3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
教学过程
一、推进新课
1.复数的加法
探究新知
我们规定，复数的加法法则如下：
设,是任意两个复数，那么
提出问题
问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗？
问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？
问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
活动设计：学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。2．一致。3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
设计意图：加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性。
提出问题：实数加法有交换律、结合律，复数满足吗？并试着证明。
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流。
活动成果：满足，对任意的有
交换律：
结合律：
证明：设，，
显然，
同理可得，
设计意图：引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力。
2.复数加法的几何意义
提出问题：复数与复平面内的点有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证。
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流。
学情预测：学生可能会很快类比出结果，确不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决。
设
，如图，画出向量
，后，
提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向
量（即合向量），画出向量后，问与它对应的复数
是什么，即求点Z的坐标。
活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义。
设计意图：既训练了学生的类比思想，也培养了学生的数形结合思想。
3.复数的减法
提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则及其几何意义。
活动设计：学生独立完成，口述，教师板书。
活动成果：1、复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足
的复数叫做复数减去复数的差，记做。
2、
复数减法的几何意义是可以按照向量的减法来进行的。
设计意图：考察学生类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力。
提出问题：你能试着自己推导减法法则吗？
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流。
学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等定义来验证，部分学生
可能会想到把减法运算转化为加法运算，即
活动成果：证明：根据复数相等的定义，有
因此
即
设计意图:让学生动手推导减法法则，有利于培养学生创新能力和互助合作的学习习惯。
二、理解新知
提出问题
问题1：复数的加（减）法法则规定的合理性在哪里？
问题2：复数的加（减）法实质是什么？
问题3：多个复数相加减怎样运算？
活动设计：学生独立完成，口述，教师完善。
活动成果：1．它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美结合起来。2．实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减。3．可将它的实部与实部，虚部与虚部分别相加减。
设计意图：加深对复数加（减）法法则的理解，并为例题打下基础。
运用新知
三、例题讲解
例1
计算
思路分析：根据复数的加减运算即可得出。
解法一：=
解法二：
=
点评：本题是一道巩固复数加减运算的题目，且是一道加减混合运算题，要求学生把握住公式的准确性。法一是直接将它们的实部与虚部分别相加（减），法二是前两个复数相加，得到的和再与第三个复数相减，法一更好。
变式练习
计算
分析：从整体上把握，把各个复数的实部和实部相加，虚部和虚部相加。
解：原式=
点评：巩固复数加减运算，并带有一定的规律性。
变练演编
教师：在复数减法几何意义中，我们知道，复数与向量一一对应，那么，的模长呢？显然，,所以，两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点的距离。
提出问题：设动点Z与复数对应，定点P与复数对应．根据复数差的模的几何意义，求复平面内圆的方程。
活动设计：学生先独立完成，允许互相交流结果。
活动成果：解：设定点P为圆心，r为半径，如图，
由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r。
提出问题
1．复平面内满足
的点Z的集合表示的图形是以P为圆心，r为半径的不含边界的圆面部分。
2．由复数差的模的几何意义，试写出一些复平面内的轨迹方程。
活动设计：学生分组完成，教师完善。
活动成果：1．
2．（1）复数等式在复平面上表示一个椭圆。
（2）复数等式在复平面上表示双曲线的一支。
（3）复数等式在复平面上表示线段的中垂线。
（4）在复平面上表示一条线段。
（5）复数等式在复平面上表示平行四边形对角线相等，在复平面上表示矩形。
设计意图：设置本组题目，意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义，增加了问题的多样性，有趣性，训练了学生思维的发散性，深刻性。
四、达标检测
1．计算
2．复数对应的向量分别是,其中O是原点，求向量对应的复数。
3．求复数所对应的两点之间的距离。
【答案】1．5，
2．
3．提示：所对应的点是，用两点距离即可。
五、课堂小结
知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）
1、若干个复数相加（减），可以将它们的实部与虚部分别相加（减），复数的加（减）法则与多项式加（减）法是类似的。
2、复数加（减）法的几何意义是可以按照向量的加（减）法来进行。
六、布置作业：P112，习题A组1，3
七、补充练习
基础练习
1．如果复数与的和是一个纯虚数，则有
（
）
A
且
B
且
C
且
D
且
2．当时，复数在复平面内所对应的点位于（
）
A
第一象限
B第二象限
C第三象限
D第四象限
3．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求点C对应的复数。
4．在平行四边行OABC中（其中Ｏ为原点），点A、B、C所对应的复数分别是,求复数，并求出的值。
【答案】1．B
2．B
3． 4．
八、拓展练习
5．如果复平面内一图形的方程是，求这个图形的轨迹。
6．复数,其中，求。
【答案】5．方程可以看成，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆。
6．提示：法一：数形结合思想，构造边长为1的正方形，则其中一条对角线长
度为，则所求的另一条也等于。
法二：（向量法）设所对应的向量分别是，由和向量的模平方得，，
则差向量的平方也得2，所以。
九板书设计
一、推进新课1.
复数的加法2.
复数的减法二、理解新知
三、例题讲解例1例2
四、达标检测
五、课堂小结
设计说明
本节中，由于复数的加法法则是规定的，教师从问题如手，引导学生思考，让学生理解这种规定的合理性。在复数加法的运算律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，让学生在参与中学会学习，学会合作，突出体现以学生为主，教师为辅的新课程理念。
对于复数的减法的处理，采用了类比的数学思想方法，让学生自主探究，自己总结，且法则可以用已学的知识推导，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。
例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能的照顾到各个层次的学生。
备课资料
1.已知关于x的方程：有实数根b.
(1)求实数a,b的值；
(2)若复数z满足，求最小值。
思路分析：由复数相等定义，求出两个参数值，由，把转化为与原点的距离，在图形中解决即可。
解：(1)即
由复数相等，解得a=b=3.
(2)设z=x+yi,则,
由，得，
即，
整理，得，
即复数z在复平面内表示的轨迹是以（-1，1）为圆心，半径长为的圆。
的几何意义是Z(x,y)与原点的距离，连接圆心与原点即可，
=。
点评：在问题(2)中，解决此类问题的关键是利用复数的几何意义，把数转化成形，在图形中寻求答案
x
O
y
Z§3.2.2复数代数形式的乘除运算
教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
教学过程：
学生探究过程：
1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 ;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
2.
与－1的关系:
就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－
3.
的周期性：4n+1=i,
4n+2=-1,
4n+3=-i,
4n=1
4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示
3.
复数的代数形式:
复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
4.
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
6.
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7.
复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，
它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
9.
复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
10.
复数的加法运算满足交换律:
z1+z2=z2+z1.
11.
复数的加法运算满足结合律:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
讲解新课：
１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，
z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.
又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.
∴z1z2=z2z1.
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)
=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i
=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，
同理可证：
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，
∴(z1z2)z3=z1(z2z3).
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］
=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.
z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)
=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i
=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)
(-2+i)=
-20+15i.
例2计算：
（1）(3+4i)
(3-4i)
；
（2）（1+
i)2.
解：（1）(3+4i)
(3-4i)
=32-（4i）2=9-(-16)=25;
(2)
（1+
i)2=1+2
i+i2=1+2
i-1=2
i.
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数的共轭复数为。
4.
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者
5.除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等定义可知
解这个方程组，得
于是有:(a+bi)÷(c+di)=
i.
②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：
原式=
.
∴(a+bi)÷(c+di)=.
点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化.
把这种方法叫做分母实数化法
例3计算
解：
例4计算
解：
例5已知z是虚数，且z+是实数，求证：是纯虚数.
证明：设z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是
z+=a+bi+=a+bi+.
∵z+∈R，∴b－=0.
∵b≠0，∴a2+b2=1.
∴
∵b≠0，a、b∈R，∴是纯虚数
巩固练习：
1.设z=3+i,则等于
A.3+i
B.3－i C.
D.
2.的值是
A.0
B.i C.－i
D.1
3.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数的虚部为
A.1
B.－1 C.i
D.－i
4.设
(x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________.
答案：1.D
2.A
3.A 4.
,
－
课后作业：课本第112页
习题3.
2
A组4，5，63.2.2复数代数形式的乘除运算
教学过程
一、学生探究过程：
1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 ;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
2.
与－1的关系:
就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－
3.
的周期性：4n+1=i,
4n+2=-1,
4n+3=-i,
4n=1
4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示
3.
复数的代数形式:
复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
4.
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
6.
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7.
复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，
它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
9.
复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
10.
复数的加法运算满足交换律:
z1+z2=z2+z1.
11.
复数的加法运算满足结合律:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
二．讲解新课：
１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，
z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.
又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.
∴z1z2=z2z1.
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)
=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i
=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，
同理可证：
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，
∴(z1z2)z3=z1(z2z3).
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］
=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.
z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)
=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i
=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
三、例题讲解
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)
(-2+i)=
-20+15i.
例2计算：
（1）(3+4i)
(3-4i)
；
（2）（1+
i)2.
解：（1）(3+4i)
(3-4i)
=32-（4i）2=9-(-16)=25;
(2)
（1+
i)2=1+2
i+i2=1+2
i-1=2
i.
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数的共轭复数为。
4.
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者
5.除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等定义可知
解这个方程组，得
于是有:(a+bi)÷(c+di)=
i.
②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：
原式=
.
∴(a+bi)÷(c+di)=.
点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化.
把这种方法叫做分母实数化法
例3计算
解：
例4计算
解：
例5已知z是虚数，且z+是实数，求证：是纯虚数.
证明：设z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是
z+=a+bi+=a+bi+.
∵z+∈R，∴b－=0.
∵b≠0，∴a2+b2=1.
∴
∵b≠0，a、b∈R，∴是纯虚数
三．巩固练习：
教科书111面的1，2，3
补充练习
1.设z=3+i,则等于
A.3+i
B.3－i C.
D.
2.的值是
A.0
B.i C.－i
D.1
3.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数的虚部为
A.1
B.－1 C.i
D.－i
4.设
(x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________.
答案：1.D
2.A
3.A 4.
,
－
五．课堂小结
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.
复数的除法法则是：i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
六．课后作业：
课本第112页
习题3.
2
A组4，5，6
B组1，2
七．教学反思：
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.
复数的除法法则是：i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
板书设计
讲解新课：
１.乘法运算规则：
例1
巩固练习
2.乘法运算律
例2
3.共轭复数
例3
4.复数除法定义
例4
课堂小结
5.除法运算规则
例53.2.1复数代数形式的加法、减法及其几何意义
教学过程
一、推进新课：
１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2.
复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
3.复数加法的几何意义：
设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是为z1+z
2，
∴=
+=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i
4.
复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=
z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
二、典型例题
例1已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？
解：z=
z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i，
∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，
∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.
点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即所表示的复数是zB－zA. ，而所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关
例2 复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
分析一：利用，求点D的对应复数.
解法一：设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是：
=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i;
=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i.
∵，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，
∴解得
故点D对应的复数为2－i.
分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.
解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+
(x+yi)=0，∴x=2，y=－1.
故点D对应的复数为2－i.
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
三、课堂练习：
1．如果复数与的和是一个纯虚数，则有
（
）
A
且
B
且
C
且
D
且
2．当时，复数在复平面内所对应的点位于（
）
A
第一象限
B第二象限
C第三象限
D第四象限
3．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求点C对应的复数。
4．在平行四边行OABC中（其中Ｏ为原点），点A、B、C所对应的复数分别是,求复数，并求出的值。
【答案】1．B
2．B
3． 4．
四、课堂小结
1．复数的加法运算和减法运算的法则是什么？
2．复数的加法运算和减法运算是否满足交换率和结合率？
3．复数加法运算的几何意义什么？
4．复数减法运算的几何意义什么？
五、课后作业：第112页习题A:1,2,3
六、板书设计
一、推进新课1.
2.
二、典型例题例1例2
三、课堂练习
四、课堂小结
例2图3.2.2
复数代数形式的乘除运算
教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
教学难点：乘除运算
教学过程：
一、复习准备：
1.
复数的加减法的几何意义是什么？
2.
计算（1）
（2）
（3）
3.
计算：（1）
（2）
（类比多项式的乘法引入复数的乘法）
二、讲授新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：。
例1．计算（1）
（2）
（3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1）
（2）（3）
2、若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
其中叫做实数化因子
例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算，
2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、作业与学案：
1．计算（1）
（2）
（3）
2．若，且为纯虚数，求实数的取值。变：在复平面的下方，求。3.2.1复数代数形式的加、减运算及几何意义
教材分析
三维目标：
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)
理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．
教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教学建议：复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一.复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材.对于复数加法、减法运算的几何意义，它不仅有一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合.
本节中，由于复数的加法法则是规定的，建议从问题入手，引导学生思考，让学生了解这种规定的合理性.在复数加法的运算规律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，使学生在参与中学会学习，学会合作.对于复数减法的处理，建议采用类比的数学思想方法.对于例题和练习的设置，建议遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能地照顾到各个层次的学生.
新课导入一
知识再现：
1.复数、点、向量之间的对应关系：复数
复平面内的点
平面向量。
2.实数可以进性加减乘除四则运算，且运算结果仍是一个实数，那么复数呢？
3.复数的概念及其几何意义.
新课导入二
我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算.
