第1课时
集合的含义与表示
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
(
)（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.
(
)（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.
(
)2．过程与方法
(
)（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．
(
)（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．
(
)（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．
(
)（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.
(
)
3．情感、态度与价值观
(
)（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
(
)（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．
(
)
（二）教学重点、难点
(
)重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.
(
)
（三）教学方法
(
)尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
(
)问题
(
)
一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货 能否回答一共进了4
+
5
=
9种呢？
学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故应为4
+5
–
2
=
7种．从而指出：
(
)
……这好像涉及了另一种新的运算．……
设疑激趣，
(
)导入课题．
(
)
复习
(
)引入
①初中代数中涉及“集合”的提法．
(
)②初中几何中涉及“集合”的提法．
引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：
(
)一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．
(
)
几何中，圆的概念是用集合描述的．
通过复习回顾，引出集合的概念．
概念
(
)形成
第一组实例（幻灯片一）：
(
)
（1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，……，9．
(
)
（2）满足3x
–
2
＞x
+
3的全体实数．
(
)（3）所有直角三角形．
(
)（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．
(
)（5）高一（1）班全体同学．
(
)（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．
(
)1．集合：
(
)一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．
(
)2．集合的元素（或成员）：
(
)
即构成集合的每个对象（或成员），
教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点 请大家讨论．
(
)学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．
(
)②我们能否给出集合一个大体描述 ……学生思考后回答，然后教师总结．
(
)③上述六个例子中集合的元素各是什么
(
)
④请同学们自己举一些集合的例子．
通过实例，引导学生经历并体会集合（描
(
)述性）概念
(
)形成的过程，引导学
(
)生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．
概念
(
)深化
第二组实例（幻灯片二）：
(
)（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．
(
)（2）方程x2
=
1的解的全体构成的集合．
(
)（3）平行四边形的全体构成的集合．
(
)（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．
(
)3．元素与集合的关系：
教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗
(
)
学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系．
引入集合语言描述集合．
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
念
(
)深化
集合通常用英语大写字母A、B、C…表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示．
(
)如果a是集合A的元素，就说a属于A，
(
)记作a∈A，读作“a属于A”．
(
)如果a不是集合A的元素，就说a不属于
(
)A，记作aA，读作“a不属于A”．
(
)4．集合的元素的基本性质；
(
)（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．
(
)（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．
(
)第三组实例（幻灯片三）：
(
)
（1）由x2，3x
+
1，2x2
–
x
+
5三个式子构成的集合．
(
)（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．
(
)（3）方程x2
=
–
1的全体实数解构成的集合．
(
)
5．空集：不含任何元素的集合，记作．
(
)6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．
(
)7．常用的数集及其记号（幻灯片四）．
(
)
N：非负整数集（或自然数集）．
(
)
N
或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．
(
)Z：整数集．
(
)Q：有理数集．
(
)R：实数集．
教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？
(
)学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：
(
)给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(
)教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个
(
)
学生通过观察思考并回答问题．然后，依据元素个数的多少将集合分类．让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？……
请同学们熟记上述符号及其意义．
通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
应用举例
列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.例1
用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2
=
x的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例2
试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2
–2
=
0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
师生合作应用定义表示集合.例1
解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A
=
{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法.
例如：A
=
{9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2
=
x
的所有实数根组成的集合为B，那么B
=
{0，1}.（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C
=
{2，3，5，7，11，13，17，19}.例2
解答：（1）设方程x2
–
2
=
0的实数根为
x，并且满足条件x2
–
2
=
0，因此，用描述法表示为A
=
{x∈R|
x2
–2
=
0}.方程x2
–2
=
0有两个实数根，，因此，用列举法表示为A
=
{，}.（2）设大于10小于20的整数为
x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20.
因此，用描述法表示为B
=
{x∈Z
|
10＜x＜20}.大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B
=
{11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
应用举例
例3
已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．
解：根据集合元素的互异性，得
所以x∈R且x≠±1，x≠0．课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．例2
用∈、填空．①
Q；②
Z；③
R；④0
N；⑤0
N
；⑥0
Z．
学生分析求解，教师板书．
幻灯片五（练习答案），反馈矫正．
通过应用，进一步理解集合的有关概念、性质．
例4
试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2
–
9
=
0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y
=
x
+
3与
y
=
–2x
+
6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x
–
5＜3的解集.
生：独立完成；题：点评说明.例4
解答：（1）{3，–3}；（2）{2，3，5，7}；（3）{(1，4)}；（4）{x|
x＜2}.
归纳总结
①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．③通过回顾学习过程比较列举法和描述法.
归纳适用题型.
师生共同总结——交流——完善．
引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程．
课后作业
1.1
第一课时习案
由学生独立完成．
巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．
备选例题
例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.
（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；
②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.
【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.
【解析】（1）①{1，3，5，15}
②{0，2，4，6，8，10}
（2）①{x
|
x
=
2n，n∈N
}
②{x
|
x
=
(–1)
n–1·(2n
–1)，n∈N
且n≤21}.
【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.
（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.
例2
用列举法把下列集合表示出来：
（1）A
=
{x∈N
|∈N}；
（2）B
=
{∈N
|
x∈N
}；
（3）C
=
{
y
=
y
=
–
x2
+
6，x∈N
，y∈N
}；
（4）D
=
{(x，y)
|
y
=
–x2
+6，x∈N
}；
（5）E
=
{x
|=
x，p
+
q
=
5，p∈N
，q∈N
}.
【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件也是自然数；集合B中的元素是自然数，它必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素是自然数y，它实际上是二次函数y
=
–
x2
+
6
(x∈N
)的函数值；集合D中的元素是点，这些点必须在二次函数y
=
–
x2
+
6
(x∈N
)的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x
=，其中p
+
q
=
5，且p∈N，q∈N
.
【解析】（1）当x
=
0，6，8这三个自然数时，=1，3，9也是自然数.
∴
A
=
{0，6，9}
（2）由（1）知，B
=
{1，3，9}.
（3）由y
=
–
x2
+
6，x∈N，y∈N知y≤6.
∴
x
=
0，1，2时，y
=
6，5，2
符合题意.
∴
C
=
{2，5，6}.
（4）点
{x，y}满足条件y
=
–
x2
+
6，x∈N，y∈N，则有：
∴
D
=
{(0，6)
(1，5)
(2，2)
}
（5）依题意知p
+
q
=
5，p∈N，q∈N
，则
x
要满足条件x
=，
∴E
=
{0，，，，4}.
【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.
例3
已知–3∈A
=
{a
–3，2a
–
1，a2
+
1}，求a的值及对应的集合A.
–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a
–3
=
–3，或2a
–
1
=
–3，求出a，再代入A，求出集合A.
【解析】由–3∈A，可知，a
–3
=
–3或2a
–1
=
–3，当a
–3
=
–3，即a
=
0时，A
=
{–3，–1，1}
当2a
–
1
=
–3，即a
=
–1时，A
=
{–
4，–3，2}.
【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为
–3，以此展开讨论，便可求得a.教学设计
1.1.1 集合的含义与表示
教学分析
集合语言是现代数学的基本语言，同时也是一种抽象的数学语言．教材将集合的初步知识作为初、高中数学课程的衔接，既体现出集合在高中数学课程中举足轻重的作用，又体现出集合在数学中的奠基性地位．
课本除了从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义、性质、表示方法之外，还特别注意渗透了“概括”与“类比”这两种常用的逻辑思考方法．因此，建议教学时，应引导学生从大量的实例中概括出集合的含义；多创设让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、集合语言和图形语言各自的特点和表示方法，能进行相互转换并且灵活应用，充分掌握集合语言．与此同时，本小节作为高一数学教学的第一节新授课，知识体系中的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流、讨论，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．这样，既能够培养学生自我阅读、共同探究的能力，又能提高学生主动学习、合作交流的精神．
三维目标
1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．
2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．
3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．
重点难点
教学重点：集合的基本概念与表示方法．
教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．
课时安排
1课时
导入新课
思路1．集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．
思路2．你经常会谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？
这就是本节课我们所要学习的内容．
思路3．“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)
“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”
推进新课
①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？
②全体自然数能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？
③方程x2－3x＋2＝0的所有实数根能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？
④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义？
讨论结果：①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．
②能．这个集合由0,1,2,3，……等无限个元素组成，称为无限集．
③能．这个集合由1,2两个数组成．
④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．
通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.
①近视超过300度的同学能否构成一个集合？
②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？
③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？
④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？
⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？
⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质？
⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？
讨论结果：①能．
②不能．
③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．
④一次．
⑤4个元素．e，v，r，y这四个字母．
⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．
⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a＝1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？
②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？
③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.
讨论结果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．
②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．
③3∈A,4A.
①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？
②字母表示法中有哪些专用符号？
③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？
④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！
⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？
小于10的质数；
不等式x－2＞5的解集.
⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！
⑦集合的表示方法共有几种？
讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．
②非负整数集(或自然数集)，记作N；
除0的非负整数集，也称正整数集，记作N
或N＋；
整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.
③两种，列举法与描述法．
④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}．
⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．
⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．
⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．
例1
下列所给对象不能构成集合的是__________．
(1)高一数学课本中所有的难题；
(2)某一班级16岁以下的学生；
(3)某中学的大个子；
(4)某学校身高超过1.80米的学生．
活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．
解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．
(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．
(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．
(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．
答案：(1)(3)
变式训练1．下列几组对象可以构成集合的是( )A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7
m以上的人答案：D2．已知集合S的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形
D．等腰三角形答案：D3．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )A．1 B．－2
C．6 D．2答案：C点评：本题主要考查集合元素的性质．当所描述的对象明确的时候就能构成集合，若元素不明确就不能构成集合，称为元素的确定性；同时，一个集合中的元素是互不相同的，称为元素的互异性；此外还要注意元素的无序性.
例2
用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．
活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：
针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？
针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？
针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？
在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{ }”内，并用逗号隔开．
解：(1)小于10的自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；
(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}；
(3)1～20以内的质数有2,
3,5,7,11,13,17,19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性.
变式训练1．用列举法表示下列集合：(1)一年之中的四个季节组成的集合；(2)满足不等式1＜1＋2x＜19的素数组成的集合．答案：(1){春季，夏季，秋季，冬季}；(2){2,3,5,7}．2．已知集合A＝，试用列举法表示集合A.解：由题意可知6－x是8的正约数，当6－x＝1时，x＝5；当6－x＝2时，x＝4；当6－x＝4时，x＝2；当6－x＝8时，x＝－2；而x≥0，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}．点评：变式训练1主要对列举法进行了考查；变式训练2考查了两个方面的知识点，一是元素与集合的关系，二是列举法的应用，体现了对知识综合应用的能力.
例3
试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：
针对例3(1)——列举法
①方程x2－2＝0的解是什么？
②如何用列举法表示方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合？
针对例3(1)——描述法
①描述法的定义是什么？
②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？
③如何用描述法表示所求集合？
针对例3(2)——列举法
①大于10小于20的所有整数有哪些？
②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？
针对例3(2)——描述法
①所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？
②如何用描述法表示所求集合？
解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}；方程x2－2＝0的两个实根为x1＝－，x2＝，因此，用列举法表示为A＝{－，}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10＜x＜20}；大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．
点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.
变式训练用适当的方法表示下列集合：(1)Welcome中的所有字母组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3)由所有非负偶数组成的集合；(4)直角坐标系内第三象限的点组成的集合；(5)不等式2x－3＞2的解集．解：(1)列举法：{W，e，l，c，o，m}；(2)列举法：{3,5,7,11,13,17,19}；(3)描述法：{x|x＝2n，n∈N}；(4)描述法：{(x，y)|x＜0，且y＜0}；(5)描述法：{x|x＞2.5}.
课后练习1,2.
【补充练习】
1．考查下列对象能否构成集合：
(1)著名的数学家；
(2)某校2013年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(6)的近似值的全体．
答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．
2．用适当的符号填空：
(1)0__________N，__________N，__________N；
(2)－__________Q，π__________Q，e__________ RQ(e是个无理数)；
(3)＋＝__________{x|x＝a＋b，a∈Q，b∈Q}．
答案：(1)∈ ∈ (2)∈ ∈ (3)∈
3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．
解：∵2∈A，
∴m＝2或m2－3m＋2＝2.
若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.
m＝0不合题意，舍去．
∴m只能取3.
4．用适当方法表示下列集合：
(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点的集合；
(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；
(3)不等式x－3＞2的解集；
(4)自然数中不大于10的质数集．
答案：(1)描述法：{(x，y)|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．
(2)描述法：＝.
列举法：{(1,4)}．
(3)描述法：{x|x＞5}
(4)列举法：{2,3,5,7}．
问题1：设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－y2,0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P，Q.
活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生讨论：本题中集合P，Q对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．
解：∵P＝Q且0∈Q，
∴0∈P.
若x＋y＝0或x－y＝0，则x2－y2＝0，从而Q＝{x2＋y2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x＋y≠0且x－y≠0；
若xy＝0，则x＝0或y＝0.
当y＝0时，P＝{x，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，
∴y≠0；
当x＝0时，P＝{－y，y,0}，Q＝{y2，－y2,0}，
由P＝Q得 ① 或②
由①得y＝－1，由②得y＝1，
∴或
此时P＝Q＝{1，－1,0}．
点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．
问题2：已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围．
活动探究：讨论关于x的方程ax2－3x＋2＝0实数根的情况，从中确定a的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．
解：(1)a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝，符合题意．
(2)a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程．
由Δ＝9－8a≤0，得a≥.
∴当a≥时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．
综合(1)(2)，知a＝0或a≥.
点评：“a＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a≠0”的条件下，方程ax2－3x＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．
问题3：设S＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S
活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋n的形式；如果能，m和n分别是多少，如果不能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．
针对问题(2)——首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋x2，x1·x2是否是集合S中的元素．
解：(1)a是集合S中的元素，a＝a＋×0∈S.
(2)不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m，n，p，q∈Z.
则x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)＝(m＋p)＋(n＋q)，m，n，p，q∈Z.
∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋n)·(p＋q)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.
∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.
点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．
本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．
习题1.1A组 3,4.
本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生积极思考，主动参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”．
集合论的诞生
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分．在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．
康托尔把无穷集这一词汇引入数学．对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子．“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示．”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生．但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作．在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释．无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的．这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数21世纪教育网子高斯就持这种观点．由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的．然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷．他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势．由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系——也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数．这与传统观念“全体大于部分”相矛盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集．又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．后来当他又证明了实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集．但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集．有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”．
然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认．在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献．”1.1.1
集合的含义与表示教学设计
三维目标：
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
（2）了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识。
教学重点：集合的基本概念与表示方法；
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；
教学过程：
一、创设情境，新课引入
（1）请第一组的全体同学站起来？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是第一组的同学）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
二、师生互动，新课讲解
1、集合的有关概念
集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
课本P2：例子(1)—(8),都构成一个集合。
2、集合的表示方法：
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A，B，C，P，Q，X，Y，等；集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c,
等。
如果a是集合A的元素，就说a
属于集合A，记作aA;如果a
不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA(或aA)。
3、常用的数集及其记法：
全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作：N；（注意：0是自然数）
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作：N+或N
。
全体整数的集合通常简称整数集，记作：Z；
全体有理数的集合通常简称有理数集，记作：Q；
全体实数的集合通常简称实数集，记作：R。
学生练习：用符号或填空：
1
N
，0
N,
-3
N,
0.5
N,
N
1
Z
,
0
Z,
-3
Z,
0.5
Z,
Z,
1
Q
,
0
Q,
-3
Q,
0.5
Q,
Q,
1
R
,
0
R,
-3
R,
0.5
R,
R.
4、集合的表示方法：
先介绍记号：大括号“{
}”，在集合里表示总体，而后提出集合的两种表示方法：
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写出大括内表示集合的方法。
例如：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。一般先在大括号内写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线右面写上这个集合的元素的公共属性。
例如：所有的奇数表示为：{x|x=2k+1,kZ}
集合的性质：
（1）确定性：集合中的元素，必须是确定的，不是含糊不清的，任何一个对象，都能明确判断它是或者不是某全集合的元素，二者必居其一。
（2）互异性：集合中任何两个元素都是不相同的，在同一个集合中，相同的对象只能算作一个元素。
例如：集合{1，1，2}只能当作只有两个元素的集合。应用写为{1，2}才为正确的。
（3）无序性：在用列举法表示一个集合，写出它的各个元素时，与排列先后的顺序没有关系。
例如，对于集合：{-1，1，2}，也可以写成{1，2，-1}或{1，-1，2}等。
但是对于一些列举法中用省略号“……”表示的集合，仍应按它的一定次序排列，（根据它的特征）不能任意书写。
例如，对于自然数集，应写成：{1，2，3，……}，而不能写成：｛3，2，1，……｝；对于正偶数集，应写成：{2，4，6，……}，不能写成：{4，2，6，……}，但对于数集：{1，2，3，4，5}，则可表成：{3，1，5，2，4}。
6、例题讲解：
例1：下列所给对象不能构成集合的是________．
(1)高一数学课本中所有的难题；
(2)某一班级16岁以下的学生；
(3)某中学的大个子；
(4)某学校身高超过1.80米的学生；
(5)1,2,3,1.
解析 (1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．
(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．
(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．
(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．
(5)虽然(5)中的对象具备确定性，但有两个元素1相同，不符合元素的互异性，所以(5)不能组成集合．
答案 (1)(3)(5)
点评 判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
变式训练1：
（1）（课本P3的思考题）判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
1）大于3小于11的偶数；2）我国的小河流。
小结：小河流不确定，所以不是集合。
（2）在数集{2x,x2-x}中，实数x的取值范围是____________（答：x0且x3）
例2（课本P3例1）用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x==x的所有实数根组成的集合；
（3）由1~20以内的所有素数组成的集合。
变式训练2：用列举法表示下列集合：
（1）所有绝对值等于8的数的集合A；
（2）所有绝对值小于8的整数的集合B。
例3（课本P4例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合
变式训练3：（课本P5练习NO：2）
例4：(tb0100305)：下面一组集合中各个集合的意义是否相同？为什么？
{1，5}
；{（1，5）}；{5，1}；{（5，1）}
分析：对于这个集合问题，只有明确集合中元素的具体意义才能作出正确解答。
解：{1，5}是由两个数1，5组成的集合，根据集合中元素的无序性，它与{5，1}是同一集合；{（1，5）}是一个点（1，5）组成的单元集合，由于（1，5）和（5，1）表示两个不同的点，所以{（1，5）}和{（5，1）}是不同的两个集合。
变式训练4：
(1)下面一组集合各个集合的意义是否相同？为什么？
，，，
(2)用列举法表示集合{(x,y)|x
∈{1,2},y∈{1,2,3}}
三、课堂小结，巩固反思：
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。
集合的三性：确实性，互异性，无序性。
四、布置作业：
A组：
1、（课本P11习题1.1A组NO：1）（做在课本上）
2、（课本P11习题1.1A组NO：2）（做在课本上）
3、（课本P11习题1.1A组NO：3）
4、（课本P11习题1.1A组NO：4）
5、（tb0300202）：已知集合M={a,b,c}中的三个元素可构成三角形的三边长，那么ABC一定不是（
D
）。
（A）锐角三角形
（B）直角三角形
（C）钝角三角形
（D）等腰三形
B组：
1.已知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x－6x＋5=0}，用∈或填空：
4
A，4
B，5
A，5
B
2.已知集合A＝{x|-3。
3.
用列举法表示集合．1．1集 合
1．1.1 集合的含义与表示
第2课时 集合的表示
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握集合的表示方法——列举法和描述法；
(2)能进行自然语言与集合语言间的相互转换．
2．过程与方法
(1)教学时不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象概括能力的培养；
(2)教学过程中应努力培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力，训练学生分析问题和处理问题的能力．
3．情感、态度与价值观
培养数学的特有文化——简洁精练，体会从感性到理性的思维过程．
●重点难点
重点：用集合语言(描述法)表达数学对象或数学内容．
难点：集合表示法的恰当选择．
(1)重点的突破：以教材中的思考为切入点，让学生感知列举法表示集合不足的同时，顺其自然的引出集合的另一种方法——描述法，然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式，必要时可通过题组训练，让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各种疑点，教师给予适当点拨，从而化难为易；
(2)难点的解决：本节课不仅要让学生学习两种表示法，同时还要让学生体会如何恰当选择表示法表示集合．为此，可通过实例多角度启发学生关注知识间的联系与区别，并借助两种方法表示集合的优缺点总结出表示法选择的规律——在元素不太多的情况下，宜采用列举法；在元素较多时，宜采用描述法表示．
课标解读
1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
列举法
【问题导思】
设集合M是小于5的自然数构成的集合，集合M中的元素能一一列举出来吗？
【提示】 能.0,1,2,3,4.列举法的定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
描述法
【问题导思】
1．“绝对值小于2的实数”构成的集合，能用列举法表示吗？
【提示】 不能．
2．设x为该集合的元素，x有何特征？
【提示】 |x|<2.
3．如何表示该集合？
【提示】 {x∈R||x|<2}1.定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫描述法．
2．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
用列举法表示集合
用列举法表示下列集合：
(1)方程x2－1＝0的解构成的集合；
(2)由单词“book”的字母构成的集合；
(3)由所有正整数构成的集合；
(4)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．
【思路探究】 先分别求出满足要求的所有元素，然后用列举法表示集合．
【自主解答】 (1)方程x2－1＝0的解为－1,1，所求集合为{－1,1}；
(2)单词“book”有三个互不相同的字母，分别为“b”、“o”、“k”，所求集合为{b，o，k}；
(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}；
(4)方程组的解是
所求集合为.
1．用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，如本例(1)是数集，本例(4)是点集．
2．使用列举法表示集合时应注意以下几点：
(1)在元素个数较少或有(无)限但有规律时用列举法表示集合，如集合：{1,2,3}，{1,2,3，…，100}，{1,2,3，…}等．
(2)“{}”表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；元素无顺序，满足无序性．
用列举法表示下列集合．
(1)我国现有直辖市的全体．
(2)绝对值小于3的整数集合．
(3)方程组的解集．
【解】 (1){北京，上海，天津，重庆}；
(2){－2，－1,0,1,2}；
(3)方程组的解是
所求集合为.
用描述法表示集合
用描述法表示下列集合：
(1)不等式3x－2≥0的解构成的集合；
(2)偶数集；
(3)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合．
【思路探究】 找准集合的代表元素→
说明元素满足的条件→用描述法表示相应集合
【自主解答】 (1)A＝{x|3x－2≥0}或A＝；
(2)B＝{x|x＝2k，k∈Z}；
(3){(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}．
1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素．
2．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围，如本例(2)．
把本例(2)换成“{2,4,6,8,10}”如何求解？
【解】 该集合用描述法表示为B＝{x|x＝2k,1≤k≤5且k∈Z}.
集合表示法的选择
用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合；
(3)所有的正方形；
(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
【思路探究】 依据集合中元素的个数，选择适当的方法表示集合．
【自主解答】 (1)解方程组得故解集为{(4，－2)}；
(2)集合的代表元素是数x，集合用描述法表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1000}；
(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}；
(4)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
1．本例(1)在集合的表示时，常因不明白方程组解的含义，导致出现以下两种错误表示：{4，－2}和{x＝4，y＝－2}．
2．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示．对一些元素有规律的无限集，也可以用列举法表示，如正偶数集也可写成{2,4,6,8,10，…}．
有下面六种表示方法：
①{x＝－1，y＝2}；②；
③{－1,2}；
④(－1,2)；
⑤{(－1,2)}；⑥{x，y|x＝－1或y＝2}．
其中能正确表示方程组的解集的是________，(把所有正确的序号都填在横线上)
【解析】 ∵方程组的解为
∴该方程组的解集应为点集，其正确形式是②⑤.
【答案】 ②⑤
分类讨论思想在集合表示法中的应用
(12分)集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【思路点拨】 明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k值→写出集合A
【规范解答】 (1)当k＝0时，
原方程变为－8x＋16＝0，
x＝2.2分
此时集合A＝{2}.4分
(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.6分
只需Δ＝64－64k＝0，
即k＝1.8分
此时方程的解为
x1＝x2＝4，
集合A＝{4}，
满足题意.10分
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.12分
1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．
2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．
3．集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个多用描述法．
2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．
1．使不等式x＞2成立的实数x的集合可表示为( )
A．{x＞2} B．{x＞2|x∈R}
C．{3,4,5，…}
D．{x∈R|x＞2}
【解析】 使不等式x＞2成立的实数x的集合表示为{x|x＞2}．
【答案】 D
2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为( )
A.
B．{(0,1)}
C.
D.
【解析】 解方程组得
故集合为{(0,1)}
【答案】 B
3．下面四种说法正确的有________个．
①10以内的合数构成的集合是{0,2,4,6,8,9}；
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程x2－2x＋1＝0的解集是{1}；
④0与{0}表示同一个集合．
【解析】 ①不正确，∵0和2不是合数；
②正确，用列举法表示集合，其元素无顺序可言；
③正确，因为方程x2－2x＋1＝0有且只有一个解x＝1；
④不正确，{0}表示一个集合，其元素只有一个0，故{0}与0不同．
【答案】 2
4．分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x2－x－2＝0的解组成的集合；
(2)大于1且小于5的所有整数构成的集合．
【解】 (1)描述法表示集合为{x|x2－x－2＝0}；
由于方程x2－x－2＝0的两解分别是－1,2，故方程的解组成的集合可用列举法表示为{－1,2}；
描述法表示集合为{x|x是大于1且小于5的整数}；列举法表示为{2,3,4}.
一、选择题
1．集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示( )
A．方程y＝3x＋1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中所有的点组成的集合
D．函数y＝3x＋1的图象上的所有点组成的集合
【解析】 由集合描述法的定义可知，该集合表示函数y＝3x＋1的图象上的所有点组成的集合．
【答案】 D
2．集合A＝{(0,1)，(2,3)}中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3
D．4
【解析】 集合A中的元素是点，而不是数，故集合A中有两个元素．
【答案】 B
3．(2013·临沂高一检测)已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是( )
A．0∈A
B．1 A
C．－1∈A
D．0 A
【解析】 ∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0,1}，
∴0∈A.
【答案】 A
4．下列集合的表示正确的是( )
A．{1,2,2}
B．R＝{全体实数}
C．{3,5}
D．不等式x－5>0的解集为{x－5>0}
【解析】 A不正确，因为集合中的元素需满足互异性；
B不正确，因为花括号“{ }”本身就有“全体”的意思；
C正确；
D不正确，不等式x－5>0的解集为{x|x－5>0}．
【答案】 C
5．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
【解析】 A中M、N都为点集，元素为点的坐标，顺序不同表示的点不同；C中M、N分别表示点集和数集；D中M为数集，N为点集，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．若集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{y|y＝x－1，x∈A}，将集合B用列举法表示为________．
【解析】 x＝1时，y＝0；x＝2时，y＝1；x＝3时，y＝2；x＝4时，y＝3.故B＝{0,1,2,3}．
【答案】 {0,1,2,3}
7．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
【解析】 ∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
【答案】 {－1,4}
8．已知A＝{2,4,6}，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.
【解析】 代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0 A，不符合题意，舍去，所以a＝2或a＝4.
【答案】 2或4
三、解答题
9．选择适当的方法表示下列集合：
(1)被5除，余1的正整数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)在直角坐标平面内，两坐标轴上的点组成的集合；
(4)三角形的全体组成的集合．
【解】 (1){x|x＝5k＋1，k∈N}；
(2{1,2,3,4,6,8,12,24}；
(3){(x，y)|xy＝0}；
(4){x|x是三角形}或{三角形}．
(教师用书独具)
用适当的方法表示下列集合：
(1)由大于5，且小于9的所有正整数组成的集合；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)不等式2x＋3≥0的解组成的集合；
(4)抛物线y＝－x2上的所有点组成的集合．
【思路探究】 明确集合中的元素→明确元素
满足的条件
选择适当的方法表示集合
【规范解答】 (1){6,7,8}；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为
(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴
∴方程的解集可表示为{(2，－3)}；
(3){x|2x＋3≥0}；
(4){(x，y)|y＝－x2}．
集合表示法的选择
(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．
(2)对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的只有这个集合才有的共同特征描述出来，即采用描述法．
用适当的方法表示下列集合：
(1)A＝；
(2)B＝.
【解】 (1)；
(2)∵∈Z，且x∈N，
∴1＋x＝1,2,3,6.
∴x＝0,1,2,5，即＝6,3,2,1.
∴B＝{6,3,2,1}．
【资料卡片】
康托尔·罗素·数学第三次危机
1874年，德国数学家康托尔(1845－1918)创立了集合论，他是集合理论的创始人．集合理论很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础．到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了．就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1903年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗．
1903年，英国逻辑学家、数学家、诺贝尔和平奖获得者罗素对集合论提出了以他的名字命名的“罗素悖论”．后来，他用一个“理发师悖论”来形象地说明自己的悖论：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师顿时哑口无言．很显然，在逻辑上，他无论怎样做，都会违背自己的原则．
“罗素悖论”在20世纪数学理论中引起了轩然大波．“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众说纷纭，悲观者甚至因此把当代数学比作“建立在沙滩上的庞然大物”．这就是数学史上著名的“第三次数学危机”．“罗素悖论”构成的危机震撼了国际数学界，进而也进一步推动了数学的向前发展．集合的含义与表示
（第一课时）
教学目标：1.理解集合的含义。
2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。
3.熟记有关数集的专用符号。
4.培养学生认识事物的能力。
教学重点：集合含义
教学难点：集合含义的理解
教学方法：尝试指导法
教学过程：
引入问题
（I）提出问题
问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？
问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？
讨论问题：按小组讨论。
归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。
复习问题
问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。
（II）讲授新课
1．集合含义
通过以上实例，指出：
（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。
说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。
（2）表示方法：集合通常用大括号{
}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？
2.
集合元素的三个特征
问题：（1）A={1，3}，问3、5哪个是A的元素？（2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？B={身材较高的人}呢？（3）A={2，2，4}，表示是否准确？（4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？
由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：
确定性：
设A是一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；
而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合
元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)
若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；
若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。
如A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A.(请学生填充)。
互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素.
说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素.
如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2
（3）无序性:
即集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换.
3.常见数集的专用符号
N：非负整数集（自然数集）.
N
或N+:正整数集，N内排除0的集.Z:
整数集Q：有理数集.R：全体实数的集合。
（III）课堂练习
1.课本P2、3中的思考题2.补充练习：考察下列对象是否能形成一个集合？身材高大的人
②所有的一元二次方程③
直角坐标平面上纵横坐标相等的点
④细长的矩形的全体⑤
比2大的几个数
⑥的近似值的全体⑦
所有的小正数
⑧所有的数学难题给出下面四个关系:R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:(
)A．4个
B．3个
C．2个
D．1个下面有四个命题:①若-aΝ,则aΝ
②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2③集合N中最小元素是1
④
x2+4=4x的解集可表示为{2,2}
其中正确命题的个数是(
)
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
（IV）课时小结
1.集合的含义；
2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。
3.常见数集的专用符号.
（V）课后作业
书面作业
教材P13，习题1.1
A组第1题由实数-a,
a,
,2,
-5为元素组成的集合中,最多有几个元素 分别为什么 求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件 若{t},求t的值.
预习作业
1.
预习内容：课本P4—P6
2.预习提纲：
（1）集合的表示方法有几种？怎样表示，试举例说明.
（2）集合如何分类，依据是什么？
教学后记
1.1.1
集合的含义与表示（第二课时）
教学目标：1.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.
2.通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
教学重点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）
教学难点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）的理解
教学方法：尝试指导法和讨论法
教学过程：
（I）复习回顾
问题1：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明.
问题2：集合与元素关系是什么？如何表示？
问题3：常用的数集有哪些？如何表示？
（II）引入问题
问题4：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的
如表示下列数中的正数
4.8,-3,,-0.5,,+73,3.1
方法1:
方法2:
{4.8,,,+73,3.1}
问题5：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集 （可表示为:x<3）
(III)
讲授新课
一、集合的表示方法
问题4中，方法1为图示法，方法2为列举法.
列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.
说明：
(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；
(2)一般不必考虑元素之间的顺序；
(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；
例1．用列举法表示下列集合：
小于5的正奇数组成的集合；能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；从51到100的所有整数的集合；小于10的所有自然数组成的集合；方程的所有实数根组成的集合；由1~20以内的所有质数组成的集合。
问题6：能否用列举法表示不等式x-7<3的解集
由此引出描述法。
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来,
写在大括号里的方法)。
表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则xA；若xA,则x具有性质p。
说明:
(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；
(2)应防止集合表示中的一些错误。
如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示R。
例2．用描述法表示下列集合：
由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;到定点距离等于定长的点的集合;抛物线y=x2上的点;(4)抛物线y=x2上点的横坐标;(5)抛物线y=x2上点的纵坐标;
例3．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
二、集合的分类
例4．观察下列三个集合的元素个数
1.
{4.8,
7.3,
3.1,
-9};
2.
{xR∣03.
{xR∣x2+1=0}
由此可以得到
集合的分类
三、文氏图
集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下：
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：
表示任意一个集合A
表示{3，9，27}
说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
(IV)课堂练习
1.课本P4思考题和P6思考题及练习题。.
2.补充练习a.方程组
的解集用列举法表示为________；用描述法表示为
.b.
{(x,y)
∣x+y=6，x、y∈N}用列举法表示为
.c.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集
(1){x∣x为不大于20的质数};
(2){100以下的,9与12的公倍数};
(3){(x,y)
∣x+y=5,xy=6};d.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集
(1){3,5,7,9};
(2){偶数};
(3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),…};e.判断下列集合是有限集还是无限集或是空集
(1){2,4,6,8,…};
(2){x∣1(3){xZ∣-1(4){xN∣3(1)
2Q;
(2)
NR;
(3)
2{(2,1)}
(4)
2{{2},{1}};
(5)
菱形{四边形与三角形};
(6)
2{y∣y=x2};
(V)课时小结
1.通过学习清楚表示集合的方法，并能灵活运用.
2.注意集合 在解决问题时所起作用.
（VI）课后作业
1.书面作业：课本P13习题1.1
A组题第2、3、4题。
2.预习作业:
(1)预习内容：课本P6—P8；
(2)预习提纲：
a.集合A和集合B具有什么关系，就能说明一个集合是另一个集合的子集.
b.一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么？
教学后记
4.8,,+73,3.1,
