1.1.3
集合间的基本运算
教学目标：1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4．认识由具体到抽象的思维过程，并树立相对的观点。
教学重点：交集与并集概念、补集的概念、数形结合的运用。
教学难点：理解交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关运算
教学方法：发现式教学法
教学过程：
复习回顾
问题1:
(1)分别说明A与A=B的意义；
(2)说出集合{1,2,3}的子集、真子集个数及表示；
（II）讲授新课
问题2：观察下面五个图（投影1）,它们与集合A,集合B有什么关系
图1—5（1）给出了两个集合A、B；
图（2）阴影部分是A与B公共部分；
图（3）阴影部分是由A、B组成；
图（4）集合A是集合B的真子集；
图（5）集合B是集合A的真子集；
指出：图（2）阴影部分叫集合A与B的交集；图（3）阴影部分叫集合A与B的并集.由此可有：
1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(union
set)，即A与B的所有部分，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。如上述图（3）中的阴影部分。2.交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集（intersection
set），即A与B的公共部分，记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x|x∈A且x∈B}。如上述图（2）中的阴影部分。3.一些特殊结论
由图1—5（4）有:
若A,则A∩B=A；由图1—5（5）有:
若B,则AB=A；特别地，若A，B两集合中，B=，,则A∩=,
A=A。
4.例题解析
(师生共同活动)
例1．设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。[涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案](图1—6)解：在数轴上作出A、B对应部分如图A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2
[此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B].(图1---7)
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}={x|x是等腰直角三角形}。例3．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。
[运用文氏图解答该题](图1----8)
解：A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。例4．设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B。解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。例5．设A={x|-1解：A∪B={x|-1问题3:
请看下例
A={班上所有参加足球队同学}B={班上没有参加足球队同学}S={全班同学}那么S、A、B三集合关系如何.
分析：(借助于文氏图)集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合，则有
5.全集如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集（uniwerse
set），记作U。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合。6.补集(余集)一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A S），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中集合A的补集（或余集），记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x A}
图1—3阴影部分即表示A在U中补集CUA。
7.举例说明
例7、例8见教材P12例8、例9。
补充例题：解答下列各题：（1）若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA={2}
；(2)若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB={直角三角形或钝角三角形}
；（3）若S={1，2，4，8}，A= ，则CSA=
S
；（4）若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则a=-1
；(5)已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，
CUB={-1，0，2}，求B={1，4}；(6)设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求m的值；（m=
-
4或m=2）（7）已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求CUA、m；（答案：CUA={2，3}，m=4；CUA={1，4}，m=6）(8).已知全集U=R,集合A={x|0（III）课堂练习：
(1)课本P12练习1—5；
(2)补充练习：
1．已知M={1}，N={1，2}，设A={（x，y）|x∈M，y∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B。[A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}]
2．已知集合M{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有(
)；
A
3个
B
4个
C
6个
D5个
3．设集合A={-1,1},
B={x|x2-2ax+b=0},
若B,
且B,
求a,
b的值。
(IV)
课时小结
1．在并交问题求解过程中，充分利用数轴、文恩图。
2．能熟练求解一个给定集合的补集；
3．注重一些特殊结论在以后解题中应用。(如:CU(CUA)=A)
(V)作业
1．书面作业课本P14，习题1.1A组题第7~12题。2．复习作业:
课本P14，习题1.1B组题及后面的“阅读与思考”——集合中元素的个数。
教学后记第1.1.3节
集合的基本运算
某地对所在地的居民中拥有电视机、电冰箱、组合音响的情况进行一次抽样调查，调查结果：3户特困户三种全无；至少有一种的：电视机1090户，电冰箱747户，组合音响850户；至少有两种的：电视机、组合音响570户，组合音响、电冰箱420户，电视机、电冰箱520户，“三大件”都有的265户.可是调查组在统计上述数字时发现没有记下被调查的居民总户数，你能避免重新调查而解决这个问题吗？
研习教材重难点
研习点1.
并集与交集
1．并集（重点）
定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与集合B的并集（union
set）,记作（读作“并”），即，或
从定义可以看出两个集合的并集还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.
（1）理解并集定义中“或”字的意义：或包括如下三种情况：
①但；②但；③且.
由集合A中元素的互异性可知，集合A与B的公共元素在中只出现一次，因此是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.例如：，则，而不是
并集用韦氏图（venn）表示为:
由并集的定义及韦氏图不难看出，并集具有以下性质：
（吸收律）； ＝；
（交换律）； (结合律)..
【探究·发现】
并集与子集之间的关系
由并集的韦氏图表示不难发现，如果集合A是集合B的子集即，就意味着；同相关可以分析，如果集合B是集合A的子集即，就意味着；如果且，则
典例1.（1）设集合，求；
（2）设集合，，求.
【研析】（1）＝＝；
（2）在研究集合的运算时，我们还经常利用数轴工具表示集合之间的运算关系.从数轴上看应有
从而＝＝
2．交集（重点）
定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection
set）,记作（读作“A交B”），即且
正如并集一样，两个集合的交集仍然是一个集合，所不同的是交集是由两个集合中的共同元素所组成的集合.也就是说，交集是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的.如，由于这两个集合中都有共同元素2、4、5，从而
交集用韦氏图（venn）表示为:
由交集的定义及韦氏图不难看出，交集具有以下性质：
（吸收律）； ＝；
（交换律）； (结合律).
【梳理·总结】
交集的定义的理解
我们可以从以下三个方面去理解交集的概念:
(1)中的任一元素都是集合A中的元素,也都是集合B中的元素;
(2)
是由集合A与集合B的的公共元素组成的;
(3)当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是说.
典例2
设集合,且,求实数的值及
【研析】本题的关键在于理解两个集合交集的意义以及元素的互异性.此时包含了两层意思:一方面－1,7是集合A与集合B的公共元素;另一方面集合A与集合B的公共元素也只有－1,7.
由已知且得:
且,在集合A中,解得:或.
当时,在集合中,,又故,但,故不合题意,舍去.
当时,
在集合中,,故有,解得,经检验知满足
综上知,所求
此时,故
研习点2.全集与补集
1．全集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universe
set),通常记作
对于全集的理解,我们可以认为是将我们欲研究的问题限定在一个范围内进行,这个范围以外的问题则不在我们研究的范围之内,这时我们就会有理由将我们所研究的这个范围视为全集.
另外,全集并不是一成不变的,它是依据所研究问题的来加以选择的.例如我们在考虑正整数的因式分解时,我们把正整数集作为全集;在解不等式时,我们通常把实数集作为全集;多项式的因式分解,如果没有附加说明,通常把有理数集作为全集;在研究数的问题时,常常把实数集作为全集;在研究图形集合时,常常将所有的空间图形的集合作为全集.事实上,即使有些问题不指明全集,全集也是存在的,这就需要我们根据经验来判断全集什么样的集合了.
2．补集
对于一个集合A,由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集的补集(complementanry
set),简称为集合A的补集,记作,即且,读作全集中集合A的补集.
补集既是集合之间的一种关系,又是集合的一种运算,利用集合的定义可以发现,求已知集合的补集,其实就是从全集中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合就是全集中集合A的补集.其韦氏图（venn）表示如下图所示:
3．全集与补集的性质
全集与补集具有以下性质:
(1);
(2)
;;
(3);
(4)
(德摩根(De
Morgan)定律);
.
典例3.
已知，全集U={x|－5≤x≤3}，A={x|－5≤x<－1}，B={x|－1≤x<1},求，，
()∩()，()∪()，，，并指出其中相等的集合.
【研析】={x|－1≤x≤3}；={x|－5≤x<－1或1≤x≤3}；
()∩()=
{x|1≤x≤3}；()∪()=
{x|－5≤x≤3}=U；
=U；=
{x|1≤x≤3}.
相等集合有()∩()=；()∪()=
,这一结论也可以用韦氏图来验证.
研习点3.交集、并集之间的关系（难点）
(1)
如下图所示,不难得到.
(2)
如下图所示,不难得到.
【探究·发现】
分类标准的确立
解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决。对于含参数的计划问题，常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏”。由于空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此对于BA这种关系，B
=时也满足BA．所以BA中就应考虑与B≠两种情况，就是说，正是空集引法的分类讨论．
典例3.已知集合
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
【研析】因为的含义是;的含义是且另外在讨论的过程中,还需注意是的一种情况,不要漏掉.
(1)因为,所以
当时,,解得;
当或时,,解得,此时;
当时,是方程的两个根,
则有,解得
综上所述,实数的取值范围是或
(2)因为,所以.因为且集合中至多有两个元素,所以.
由(1)知
探究解题新思路
基础思维探究
题型一
并集与交集的概念的考查
典例1.
集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．
【研析】∵
A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，
B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3或x>0}．
如图所示：
∴
A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}=R．
或
或
探索发现 集合问题大都比较抽象，解题时应先将相关的两个集合分别表示出来，然后尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
典例2.
设A={x|－21}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1【研析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，
显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1－2}，且A∩B={x|1根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋x＋b=0的两根，由韦达定理得：
∴
=－(－1＋3)=－2，
b=(－1)×3=－3．
推广引申 类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．
【拓展·变式】
1.
已知集合,且，，求,b的值.
2.
集合A={（x,y）},集合B={（x,y）}，又A，求实数m的取值范围.
题型二
全集与补集概念的考查
典例3.
已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由.
【研析】〖解法一〗∵；∴，即＝0，解得.
当时，，为A中元素；
当时，
当时，
∴这样的实数x存在，是或.
〖解法二〗∵，∴，，∴＝0且
∴或.
反思领悟
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.本题考察了集合间的关系以及集合的性质，分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性，此题的关键是理解符号是两层含义：.
【拓展·变式】
3.
设全集，，求的值．
题型三
对交集、并集之间关系的考查
典例4.
已知集合
①若，求实数m的取值范围；
②若，求实数m的取值范围.
【研析】
①
②
交流探讨
在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用所学的知识和方法把问题解决．这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来，提高解题效率．
【拓展·变式】
4.
已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，求实数的值.
综合思维探究
题型一
学科内综合题
典例5.
若A={2，4,
3－22－＋7},B={1,
＋1,
2－2＋2,(2－3－8),
3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，求实数的值．
【研析】∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=
±1．
当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．
当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．
当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故=2为所求．
方法探究
由A∩B={2，5}求得=2或=
±1时,针对于集合B中的元素是什么，需要分类进行讨论,并且对于集合B中的元素是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
【拓展·变式】
5.
已知，求a的值.
题型二
实际应用题
典例6.
向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果
赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
【研析】赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，
如右图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全
体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的
学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B
而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,
解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人
方法探究 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
【拓展·变式】
6.
求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
题型三
易错辨析题
典例7.
已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．
【研析】从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，
或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4．
思维指南
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．此题容易发生的错误是由A∩=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．
【拓展·变式】
7.
已知，，若，则的值为 ．
创新思维探究
题型一
开放探究题
典例8 设集合A
=
{(x，y)|y－x－1=
0
}，集合B
={(x，y)|
4x＋2x－2y＋5
=
0
}，集合C
={(x，y)|
y
=
kx＋b
}，是否存在k，bN，使得？若存在，请求出k，b的值；若不存在，请说明理由．
【研析】因为，即，所以且．
将y
=
kx＋b代入y－x－1=
0，得kx＋(2kb－1)x＋b－1=
0，
因为，所以△=
(2kb－1)－4k(
b－1)＜0，即4k－4kb＋1＜0，若此不等式有解，应有16b－16＞0，即b＞1．①
又将y
=
kx＋b代入4x＋2x－2y＋5
=
0，得：4x＋(2－2k)x＋(5－2b)
=
0，
因为，所以△=
(2－2k)－4k(5－2b)＜0，即k－2k＋8b－19＜0，若此不等式有解，应有4－4(8b－19)＞0，解得b＜．②
由不等式①、②及bN，得b
=
2．
将b
=
2代入由△＜0和△＜0组成的不等式组，得，再注意到kN，求得k
=
1．
故存在自然数k
=
1，b
=
2使得．
理念链接 在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(讨论型)”等形式出现．“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就说明存在．“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证．“是否存在”结论有两种：一种是可能或存在；另一种是不存在，则需要说明理由．
【拓展·变式】
8.
已知集合，，是否存在实数使得，若存在求出实数的值，若不在，说明理由
题型二
奇思妙解题
典例9
已知集合,若,求实数的取值范围.
【研析】设全集或
方程的两根均非负等价于
即时,实数的取值范围是.
故时,实数的取值范围为集合关于集合的补集,即
方法探究
本题中意味着方程的根有三种不同的情况:(1)两个负根;(2)一个负根一个零根;(3)一个负根一个正根.此三种情况虽然可概括为较小的根小于零,即利用求根公式,但是求解此不等式也并不轻松.但是如果考虑的反面,则可先求出方程两根非负时的取值范围,然后再利用补集思想求解时的的取值范围,就显得比较容易了.
【拓展·变式】
9.
已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围．
题型3
奥赛欣赏题
典例10已知集合,,其中,.
若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B.
【研析】,且,,又,所以
又,可得,并且或
若,即,则有解得或(舍)
此时有
若,即,此时应有,则中的所有元素之和为100124.不合题意.
综上可得,
品思感悟
本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.
【拓展·变式】
10.
已知A为有限集,且,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.
高考思维探究
本节内容联系面广，多与高中数学其它知识相结合，方法灵活多变,除了能利用基本概念与方法外,还应该注意采用逆向思维,从问题的反而入手,利用补集思想解决问题.在高考试题中多有体现.多以选择题与填空题的形式出现,有时也可以出解答题.
典例11（2007年北京卷）已知集合，．
若，则实数的取值范围是
．
【研析】集合={x|
a－1≤x≤a+1}，={x|
x≥4或x≤1
}．又，∴
，解得2品思感悟 这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意应先确定已知集合，再利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.
【拓展·变式】
11（2007年安徽卷文）若，则=
（
）
A．{3}
B．{1}
C．
D．{－1}
开拓学习新视野
其实只有一个你
好友最近为情所困，茶饭不思，心情极其低落.网上QQ一露脸，便顿足捶胸，呼天抢地地大喊：“我为什么这么命苦啊，为什么找不到合适的男人，为什么得不到成功的爱情！”
我好言相劝，不料刚开导几句就被她无情地打击.范围之广，令人汗颜：“你们男人都不是好东西！”我刚想直陈其失，却见其眼泪汪汪很是可怜.忽又记得古训曰：“凡劝人，不可遽指其过，必须先美其长；盖人喜则言易入，怒则言难入也.”
于是，我转念一想，道：“你其实是万里挑一的好女子！”
友惊，竟然停止哭泣，问道：“真的？”
我答：“那还有假！且听我慢慢算来.”
我继续解释：“目前，地球上有50亿人口，中国人有13亿，大概占20%.其中男女大致各半，我们以此为基础，从这‘半边天’的6亿多女人中算起.”
友急迫之心可见：“快说快说，愿闻其详.”
“这6亿多中国女人中，像你这样身高165以上，身材匀称，皮肤白皙，气质动人的电眼美女也就10%左右.”
友略有些腮红——脸红的QQ头像迅速发来.
我继续分析：“家在直辖市的美丽女性只有1%，而其中考上中国Top10重点大学的最多只占0.1%，你自然属于这一类.”
友赶紧点头.
“而从这些重点大学中保送上重点大学的研究生的只占0.01%.”
友打出一个微笑的脸庞，说：“的确如此！”
“这其中家庭幸福、朋友众多、身体健康的女子也就十分之一，占总数0.001%.瞧，这已经是千万里挑一了！”
友做幸福状，鲜红的心闪得我眼晕.
我答道：“但是事情远远还没有结束.”
友兴致高昂，大手一挥：“继续！”
“你没毕业就拿到华为的offer，可谓‘千里挑一’，那么只有0.000001%.算起来，真是超出万里挑一，简直凤毛麟角，你还不知足吗？”
友听完大笑不止，似乎又有了快乐活下去的勇气和动力.她喃喃自语说：“咦，我怎么就没有发现呢？”而后对我千恩万谢，似乎我就是传说中的伯乐，而她则是隐匿多年，才得以重见天日的千里马驹！
其实，我本想说万里挑一足矣，却没料到一发不可收拾.我掐指仔细一算，这竟然是十亿分之一.换句话说，只要没有克隆的好友出现，偌大中国甚至整个星球上仅她自己而已.
的确如此，这便是人存在的独特性与相对性之意义所在，每一个人都是十亿里挑一：在整个世界上，其实只有一个你！
优化考题新演练
理解与应用
1.
（2007年天津卷）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.
图中阴影部分所表示的集合是（
）
A. B∩［CU(A∪C)］
B. (A∪B)
∪(B∪C)
C. (A∪C)∩(CUB)
D. ［CU(A∩C)］∪B
3.
已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1)
A.－3≤m≤4
B.
(
)
－3(
)2D.
(
)23．
4.
已知全集且则等于
A. B. C. D.
二、拓展与创新
5.
某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为
人.
6.
（2007年湖南卷）
设集合，
（1）的取值范围是
.
（2）若且的最大值为9，则的值是
.
三、综合与探究
7.
已知,求A∩B.
8.
设，若，求所有满足条件的a的集合.
答案与解析研读
【拓展·变式】
1.解：
∵.
∴中元素必是B的元素.
又∵,
∴中的元素属于B,
故.
而.
∴－1,4是方程的两根，
∴a=－3,b=－4.
2.由AB知方程组得x2+(m－1)x=0，
即m3或m－1.因此{m,或m－1}.
3.
解：，且，，
或
（1）当时，，此时满足．
（2）当时，，应舍去，．
4.
解：∵
A∪B=A，
∵
A={1，2}，∴
B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=，则令△<0得∈；
若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；
若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
综上的值为2或3．
5.
解：
检验：
6.
解：
“正难则反”，先求出200个数不满足条件的，即能被2或3或5整除的自然数个数，再从200中减去.设不能被2、3、5整除的数的集合分别是A、B、C，则符合条件的数的集合为A∩B∩C,不符全条件的数的集合为：
，
如图先画出文氏图，不难看出不符合的数共有：
（200÷2）＋[200÷3]＋(200÷5)－(200÷10)－[200÷6]－[200÷15]＋[200÷30]＝146(式中[x]为不超过x的最大整数)
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
7.
解：当时，由 得，由 得或
，或3，或
当时，．
综上所述，得的值为．
8.
解：存在满足题意，因为，，而，
则至少有一个元素在中，又，∴，，即，
得而矛盾，
∴.
9.
解:设全集={m|△=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥}．
若方程x2－4mx＋2m＋6=0的二根为x1、x2均非负，
因此，{m|m≥}关于补集{m|m≤－1}即为所求．
10.
解：设集合A=且,由,
,得,即
或(事实上,当时,有.
当时,,而
当时,,
由,解得
综上可知,
11.
解：D 提示：从而选D.
优化考题新演练
1．B 提示：方法一（直接法）：,,故.
方法二(排除法)：由可知中的元素比0要大,
而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且中含有元素比1，故排除A项.故答案为B.
2.
A
3.
D
提示：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,∴，即2＜m≤4
4．C 提示：集合，所以，集合，所以为.
5. 26 提示：图出韦氏图，根据韦氏图进行计算.
6．（1）（2） 解析：（1）如图所示，可知的取值范围是；（2）若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b=.
7.
解：
8.
解：M={－1，3}
①当时，ax－1=0无解，∴a=0
②
综①②得：所求集合为{－1，0，}.
AB
A
B
_
3的倍数
_
2
的倍数
_
5的倍数
2
2
b第3课时
集合的并集和交集
(
)（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.
(
)（2）能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。
(
)（3）掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算。
(
)2．过程与方法
(
)通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：交集、并集运算的含义，识记与运用.
(
)难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系
(
)（三）教学方法
(
)在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研和探究中提升思维能力，尝试实践与交流相结合.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题引入新知
思考：观察下列各组集合，联想实数加法运算，探究集合能否进行类似“加法”运算.
(
)（1）A
=
{1，3，5}，B
=
{2，4，6}，C
=
{1，2，3，4，5，6}
(
)（2）A
=
{x
|
x是有理数}，
(
)
B
=
{x
|
x是无理数}，
(
)
C
=
{x
|
x是实数}.
师：两数存在大小关系，两集合存在包含、相等关系；实数能进行加减运算，探究集合是否有相应运算.
(
)生：集合A与B的元素合并构成C.
(
)师：由集合A、B元素组合为C，这种形式的组合就是为集合的并集运算.
生疑析疑，
(
)导入新知
形成
(
)概念
思考：并集运算.
(
)集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的，称C为A和B的并集.
(
)定义：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合.
称为集合A与B的并集；记作：A∪B；读作A并B，即A∪B
=
{x
|
x∈A，或x∈B}，Venn图表示为：
(
)
师：请同学们将上述两组实例的共同规律用数学语言表达出来.
(
)学生合作交流：归纳→回答→补充或修正→完善→得出并集的定义.
在老师指导下，学生通过合作交流，探究问题共性，感知并集概念，从而初步理解并集的含义.
应用举例
例1
设A
=
{4，5，6，8}，B
=
{3，5，7，8}，求A∪B.
(
)例2
设集合A
=
{x
|
–1＜x＜2}，集合B
=
{x
|
1＜x＜3}，求A∪B.
(
)
例1解：A∪B
=
{4,
5,
6,
8}∪{3,
5,
7,
8}
=
{3,
4,
5,
6,
7,
8}.
(
)例2解：A∪B
=
{x
|–1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}
=
{x
=
–1＜x＜3}.
(
)
(
)师：求并集时，两集合的相同元素如何在并集中表示.
(
)生：遵循集合元素的互异性.
(
)师：涉及不等式型集合问题.
(
)注意利用数轴，运用数形结合思想求解.
(
)生：在数轴上画出两集合，然后合并所有区间.
同时注意集合元素的互异性.
学生尝试求解，老师适时适当指导，评析.
(
)固化概念
(
)提升能力
探究性质
①A∪A
=
A，
②A∪=
A，
(
)③A∪B
=
B∪A，
(
)④∪B，∪B.
老师要求学生对性质进行合理解释.
培养学生数学思维能力.
形成概念
自学提要：
(
)①由两集合的所有元素合并可得两集合的并集，而由两集合的公共元素组成的集合又会是两集合的一种怎样的运算？
(
)②交集运算具有的运算性质呢？
(
)交集的定义.
(
)由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集；记作A∩B，读作A交B.
(
)即A∩B
=
{x
|
x∈A且x∈B}
(
)Venn图表示
(
)
老师给出自学提要，学生在老师的引导下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义.
并总结交集的性质.
(
)生：①A∩A
=
A；
(
)②A∩=；
(
)③A∩B
=
B∩A；
(
)④A∩，A∩.
(
)师：适当阐述上述性质.
自学辅导，合作交流，探究交集运算.
培养学生的自学能力，为终身发展培养基本素质.
应用举例
例1
（1）A
=
{2，4，6，8，10}，
(
)B
=
{3，5，8，12}，C
=
{8}.
(
)（2）新华中学开运动会，设
(
)A
=
{x
|
x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，
(
)B
=
{x
|
x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.例2
设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系.
学生上台板演，老师点评、总结.例1
解：（1）∵A∩B
=
{8}，∴A∩B
=
C.（2）A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.
所以，A∩B
=
{x
|
x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.例2
解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.（1）直线l1，l2相交于一点P可表示为
L1∩L2
=
{点P}；（2）直线l1，l2平行可表示为L1∩L2
=；（3）直线l1，l2重合可表示为L1∩L2
=
L1
=
L2.
提升学生的动手实践能力.
归纳总结
并集：A∪B
=
{x
|
x∈A或x∈B}交集：A∩B
=
{x
|
x∈A且x∈B}性质：①A∩A
=
A，A∪A
=
A，②A∩=，A∪=
A，③A∩B
=
B∩A，A∪B
=
B∪A.
学生合作交流：回顾→反思→总理→小结老师点评、阐述
归纳知识、构建知识网络
课后作业
1.1第三课时
习案
学生独立完成
巩固知识，提升能力，反思升华
备选例题
例1
已知集合A
=
{–1，a2
+
1，a2
–
3}，B
=
{–
4，a
–
1，a
+
1}，且A∩B
=
{–2}，求a的值.
【解析】法一：∵A∩B
=
{–2}，∴–2∈B，
∴a
–
1
=
–2或a
+
1
=
–2，
解得a
=
–1或a
=
–3，
当a
=
–1时，A
=
{–1，2，–2}，B
=
{–
4，–2，0}，A∩B
=
{–2}.
当a
=
–3时，A
=
{–1，10，6}，A不合要求，a
=
–3舍去
∴a
=
–1.
法二：∵A∩B
=
{–2}，∴–2∈A，
又∵a2
+
1≥1，∴a2
–
3
=
–2，
解得a
=±1，
当a
=
1时，A
=
{–1，2，–2}，B
=
{–
4，0，2}，A∩B≠{–2}.
当a
=
–1时，A
=
{–1，2，–2}，B
=
{–
4，–2，0}，A∩B
={–2}，∴a
=
–1.
例2
集合A
=
{x
|
–1＜x＜1}，B
=
{x
|
x＜a}，
（1）若A∩B
=，求a的取值范围；
（2）若A∪B
=
{x
|
x＜1}，求a的取值范围.
【解析】（1）如下图所示：A
=
{x
|
–1＜x＜1}，B
=
{x
|
x＜a}，且A∩B=，
∴数轴上点x
=
a在x
=
–
1左侧.
∴a≤–1.
（2）如右图所示：A
=
{x
|
–1＜x＜1}，B
=
{x
|
x＜a}且A∪B
=
{x
|
x＜1}，
∴数轴上点x
=
a在x
=
–1和x
=
1之间.
∴–1＜a≤1.
例3
已知集合A
=
{x
|
x2
–
ax
+
a2
–
19
=
0}，B
=
{x
|
x2
–
5x
+
6
=
0}，C
=
{x
|
x2
+
2x
–
8
=
0}，求a取何实数时，A∩B
与A∩C
=同时成立？
【解析】B
=
{x
|
x2
–
5x
+
6
=
0}
=
{2，3}，C
=
{x
|
x2
+
2x
–
8
=
0}
=
{2，–
4}.
由A∩B
和A∩C
=同时成立可知，3是方程x2
–
ax
+
a2
–
19
=
0的解.
将3代入方程得a2
–
3a
–
10
=
0，解得a
=
5或a
=
–2.
当a
=
5时，A
=
{x
|
x2
–
5x
+
6
=
0}
=
{2，3}，此时A∩C
=
{2}，与题设A∩C
=相矛盾，故不适合.
当a
=
–2时，A
=
{x
|
x2
+
2x
–
15
=
0}
=
{3，5}，此时A∩B
与A∩C
=，同时成立，∴满足条件的实数a
=
–2.
例4
设集合A
=
{x2，2x
–
1，–
4}，B
=
{x
–
5，1
–
x，9}，若A∩B
=
{9}，求A∪B.
【解析】由9∈A，可得x2
=
9或2x
–
1
=
9，解得x
=±3或x
=
5.
当x
=
3时，A
=
{9，5，–
4}，B
=
{–2，–2，9}，B中元素违背了互异性，舍去.
当x
=
–3时，A
=
{9，–7，–
4}，B
=
{–8，4，9}，A∩B
=
{9}满足题意，故A∪B
=
{–7，–
4，–8，4，9}.
当x
=
5时，A
=
{25，9，–
4}，B
=
{0，–
4，9}，此时A∩B
=
{–
4，9}与A∩B
=
{9}矛盾，故舍去.
综上所述，x
=
–3且A∪B
=
{–8，–
4，4，–7，9}.
A
B
–1
0
1
2
3
x
A
B
A∩B
≠
≠
≠1.1.3
集合的基本运算
课前预习
·
预习案
【学习目标】
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2．能使用Venn图表示集合的并集和交集，体会直观图对理解抽象概念的作用.
3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算.
4．了解全集的含义及符号表示.
5．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求一个给定集合在全集中的补集.
6．能正确运用补集的符号和表示形式，会用Venn图表示一个集合及其子集的补集.
【学习重点】
1．求两个简单集合的并集
2．求两个简单集合的交集
3．补集的含义，会求给定子集的补集
4．集合的交、并、补的概念及运算
【学习难点】
1．并集的含义
2．交集概念中“且”字的含义的理解
3．补集的运算
【自主学习】
1．并集与交集的性质
并集
交集
=_________________
=_________________
2．交集的概念
(1)自然语言:由属于集合______________属于集合的所有元素组成的集合，记作(读作_____________).
(2)符号语言：=___________________.
(3)图形语言：
3．并集的概念
(1)自然语言：由所有属于集合______________属于集合的元素组成的集合，记作(读作___________).
(2)符号语言：=______________.
(3)图形语言：
4．补集
自然语言
对于一个集合，由全集中_________________的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作
符号语言
=__________
图形语言
5．全集
(1)元素的组成：含有我们所研究问题中涉及的________.
(2)符号表示：通常记作_______________.
【预习评价】
1．全集，，则=
A.
B.
C.
D.
2．全集，集合，则=
A.
B.
C.
D.
3．已知全集，，，则=_____________.
4．设集合，，且，则实数=_____________.
5．集合，，则=_______， =_______.
6．设集合.，则_________.
高效课堂
·
探究案
【合作探究】
1．交集的概念
根据集合考虑：若集合与集合没有公共元素，则集合与集合有没有交集？
2．并集的概念
观察集合，，，探究下面的问题：
(1)集合，中的元素与集合的关系是什么？
(2)集合与集合，集合与集合的关系是什么？
(3)集合与集合有什么关系？
3．全集、补集的概念及性质
观察集合，，
，
探究下列问题：
(1)集合与集合，集合与集合，集合与集合之间分别有何关系？
(2)如何用图示法表示集合，，的关系？
(3)若把看作全集，则=___________________.
4．全集、补集的概念及性质
根据方程在不同范围内的解集，探究下面的问题：
(1)该方程在有理数集内的解集为_______________；在实数集内的解集为_______________.
(2)有理数集、实数集相对于方程的解集来说称为什么？
【教师点拨】
1．对交集概念的两点说明
(1)对于，不能仅认为中的任一元素都是与的公共元素，同时还有与的公共元素都属于的含义.
(2)并不是任何两个集合总有公共元素，当两个集合没有公共元素时.
2．对并集概念的两点说明
(1)并集概念中的“或”字与生活中的“或”字含义不同，生活中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或”字可以兼有，它是由所有至少属于，两者之一的元素组成的.
(2)中含有和的所有元素.
3．对全集、补集的三点说明
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确对应的全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.
(3)若，则和二者必居其一.
【交流展示】
1．集合，，则=
A.
B.
C.
D.
2．若集合，，则集合=
A.
B.
C.
D.
3．集合,,则下列关系正确的是
A.
B.
C.
D.
4．设集合,若,则合集=
A.
B.
C.
D.
5．已知集合,且,求实数的取值范围.
6．已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围.
(2)若，求实数的取值范围.
【学习小结】
1．利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：当题目中含有条件，.解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：，等.
(2)关注点：当题目条件中出现时，若集合不确定，解答时要注意讨论的情况.
2．求集合交集的方法
3．求集合并集的两种情况和方法
提醒：求集合的并集时，要注意集合元素的互异性的检验
4．求解交、并、补集综合运算的三种方法
(1)定义法：若所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解.
(2)Venn图法：当集合中的元素能一一列举出来是时，也可借助于Venn图求解，这样处理起来，直观、形象且解答时不易出错.
(3)数轴法：若所给集合有无限集，如不等式的解集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后在根据补集的定义求解.
提醒：利用数轴求解集合补集运算时，要注意集合端点的虚实.
5．求解补集的两个步骤和注意事项
(1)两个步骤：
①明确全集：根据题中所研究的对象，确定全集.
②借助数轴和补集的定义：利用，求集合的补集.
(2)注意事项：
①实点变虚点、虚点变实点.
②通过改变原不等式的不等号方向取补集时，要防止漏解.
【当堂检测】
1．已知集合，，则=
A.
B.
C.
D.
2．已知集合且,则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
3．满足条件的集合的个数是______________.
4．已知集合，，，则实数的取值范围是___________.
5．已知，，，若.
(l)求的值.
(2)若，求的值.
6．已知全集,集合,,求.
答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．A A
2．(1)且“A交B”
(2){x|x∈A，且x∈B}
3．(1)或 “A并B”
(2){x|x∈A，或x∈B}
4．不属于集合A {x|x∈U，且x A}
5．(1)所有元素 (2)U
【预习评价】
1．B
2．B
3．2
4．－1
5．{0} {0，1，2，3，4}
6．{x|x＞－2}
高效课堂
·
探究案
【合作探究】
1．有.若集合A与集合B没有公共元素，则A∩B为空集.
2．(1)通过观察可发现集合A中的所有元素都属于集合C；集合B中的所有元素都属于集合C.
(2)因为集合A中的元素都是集合C中的元素，所以；同理.
(3)因为集合C中的元素是由集合A或集合B中的元素组成，所以C＝A∪B.
3．(1)A中的所有元素都是U中的元素，所以，同理，集合A是集合U中除去集合B中元素之后剩余的元素组成的集合.
(2)用图示法表示.如图所示：
(3)由(2)图可知， UA＝B.
答案 B
4．(1) {3}
(2)有理数集、实数集是所研究问题的所有元素组成的集合，即全集.
【交流展示】
1．C
2．C
3．A
4．D
5．
6．(1)－6≤m≤－2
(2)m≤－11或m≥3
【当堂检测】
1．A
2．C
3．4
4．m≥5
5．(1) (2)0或.
6．因为全集U＝R,A＝{x|x＞1},B＝{x|0≤x≤2},所以 UA＝{x|x≤1}, UB＝{x|x＜0或x＞2}.第4课时
集合的全集与补集
(
)
（一）教学目标
(
)1．知识与技能
(
)（1）了解全集的意义.
(
)（2）理解补集的含义，会求给定子集的补集.
(
)2．过程与方法
(
)通过示例认识全集，类比实数的减法运算认识补集，加深对补集概念的理解，完善集合运算体系，提高思维能力.
(
)3．情感、态度与价值观
(
)通过补集概念的形成与发展、理解与掌握，感知事物具有相对性，渗透相对的辨证观点.
(
)（二）教学重点与难点
(
)重点：补集概念的理解；难点：有关补集的综合运算.
(
)（三）教学方法
(
)通过示例，尝试发现式学习法；通过示例的分析、探究，培养发现探索一般性规律的能力.
(
)（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题
(
)导入课题
示例1：数集的拓展
(
)示例2：方程(x
–
2)
(x2
–
3)
=
0的解集.
①在有理数范围内，②在实数范围内.
学生思考讨论.
(
)
挖掘旧知，导入新知，激发学习兴趣.
形成概念
1．全集的定义.
(
)如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，记作U.
(
)示例3：A
=
{全班参加数学兴趣小组的同学}，B
=
{全班设有参加数学兴趣小组的同学}，U
=
{全班同学}，问U、A、B三个集关系如何.
(
)2．补集的定义
(
)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA.
(
)即UA
=
{x
|
x∈U，且}，
(
)Venn图表示
(
)
师：教学学科中许多时候，许
多问题都是在某一范围内进行研究.
如实例1是在实数集范围内不断扩大数集.
实例2：①在有理数范围内求解；②在实数范围内求解.
类似这些给定的集合就是全集.
(
)师生合作，分析示例
(
)生：①U
=
A∪B，
(
)②U中元素减去A中元素就构成B.
(
)师：类似②这种运算得到的集合B称为集合A的补集，生师合作交流探究补集的概念.
合作交流，探究新知，了解全集、补集的含义.
应用举例
(
)深化概念
例1
设U
=
{x
|
x是小于9的正整数}，A
=
{1，2，3}，B
=
{3，4，5，6}，求UA，UB.
(
)例2
设全集U
=
{x
|
x是三角形}，A
=
{x|x是锐角三角形}，B
=
{x
|
x是钝角三角形}.
求A∩B，U
(A∪B).
学生先尝试求解，老师指导、点评.
(
)例1解：根据题意可知，U
=
{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以
UA
=
{4,
5,
6,
7,
8}，
(
)
UB
=
{1,
2,
7,
8}.
(
)例2解：根据三角形的分类可知
A∩B
=，
(
)A∪B
=
{x
|
x是锐角三角形或钝角三角形}，
(
)U
(A∪B)
=
{x
|
x是直角三角形}.
加深对补集概念的理解，初步学会求集合的补集.
性质探究
补集的性质：
(
)①A∪(UA)
=
U，
(
)②A∩(UA)
=.
(
)练习1：已知全集U
=
{1,
2,
3,
4,
5,
6,
7}，A={2,
4,
5}，B
=
{1,
3,
5,
7}，求A∩(UB)，(UA)∩(UB).
(
)总结：
(
)(UA)∩(UB)
=
U
(A∪B)，
(
)(UA)∪(UB)
=
U
(A∩B).
师：提出问题
(
)生：合作交流，探讨
(
)师生：学生说明性质①、②成立的理由，老师点评、阐述.
(
)师：变式练习：求A∪B，求U
(A∪B)并比较与(UA)∩(UB)的结果.
(
)解：因为UA
=
{1,
3,
6,
7}，UB
=
{2,
4,
6}，所以A∩(UB)
=
{2,
4}，
(
)(UA)∩(UB)
=
{6}.
(
)
能力提升.
探究补集的性质，提高学生的归纳能力.
应用举例
例2
填空
(
)（1）若S
=
{2，3，4}，A
=
{4，3}，则SA
=
.
(
)（2）若S
=
{三角形}，B
=
{锐角三角形}，则SB
=
.
(
)（3）若S
=
{1，2，4，8}，A
=，则SA
=
.
(
)（4）若U
=
{1，3，a2
+
3a
+
1}，A
=
{1，3}，UA
=
{5}，则a
.
(
)（5）已知A
=
{0，2，4}，UA
=
{–1，1}，UB
=
{–1，0，2}，求B
=
(
)
.
(
)（6）设全集U
=
{2，3，m2
+
2m
–
3}，A
=
{|m
+
1|
，2}，UA
=
{5}，求m.
(
)（7）设全集U
=
{1，2，3，4}，A
=
{x
|
x2
–
5x
+
m
=
0，x∈U}，求UA、m.
(
)
师生合作分析例题.
(
)例2（1）：主要是比较A及S的区别，从而求SA
.例2（2）：由三角形的分类找B的补集.例2（3）：运用空集的定义.例2（4）：利用集合元素的特征.综合应用并集、补集知识求解.例2（7）：解答过程中渗透分类讨论思想.
例2（1）解：SA
=
{2}例2（2）解：SB
=
{直角三角形或钝角三角形}例2（3）解：SA
=
S
例2（4）解：a2
+
3a
+
1
=
5，a
=
–
4或1.例2（5）解：利用韦恩图由A设UA
先求U
=
{–1，0，1，2，4}，再求B
=
{1，4}.例2（6）解：由题m2
+
2m
–
3
=
5且|m
+
1|
=
3，解之m
=
–
4或m
=
2.例2（7）解：将x
=
1、2、3、4代入x2
–
5x
+
m
=
0中，m
=
4或m
=
6，当m
=
4时，x2
–
5x
+
4
=
0，即A
=
{1，4}，又当m
=
6时，x2
–
5x
+
6
=
0，即A
=
{2，3}.故满足条件：UA
=
{1，4}，m
=
4；UB
=
{2，3}，m
=
6.
进一步深化理解补集的概念.
掌握补集的求法.
归纳总结
1．全集的概念，补集的概念.2．UA
={x
|
x∈U，且}.3．补集的性质：①(UA)∪A
=
U，(UA)∩A
=，②U=
U，U U
=，③(UA)∩(UB)
=
U
(A∪B)，
(UA)∪(UB)
=
U
(A∩B)
师生合作交流，共同归纳、总结，逐步完善.
引导学生自我回顾、反思、归纳、总结，形成知识体系.
课后作业
1.1
第四课时习案
学生独立完成
巩固基础、提升能力
备选例题
例1
已知A
=
{0，2，4，6}，SA
=
{–1，–3，1，3}，SB
=
{–1，0，2}，用列举法写出集合B.
【解析】∵A
=
{0，2，4，6}，SA
=
{–1，–3，1，3}，
∴S
=
{–3，–1，0，1，2，3，4，6}
而SB
=
{–1，0，2}，∴B
=S
(SB)
=
{–3，1，3，4，6}.
例2
已知全集S
=
{1，3，x3
+
3x2
+
2x}，A
=
{1，|2x
–
1|}，如果SA
=
{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.
【解析】∵SA
=
{0}，∴0∈S，但0A，∴x3
+
3x2
+
2x
=
0，x(x
+
1)
(x
+
2)
=
0，
即x1
=
0，x2
=
–1，x3
=
–2.
当x
=
0时，|2x
–
1|
=
1，A中已有元素1，不满足集合的性质；
当x=
–1时，|2x
–
1|
=
3，3∈S；
当x
=
–2时，|2x
–
1|
=
5，但5S.
∴实数x的值存在，它只能是–1.
例3
已知集合S
=
{x
|
1＜x≤7}，A
=
{x
|
2≤x＜5}，B
=
{x
|
3≤x＜7}.
求：
（1）(SA)∩(SB)；（2）S
(A∪B)；（3）(SA)∪(SB)；（4）S
(A∩B).
【解析】如图所示，可得
A∩B
=
{x
|
3≤x＜5}，A∪B
=
{x
|
2≤x＜7}，
SA
=
{x
|
1＜x＜2，或5≤x≤7}，SB
=
{x
|
1＜x＜3}∪{7}.
由此可得：（1）(SA)∩(SB)
=
{x
|
1＜x＜2}∪{7}；
（2）S
(A∪B)
=
{x
|
1＜x＜2}∪{7}；
（3）(SA)∪(SB)
=
{x
|
1＜x＜3}∪{x
|5≤x≤7}
=
{x
|
1＜x＜3，或5≤x≤7}；
（4）S
(A∩B)
=
{x
|
1＜x＜3}∪{x
|
5≤x≤7}
=
{x
|
1＜x＜3，或5≤x≤7}.
例4
若集合S
=
{小于10的正整数}，，，且(SA)∩B
=
{1，9}，A∩B
=
{2}，(SA)∩(SB)
=
{4，6，8}，求A和B.
【解析】由(SA)∩B
=
{1，9}可知1，9A，但1，9∈B，
由A∩B
=
{2}知，2∈A，2∈B.
由(SA)∩(SB)
=
{4，6，8}知4，6，8A，且4，6，8B
下列考虑3，5，7是否在A，B中：
若3∈B，则因3A∩B，得3A.
于是3∈SA，所以3∈(SA)∩B，
这与(SA)∩B
=
{1，9}相矛盾.
故3B，即3∈(SB)，又∵3(SA)∩(SB)，
∴3(SA)，从而3∈A；同理可得：5∈A，5B；7∈A，7B.
故A
=
{2，3，5，7}，B
=
{1，2，9}.
评注：此题Venn图求解更易.
A
UA
U