400≤x≤600时，由1.25x
+
1000
=
750，得x
=
–
200
(舍去).
综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张.
答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.
例2
某个经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算.
请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：
据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.
y
=
–
a
(x
–
4)2
+
2
(a＞0)
①
y
=
bx
②
把x
=
1，y
=
0.65代入①式，得
0.65
=
–
a
(1
–
4)2
+
2，
解得a
=
0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y
=
–
0.15(x
–
4)2
+
2表示，再把x
=
4，y
=
1代入②式，得b
=
0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y
=
0.25x表示.
设下月投资A种商品x万元，
则投资B种商品为(12
–
x)万元，可获纯利润
y
=
–
0.15
(x
–
4)2
+
2
+
0.25
(12
–
x)
=
–
0.15x2
+
0.95x
+
2.6，
当≈3.2时，
≈4.1.
故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.
【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y
=
x2变换到y
=
a
(x
–
m)2
+
b后发生的变化.3.2函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例
●三维目标
1．知识与技能
(1)能利用给定函数模型解决实际问题；
(2)通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合；
(3)增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力．
2．过程与方法
(1)通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型；
(2)根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．
3．情感、态度与价值观
应用数学知识解决实际问题．培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务．
●重点难点
重点：根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．
重难点突破：结合学生的知识水平，在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法：
(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；
(2)列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；
(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.
课前自主导学
课标解读
1.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.
知识1
常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
分段函数模型
f(x)＝
知识2
应用函数模型解决问题的基本过程
课堂互动探究
类型1
一次(二次)函数建模问题
某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图3－2－7所示关系．
图3－2－7
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当a＝120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；
(3)当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？
【思路探究】 用待定系数法求(1)→分别计算全体学生饮用纯净水的年总费用与购买饮料的总费用并比较大小→建立函数模型→利用函数最值求解．
【自主解答】 (1)设y＝kx＋b(k≠0)，
∵x＝8时，y＝400；x＝10时，y＝320.
∴解之得
∴y关于x的函数关系式为y＝－40x＋720(x>0)．
(2)该班学生买饮料每年总费用为51×120＝6
120(元)．
当y＝380时，380＝－40x＋720，得x＝8.5，
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×8.5＋228＝3
458(元)，
所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．
(3)设该班每年购买纯净水的费用为P元，则
P＝xy＝x(－40x＋720)＝－40(x－9)2＋3
240，
∴当x＝9时，Pmax＝3
240.
要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，
则51a≥Pmax＋228，解得a≥68，故a至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少．
1．用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点
(1)原则：一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单．
(2)关注点：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a>0时为增函数，当a<0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)或这些特殊点的意义．
2．利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低，为17.5万元，构成二次函数对应图象的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
【解】 (1)y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，y＝20代入上式，
得20＝25a＋17.5.解得a＝.所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
因为x＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
类型2
分段函数建模问题
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．
【思路探究】 由收费标准可知，水费与用水量之间存在两种不同对应关系，所以应分类讨论，建立分段函数模型．
【自主解答】 (1)当甲用户的用水量不超过4吨，即5x≤4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即：y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x；同理可得
当时，y＝24x－9.6.
∴y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
所以当x∈时，y≤f<26.40；当x∈时，y≤f<26.40；
当x∈时，令24x－9.6＝26.40，得x＝1.5.
∴甲用户用水量为5x＝7.5(吨)，付费y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)．
乙用户用水量为3x＝4.5(吨)，付费y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各个边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
2．本题在求解过程中，个别同学常因不理解“超过部分”而导致运算出错．
如图3－2－8，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式．
图3－2－8
【解】 OB所在的直线方程为y＝x.当x∈(0,1]时，由x＝t，求得y＝t，所以f(t)＝t2；
当t∈(1,2]时，f(t)＝－(2－t)2；当t∈(2，＋∞)时，f(t)＝，
∴f(t)＝
类型3
指数(对数)型函数建模问题
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1.
(1)求出v关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数；
(3)一条鲑鱼要想把游速提高1m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？
【思路探究】 设出v＝klog3→由点(900,1)在曲线上求k→由v＝1.5，求Q→由v2－v1＝1，求.
【自主解答】 (1)设v＝k·log3，
∵当Q＝900时，v＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，∴v关于Q的函数解析式为v＝log3.
(2)令v＝1.5，则1.5＝log3，∴Q＝2700，
故一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．
(3)设鲑鱼耗氧量为Q1，Q2时，游速分别为v1、v2，
由题意：v2－v1＝1，即log3－log3＝1.
∴log3＝1，∴＝9，即Q2＝9Q1.
故鲑鱼要想把游速提高1m/s，其耗氧量单位数应变为原来的9倍．
1．指数函数模型：y＝m·ax＋b(a＞0且a≠1，m≠0)．
2．对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a＞0且a≠1)．
3．幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0)．
如果已知函数模型，可用待定系数法求解相应参数．
某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：
(1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系．
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)．
(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．
【解】 (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2，
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3，
……
x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．
(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．
(3)设x年后人口将达到120万人，即可得到100×(1＋1.2%)x＝120，
x＝log1.012＝log1.0121.2＝≈15.28.
所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.
思想方法技巧
拟合函数模型的建立与应用
(12分)某企业常年生产一种出口产品，自2010年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2010年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
(1)画出2010～2013年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2014年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2014年的年产量为多少？
【思路点拨】 →
【规范解答】 (1)画出散点图，如图所示.2分
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得
解得∴f(x)＝1.5x＋2.5.4分
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.6分
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化.8分
(3)根据所建的函数模型，预计2014年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2014年的年产量为7万件.12分
思维启迪
函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
课堂总结
1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．
2．(1)解应用题的一般思路可表示如下：
(2)解应用题的一般步骤：
①读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；
②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；
③解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；
④答：将数学结论还原为实际问题的结论．
当堂检测
1．一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图3－2－9所示，那么图象所对应的函数模型是( )
图3－2－9
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
【解析】 由图可知s＝kt，故选A.
【答案】 A
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x
D．y＝2x＋1
【解析】 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．
【答案】 D
3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只
B．400只
C．600只
D．700只
【解析】 将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
【答案】 A
4．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
【解】 (1)设每月产量为x台，则总成本为(20
000＋100x)元，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25
000，
∴当x＝300时，f(x)有最大值25
000；
当x>400时，f(x)＝60
000－100x是减函数．
f(x)<60
000－100×400<25
000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25
000.
∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25
000元.
课后知能检测
一、选择题
1．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)
0500000
1
000500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1
200km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元
B．6.00元
C．7.00元
D．8.00元
【解析】 由题意可知，当x＝1
200时，y＝7.00元．
【答案】 C
2．某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格可降为( )
A．2
400元
B．900元
C．300元
D．3
600元
【解析】 12年后的价格为y＝8
100×3＝2
400(元)．
【答案】 A
3．下图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图；那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系，用下列哪个函数模型拟合最好？
图3－2－10
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
【解析】 结合图象的变化趋势可以看出，红豆生长时间与枝数的关系大约成指数函数关系，故选A.
【答案】 A
4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
【答案】 D
5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1
000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30
B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45
D．a＝－45，b＝－30
【解析】 设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元，则
y＝xQ－P＝x－＝x2＋(a－5)x－1
000，
其中x∈(0，＋∞)．由题意知当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
∴整理得解得a＝45，b＝－30.
【答案】 A
二、填空题
6．(2014·徐州高一检测)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.301
0)．
【解析】 设至少要洗x次，则x≤，∴x≥≈3.322，所以需4次．
【答案】 4
7．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少．
【解析】 Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27＝0.0025(v2－70v)＋4.27
＝0.0025[(v－35)2－352]＋4.27＝0.0025(v－35)2＋1.2075.
故v＝35km/h时，耗油量最少．
【答案】 35
8．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
【解析】 对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，
对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．
【答案】 甲
三、解答题
9．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x应小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
【解】 (1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是y＝kx·，0(2)由(1)知，y＝kx·＝－x2＋kx＝－2＋，0则当x＝时，ymax＝.所以，鱼群年增长量的最大值为.
10．某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：
月份
用气量(立方米)
煤气费(元)
1
4
4.00
2
25
14.00
3
35
19.00
该市煤气收费的方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．
若每月用气量不超过最低额度A(A>4)立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费C(0(1)根据上面的表格求A，B，C的值；
(2)记该家庭第四月份用气为x立方米，求应交的煤气费y元．
【解】 (1)1月的用气量没有超过最低额度A，所以3＋C＝4 C＝1，
2,3月的用气量超过了最低额度A，所以解得B＝，A＝5.
(2)当x≤5时，需付费用为3＋1＝4元．
当x>5时，需付费用为4＋(x－5)×＝x＋元，
所以应交的煤气费y＝
11．设在海拔xm处大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是y＝Cekx，其中C，k是常量．已知某地某日在海平面的大气压强为1.01×105Pa,1
000m高空的大气压强为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．
【解】 将x＝0，y＝1.01×105，x＝1
000，y＝0.90×105分别代入y＝Cekx，得
即
将C＝1.01×105代入0.90×105＝Ce1
000k，得
0．90×105＝1.01×105e1
000k，即0.9＝1.01e1
000k.
两边取以e为底的对数(自然对数)，
得k＝ln≈－1.15×10－4，
所以y＝1.01×105×e－1.15×10－4x
将x＝600代入，得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600≈0.943×105.
答：在600m高空的大气压强约为0.943×105Pa.3.2.2
函数模型的应用实例（二）
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力.
(
)2．过程与方法
(
)经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：指数函数模型、拟合函数模型的应用
(
)难点：依据题设情境，建立函数模型.
(
)（三）教学方法
(
)师生合作探究解题方法，总结解题规律.老师启发诱导，学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型，似合函数模型解决实际问题的技能.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
例1
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789日均销售量/桶480440400360销售单价/元101112日均销售量/桶320280240请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
师生合作回顾一元一次函数，一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检”
(
)生：尝试解答例1
(
)解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y
元，而在此情况下的日均销售量就为
(
)480–40(x–1)=520–40x(桶)
(
)由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得
(
)y=(520–40x)x–200
(
)
=
–40x2+520x–200，0＜x＜13
(
)易知，当x=6.5时，y有最大值.
(
)所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
(
)师：帮助课本剖析解答过程，回顾反思上节课的学习成果
以旧引新激发兴趣，再现应用技能.
应用举例
4．指数型函数模型的应用
(
)例1
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，
(
)其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
(
)下表是1950~1959年我国的人口数据资料：年份19501951195219531954人数/万人5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数/万人6145662828645636599467207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(
)（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
(
)例2
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
(
)（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
(
)例2
解答：
(
)（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
(
)
(
)如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用计算器算得a≈2，b≈1.02.
(
)这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.
(
)将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(
)（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，
(
)由计算器算得y≈63.98.
(
)由于78÷63.98≈1.22＞1.2，
(
)所以，这个男生偏胖.
(
)归纳总结：
(
)通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：
(
)
师：形如y=bacx函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例很多（如例1）
(
)生：在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例
(
)师生合作总结解答思路及题型特征
(
)师生：共同完成例1
解答：
(
)（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1
+
r1)
=
56300，可得1951年的人口增长率
(
)r1≈0.0200.
(
)同理可得，
(
)r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
(
)r8≈0.0222，r9≈0.0184.
(
)于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为
(
)r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.
(
)令y 0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.
(
)根据表中的数据作出散点图并作出函数
(
)y=55196e0.0221t
(t∈N)的图象
(
)
(
)由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
(
)（2）将y=130000代入
(
)y=55196e0.0221t，
(
)由计算器可得t≈38.76.
(
)所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
(
)
通过实例求解，提炼方法整合思路提升能力.
巩固练习
练习1已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
解答：（1）已知人口模型为y
=
y0en，其中y0表示t
=
0时的人口数，r表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y
=
5e0.003t.当y
=
10时，解得t≈231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.（2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.
固化能力强化技巧
应用举例
4．拟合函数模型例3
某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y
给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？归纳总结：所以y=
–0.8×0.54+1.4=1.35本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与具体实际结合起来.
生：动手实践解题此例学生四个代表分别板书四种函数模型.师：点评学生解答，总结，回答问题解析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C (3，1.3)，D(4，1.37).（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有所以得y
=
0.1x
+
1.（2）设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有所以y=
–0.05x2+0.35x+0.7.（3）设，将A，B两点的坐标代入，有所以（4）设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得
用已学函数模型综合求解问题，提升综合应用模型的能力.
巩固练习
练习2
某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？
学生口述解题思路老师借助电脑解答问题（1）列表（2）画散点图.（3）确定函数模型.甲：y1=
–x2
+12x+41，乙：y2
=
–52.07×0.778x
+
92.5（4）做出函数图象进行比较.计算x
=
6时，y1
=
77，y2
=
80.9.可见，乙选择的模型较好.
固化解题技巧
归纳总结
1．数学模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.2．关于数学建模中的假设就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表现在以下几个方面：（1）进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.（2）降低解题难度.由于每一个解题者的能力不同，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解.一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，得到更满意的解.
师生合作交流归纳知识，整合解题体会
整合理论培养学习能力
课后练习
3.2
第四课时
习案
学生独立完成
固化知识提高能力
