1.4 二次根式
一、二次根式的相关概念
1、定义：式子________叫做二次根式.
2、最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中________能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式.21世纪教育网版权所有
3、同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数________的二次根式，叫做同类二次根式.
4、分母有理化：把分母中的根号________叫做分母有理化.
5、有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积________有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与）21·世纪*教育网
二、二次根式的性质
1、 ；
2、；
3、（a≥0，b≥0）；
4、
三、二次根式的运算
1、二次根式的加减：将各二次根式化为最________后，合并________.
2、二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）.
3、二次根式的除法：
注意：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成________.
考点一： 二次根式有意义的条件
(2017湖南湘潭)函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A.
【解析】中，x+2≥0，即，故选A.
【点评】根据二次根式的定义，可知被开方数是非负数，即可列出不等式.
变式跟进1 (2017山东日照)式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2
考点二：最简二次根式、同类二次根式
（2016山东威海）化简：= ．
【答案】．
【解析】原式=3﹣2=．
【点评】先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可.
变式跟进2当a=_________时，最简二根根式与是同类二次根式．
考点三： 二次根式的运算
(2017山东滨州)下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）()2＝12，（4），其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D.
【解析】根据二次根式的性质可得（1）、（2）、（3）正确；根据平方差公式可得（4）正确，故选D.
【点评】利用二次根式的性质及计算法则进行判断即可.
变式跟进3计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
考点四：二次根式的化简与求值
设x、y均为实数，且y= ，求的值
【答案】
【解析】解：由题意得,x2?3≥0,3?x2≥0，1?x>0，
解得,x=?，
则y=2，
.
【点评】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可．
变式跟进4观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an=___________；
（2）a1+a2+a3+…+an=_______．
一、选择题
1、（2017宁波）要使二次根式 有意义，则 的取值范围是???????? （ ????）
A、 B、 C、 D、
2、（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
3、（2017?广州）下列运算正确的是（?? ）
A、= B、2× = C、=a D、|a|=a（a≥0）
4、（2017?十堰）下列运算正确的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
5、（2017?包头）下列说法中正确的是（?? ）
A、8的立方根是±2
B、是一个最简二次根式
C、函数y= 的自变量x的取值范围是x＞1
D、在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称
6．能说明“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A. B. C. D.
7.（2017山东济宁）若在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x= D．x≠
8．（2016内蒙古两市）若1＜x＜2，则的值为（ ）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
9．（2017山东枣庄）下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10.（2017山东省枣庄市）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
11．（2015内蒙古呼伦贝尔、兴安盟）若则的值是（ ）
A. 2 B 、1 C、0 D、
二、填空题
12、（2017?上海）方程 =1的解是________．
13、（2017?荆门）已知实数m、n满足|n﹣2|+ =0，则m+2n的值为________．
14、（2017?益阳）代数式 有意义，则x的取值范围是________．
15、（2017?山西）计算：4 ﹣9 =________．
16．（2016广西三市卷）要使代数式有意义，则x的最大值是 ．
三、解答题
17、（2017?大连）计算：（ +1）2﹣ +（﹣2）2 ．
18．（2016福建泉州）先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=．
19. (2015.河北省)老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：21教育网
－3x＝x2－5x＋1.
(1)求所捂的二次三项式：
(2)若，求所捂二次三项式的值.
20.（2017?黑龙江）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD= 21cnjy.com
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BN的解析式；
(3)将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式． 2·1·c·n·j·y
一、单选题
1、(2017广西北海期末)下列根式中，不能与 合并的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
2、(2017云南曲靖期末)若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（?? ）
A、x≥﹣1 B、x≠2 C、x≥﹣1且x≠2 D、以上都不正确
3、（2017重庆江北期末）如果a是任意实数，下列式子一定成立的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
4、（2017山东蒙阴期中）如果 是二次根式，那么a、b应满足条件（?? ）
A、a＞0，b＞0 B、a、b同号 C、a＞0，b≥0 D、≥0
5、（2017云南省曲靖市期末）如果 =﹣a，那么a的取值范围是（?? ）
A、正数 B、负数 C、非负数 D、非正数
6、（2017天津市蓟州区期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
7、（2017安徽太和一模）下列二次根式中，与 之积为有理数的是（?? ）
A、 B、 C、 D、﹣
8、(2017山东德州期末)已知|2017﹣a|+ =a，则a﹣20172的值为（?? ）
A、2017 B、2018 C、20172 D、20182
9、（2017陕西宝鸡月考）若式子 + 有意义，则点P（a、b）在（?? ）
A、坐标原点 B、第一象限 C、第二象限 D、第三象限
10、（2017重庆荣昌期末）已知y=3 +6，则x+y的立方根是（?? ）
A、2 B、﹣2 C、±2 D、8
二、填空题
11、（2017湖州九校模拟）已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．www.21-cn-jy.com
12、（2017德州陵城模拟）若|b﹣1|+ =0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
13、（2017南宁江南区模拟）将根号外的因式移入根号内的结果是 ．
14、（2017济宁邹城模拟）已知（x﹣y+1）2+ =0，则x+y的值为________．
15、（2017上海青浦模拟）已知函数f（x）= ，那么f（ ﹣1）=________．
16、（2016江西宜春期中）若最简二次根式 和3 是同类二次根式，则a+b 的值为________．2-1-c-n-j-y
三、解答题
17（2017广东东莞期末）化简求值：已知x= ，求代数式 ﹣ 的值．
18、（2017河南罗山期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣ ﹣|a+c|
19、（2016湖北枝江期末）若最简二次根式 与 是同类二次根式，求a2016+b2016的值．【来源：21·世纪·教育·网】
20、（2017江西昌江期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： = = ；（一）21·cn·jy·com
= = （二）
= = = ﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
化简： ．
1.4 二次根式
一、二次根式的相关概念
1、定义：式子叫做二次根式.
2、最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式.www-2-1-cnjy-com
3、同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.
4、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化.
5、有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与）
二、二次根式的性质
1、 ；
2、；
3、（a≥0，b≥0）；
4、
三、二次根式的运算
1、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式.
2、二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）.
3、二次根式的除法：
注意：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式.
考点一： 二次根式有意义的条件
(2017湖南湘潭)函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A.
【解析】中，x+2≥0，即，故选A.
【点评】根据二次根式的定义，可知被开方数是非负数，即可列出不等式.
变式跟进1 (2017山东日照)式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2
【答案】C.
【解析】式子有意义，则a+1≥0，且a﹣2≠0，解得：a≥﹣1且a≠2．故选C.
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，同时，要注意分母不等于零．
考点二：最简二次根式、同类二次根式
（2016山东威海）化简：= ．
【答案】．
【解析】原式=3﹣2=．
【点评】先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可.
变式跟进2当a=_________时，最简二根根式与是同类二次根式．
【答案】1
【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴a+2=5?2a，解得：a=1.
【点评】利用最简二次根式与同类二次根式的定义列出方即可.
考点三： 二次根式的运算
(2017山东滨州)下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）()2＝12，（4），其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D.
【解析】根据二次根式的性质可得（1）、（2）、（3）正确；根据平方差公式可得（4）正确，故选D.
【点评】利用二次根式的性质及计算法则进行判断即可.
变式跟进3计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
【答案】3
首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：原式=4×+1﹣2+2
=2﹣2+3
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
考点四：二次根式的化简与求值
设x、y均为实数，且y= ，求的值
【答案】
【解析】解：由题意得,x2?3≥0,3?x2≥0，1?x>0，
解得,x=?，
则y=2，
.
【点评】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可．
变式跟进4观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an=___________；
（2）a1+a2+a3+…+an=_______．
【答案】 ，-1
【解析】（1）∵第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
∴第n个等式：an==﹣；
（2）a1+a2+a3+…+an
=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1．
故答案为=﹣；﹣1．
【点评】根据分母有理化，并借助规律即可解答.
一、选择题
1、（2017宁波）要使二次根式 有意义，则 的取值范围是???????? （ ????）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】解：依题可得：x-3≥0.
∴x≥3.
故选D.
【点评】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0即可得出答案.
2、（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误； B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
【点评】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
3、（2017?广州）下列运算正确的是（?? ）
A、= B、2× = C、=a D、|a|=a（a≥0）
【答案】D
【解析】解：A、 无法化简，故此选项错误； B、2× = ，故此选项错误；
C、 =|a|，故此选项错误；
D、|a|=a（a≥0），正确．
故选：D．
【点评】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
4、（2017?十堰）下列运算正确的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】解：A、 与 不能合并，所以A选项错误； B、原式=6×2=12，所以B选项错误；
C、原式= =2，所以C选项准确；
D、原式=2 ，所以D选项错误．
故选C．
【点评】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．21教育网
5、（2017?包头）下列说法中正确的是（?? ）
A、8的立方根是±2
B、是一个最简二次根式
C、函数y= 的自变量x的取值范围是x＞1
D、在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称
【答案】D
【解析】解：A、8的立方根是2，故A不符合题意； B、 不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、函数y= 的自变量x的取值范围是x≠1，故C不符合题意；
D、在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称，故D符合题意；
故选：D．
【点评】根据开立方，最简二次根式的定义，分母不能为零，关于原点对称的点的坐标，可得答案．
6．能说明“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】把选项A代入可得，即2＞2，错误，其它三个选项代入都成立，故答案选A.
【点评】利用绝对值的性质解答，要注意反例代入数的全面性.
7.（2017山东济宁）若在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x= D．x≠
【答案】C．
【解析】由题意可知：，解得：x=.故选C．
【点评】主要考查二次根式有意义的条件．
8．（2016内蒙古两市）若1＜x＜2，则的值为（ ）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
【答案】D．
【解析】已知1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质可得原式=|x﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x﹣1=2．故选D．www.21-cn-jy.com
【点评】利用二次根式的性质进行化简．
9．（2017山东枣庄）下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】==，A错误；
，B错误；
=2，C错误；
，D正确，故选D．
【点评】根据二次根据的性质、绝对值、负指数幂的性质即可进行化简判断.
10.（2017山东省枣庄市）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A．
【解析】如图所示， 则
故选A.
【点评】利用二次根式的性质、绝对值的性质，根据数轴即可进行化简．
11．（2015内蒙古呼伦贝尔、兴安盟）若则的值是（ ）
A. 2 B 、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
【点评】利用是非负数的性质即可解答.
二、填空题
12、（2017?上海）方程 =1的解是________．
【答案】x=2
【解析】解： ，
两边平方得，2x﹣3=1，
解得，x=2；
经检验，x=2是方程的根；
故答案为x=2．
【点评】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．
13、（2017?荆门）已知实数m、n满足|n﹣2|+ =0，则m+2n的值为________．
【答案】3
【解析】解：由题意可知：n﹣2=0，m+1=0， ∴m=﹣1，n=2，
∴m+2n=﹣1+4=3，
故答案为：3
【点评】根据非负数的性质即可求出m与n的值．
14、（2017?益阳）代数式 有意义，则x的取值范围是________．
【答案】x
【解析】解：由题意可知： ∴x≤ 且x≠2，
∴x的取值范围为：x≤
故答案为：x
【点评】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．
15、（2017?山西）计算：4 ﹣9 =________．
【答案】3
【解析】解：原式=12 =3 ， 故答案为：3 ．
【点评】先化简，再做减法运算即可．
16．（2016广西三市卷）要使代数式有意义，则x的最大值是 ．
【答案】
【解析】∵代数式有意义， ∴1﹣2x≥0，解得x≤， ∴x的最大值是．
【点评】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
三、解答题
17、（2017?大连）计算：（ +1）2﹣ +（﹣2）2 ．
【答案】7
【解析】解：原式=3+2 ﹣2 +4 =7．
【点评】首先利用完全平方公式计算乘方，化简二次根式，乘方，然后合并同类二次根式即可．
18．（2016福建泉州）先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=．
【答案】﹣3x2+4，﹣2．
【解析】解：原式=x2+4x+4﹣4x2﹣4x=﹣3x2+4，
当x=时，原式=﹣6+4=﹣2．
【点评】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值21·cn·jy·com
19. (2015.河北省)老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：【来源：21·世纪·教育·网】
－3x＝x2－5x＋1.
(1)求所捂的二次三项式：
(2)若，求所捂二次三项式的值.
【答案】（1） ；（2）6
【解析】解：（1）设用手掌捂住的二次三项式为A，则
A＝x2－5x＋1+ 3x＝
（2）或，则
A＝
＝
＝
＝
＝6
【点评】（1）利用整体思想进行求解，（2）将用完全平方公式因式分解后代入求值即可.
20.（2017?黑龙江）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD= 2-1-c-n-j-y
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BN的解析式；
(3)将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式． 2·1·c·n·j·y
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：∵|x﹣15|+ =0，
∴x=15，y=13，
∴OA=BC=15，AB=OC=13，
∴B（15，13）；
（2）解：如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，
由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，
∵tan∠CBD= ，
∴ = ，且BF2+DF2=BD2=152 ， 解得BF=12，DF=9，
∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，
∴∠ONM=∠CBD，
∴ = ，
∵DE∥ON，
∴ = = ，且OE=3，
∴ = ，解得OM=6，
∴ON=8，即N（0，8），
把N、B的坐标代入y=kx+b可得 ，解得 ，
∴直线BN的解析式为y= x+8；
（3）解：设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，
当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，
由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，
∴S=NN′?OA=15t；
当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，
∵NN′=t，
∴可设直线B′N′解析式为y= x+8﹣t，
令y=0，可得x=3t﹣24，
∴OG=24，
∵ON=8，NN′=t，
∴ON′=t﹣8，
∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣ （t﹣8）（3t﹣24）=﹣ t2+39t﹣96；
综上可知S与t的函数关系式为S= ．
【点评】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得 = ，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为?BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′ ， 可分别得到S与t的函数关系式．21·世纪*教育网
一、单选题
1、(2017广西北海期末)下列根式中，不能与 合并的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】解：A、 ，本选项不合题意； B、 ，本选项不合题意；
C、 ，本选项合题意；
D、 ，本选项不合题意；
故选C．
【点评】将各式化为最简二次根式即可得到结果．
2、(2017云南曲靖期末)若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（?? ）
A、x≥﹣1 B、x≠2 C、x≥﹣1且x≠2 D、以上都不正确
【答案】A
【解析】解：∵二次根式 在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，
解得：x≥﹣1．
故选：A．
【点评】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，即可得出答案，
3、（2017重庆江北期末）如果a是任意实数，下列式子一定成立的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】解：A、当a＜0时，二次根式无意义，故A错误； B、当a=0时，二次根式无意义，故B错误；【来源：21cnj*y.co*m】
C、a是任意实数时，都有意义，故C正确；
D、当a≠0时，二次根式无意义，故D错误．
故选：C．
【点评】根据二次根式被开方数大于等于零进行判断即可．
4、（2017山东蒙阴期中）如果 是二次根式，那么a、b应满足条件（?? ）
A、a＞0，b＞0 B、a、b同号 C、a＞0，b≥0 D、≥0
【答案】D
【解析】解：由题意得， ≥0． 故选D．
【点评】根据二次根式的被开方数等于0解答．
5、（2017云南省曲靖市期末）如果 =﹣a，那么a的取值范围是（?? ）
A、正数 B、负数 C、非负数 D、非正数
【答案】D
【解析】解：由题意，得 a≤0，
故选：D．
【点评】根据二次根式有意义的条件，可得答案．
6、（2017天津市蓟州区期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】解：A、原式为最简二次根式，符合题意； B、原式= ，不符合题意；
C、原式=5 ，不符合题意；
D、原式=2 ，不符合题意，
故选A
【点评】利用最简二次根式定义判断即可．
7、（2017安徽太和一模）下列二次根式中，与 之积为有理数的是（?? ）
A、 B、 C、 D、﹣
【答案】A
【解析】解：A、 =3 ，3 × =6，符合题意； B、原式= ， × = ，不符合题意；21*cnjy*com
C、原式=2 ，2 × =2 ，不符合题意；
D、原式=﹣3 ，﹣3 × =﹣3 ，不符合题意，
故选A
【点评】将各式与 相乘，判断即可．
8、(2017山东德州期末)已知|2017﹣a|+ =a，则a﹣20172的值为（?? ）
A、2017 B、2018 C、20172 D、20182
【答案】B
【解析】解：∵|2017﹣a|+ =a， ∴a﹣2018≥0，
故a≥2018，
则原式可变为：a﹣2017+ =a，
故a﹣2018=20172 ，
则a﹣20172=2018．
故选：B．
【点评】直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，进而化简原式求出答案．
9、（2017陕西宝鸡月考）若式子 + 有意义，则点P（a、b）在（?? ）
A、坐标原点 B、第一象限 C、第二象限 D、第三象限
【答案】D
【解析】解：由题意，得 ﹣a﹣b≥0，且ab＞0，
解得a＜0，b＜0，
点P（a、b）在第三象限，
故选：D．
【点评】根据被开方数是非负数，可得答案．
10、（2017重庆荣昌期末）已知y=3 +6，则x+y的立方根是（?? ）
A、2 B、﹣2 C、±2 D、8
【答案】A
【解析】解：∵y=3 +6， ∴x﹣2=0，则x=2，
故y=6，
则x+y=8的立方根是：2．
故选：A．
【点评】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而利用立方根的定义得出答案．
二、填空题
11、（2017湖州九校模拟）已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．【出处：21教育名师】
【答案】20
【解析】解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为20．
故答案为：20．
【点评】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
12、（2017德州陵城模拟）若|b﹣1|+ =0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是________．【版权所有：21教育】
【答案】k≤4且k≠0
【解析】解：∵|b﹣1|+ =0，
∴b=1，a=4，
∴原方程为kx2+4x+1=0，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△=16﹣4k≥0，
解得：k≤4，
∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，
∴k≠0，
k的取值范围是：k≤4且k≠0，
故答案为：k≤4且k≠0．
【点评】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．
13、（2017南宁江南区模拟）将根号外的因式移入根号内的结果是 ．
【答案】
【解析】∵要使有意义，
必须-＞0，
即a＜0，
所以．
【点评】利用二次根式的性质即可将根式外的因式移入根号内，要注意字母的取值范围.
14、（2017济宁邹城模拟）已知（x﹣y+1）2+ =0，则x+y的值为________．
【答案】
【解析】解：由题意可知：
解得：
∴x+y=
故答案为：
【点评】根据非负数的性质以及二元一次方程的解法即可求出答案．
15、（2017上海青浦模拟）已知函数f（x）= ，那么f（ ﹣1）=________．
【答案】2+
【解析】解：因为函数f（x）= ， 所以当x= ﹣1时，f（x）= =2+ ．
【点评】把x= ﹣1直接代入函数f（x）= 即可求出函数值．
16、（2016江西宜春期中）若最简二次根式 和3 是同类二次根式，则a+b 的值为________．21教育名师原创作品
【答案】7
【解析】解：由题意，得 ，
解得 ．
a+b=4+3=7，
故答案为：7．
【点评】根据同类二次根式的定义，可得方程组，根据解方程组，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案．21*cnjy*com
三、解答题
17（2017广东东莞期末）化简求值：已知x= ，求代数式 ﹣ 的值．
【答案】3+2
【解析】解：x= = ﹣1，
则 ﹣ =
=
=
=
=
=3+2．
【点评】先通过分母有理化求得x的值；然后将其代入化简后的代数式进行求值．
18、（2017河南罗山期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣ ﹣|a+c|
【答案】2a﹣b+3c
【解析】解：由数轴知：c＜b＜0＜a，a﹣b＞0，a+c＜0． 原式=（a﹣b）+2c+（a+c），
=a﹣b+2c+a+c，
=2a﹣b+3c
【点评】根据数轴得出c＜b＜0＜a，a﹣b＞0，a+c＜0．先根据二次根式性质进行计算，再去掉绝对值符号，最后合并即可．21世纪教育网版权所有
19、（2016湖北枝江期末）若最简二次根式 与 是同类二次根式，求a2016+b2016的值．21cnjy.com
【答案】2
【解析】解：∵ 与 是同类二次根式 ∴ ，
解得： ，
则a2016+b2016=2．
【点评】根据同类二次根式的概念列出方程组，解出方程组求出a、b的值，计算即可．
20、（2017江西昌江期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： = = ；（一）
= = （二）
= = = ﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
化简： ．
【答案】 （ ﹣1）
【解析】解：原式= + +…+
= （ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ ）
= （ ﹣1）．
【点评】原式各项分母有理化，计算即可得到结果．
