1.3 分式
一、分式的概念
若A，B表示两个整式，且B中含有 ，那么式子 就叫做分式．
二、分式的基本性质
1．分式的分子分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变．
= ，= （m≠0）．
2．分式的变号法则= ．
3．约分：根据 把一个分式分子和分母的 约去叫做分式的约分；约分的关键是确定分式的分子和分母中的 ，约分的结果必须是 分式或整式．
4．通分：根据 把几个异分母的分式化为 分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的 ．
三、分式的运算：
1．分式的乘除
①分式的乘法：=
②分式的除法：= =
2．分式的加减
①用分母分式相加减：=
②异分母分式相加减：= =
3．分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即 =
4．分式的混合运算：应先算 再算 最后算 有括号的先算括号里面的．
四、分式求值：
①先化简，再求值；②由化简后的形式直接代数所求分式的值；
③式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中．
考点一：分式有意义的条件
（2017?重庆）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
【解析】当x﹣3≠0时，分式有意义，即当x≠3时，分式有意义，故选D．
【答案】D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
变式跟进1（2016?自贡）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
考点二：分式的值为零的条件
（2016?天水）已知分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2
【解析】∵分式的值为0，
∴（x﹣1）（x+2）=0且x2﹣1≠0，解得：x=﹣2．故选：B．
【答案】B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分母不为零是解题关键．
变式跟进2（2015?河北区三模）已知分式，当x=﹣5时，该分式没有意义；当x=﹣6时，该分式的值为0，则（m+n）2015= ．21世纪教育网版权所有
考点三：分式的运算
（2017?临沂）计算： = ．
【解析】原式 ===．
【答案】．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解题的关键，注意运算顺序．
变式跟进3（2017?重庆）计算：（a+2﹣）÷．
考点四：分式的化简与求值
（2016?江西）先化简，再求值：，其中x=6．
【解析】原式=
==，
当x=6时，原式=．
【答案】．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，运算过程中首先要注意变号，其次把分式化到最简是解答的关键，通分、因式分解和约分是基本环节．21教育网
变式跟进4（2016?河南）先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
一、选择题
1．（2015?黔西南州）分式的值为零，则x的值为（ ）
A．-1 B．0 C．±1 D．1
2．（2017?广州）计算（a2b）3?的结果是（ ）
A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b6
3．（2017?丽水）化简+的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1 D．
4．（2016?德州）化简等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2017?眉山）已知m2+n2=n﹣m﹣2，则﹣的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
二、填空题
6．（2016?贵州安顺）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
7．（2015?云南昆明）计算：= ．
8．（2017?枣庄）化简：÷= ．
9．（2017?潍坊）计算：（1﹣）÷= ．
10．（2016?毕节）若，则的值为 ．
11．（2016?荆州）当，时，代数式的值 ．
12．（2017?滨州） 观察下列各式：；；……
请你用所得的结论，化简代数式，其结果为 ．
三、解答题
14．（2016?福州）化简： ．
15．（2017?宜宾）化简（1﹣）÷（）．
16．（2017?株洲）化简求值：（x﹣）?﹣y，其中x=2，y=．
17．（2015?邵阳）先化简，再从0，1，2中选一个合适的x的值代入求值．
18．（2016·四川凉山）先化简，再求值：，其中实数x、y满足．
19．（2015?本溪）先化简，再求值：，其中．
20．（2017?达州）设A=÷（a﹣）．
（1）化简A；
（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：﹣≤ f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来．
一、选择题
1．（2017?温州一模）若分式无意义，则（ ）
A．x=2 B．x=﹣1 C．x=1 D．x≠﹣1
2．（2016?营口模拟）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016?龙岩模拟）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣1
4． （2016?朝阳区校级模拟）如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍
5．（2017?红桥区校级模拟）下列分式中，最简分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2016?汶上县二模）小明在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A．（）2= B．
C． D．
7．（2017?历下区一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2017?昌平区二模）若a2﹣2a﹣3=0，代数式的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
9． （2016?苏州一模）对于正数x，规定f（x）=，例如f（3），计算…f（998）+f（999）+f（1000）的结果是（ ）21cnjy.com
A．999 B．999.5 C．1000 D．1000.5
二、填空题
10．（2016?富顺县校级模拟）不改变分式的值，把分式中的分子、分母中各项的系数都化为整数，且使系数的绝对值最小，则所得的结果为 ．
11．（2016?泰山区二模）化简÷（1+）的结果是 ．
12．（2016?开平区二模）已知a+2b=2016，则= ．
13．（2017?围场县模拟）若a=2，b=3，则的值为 ．
14．（2016?安陆市模拟）已知，A，B为常数，则A+B的值为 ．
15．（2017?白云区一模）化简：= ．
16．（2017?资中县二模）已知﹣=3，则= ．
三、解答题
17．（2017?莘县三模）化简：÷（x+2﹣）．
18．（2017?南京一模）化简：（﹣）÷．
19．（2017?淳安县模拟）先化简，再求值：÷﹣（+1），再从0＜x＜4的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．21·cn·jy·com
20．（2017?庆云县二模）先化简，再求值：，其中x=．
1.3 分式
一、分式的概念
若A，B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式．
二、分式的基本性质
1．分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．
=， =（m≠0）
2．分式的变号法则=．
3．约分：根据 分式的基本性质 把一个分式分子和分母的 公因式 约去叫做分式的约分；约分的关键是确定分式的分子和分母中的 公因式 ，约分的结果必须是 最简 分式或整式．
4．通分：根据 分式的基本性质 把几个异分母的分式化为与原来分式相等的同 分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的 最简公分母 ．
三、分式的运算：
1．分式的乘除
①分式的乘法：=
②分式的除法：= =
2．分式的加减
①用分母分式相加减：=
②异分母分式相加减：= =
3．分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即 =
4．分式的混合运算：应先算乘方再算乘除最后算加减有括号的先算括号里面的．
四、分式求值：
①先化简，再求值；②由化简后的形式直接代数所求分式的值；
③式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中．
考点一：分式有意义的条件
（2017?重庆）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
【解析】当x﹣3≠0时，分式有意义，即当x≠3时，分式有意义，故选D．
【答案】D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
变式跟进1（2016?自贡）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
考点二：分式的值为零的条件
（2016?天水）已知分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2
【解析】∵分式的值为0，
∴（x﹣1）（x+2）=0且x2﹣1≠0，解得：x=﹣2．故选：B．
【答案】B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分母不为零是解题关键．
变式跟进2（2015?河北区三模）已知分式，当x=﹣5时，该分式没有意义；当x=﹣6时，该分式的值为0，则（m+n）2015= ．21·cn·jy·com
【解析】∵当x=﹣5时，该分式没有意义，∴m=5．
∵当x=﹣6时，该分式的值为0，∴n=﹣6．
∴原式=（5﹣6）2015=﹣1．故答案为：﹣1．
【答案】﹣1．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．2·1·c·n·j·y
考点三：分式的运算
（2017?临沂）计算： = ．
【解析】原式 ===．
【答案】．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解题的关键，注意运算顺序．
变式跟进3（2017?重庆）计算：（a+2﹣）÷．
【解析】原式=（）×==．
【答案】．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，运算过程中注意运算顺序．分式的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减．有括号的先算括号里面的．注意分式运算的结果需化为最简分式．
考点四：分式的化简与求值
（2016?江西）先化简，再求值：，其中x=6．
【解析】原式=
==，
当x=6时，原式=．
【答案】．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，运算过程中首先要注意变号，其次把分式化到最简是解答的关键，通分、因式分解和约分是基本环节．www-2-1-cnjy-com
变式跟进4（2016?河南）先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
一、选择题
1．（2015?黔西南州）分式的值为零，则x的值为（ ）
A．-1 B．0 C．±1 D．1
【解析】∵分式的值为0，∴x2-1=0且x+1≠0，解得：x=1．
【答案】D
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分母不为零是解题关键．
2．（2017?广州）计算（a2b）3?的结果是（ ）
A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b6
【解析】原式=a6b3?=a5b5．
【答案】A
【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．（2017?丽水）化简+的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1 D．
【解析】原式=﹣===x+1．
【答案】A
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2016?德州）化简等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】原式=．
【答案】B
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2017?眉山）已知m2+n2=n﹣m﹣2，则﹣的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
二、填空题
6．（2016?贵州安顺）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，解得：x≤1且x≠﹣2．
【答案】x≤1且x≠﹣2
【点评】本题考查知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
7．（2015?云南昆明）计算：= ．
【解析】===．
【答案】
【点评】本题考查了分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
8．（2017?枣庄）化简：÷= ．
【解析】÷=?=．
【答案】
【点评】此题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2017?潍坊）计算：（1﹣）÷= ．
【解析】（1﹣）÷===x+1．
【答案】x+1
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
10．（2016?毕节）若，则的值为 ．
【解析】∵ a2+5ab﹣b2=0，∴．
【答案】5
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．【来源：21·世纪·教育·网】
11．（2016?荆州）当，时，代数式的值 ．
【解析】∵ ，，
∴ ，，
∴ ．
【答案】
【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简．2-1-c-n-j-y
12．（2017?滨州） 观察下列各式：；；……
请你用所得的结论，化简代数式，其结果为 ．
三、解答题
14．（2016?福州）化简： ．
【解析】原式=
【答案】
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2017?宜宾）化简（1﹣）÷（）．
【解析】原式=÷=?=．
【答案】
【点评】本题考查了分式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（2017?株洲）化简求值：（x﹣）?﹣y，其中x=2，y=．
【解析】原式=?﹣y=﹣=﹣，
当x=2，y=时，原式=﹣．
【答案】﹣，﹣
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2015?邵阳）先化简，再从0，1，2中选一个合适的x的值代入求值．
【解析】原式=，当x=1时，原式=．
【答案】，
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2016?四川凉山）先化简，再求值：，其中实数x、y满足．
【解析】原式===，
∵，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，即x﹣2=0，
解得：x=2，y=1，则原式=2．
【答案】，2．
【点评】本题考查的是综合运用分式的化简求值、二次根式有意义的条件解决问题的能力．
19．（2015?本溪）先化简，再求值：，其中．
20．（2017?达州）设A=÷（a﹣）．
（1）化简A；
（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：﹣≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来．
【解析】（1）A=÷（a﹣）
==
===；
（2）∵a=3时，f（3）=，
a=4时，f（4）=，
a=5时，f（5）=，…
∴﹣≤f（3）+f（4）+…+f（11），
即﹣≤++…+
∴﹣≤+…+，
∴﹣≤，
∴﹣≤，
解得，x≤4，
∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示，
．
【答案】（1）；（2）x≤4．
【点评】本题考查分式的混合运算、在数轴表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法和解不等式的方法．21教育网
一、选择题
1．（2017?温州一模）若分式无意义，则（ ）
A．x=2 B．x=﹣1 C．x=1 D．x≠﹣1
【解析】当x+1=0时，分式无意义，即当x=-1时，分式有意义．
【答案】D
【点评】本题考查的知识点为：分式无意义，分母为0．
2．（2016?营口模拟）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵2x2+1＞1，∴不论字母取何值都有意义．
【答案】D
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3．（2016?龙岩模拟）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣1
【解析】根据题意得：，解得：x=﹣2．
【答案】B
【点评】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．21世纪教育网版权所有
4．（2016?朝阳区校级模拟）如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍
【解析】，即分式的值不变．
【答案】B
【点评】本题主要考查对分式的基本性质，是考试中经常出现的基础题．
5．（2017?红桥区校级模拟）下列分式中，最简分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2016?汶上县二模）小明在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A．（）2= B．
C． D．
【解析】A．（）2=≠，故本选项错误；
B．+=≠，故本选项错误；
C．==x+y，故本选项正确；
D、=﹣≠﹣1，故本选项错误．
【答案】C
【点评】本题考查的是分式的混合运算，分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
7．（2017?历下区一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解析】原式=?=．
【答案】A
【点评】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找公因式．
8．（2017?昌平区二模）若a2﹣2a﹣3=0，代数式的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【解析】移项，得a2﹣2a=3．==．
【答案】B
【点评】本题考查了分式的值，利用整体代入是解题关键．
9．（2016?苏州一模）对于正数x，规定f（x）=，例如f（3）=，计算…f（998）+f（999）+f（1000）的结果是（ ）21cnjy.com
A．999 B．999.5 C．1000 D．1000.5
【解析】∵f（1）==，f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，
∴原式=[f（）+f（1000）]+[f（）+f（999）]+…+[f（）+f（2）]+f（1）
=999+=999.5．
【答案】B
【点评】本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．
二、填空题
10．（2016?富顺县校级模拟）不改变分式的值，把分式中的分子、分母中各项的系数都化为整数，且使系数的绝对值最小，则所得的结果为 ．
11 ．（2016?泰山区二模）化简÷（1+）的结果是 ．
【解析】原式=÷=?=．
【答案】
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
12．（2016?开平区二模）已知a+2b=2016，则= ．
【解析】===，
当a+2b=2016时，原式==3024．
【答案】3024
【点评】此题主要考查了分式的值，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．www.21-cn-jy.com
13．（2017?围场县模拟）若a=2，b=3，则的值为 ．
【解析】==，把a=2，b=3代入得：原式==．
【答案】
【点评】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．
14．（2016?安陆市模拟）已知，A，B为常数，则A+B的值为 ．
【解析】取分母得1=A（n+2）﹣B?n，整理得（A﹣B）n+2A﹣1=0，
根据题意得A﹣B=0，2A﹣1=0，解得A=B=，所以A+B=1．
【答案】1
【点评】本题考查了分式的加减：去分母把分式计算问题化为解不定方程的问题．
15．（2017?白云区一模）化简：= ．
【解析】原式===x+y+2．
【答案】x+y+2
【点评】此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．
16．（2017?资中县二模）已知﹣=3，则= ．
【解析】∵﹣=3，∴3y﹣2x=3xy，∴原式===．
【答案】﹣
【点评】本题考查分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
三、解答题
17．（2017?莘县三模）化简：÷（x+2﹣）
【解析】原式=÷（）=?=．
【答案】
【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．21*cnjy*com
18．（2017?南京一模）化简：（﹣）÷．
19．（2017?淳安县模拟）先化简，再求值：÷﹣（+1），再从0＜x＜4的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．21·世纪*教育网
【解析】×﹣=，把x=2代入，原式=1
【答案】，1
【点评】本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
20．（2017?庆云县二模）先化简，再求值：，其中x=．
【解析】原式=÷﹣
=?﹣=﹣=﹣，
当x==+1时，原式=﹣=﹣．
【答案】﹣，﹣
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．【来源：21cnj*y.co*m】
