【21世纪原创】2017年秋高中物理人教必修1同步学案：2.4　匀变速直线运动的速度与位移的关系

4　匀变速直线运动的速度与位移的关系
【学习目标】
1.会推导速度与位移的关系式，并知道关系式中各物理量的含义.
2.会用公式v2－v＝2ax进行分析和计算.
3.会推导初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式，并应用解决问题．
【自主预习梳理】
速度与位移的关系式
1．公式：v2－v＝________.
2．推导：
速度公式v＝________________.
位移公式x＝________________.
由以上两式可得：v2－v＝________.
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)公式v2－v＝2ax适用于所有的直线运动．(　　)
(2)确定公式v2－v＝2ax中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的．(　　)
(3)因为v2－v＝2ax，v2＝v＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0.(　　)
(4)在公式v2－v＝2ax中，a为矢量，与规定的正方向相反时a取负值．(　　)
2．汽车以10 m/s的速度行驶，刹车的加速度大小为3 m/s2，则它向前滑行12.5 m后的瞬时速度为________ m/s. www.21-cn-jy.com
【重点知识探究】
一、关系式v2－v＝2ax的理解和应用
[导学探究]　如图1所示，一质点做匀加速直线运动，已知质点的初速度为v0，加速度为a，质点通过位移x时的末速度为v，试推导：v2－v＝2ax.2·1·c·n·j·y
图1
　
　
[知识深化]
1．适用范围：速度与位移的关系v2－v＝2ax仅适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：v2－v＝2ax是矢量式，v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，取v0方向为正方向：21世纪教育网版权所有
(1)若加速运动，a取正值，减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
3．公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．
例1　美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：21·cn·jy·com
(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
　
　
针对训练　两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为(　　)21·世纪*教育网
A．1∶2 B．1∶4 C．4∶1 D．2∶1
例2　物体从斜面顶端由静止开始下滑，到达斜面底端时速度为4 m/s，则物体经过斜面中点时的速度为(　　)www-2-1-cnjy-com
A．2 m/s B．2 m/s C. m/s D. m/s
【总结提升】
中间位置的速度与初、末速度的关系：
在匀变速直线运动中，某段位移x的初、末速度分别是v0和v，加速度为a，中间位置的速度为v，则v＝.(请同学们自己推导)2-1-c-n-j-y
二、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
例3　飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看做从零开始的匀加速直线运动．若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，则求汽车：【来源：21cnj*y.co*m】
(1)1 s末、2 s末、3 s末瞬时速度之比；
(2)1 s内、2 s内、3 s内的位移之比；
(3)第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比；
(4)经过连续相等的位移，如经过第一个x、第二个x、第三个x所用时间之比．　
【总结归纳】
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)前x末、前2x末、前3x末、…、前nx末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.21*cnjy*com
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.【出处：21教育名师】
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
例4　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：
(1)第6 s末的速度；
(2)前6 s内的位移；
(3)第6 s内的位移．
　
　
【技巧点拨】
求出第1 s末的速度和第1 s内的位移，然后灵活应用初速度为零的比例式求解会比较简洁.【当堂达标检测】【来源：21·世纪·教育·网】
1．(速度—位移公式的应用)某航母跑道长200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为(　　)【版权所有：21教育】
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s
2．(初速度为零的比例式)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2.以下说法正确的是(　　)21教育名师原创作品
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
3. (速度—位移公式的应用)如图2所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x.则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是(　　)
图2
A.x B.x C．2x D．3x
4．(速度—位移公式的应用)汽车正在以12 m/s的速度在平直的公路上前进，在它的正前方15 m处有一障碍物，汽车立即刹车做匀减速运动，加速度大小为6 m/s2，求汽车停止的位置和障碍物之间的距离为多大？21*cnjy*com
　

答案精析
自主预习梳理
1．2ax　2.v0＋at　v0t＋at2　2ax
即学即用
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　2.5
重点知识探究
一、
导学探究　v＝v0＋at①
x＝v0t＋at2②
由①得t＝③
将③代入②
x＝v0＋a()2＝
整理得：v2－v＝2ax
例1　(1)4 s　　(2)160 m
解析　(1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有
t＝＝ s＝4 s.
则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4 s.
(2)由v2－v＝2ax得
x＝＝ m＝160 m，即航空母舰的跑道至少为160 m.
针对训练　B
例2　B　[从顶端到底端v2＝2ax，从顶端到中点v2＝2a·，得：v＝＝2 m/s，选项B正确．]21教育网
二、
例3　(1)1∶2∶3　(2)1∶4∶9
(3)1∶3∶5　(4)1∶(－1)∶(－)
解析　(1)由v＝at知：
v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
(2)由x＝at2得：
x1∶x2∶x3＝1∶22∶32＝1∶4∶9
(3)第1 s内位移xⅠ＝a×12
第2 s内位移xⅡ＝a×22－a×12＝a×3
第3 s内位移为xⅢ＝a×32－a×22＝a×5
故xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5
(4)由x＝at，得第一个x所用时间tⅠ＝.前2x所用时间
t2＝
故第二个x所用时间为tⅡ＝t2－tⅠ＝(－1)
同理第三个x所用时间
tⅢ＝(－)
所以有tⅠ∶tⅡ∶tⅢ
＝1∶(－1)∶(－)．
例4　(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m
解析　(1)由v4＝at4得a＝＝＝1 m/s2.所以第1 s内的位移x1＝a×12 m＝0.5 m
由于第4 s末与第6 s末的速度之比v4∶v6＝4∶6＝2∶3
故第6 s末的速度v6＝v4＝6 m/s
(2)第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62
故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m.
当堂达标检测
1．B　2.B　3.B
4．3 m
解析　刹车过程汽车前进的距离为x＝＝ m＝12 m，故汽车停止的位置和障碍物之间的距离为15 m－12 m＝3 m.21cnjy.com