1.1.2
集合间的基本关系教学设计
一、教学目标
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
(2)理解子集.真子集的概念.
(3)能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感、态度与价值观
(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用.
二、教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
三、学法
让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.
四、教学过程：
（一）复习回顾：
（1）元素与集合之间的关系
（2）集合的三性：确定性，互异性，无序性
（3）集合的常用表示方法：列举法，描述法
（4）常见的数集表示
(二)创设情景，新课引入：
问题l：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探.
(三)师生互动，新课讲解：
问题1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
（1）；
(2)设A为我班第一组男生的全体组成的集合，B为我班班第一组的全体组成的集合；
(3)设
(4).
组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:
归纳：
①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.
记作：
读作：A包含于B(或B包含A).
②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.
教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图.
图1
图2
问题2：与实数中的结论“若”相类比，在集合中，你能得出什么结论
教师引导学生通过类比，思考得出结论:
若.
问题3：已知集合：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，请问A与B相等吗？。
问题4：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn图表示.
学生主动发言，教师给予评价.
问题5：阅读教材第6-7页中的相关内容，并思考回答下例问题：
(1)集合A是集合B的真子集的含义是什么 什么叫空集
(2)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别
(3)0，{0}与三者之间有什么关系
(4)包含关系与属于关系正义有什么区别 试结合实例作出解释.
(5)空集是任何集合的子集吗 空集是任何集合的真子集吗
(6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即
(7)对于集合A，B，C，D，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系
教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法.
总结归纳：
（1）集合与集合之间的
“相等”关系；
，则中的元素是一样的，因此
即
任何一个集合是它本身的子集。即：
（2）真子集的概念
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper
subset）。
记作：A
B（或B
A）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
（3）空集的概念
不含有任何元素的集合称为空集（empty
set），记作：
规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（4）结论：由上述集合之间的基本关系，可以得到关于子集的下述性质：
（1）．
（类比）
（2）．若则（类比，则）
（3）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
例题选讲：
例1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
变式训练1：已知集合A={正方形}，B={矩形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={四边形}，则它们之间有哪些包含关系？
例2（课本P7例3）写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？
变式训练2：
（1）
分别写出集合，{0}，{0，1}，{0，1，2)的子集及其个数.
（2）已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有（D）
（A）3个
（B）4个
（C）5个
（D）6个
课堂练习（课本P7练习NO：1，2，3）
教师及时检查反馈。强调能确定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集.
例3：化简集合A={x|x-3>1},B={x|x5}，并表示A、B的关系；
强调：数轴在表示不等式集合的重要性
变式训练3：化简集合A={x|x-3>2},B={x|x5}，并表示A、B的关系；
例4（tb0100901）：用适当的符号表示下列各题元素与集合、集合与集合之间的关系。
0与；（2）与{0}；（3）与{}；（4）1与{（0，1）}
解：（1）是不含任何元素的集合，所以0；
（2）是任何非空集合的真子集，所以真包含于{0}；
（3）{}是以为元素的单元集，所以{}
又是任何非空集合的真子集，所以真包含于{}。
（4）{（0，1）}是以数对（0，1）为元素的单元集，所以1{（0，1）}。
例5：已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m2}，若BA，则实数m=_____（答：1）
(四)课堂小结，总结反思：
1.请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学思想方法又那些.
2.在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方,请向老师提出.
(五)布置作业（备注：A与B组为必做题；C组为选做题）
A组：
1、（课本P11习题1.1A组NO：5）（做在课本上）
2、(tb0300710)下面五个关系式：
(1)0{0}；(2)0{0}；(3)=0；(4)
{0}；(5)
{0}其中正确的是（D）。
（A）(1)(3)
（B）(1)(5)
（C）(2)(4)
（D）(2)(5)
3、已知集合P={1，2}，那么满足QP的集合Q的个数是（A）
（A）4
（B）3
（C）2
（D）1
4、以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来．
①0与{0}；②0与 ；③ 与{0}；④{0,1}与{(0,1)}；⑤{(b，a.)}与{(a.，b)}．
B组：
1、已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。
2．已知集合若
求的值．
3．有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。
4、（tb0300712）已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+m<0}，若BA，则m的取值范围是_______________。（答：m4）
C组：
1、（tb0401003）已知B={3,x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3,1}，使B=C，求a,x的值。
（答：a=-2且x=3或a=
-6且x=
-1）
2、已知集合A＝，B＝，则A________B.1.1.2 集合间的基本关系
教学分析
课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等．
值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与 的区别．
三维目标
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．
2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．
重点难点
教学重点：理解集合间包含与相等的含义．
教学难点：理解空集的含义．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．
思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)____Q；(3)－1.5____R.
类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
(答案：(1)∈；(2)；(3)∈)
推进新课
(1)观察下面几个例子：
①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；
③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
④E＝{2,4,6}，F＝{6,4,2}．
你能发现两个集合间有什么关系吗？
(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？
(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？
(4)升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知A B，试用Venn图表示集合A和B的关系．
(7)任何方程的解都能组成集合，那么x2＋1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？
(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？
(9)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
活动：教师从以下方面引导学生：
(1)观察两个集合间元素的特点．
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果A B，但存在x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)实数中的“≤”类比集合中的 .
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．
(6)分类讨论：当A B时，AB或A＝B.
(7)方程x2＋1＝0没有实数解．
(8)空集记为，并规定：空集是任何集合的子集，即 A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠)．
(9)类比子集．
讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．
(2)例子①中A B，但有一个元素4∈B，且4A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同．
(3)若A B，且B A，则A＝B.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．
(5)如图1所示表示集合A，如图2所示表示集合B.
图1
图2
(6)如图3和图4所示．
图3
图4
(7)不能．因为方程x2＋1＝0没有实数解．
(8)空集．
(9)若A B，B C，则A C；若AB，BC，则AC.
思路1
例1
某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A，B，C均不是空集．
(1)则下列包含关系哪些成立？
A B，B A，A C，C A.
(2)试用Venn图表示集合A，B，C间的关系．
活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A B成立，否则A B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生注意以下两点：
(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；
长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．
(2)根据集合A，B，C间的关系来画出Venn图．
解：(1)包含关系成立的有：A B，A C.
(2)集合A，B，C间的关系用Venn图表示，如图5所示．
图5
变式训练课本本节练习3.点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．判断两个集合A，B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之间的关系，得：集合A中的元素都属于集合B时，有A B；当集合A中的元素都属于集合B，集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A，B互不包含.
例2
写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论．
解：集合{a，b}的所有子集为，{a}，{b}，{a，b}．真子集为，{a}，{b}.
变式训练已知集合P＝{1,2}，那么满足Q P的集合Q的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1解析：集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，又集合Q P，所以集合Q有4个．答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n＝0时，即空集的子集为，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22.…集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集.
思路2
例1
已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B A，则实数m＝________.
活动：先让学生思考B A的含义，根据B A，知集合B中的元素都属于集合A，由集合元素的互异性，列出方程求实数m的值．因为B A，所以3∈A，m2∈A.对m2的值分类讨论．
解析：∵B A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.
答案：1
点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．
讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.
变式训练已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求实数a的取值范围．分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于NM，则N＝或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论．解：由题意得M＝{x|x＞2}≠，则N＝或N≠.当N＝时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝0；当N≠时，关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝，又∵NM，∴∈M.∴＞2.∴0＜a＜.综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜，即实数a的取值范围是.
例2
(1)分别写出下列集合的子集及其个数：，{a}，{a，b}，{a，b，c}．
(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？
活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．
解：(1)的子集有：，即有1个子集；
{a}的子集有：，{a}，即{a}有2个子集；
{a，b}的子集有：，{a}，{b}，{a，b}，即{a，b}有4个子集；
{a，b，c}的子集有：，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集．
(2)由(1)可得：当n＝0时，集合M有1＝20个子集；
当n＝1时，集合M有2＝21个子集；
当n＝2时，集合M有4＝22个子集；
当n＝3时，集合M有8＝23个子集；
因此含有n个元素的集合M有2n个子集.
变式训练已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个解析：对集合A所含元素的个数分类讨论．A＝或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.
课本本节练习1,2.
【补充练习】
1．判断正误：
(1)空集没有子集．( )
(2)空集是任何一个集合的真子集．( )
(3)任一集合必有两个或两个以上的子集．( )
(4)若B A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.( )
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．
解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．
对于(1)，(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.
2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．
分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合的元素，后找真子集．
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，
即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．
真子集：，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．
3．(1)下列命题正确的是( )
A．无限集的真子集是有限集
B．任何一个集合必定有两个子集
C．自然数集是整数集的真子集
D．{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为( )
①{1}∈{0,1,2} ②{1，－3}＝{－3,1} ③{0,1,2} {1,0,2} ④∈{0,1,2} ⑤∈{0}
A．5 B．2 C．3 D．4
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是( )
A．aM
B．aM
C．{a}∈M
D．{a}M
解析：(1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系．
①应是{1} {0,1,2}，④应是 {0,1,2}，⑤应是 {0}．
故错误的有①④⑤.
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.
因3＜a＜4，故a是M的一个元素，
因此{a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a}M.
答案：(1)C (2)C (3)D
4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；
(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．
解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，
故A，B都是由奇数构成的，即A＝B.
(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·2n，
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．
故集合A，B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.
点评：此题是集合中较抽象的题目．要注意其元素的合理寻求．
5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值．
解：因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QP成立．又当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.综上所述，a＝0或a＝－或a＝.
点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集的情况，而当Q＝时，满足QP.
6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使AP B，求满足条件的集合P.
解：A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝，
B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，
由AP B知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为
{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．
点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A，B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．
7．设A＝{0,1}，B＝{x|x A}，则A与B应具有何种关系？
解：因A＝{0,1}，B＝{x|x A}，
故x为，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B.
点评：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．
8．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若B A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足B A.
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B A成立，需可得2≤m≤3.
综上所得实数m的取值范围为m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－
1,0,1,2,3,4,5}，
∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．
则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；
②若B≠，则要满足条件：或解之，得m＞4.
综上有m＜2或m＞4.
点评：此问题解决要注意：不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用．
问题：已知A B，且A C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
活动：学生思考A B，且A C所表达的含义．A B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．
思路1：写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合，得满足条件的集合A；
思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．
解法1：因A B，A C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A B，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(个)．
又满足A C的集合A有：，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(个)．
其中同时满足A B，A C的有8个：，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．
解法2：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为求B，C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0,2,4，组成集合的子集有23＝8(个)．
点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．
本节课学习了：
①子集、真子集、空集、Venn图等概念；
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；
③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．
课本习题1.1A组 5.
本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过类比得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．
【备选例题】
【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？
图6
思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}，即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}．
【例2】设集合A＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，则满足BA的a的值共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：由已知得A＝{x||x|＝1，或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是关于x的方程(a－2)x＝2的解集，∵BA，∴B＝或B≠.当B＝时，关于x的方程(a－2)x＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠时，关于x的方程(a－2)x＝2的解x＝∈A，∴＝－2或＝－1或＝1或＝2.解得a＝1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个．
答案：D
【例3】集合A＝{x|0≤x＜3，且x∈N}的真子集的个数是( )
A．16
B．8
C．7
D．4
解析：A＝{x|0≤x＜3，且x∈N}＝{0,1,2}，则A的真子集有23－1＝7(个)．
答案：C
【例4】已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？
思路分析：先在数轴上表示集合A，然后化简集合B，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a的取值是否为1，要使集合B成为集合A的子集，集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上，从而确定字母a的分类标准．
解：当a＝1时，B＝{1}，所以B是A的子集；当1＜a≤3时，B也是A的子集；当a＜1或a＞3时，B不是A的子集．综上可知，当1≤a≤3时，B是A的子集．
由于集合B最多只有两个元素，而集合A有无数个元素，故不存在实数a，使B＝A.
点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键．
【思考】
(1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“∈”和“ ”有什么区别？
剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于＝0，x2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式|x|＜0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|＜0的解集是空集．
(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围，并加以对比．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，Z；符号 只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1} {1,0}， {x|x＜0}．第2课时
集合间的基本关系（一）教学目标；
(
)1．知识与技能
(
)（1）理解集合的包含和相等的关系.
(
)（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.
(
)（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.
(
)2．过程与方法
(
)（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.
(
)（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.
(
)（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.
(
)（三）教学方法
(
)在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系.
从而形成子集、真子集、相等集合等概念.
另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
创设情境提出问题
思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系.
师：对两个数a、b，应有a＞b或a
=
b或a＜b.
(
)而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系.
类比生疑，
(
)引入课题
概念形成
分析示例：
(
)示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系
(
)（1）A
=
{1，2，3}
(
)
B
=
{1，2，3，4，5}
(
)（2）A
=
{新华中学高（一）6班的全体女生}
(
)B
=
{新华中学高（一）6
班的全体学生}
(
)（3）C
=
{x
|
x是两条边相等的三角形}
(
)D
=
{x
|
x是等腰三角形}
(
)1．子集：
(
)一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作，读作：“A含于B”（或B包含A）
(
)2．集合相等：
(
)若，且，则A=B.
生：实例（1）、（2）的共同特点是A的每一个元素都是B的元素.
(
)师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的子集怎样定义呢？
(
)学生合作：讨论归纳子集的共性.
(
)生：C是D的子集，同时D是C的子集.
(
)师：类似（3）的两个集合称为相等集合.
(
)师生合作得出子集、相等两概念的数学定义.
通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念.
(
)初步了解子集、相等两个概念.
概念
(
)深化
示例1：考察下列各组集合，并指明两集合的关系：
(
)（1）A
=
Z，B
=
N；
(
)（2）A
=
{长方形}，B
=
{平行四边形}；
(
)（3）A={x|
x2–3x+2=0}，B
={1，2}.
(
)1．Venn图
(
)用平面上封闭曲线的内部代表集合.
(
)如果，则Venn图表示为：
(
)
(
)2．真子集
(
)如果集合，但存在元素x∈B，且xA，称A是B的真子集，记作A
(
)B
(或B
A).
(
)示例3
考察下列集合.
并指出集合中的元素是什么？
(
)（1）A
=
{(x，y)
|
x
+
y
=2}.
(
)（2）B
=
{x
|
x2
+
1
=
0，x∈R}.
(
)3．空集称不含任何元素的集合为空集，记作.规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.
示例1
学生思考并回答.生：（1）
（2）
（3）A
=
B师：进一步考察（1）、（2）不难发现：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A中，具有这种关系时，称A是B的真子集.示例3
学生思考并回答.生：（1）直线x+y=2上的所有点（2）没有元素师：对于类似（2）的集合称这样的集合为空集.师生合作归纳空集的定义.
再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.
能力提升
一般结论：①.②若，，则.③A
=
B，且.
师：若a≤a，类比.若a≤b，b≤c，则a≤c类比.若，，则.师生合作完成：（1）对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故.（2）已知集合，同时，即任意x∈Ax∈Bx∈C，故.
升华并体会类比数学思想的意义.
应用举例
例1（1）写出集合{a、b}的所有子集；（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；一般地：集合A含有n个元素则A的子集共有2n个.
A的真子集共有2n
–
1个.
学习练习求解，老师点评总结.师：根据问题（1）、（2）、（3），子集个数的探究，提出问题：已知A
=
{a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个？
通过练习加深对子集、真子集概念的理解.培养学生归纳能力.
归纳总结
子集：任意x∈Ax∈B真子集：A
B
任意x∈Ax∈B，但存在x0∈B，且x0A.集合相等：A
=
B且空集（）：不含任何元素的集合性质：①，若A非空，则
A.②.③，.
师生合作共同归纳—总结—交流—完善.师：请同学合作交流整理本节知识体系
引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.
课后作业
1.1
第二课时习案
学生独立完成
巩固基础提升能力
备选训练题
例1
能满足关系{a，b}{a，b，c，d，e}的集合的数目是（
A
）
A．8个
B．6个
C．4个
D．3个
【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A
=
{a，b}，A
=
{a，b，c}，A
=
{a，b，d}，A
=
{a，b，e}，A
=
{a，b，c，d}，A
=
{a，b，c，e}，A
=
{a，b，d，e}，A
=
{a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.
例2
已知A
=
{0，1}且B
=
{x
|}，求B.
【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是：，{0}，{1}，{0，1}.
由题意可知B
=
{，{0}，{1}，{0，1}}.
例3
设集合A
=
{x
–
y，x
+
y，xy}，B
=
{x2
+
y2，x2
–
y2，0}，且A
=
B，求实数x和y的值及集合A、B.
【解析】∵A
=
B，0∈B，∴0∈A.
若x
+
y
=
0或x
–
y
=
0，则x2
–
y2
=
0，这样集合B
=
{x2
+
y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x
+
y≠0，x
–
y≠0.
∴
（I）
或
（II）
由（I）得：或或
由（II）得：或或
∴当x
=
0，y
=
0时，x
–
y
=
0，故舍去.
当x
=
1，y
=
0时，x
–
y
=
x
+
y
=
1，故也舍去.
∴或，
∴A
=
B
=
{0，1，–1}.
例4
设A
=
{x
|
x2
–
8x
+
15
=
0}，B
=
{x
|
ax
–
1
=
0}，若，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.
【解析】A
=
{3，5}，∵，所以
（1）若B
=，则a
=
0；
（2）若B≠，则a≠0，这时有或，即a
=或a
=.
综上所述，由实数a组成的集合为.
其所有的非空真子集为：{0}，共6个.
A
B
≠
≠
≠
≠1.1.2
集合间的基本关系
教学目标：1.理解子集、真子集概念；
2.会判断和证明两个集合包含关系；
3.理解“ ≠
”、“ ”的含义；
4.会判断简单集合的相等关系；
5.渗透问题相对的观点。
教学重点：子集的概念、真子集的概念
教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算
教学方法：讲、议结合法
教学过程：
（I）复习回顾
问题1：元素与集合之间的关系是什么
问题2：集合有哪些表示方法 集合的分类如何
（Ⅱ）讲授新课
观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1)
A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.(2)
A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.
(3)
A={正方形}，B={四边形}.(4)
A=，B={0}.（5）A={银川九中高一（11）班的女生}，B={银川九中高一（11）班的学生}。
通过观察就会发现，这五组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有：
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA）,即若任意xA,有xB，则AB(或AB)。
这时我们也说集合A是集合B的子集（subset）。
如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A B（或B A），即:若存在xA,有xB，则A B(或B A)
说明：AB与BA是同义的，而AB与BA是互逆的。
规定:空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有A。
例1．判断下列集合的关系.
(1)
N_____Z;
(2)
N_____Q;
(3)
R_____Z;
(4)
R_____Q;
(5)
A={x|
(x-1)2=0}，
B={y|y2-3y+2=0};
(6)
A={1,3}，
B={x|x2-3x+2=0};
(7)
A={-1,1}，
B={x|x2-1=0};（8）A={x|x是两条边相等的三角形}
B={x|x是等腰三角形}。
问题3：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？
集合A与集合B的元素完全相同，从而有：
2.集合相等
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（即AB），同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即BA），则称集合A等于集合B，记作A=B。如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。
问题4：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）
（2）除去与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A，但不等于A）
3.真子集：
由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：
(1)AA
(任何集合都是其自身的子集)；
(2)若AB，而且AB（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集合B的真子集（proper
subset），记作A ≠
B。（空集是任何非空集合的真子集）
(3)对于集合A，B，C，若A B，B C，即可得出A C；对A ≠
B，B ≠
C，同样有A ≠
C,
即：包含关系具有“传递性”。
4.证明集合相等的方法：
证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）
分别证明AB和BA即可。（抽象情况）
对于集合A，B，若AB而且BA，则A=B。
（III）
例题分析：
例2．判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};
(2)A={自然数}与B={正整数}例3．(教材P8例3)写出{a，b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例4．解不等式x-3>2，并把结果用集合表示。结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
课堂练习
课本P8，练习1、2、3;设A={0，1}，B={x|xA}，问A与B什么关系？判断下列说法是否正确？（1）NZQR；
（2）AA；（3）{圆内接梯形}{等腰梯形}；
（4）NZ；（5）{}；
（6）{}4.有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。
（V）课时小结
能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；
注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。（因为：“空集是任何集合的子集”，但空集中不含任何元素；“A是A的子集”，但A中含有A的全部元素，而不是部分元素）。
2.
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；
4.
注意区别“”与“”的不同涵义。
（与{}的关系）
（VI）课后作业
书面作业
(1)课本P13，习题1.1A组题第5、6题。
(2)用图示法表示
（1）AB
（2）A B
2.
预习作业
(1)预习内容：课本P9—P12
(2)预习提纲：
（1）并集和交集的含义及求法。
（2）求一个集合的补集应具备条件是什么？
（3）能正确表示一个集合的补集。.
教学后记1.1.2
集合间的基本关系
课前预习
·
预习案
【学习目标】
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2．了解空集的含义.
3．能使用Venn图表示集合间的关系，体会图形对理解抽象概念的作用.
【学习重点】
1．子集的概念
2．子集、真子集的概念；能利用数轴表达集合间的关系。
【学习难点】
1．元素与子集、属于与包含之间的区别
2．能利用数轴表达集合间的关系
【自主学习】
1．集合的相关概念
(1)子集：
(2)集合相等：
①若，则集合中的元素和集合中的元素是_______________.
②用子集的含义去理解，则_______________
且
________________.
(3)真子集：
①的含义是：集合，但存在元素，且______________.
②有两种情况：与.
2．Venn图
Venn图表示集合的优点在于：形象直观，通常用平面上封闭曲线的内部代表集合
3．空集的有关概念以及常用结论
(1)空集的有关概念：
①特征：不含任何元素；
②表示：_________________；
③规定：空集是任何集合的__________________.
(2)常用结论：
①任何一个集合是它本身的_______________，即_______________.
②对于集合，，，如果，且，那么
_____________.
【预习评价】
1．已知集合，，则
A.
B.
C.
D.
2．下列四个集合中，是空集的是
A.
B.
C.
D.
3．用适当的符号填空：
(l)______________.
(2) _____________，
(3) _____________
4．已知集合，则集合=
______________.
5．集合，，若，则=____________.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．子集
根据子集的含义，探究以下问题：
(1)“”与“”各反映什么样的关系？
(2)若，则说明集合是由集合的部分元素组成的，对吗？
2．子集
观察下面给出的集合中的元素与集合中的元素.
，.
②设为新华中学高一(2)班男生的全体组成的集合，为这个班学生的全体组成的集合，
思考问题：
(1)
两组中的集合中元素与集合有什么关系？
(2)
两集合间的关系如何表示？
(3)
如何用直观图表示集合，之间的关系？
3．真子集、集合相等及空集的概念
根据真子集与集合相等的概念及或，思考下列问题.
(1)若，则中的元素是否一定比中元素少呢？
(2)集合相等的定义中的“”能否换为“”？
(3)对于集合，，，若，则吗？
(4)有没有真子集？有没有真子集？
【教师点拨】
1．对子集含义的两点说明
(1)“是的子集”的含义是：集合中的任何一个元素都是集合中的元素.
(2)任何一个集合都是它本身的子集.
2．对真子集、空集的三点说明
(1)空集是任何非空集合的真子集.
(2)对于集合，，，如果，，那么
(3)空集是不含任何元素的集合，不能认为，也不能认为，而是，或.
3．对集合相等的两点说明
(1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合中的元素和集合中的元素相同，则这两个集合相等.
(2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即若，别对任意.都有，同时若，则对任意都有，这说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等.
【交流展示】
1．如果,那么
A.
B.
C.
D.
2．已知集合{x|x=,x∈N且x<2},,试判断集合,间的关系.
3．集合),定义,则的子集个数为
A.7
B.12
C.16
D.32
4．已知集合,求集合所有子集的元素之和.
5．已知,若则的值是
A.2
B.2或3
C.1或3
D.1或2
6．已知集合,集合,若,求的值.
【学习小结】
1．判断两集合关系的步骤
(1)先对所给集合进行化简.
(2)弄清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化、形象化.
提醒：要分清所判断的是元素与集合的关系，还是集合与集合的关系，也就是说使用属于(不属于)符号，还是使用包含(不包含)符号.
2．求集合子集、真子集个数的三个步骤
3．与子集、真子集个数有关的四个结论
假设集合中合有个元素，则有：
①的子集的个数为个；
②的真子集的个数为个；
③的非空子集的个数为个；
④的非空真子集的个数为个.
以上结论在求解时可以直接应用.
【当堂检测】
1．设,若,则=
A.0
B.-2
C.0或-2
D.0或±2
2．设,若,则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
3．同时满足：①；②则的非空集合有
A.16个
B.15个
C.7个
D.6个
4．满足的集合的个数为_________.
5．已知,求的取值范围.
6．已知集合,集合,试问集合与的关系怎样？
答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．(1)任意一个 含于 包含
(2)①一样的 ②
(3)①x A
3．(1)② ③子集
(2)①子集 ②
【预习评价】
1．C
2．B
3．(1) (2) (3)
4．{1，3}
5．0
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)“∈”表示元素与集合之间的关系；“”表示集合与集合之间的关系.
(2)不对，如集合A与集合B相等，显然A不是由B的部分元素组成的.
2．(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.
(2)两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或.
(3)如图，用Venn图表示两个集合之间的“包含”关系，(或).
3．(1)一定，因为B中至少有一个元素不属于A.
(2)不能.因为AB同时BA的集合A，B是不存在的.
(3)相等，由集合相等的定义可知A＝B，B＝C，则A＝C一定成立.
(4)因为 是不含任何元素的集合，所以它没有真子集；{0}有真子集，是 .
【交流展示】
1．D
2．因为x＝|x|,所以x≥0.又因为x∈N且x＜2,所以集合M＝{0,1}.又因为x∈Z,－2＜x＜2,所以集合N＝{－1,0,1}.由子集的定义可知MN.
3．C
4．集合A的所有子集分别是： ,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.注意A中的每个元素均出现在A的四个子集中,故所求元素之和为(1＋3＋5)×4＝36.
5．D
6．因为A＝B且a≠0,所以b＝0,因此由已知得a2＝1,所以a＝1或a＝－1,若a＝1,那么集合A中的元素a＝1,与元素的互异性矛盾,所以a＝1不成立,则只有a＝－1成立,所以a2
013＋b2
013＝(－1)2
013＝－1.
【当堂检测】
1．C
2．A
3．C
4．7
5．m≤3
6．因为a∈R,所以x＝1＋a2≥1,x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1,所以M＝{x|x≥1},M＝{x|x≥1},所以M＝P.
