3.2.1
复数代数形式的加减运算及其几何意义
教学过程：
一、复习准备：
1.
与复数一一对应的有？
2.
试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3.
同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？
4.
类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
二、讲授新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：，则。
例1．计算（1）
（2）
（3）
（4）
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若，则。
④讨论：若，试确定是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
例3．计算（1）
（2）
（3）
练习：已知复数，试画出，，
2．小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。
三、巩固练习：
1.设当时，复数为（
D）.
（A）1+i
（B）2+i
（C）3
（D）-2-i
2．复数则等于（
C
）.
（A）2
（B）2+2i
（C）4+2i
（D）4-2i
3.复数若它们的和为实数、差为纯虚数，则实数的值为（
A）.
（A）a=-3
,b=-4
（B）a=-3,b=4
（C）a=3,b=-4
（D）a=3,b=4
4.已知复平面内的平面向量表示的复数分别为则向量所表示的复数的模为（
C
）.
（A）
（B）
（C）
（D）
5．复数对应点在第二象限，则对应点在（
B
）
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）
第三象限
（D）第四象限
6.复数则复数对应向量的模的最大值为（D
）
（A）5
（B）
（C）6
（D）
7.
计算(－=__－2i
__
8.
计算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=_____(y－x)+5(y－x)i
___(x、y∈R).
作业：课本71页1、2题。复数代数形式的加减运算及其几何意义
教学目标：
知识与技能：掌握复数的加法运算及理解其几何意义．
过程与方法：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．
情感、态度与价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．
教学重点：复数加减法运算及其应用．
教学难点：复数加减法运算的几何意义．
教具准备：多媒体、实物投影仪等．
教学过程：
①复数z=a+bi（a、b∈R），其中
a
是实部，
b
是虚部．当且仅当
b=0
时，z是实数；当且仅当
a=0且b≠0
时，z为纯虚数；
②如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
③复数z=a+bi与
复平面内所有的点
是一一对应关系；与平面向量
也呈一一对应关系．
④如果已知向量，则
，
引入了一个新数，我们最关心是它是如何运算的，我们先来研究复数的加法．即，那么
根据复数是实数的推广，实数也是复数的概念，举出复数（实数）相加的特例，如2+3=5．
①因为实数是复数的特殊情况，那么复数是如何进行加减运算的呢？2+3=？这个式子能不能写成复数形式呢？若能，从复数的概念角度如何解释？
②复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明．
（纯虚数是复数的另一类特殊情形．z1=2i
z2=3i，即
z1=0+2i，
z2=0+3i
猜想z1+
z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i．）
③你对一般的两个复数相加有什么猜想，即
④引导学生从向量的角度上去理解加法法则猜想的正确性
结论：两个复数相加等于它们的实部与实部相加，虚部与虚部相加．
⑤复数的加法满足加法交换律，满足加法结合律吗？
复数的加法运算满足交换律:
z1+z2=z2+z1.
复数的加法运算满足结合律:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
⑥那么复数的减法法则如何推导出来呢？
可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．
例题：
例1．课本题57页
例2．若复数与的差是纯虚数，那么实数
．
例3．若复数与的和位于复平面的第一象限，则实数的范围是
．
例4．已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？
例5．复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．（备用）
小结：
从知识上小结：加减法法则
从思想方法上小结：由特殊到一般，普遍联系，相互转化的思想复数代数形式的加、减运算及其几何意义
三维目标：
知识与能力：掌握复数代数形式的加、减的运算法则、运算律.
掌握复数加、减运算的几何意义..
过程与方法：通过实数集扩充到复数集，类比出实数的加、减运算及运算律应用到复数的加、减运算
情感态度与价值观：利用画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用.
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
教学难点：加、减运算的几何意义
教学建议：复数代数形式的加、减的运算法则比较简单，易于理解，但几何意义对有的同学来说是个难点，讲课时要重点讲解，尤其是可以看做坐标系内的向量，利用向量的模进行运算。
导入一：
我们知道实数有加、减法等运算，且有运算律.
加法交换律：a+b=b+a;
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
思考：那么复数应怎样进行加、减运算呢？
导入二：
复习引入，激发认知
①复数z=a+bi（a、b∈R），其中
a
是实部，
b
是虚部．当且仅当
b=0
时，z是实数；当且仅当
a=0且b≠0
时，z为纯虚数；
②如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
③复数z=a+bi与
复平面内所有的点
是一一对应关系；与平面向量
也呈一一对应关系．
④如果已知向量，则
，复数代数形式的乘除运算
教学设计
讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)
(-2+i)=
-20+15i.例2计算：（1）(3+4i)
(3-4i)
；
（2）（1+
i)2.
解：（1）(3+4i)
(3-4i)
=32-（4i）2=9-(-16)=25;(2)
（1+
i)2=1+2
i+i2=1+2
i-1=2
i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。4.
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者5.除法运算规则：(a+bi)÷(c+di)=.点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化.
把这种方法叫做分母实数化法例3计算解：例4计算解：例5已知z是虚数，且z+是实数，求证：是纯虚数.证明：设z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是z+=a+bi+=a+bi+.∵z+∈R，∴b－=0.∵b≠0，∴a2+b2=1.∴∵b≠0，a、b∈R，∴是纯虚数巩固练习：1.设z=3+i,则等于A.3+i
B.3－i C.
D.2.的值是A.0
B.i C.－i
D.13.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数的虚部为A.1
B.－1 C.i
D.－i4.设
(x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________.答案：1.D
2.A
3.A 4.
,
－
拓展练习：复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若是实数，则有序实数对（a,b）可以是
.(写出一个有序实数对即可)【答案】：.
教师手记:
课堂小结
1．复数的乘法运算的法则是什么？2．什么是共扼复数？及有哪些性质？3．复数除法运算的法则是什么？
课后作业
同步作业本、课本第112页
习题3.
2
A组4，5，6
教学反思
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.复数的除法法则是：i(c+di≠0).两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
板书设计讲解新课：１.乘法运算规则：
例1
巩固练习2.乘法运算律
例2
3.共轭复数
例3
4.复数除法定义
例4
课堂小结5.除法运算规则
例5复数代数形式的乘除运算
三维目标：
1.
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
2.
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题3.
情感、态度与价值观：我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算
教学难点：对复数除法法则的运用
教学建议：乘法运算类似于多项式乘法，讲解时可简单一些，除法比较接引与分母有理化的过程，让学生可类比学习，一些常见的结果可以让学生记住，以提高计算速度。
引入一：
实数能进行加、减、乘、除运算，上节课学习了复数的加减法，那么复数能进行乘除运算吗？
运算规则：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i
(a+bi)÷(c+di)=
运算律：z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
引入二：
多项式的乘法运算
？
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
由多项式的乘法法则，我们可以类比出复数的乘法法则吗？
我们规定，复数的乘法法则如下：
设z1=a+bi,
z2=c+di
是任意两个复数，那么它们的积
(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i3.2.2复数代数形式的乘除运算
教材分析
三维目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学建议：本节课是复数代数形式的四则运算的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点.复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立.有除法是乘法的逆运算，可以得到除法的运算法则.教材在内容编排上使用问题探究的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知.学生不仅学到了知识，而且培养了兴趣，提高了学习积极性.
本节课是本章的重点内容，同时复数乘、除法德法则的理解更是难点.故在本节课的设计上建议采取类比的方法，使知识的不失其本质的情况下，更易于理解.在例题和习题的选择上，建议突出本节的重点，熟练掌握复数的乘除法运算以及数学思维方式与技能的培养.
新课导入一
在前面，我们已经学习了复数的代数形式的加减运算法则和有关的运算律，知道复数的代数形式的加减运算与两个多项式加减法运算是一样的，那么两个复数的乘除法运算是否也与两个多项式的乘除法运算一样呢？
新课导入二
提出问题：试计算
先由学生独立思考，然后交流看法.
板书：
通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：，期中.引出新课.两个复数相乘又该如何计算？
