3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
课时1 位移与时间的关系式
【学习目标】
1.理解位移公式的意义和导出过程.
2.能运用位移公式解决有关问题．
【自主预习梳理】
一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：x＝________.
2．位移在v－t图象中的表示：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的______．如图1所示阴影图形的面积就等于物体在t1时间内的______．21世纪教育网版权所有
图1
二、匀变速直线运动的位移
1.位移在v－t图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图线与时间轴所包围的____________．如图2所示，阴影图形面积等于物体在t1时间内的________．
图2
2．公式：x＝____________.
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动．( )
(2)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．( )
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．( )
2．某质点的位移随时间的变化关系是x＝(4t＋4t2) m，则质点的初速度是v0＝______ m/s，加速度a＝______ m/s2，2 s内的位移为________ m.21·cn·jy·com
【重点知识探究】
一、匀变速直线运动的位移时间关系式
[导学探究]
某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a.
图3
(1)把匀变速直线运动的v－t图象分成几个小段，如图3所示．每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积．故整个过程的位移≈各个小矩形的____________．
(2)把运动过程划分为更多的小段，如图4所示，各小矩形的________________可以更精确地表示物体在整个过程的位移．21·世纪*教育网
图4
(3)把整个运动过程分得非常细，如图5所示，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC，________________就代表物体在相应时间间隔内的位移．www-2-1-cnjy-com
图5
如图5所示，v－t图线下面梯形的面积
S＝(OC＋AB)·OA
把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成
x＝(v0＋v)t ①
又因为v＝v0＋at ②
由①②式可得
x＝v0t＋at2.
[知识深化]
1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．2-1-c-n-j-y
(1)a：匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值．
(2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反．21*cnjy*com
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比．
(2)当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式．
例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2 m/s2，求：
(1)第5 s末物体的速度多大？
(2)前4 s的位移多大？
(3)第4 s内的位移多大？
针对训练1 某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．1.25 s B．2.5 s
C．3 s D．6 s
二、刹车问题分析
例2 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
【方法总结】
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动且运动过程不可逆，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：21教育网
(1)先求出它们从刹车到静止的刹车时间t刹＝；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t>t刹，不能盲目把时间代入，若t针对训练2 汽车以20 m/s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为( )21cnjy.com
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
三、逆向思维法解题
在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看做逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动．2·1·c·n·j·y
例3 物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．5.5 m/s B．5 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
【技巧点拨】
对于末速度为0的匀减速直线运动．采用逆向思维法后，速度公式和位移公式变为v＝at，x＝at2，计算更为简洁．【出处：21教育名师】
【当堂达标检测】
1．(位移公式)一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2 s(汽车未停下)，汽车行驶了36 m．汽车开始减速时的速度是( )【版权所有：21教育】
A．9 m/s B．18 m/s
C．20 m/s D．12 m/s
2．(位移公式和速度公式)飞机起飞的过程是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程．飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行．已知飞机在跑道上加速前进的距离为1 600 m，所用时间为40 s，则飞机的加速度a和离地速度v分别为( )
A．2 m/s2 80 m/s B．2 m/s2 40 m/s
C．1 m/s2 40 m/s D．1 m/s2 80 m/s
3．(刹车问题及逆向思维法)一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5 m/s2，如果在刚刹车时卡车的速度为10 m/s，求：21教育名师原创作品
(1)刹车开始后1 s内的位移大小；
(2)刹车开始后3 s内的位移大小和3 s内的平均速度大小．
答案精析
自主预习梳理
一、1.vt 2.面积 位移
二、1.梯形面积 位移 2.v0t＋at2
即学即用
1．(1)× (2)× (3)√
2．4 8 24
重点知识探究
一、
导学探究
(1)面积之和 (2)面积之和 (3)梯形面积
例1 (1)10 m/s (2)16 m (3)7 m
解析 (1)第5 s末物体的速度由
v1＝v0＋at1
得v1＝0＋2×5 m/s＝10 m/s.
(2)前4 s的位移由x1＝v0t＋at2
得x1＝0＋×2×42 m＝16 m.
(3)物体第3 s末的速度
v2＝v0＋at2＝0＋2×3 m/s＝6 m/s
则第4 s内的位移x2＝v2t3＋at
＝6×1 m＋×2×12 m＝7 m.
针对训练1 A
二、
例2 (1)30 m (2)40 m
解析 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4 s.www.21-cn-jy.com
(1)因为t1＝2 s故x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22) m＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42) m＝40 m
针对训练2 A
三、
例3 D [物体减速时间t0＝＝＝10 s
该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a′＝1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移相等．由x＝a′t2＝×1×12 m＝0.5 m，故物体停止运动前1 s内的平均速度＝＝＝0.5 m/s，选项D正确．]
当堂达标检测
1．C 2.A
3．(1)7.5 m (2)10 m m/s
解析 (1)v0＝10 m/s，a＝－5 m/s2，
t1＝1 s，x1＝v0t1＋at
解得x1＝7.5 m.
(2)设经时间t0停下
t0＝＝ s＝2 s
t2＝3 s时的位移大小等于前2 s内的位移大小
x2＝v0t0＋at＝10 m
3 s内的平均速度＝＝ m/s.
(或由逆向思维法求刹车后3 s内的位移x2＝at＝×5×22 m＝10 m．)
课时2 位移—时间图象和速度—时间图象
【学习目标】进一步掌握v－t图象的意义，会分析并使用图象解决问题．
【自主预习梳理】
一、位移—时间图象(x－t图象)
1．x－t图象：以__________为横坐标，以________为纵坐标，描述位移随时间的变化规律．
2．常见的x－t图象：
(1)静止：一条________________的直线．
(2)匀速直线运动：一条________的直线．
3．x－t图象的斜率等于物体的________．
二、速度—时间图象(v－t图象)
1．v－t图象：以________为横坐标，以________为纵坐标，描述速度随时间的变化规律．
2．v－t图象的斜率等于物体的________，v－t图象与时间轴所围面积表示________．
[即学即用]
1．如图1所示，为某一质点沿直线运动的x－t图象，则质点在第1 s内做________运动，1～3 s内________．第1 s内速度为__________m/s,1～3 s内速度为__________m/s，3～5 s内速度为________m/s,0～5 内的位移为________．2·1·c·n·j·y
图1
2．如图2所示，为一质点沿直线运动的v－t图象，则它在0～12 s内的位移x＝________m，路程s＝________m.【来源：21·世纪·教育·网】
图2
【重点知识探究】
一、位移—时间图象(x－t图象)
1．x－t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移x随时间t变化情况的图象叫位移—时间图象．21·世纪*教育网
2．对x－t图象的理解
(1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负表示速度的方向．
(2)截距：纵截距表示物体起始位置．
(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇．
3．几种常见的位移－时间图象
(1)静止物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图3直线A.
图3
(2)匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图直线B和C，其斜率表示速度．其中B沿正方向运动，C沿负方向运动．21·cn·jy·com
图4
(3)匀变速直线运动的x－t图象：由位移x＝v0t＋at2可以看出，x是t的二次函数．当v0＝0时，匀变速直线运动的x－t图象是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的速度，图4中切线斜率增大，质点的速度逐渐增大．
图5
例1 (多选)一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的位移—时间图象如图5所示，则下列说法正确的是( )21cnjy.com
A．前15 s内汽车的位移为30 m
B．20 s末汽车的速度为－1 m/s
C．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2
D．前25 s内汽车做单方向直线运动
图6
例2 如图6是在同一条直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )
A．t＝0时，A在B后面
B．B质点在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面
C．在0～t1时间内B的运动速度比A大
D．A质点在0～t1做加速运动，之后做匀速运动
【总结提升】
1．x－t图象上两点坐标之差表示对应时间内的位移Δx，即Δx＝x2－x1；
2．x－t图象的斜率k＝表示质点的速度；
3．交点坐标表示两质点同一时刻到达同一位置，即相遇．
二、x－t图象与v－t图象的比较
种类
内容
v－t图象
x－t图象
图象上某点的纵坐标
表示瞬时速度
表示某一时刻的位置
图线斜率
表示加速度
表示速度
图线与时间轴所围面积
表示位移
无意义
图线与纵坐标轴的交点
表示初速度
表示初始时刻的位置
两图线交点坐标
表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或距离最小的临界点
表示相遇
注意：(1)无论是v－t图象还是x－t图象都不是物体的运动轨迹．
(2)v－t图象和x－t图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动．
图7
例3 (多选)某物体运动的v－t图象如图7所示，根据图象可知，该物体( )
A．在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2
B．在0到5 s末的时间内，位移为10 m
C．在0到6 s末的时间内，位移为7.5 m
D．在0到6 s末的时间内，位移为6.5 m
【总结提升】
1．用v－t图象求位移
图线与时间轴所围成的“面积”表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和．
2．运动图象的应用技巧
(1)确认是哪种图象，v－t图象还是x－t图象．
(2)理解并熟记四个对应关系．
①斜率与加速度或速度对应．
②纵截距与初速度或初始位置对应．
③交点对应速度或位置相同．
④拐点对应运动状态发生改变．
例4 物体由静止开始在水平面上行驶，0～6 s内的加速度随时间变化的图线如图8甲所示．
图8
(1)在图乙中画出物体在0～6 s内的v－t图线；
(2)求在这6 s内物体的位移．
【当堂达标检测】
1．(x－t图象)图9是A、B两个质点做直线运动的位移—时间图象．则( )
图9
A．在运动过程中，A质点总比B质点运动得快
B．在0～t1这段时间内，两质点的位移相同
C．当t＝t1时，两质点的速度相等
D．当t＝t1时，A、B两质点的加速度不相等
2．(v－t图象)竖直升空的火箭，其v－t图象如图10所示，由图可知以下说法正确的是( )
图10
A．火箭在40 s时速度方向发生变化
B．火箭上升的最大高度为48 000 m
C．火箭经过120 s落回地面
D．火箭经过40 s到达最高点
3．(x－t图象)(多选)甲、乙两物体同时开始做直线运动，它们的位移x与时间t的图象如图11所示，则( )21世纪教育网版权所有
图11
A．甲物体做匀加速直线运动，乙物体做曲线运动
B．甲、乙两物体从同一地点出发
C．出发时乙在甲前x0处
D．甲、乙两物体有两次相遇
4．(v－t图象)一质点沿x轴做直线运动，其v－t图象如图12所示．质点在t＝0时位于x＝5 m处，开始沿x轴正方向运动．当t＝8 s时，质点在x轴上的位置为( )
图12
A．x＝3 m B．x＝8 m
C．x＝9 m D．x＝14 m
答案精析
自主预习梳理
一、1.时间t 位移x 2.(1)平行于时间轴 (2)倾斜 3.速度
二、1.时间t 速度v 2.加速度 位移
即学即用
1．匀速 静止 10 0 －5 0
2．－60 180
解析 v－t图线与t轴所围图形的“面积”表示位移，0～6 s内的位移x1＝v1t1＝10 m/s×6 s＝60 m,6～12 s内的位移x2＝v2t2＝－20 m/s×6 s＝－120 m,0～12 s内的位移x＝x1＋x2＝－60 m，路程s＝|x1|＋|x2|＝180 m.21教育网
重点知识探究
一、
例1 AB 例2 B
二、
例3 AD [在0到2 s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A正确.0～5 s内物体的位移等于梯形面积x1＝(×2×2＋2×2＋×1×2) m＝7 m，故B错误．在 5～6 s内物体的位移等于t轴下面三角形面积x2＝－(×1×1) m＝－0.5 m，故0～6 s内物体的位移x＝x1＋x2＝6.5 m，D正确，C错误．]www.21-cn-jy.com
例4 (1)见解析图 (2)18 m
解析 (1)第1秒内为初速度为0的匀加速直线运动，末速度v1＝at＝4 m/s，v－t图象是倾斜的直线，1～4 s加速度为0，速度不变，为匀速直线运动，4～6 s初速度为第1秒的末速度v1＝4 m/s，加速度a′＝－2 m/s2，末速度v6＝v1＋a′t＝0，图象如图所示：
(2)速度—时间图象所围成的面积代表位移，即x＝ m＝18 m
当堂达标检测
1．A 2.B 3.CD 4.B
