《匀变速直线运动的位移与时间的关系》
一、教学目标
1、匀变速直线运动的速度公式
（1）知道如何推导出vt=v0+at
（2）会应用公式进行分析和计算
2、掌握匀变速直线运动中的平均速度公式
（1）会推导
（2）会应用
会推导匀变速直线运动的位移公式,并能熟练地应用
理解并掌握匀变速直线运动的速度和位移公式中物理量的符号法则.
二、重点难点
匀变速直线运动的速度和位移公式及其符号法则是本节课的重点，而位移公式的推导和匀变速直线运动规律的应用是难点.
三、教学方法
师生讨论，以学生活动为主
四、教学过程
（一）新课引入
上节课已经学习了在变速直线运动中用加速度a描述物体速度变化快慢，本节课将从加速度的定义式a
=（vt-v0）/t出发，研究在变速直线运动中速度和位移随时间变化的规律。
（二）匀变速直线运动的速度
1、提问：根据a=（vt-v0）/t，质点的末速度vt怎样表达？学生推导.
Vt
=
v0+at
这是匀变速直线运动的速度公式，当物体的初速度v0和加速度a已知时，任意时刻t的瞬时速度vt可由该式计算得出.
速度公式表示出匀变速直线运动的速度vt是时间t的一次函数.
2、用图象表示vt与t的关系，显然是一条倾斜直线，直线的斜率等于物体的加速度，直线在纵轴上的截距等于初速度，这正是前面学习的匀变速直线运动的速度图象.
3、例题1；教材例题1（学生阅读）
提问1：题目给出的是什么运动？已知条件是什么？求什么？
答：研究汽车刹车后的匀减速运动
已知加速度的大小|a|＝6m/s,运动时间t=2s,隐含条件：末速度vt=0.求汽车的初速度v0.
提问2：在运用公式vt=v0+at求v0之前，对加速度a的符号作了怎样的处理？原因何在？
答：汽车因作匀减速直线运动，设初速度方向为正，则加速度a为负.故a=-6m/s2.
提问3：在解答书写上，例题作了怎样的示范？书写步骤是怎样的？
步骤（1）依题意，写出显性及隐性已知条件，标明单位及符号（正、负号）
（2）依据公式（依vt=v0+at），进行文字运算（得v0=vt－at）
（3）代入数据，得出结果（注意标明单位）
（4）简答
讨论：通过本题，有何启示？
（1）将题目交代的物理情景理想化为典型的运动模型是关键，本题交代的是汽车刹车，我们将它抽象为匀减速直线运动，从而可以应用速度公式求未知量.
（2）模型化以后的工作应该是分析题意，用字母表达出题目给出的已知条件，注意挖掘隐含条件（vt=0）,弄清要求的物理量（v0）.
（3）速度公式vt=v0+at是矢量方程，在匀变速直线运动中演变为代数关系式，公式中的矢量vt，v0，a有方向，分别用正负号表达，如果是未知量，则设为正，由最终结果再确定方向，各物理量的正负以初速度v0的方向为正方向作为前提.
（4）公式vt=v0+at中有四个物理量，只要知道其中的任意三个，第四个量可求.不一定总是求vt，如上述例题求的就是v0.
（5）应特别注意解题时的书写格式.
（三）匀变速直线运动中的平均速度
1、提问：下图是匀变速直线运动的速度图象.
已知初速度为v0，末速度为vt，经历时间为t，如果用某一匀速直线运动代替，使其在时间t
内的位移与之相等，试在图中画出该匀速运动的速度图象，进而用v0和vt表示这一速度.
答案：v=(v0+vt)/2
2、评讲：显然，上面的速度v就是匀变速直线运动中的平均速度，必须注意，它只适用于匀变速直线运动，用
v-
表示平均速度，则
v-
＝(v0+vt)/2.
（四）匀变速直线运动的位移（学生推导）
1、提问：由s=v-
t,
v-
=(v0+vt)/2
,vt=v0+at推导出匀变速直线运动的位移公式，要求用v0、a、t表示.
2、结果：s=v0t+(1/2)at2
这就是匀变速直线运动的位移公式，它表示出匀变速直线运动的位移与时间t的关系.
由匀变速直线运动的速度图象得到位移公式
如图所示，匀变速运动的位移大小为阴影总面积，其中矩形面积s1=v0t
,三角形面积s2=(1/2)·at·t=(1/2)at2，因而总面积s=v0t+(1/2)at2，即匀变速直线运动的位移公式：s=v0t+(1/2)at2
阅读课文：例题（学生阅读）
（1）例题讲述：（学生讲述）题目交待的情景，已知条件，待求物理量各是什么？
＿＿汽车由匀速运动改作匀加速运动，已知a=1m/s2,t=12s,s=180m,求初速度v0.
（2）解题步骤：写出已知条件后，依，s=v0t+(1/2)at2
文字运算得s=s/t-(1/2)at,代入数值，解得v0=9m/s
结果说明
可见其解题步骤与前一例题步骤一致.
（3）启示：与例题1的启示相同.
位移公式s=v0t+(1/2)at2涉及s、v0、a、t四个物理量，其中前三个是矢量.运用前应在理解题意的基础上，选定初速度vo为正方向，然后用正负号表示s、v0、a，依照原始公式先作文字运算，得到待求量的表达式，然后代入数据，求出结果，并对结果加以具体说明.
（五）课堂练习
阅读教材练习中的6个习题，指出每道题给出的物理情景应简化成怎样的运动模型？各道题的已知条件是什么？求什么？如何进行符号设定？
答案：（1）汽车做匀加速运动，已知v0=18m/s,a=0.5m/s2,t=20s,求vt
（2）火车做匀减速运动，已知v0=72km/h=20m/s,t=2min=60s,a=-0.1m/s2,求vt，整理已知条件时要统一单位.
（3）机车作匀加速运动，已知v0=36km/h=10m/s,a=0.2m/s2,vt=54km/h=
15m/s,求t.
（4）钢球做匀加速运动，v0=0,t1=0.2s,s1=3cm=3×10-2m,t2=1s,s2= 若s3=
1.5m求t3= ,解答本题时，应该运用s∝t2求解.
（5）汽车做匀减速运动，已知v0=18m/s,t=3s,s=36m,求加速度a.解答结果加速度为负值，要说明负号的物理意义.
（6）骑车人做匀减速运动,已知v0=5m/s,a=-0.4m/s2,t=10s,求s.
（六）课堂小结
速度公式
vt
=v0+at
1、匀变速运动的规律
平均速度
v-
＝（v0＋vt）／2
s=v0t+(1/2)at2
位移公式
s=
v-
t
运用规律解题时的步骤
(1)审查题意，构建模型；(2)设定方向，写出条件；(3)依据公式，文字运算；(4)代入数据，数字运算；(5)结果分析，完善答案.
（七）课外作业
教材练习：（1）～（6）《匀变速直线运动的位移与时间的关系》
备课资源
v-t图象中的“面积”是位移还是路程
本节中有一个结论：v-t图象中的图线与t轴包围的“面积”，在数值上等于t时间内物体的位移，即求出“面积”就可知道位移的大小和方向，t轴上方“面积”表示位移是正值（或与规定正方向相同），t轴下方“面积”表示位移是负值（或与规定正方向相反）。如图2-3-1中“面积Ⅰ”表示0~t1
内物体的位移且是正值，“面积Ⅱ”表示t1~t2内物体的位移且为负值。
但是，v-t图象中的图线与t轴包围的“面积”，在数值上一定表示t时间内物体的位移大小吗？
下面请看一道运动学中常见的习题及解答。
例如：如图2-3-2所示在水平面上固定着两个光滑的斜面a和斜面b，两斜面的高度相同，且，今让小物块（可看作质点）分别从斜面a的A点和斜面b的A′点无初速释放，若不计小球在B点损失能量，试比较小物块滑至斜面底端时间长短。
解析：用v-t图象来求解，由于两个斜面的高度一样，据机械能守恒，小物块滑到底端C点和C′点的速度大小相等，又因为，图线与t轴围成的“面积”相同，即图线Ⅰ（表示物块从斜面a上下滑的过程）与t轴围成的“面积”和图线Ⅱ（表示物块从斜面b上下滑的过程）与t轴围成的“面积”应该相同，如图2-3-3所示。则非常容易得出正确结论ta＜tb.
题后思考：很显然，图2-3-3中的图线Ⅰ与t轴围成的“面积”并非表示位移，因为，由三角形两边之和大于第三边，AB+BC>AC，则AC直线距离一定小于A′C′。所以，图2-3-3中的图线Ⅰ与t轴围成的“面积”表示小物块运动的路程，只有ABC
的路程才与A′C′
相等。
那么，v-t图象中的图线与t轴包围的“面积”，在什么时候表示位移？又在什么时候表示路程呢？
要解决这个问题，还需要从坐标轴来表示物理量的本质意义方面说明。一个坐标轴从数学意义上看只有正负值，因此用坐标轴来表示物理矢量时，只能表达两个方向——正方向和负方向，不可能包含多个方向矢量的信息。描述物体运动的v-t图象中，若纵坐标代表速度v，同样也只能表达速度矢量的两个方向信息——速度正方向和速度负方向。因此，速度—时间图象只能表达物体做直线运动（包括往复直线运动）的速度随时间变化情况，不能表达物体做曲线运动（如匀速圆周运动）或不在同一直线上的分段直线运动（类似例题中小物块在斜面a上的运动）的速度随时间变化情况。
那么，图2-3-3中的v-t图象中图线Ⅰ到底表示什么意义呢？图2-3-3中的v-t图象中的图线，不能称为速度—时间图象，而是速率—时间图象。速率—时间图象中图线与t轴围成的“面积”代表路程。比如将图2-3-1的速度—时间图象，画为速率—时间图象应该是如图2-3-4所示，图线与t轴围成的“面积”表示路程。
速率—时间图象与速度—时间图象，除了图线与t轴围成的“面积”代表物理量不同之外，还有什么不同呢？第二点不同是：速率—时间图象纵坐标v只代表速度大小，并不能表示运动方向；图线的斜率值也仅表示加速度的大小，斜率的正负已经没有意义了，因为它不能代表加速度的方向。第三点不同是：速率—时间图象不仅能够表达物体做直线运动（包括往复直线运动）的速率随时间变化，也能表达物体做曲线运动，如图2-3-5表示物体以v0做匀速圆周运动的速率—时间图线，图中的阴影部分表示物体运动一个周期的路程。当然也能够表示不在同一直线上的分段直线运动的速率随时间变化情况，如图2-3-3中图线I。
教学目标
一、知识与技能
1.使学生明确用v-t图象描述位移的方法。
2.使学生理解匀变速运动位移与时间的关系并运用（知道其推导方法）。
3.初步掌握匀变速直线运动的位移公式，学会用公式解题。
二、过程与方法
1.通过对v-t图象的观察、分析、思考，明确“面积”与位移的关系。
2.讨论求匀变速直线运动不同方法，练习位移公式不同形式的应用。
三、情感、态度与价值观
1.通过面积法求位移，使学生学会由感性认识到理性认识的过渡。
2.养成认真分析问题的好习惯，体会一题多解，要解题严谨。
教学重点
位移与时间关系推导及
QUOTE
的应用。
教学难点
用微分思想分析归纳，从速度—时间图象推导匀变速直线运动的位移公式。
教学过程
一、导入新课
教师提问：我们上节课利用v-t图象探究了匀变速直线运动的速度与时间的关系，现在请看一下，大屏幕上的v-t图象图2-3-6（幻灯显示）中分别描述的是什么运动？
学生回答：
1.是初速度为v2的匀减速直线运动。
2.是初速度为零的匀加速直线运动。
3.是初速度为v1的匀加速直线运动。
教师导入：很好，那么怎样来求匀变速直线运动的位移呢？
板书：
第三节
匀变速直线运动的位移与时间的关系
二、进行新课
（一）匀速直线运动的位移
图2-3-7
教师提问：做匀速直线运动的物体在时间t内的位移为x=vt，观察它的v-t图象如图2-3-7，你能发现什么问题？
学生回答：在它的v-t图象中，阴影矩形的边长正好是v和t，矩形的面积正好是vt。
教师提问：准确的说，这个矩形的面积在数值上等于这个做匀速直线运动物体发生的位移。那么在匀变速直线运动中，位移与它的v-t图象也有类似的关系吗？
（二）匀变速直线运动的位移
1.
匀变速直线运动的位移的得出
教师导入：下表是一位同学所做的“探究小车的运动规律”的测量记录，表中“速度”一行是这位同学用某种方法（方法不详）得到的物体在0、1、2……5几个位置的瞬时速度，原始的纸带没有保存。
位置编号
0
1
2
3
4
5
时间t/s
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
速度（m/s）
0.38
0.63
0.88
1.11
1.38
1.62
教师提问：从表中看物体做什么运动？
学生回答：匀加速直线运动。
教师提问：我们可以用v-t图象描述出小车的运动，从而判断小车做什么运动。展示图2-3-8：
图2-3-8
从v-t图象中我们可以看出小车在做匀加速直线运动。
教师提问：能不能根据表格中的数据，用最简便的方法估算出实验中小车从位置0到位置5的位移？
学生回答：能，x=0.38×0.1+0.63×0.1+0.88×0.1+1.11×0.1+1.38×0.1=……
QUOTE
教师点评：好，这位同学实质利用了矩形的面积在数值上等于这个做匀速直线运动物体发生的位移这个结论。如图2-3-9所示。
图2-3-9
教师提问：从v-t图象图2-3-9看，你可以看出这种计算方法有什么缺点？
学生回答：从图象中可以看出，小车的速度不断增加，0.38只是0时刻的瞬时速度，以后这个速度比这个数值大。用这个数值乘以0.1s，得到的位移比实际值小。后面几项也存在这样的问题。
教师点评：你说的很正确，但是作为估算，在时间间隔比较小、精确度要求比较低的时候，可以这样估算。
教师提问：请同学们想一想，如何使这样的方法更精确一些？
学生回答：可以把运动划分为更多的小段，用所有这些小段的位移之和，近似代表在整个过程中的位移。
教师引导：很好，如果把运动划分为更多的小段相当于时间间隔更小一些，在v-t图象中划分的小矩形越多，我们可以看一下它的v-t图象是怎样的。
展示图2-3-10。
学生回答：可以看出划分的小矩形越多，小矩形的面积之和越趋近梯形的面积。
教师讲解：如果把运动划分的很多很多的话，就可以认为小矩形的面积之和就是梯形的面积了。
教师讲解：经过分析我们得到：v-t图线与时间轴围成的面积就代表了匀变速直线运动的位移。
下面请同学们依据这个结论，推导出位移的表达式。
学生推导：
QUOTE
，而vt=v0+at
QUOTE
，得。
板书：
QUOTE
教师导入：有什么特点？
师生共同讨论得出：
2.匀变速直线运动的位移公式
QUOTE
特点
（1）位移公式反映了匀变速直线运动的瞬时速度随时间变化的规律，式中v0是开始计时时的瞬时速度，x是经过时间t后的物体的位移。
（2）位移公式中x、v0、a都是矢量，在直线运动中，规定正方向后（常以v0的方向为正方向），都可用带正、负号的代数量表示，因此，对计算出的结果中的正、负，需根据正方向的规定加以说明。若经计算后x＞0，说明位移方向与初速度同向；若x＜0，表示位移与初速度v0反向。
（3）若初速度v0=0，则
QUOTE
，位移与与时间的平方成正比。
（4）若初速度v0的方向规定为正方向，用位移公式
QUOTE
计算未知量时，若物体做减速运动，且加速度a已知，则代入公式计算时a应取负数。
例题1.一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m。汽车开始加速时的速度是多少？
解：由
QUOTE
可以解出
。
把数值代入。
汽车开始加速时的速度是
QUOTE
。
例题2.
一架飞机着陆时的速度为
QUOTE
，滑行20s后停下，它滑行的距离是多少？
教师点拨：飞机做匀减速直线运动，应当注意什么？
学生回答：加速度取负值。
解：由
QUOTE
得
。
飞机滑行的距离为
。
飞机滑行了600m。
教师点评：通常规定方向为正方向，x、a与
QUOTE
方向相同取正值，x、a与
QUOTE
方向相反取负值。
例题3.
在平直公路上，一汽车的速度为15m/s，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远？
教师点拨：车做减速运动，是否运动了10s，这是本题必须考虑的。
解：初速度v0=15m/s，a
=
-2m/s2，当车停下时，v=0。
由
QUOTE
得
QUOTE
，知车运动
7
.5s就会停下，在后2.5s内，车停止不动。
故车实际运动时间为7.5s，
所以车的位移m。
三、课堂小结
本节重点学习了对匀变速直线运动的位移－时间公式的推导，并学
习了运用该公式解决实际问题。在利用公式求解时，一定要注意公式的矢量性问题。一般情况下，以初速度方向为正方向：当a与v0方向相同时，a为正值，公式即反映了匀加速直线运动的速度和位移随时间的变化规律；当a与v0方向相反时，a为负值，公式反映了匀减速直线运动的速度和位移随时间的变化规律。代入公式求解时，与正方向相同的代入正值，与正方向相反的物理量应代入负值。
四、布置作业
教材P40问题与练习
3、4题。
五、板书设计
1.匀速直线运动的位移
x=vt
v-t图线与时间轴围成的矩形面积就是匀速直线运动的位移。
2.匀变速直线运动的位移
v-t图线与时间轴围成的面积就是匀变速直线运动的位移。
六、课堂作业
1．关于物体运动的下述说法中正确的是
（
）。
A．物体运动的速度不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等
B．物体运动的速度大小不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等
C．匀速直线运动的物体的速度方向不会改变的运动
D．在相等的时间内通过的路程相等，则此运动一定是匀速直线运动
2．某一施工队执行爆破任务，已知导火索的火焰顺着导火索燃烧的速度是0.8
cm/s，为了使点火人在导火索火焰烧到爆炸物以前能够跑到离点火处120
m远的安全地方去，导火索至少需要多少厘米才行（假设人跑的速率是4
m/s）（
）。
A．30
B．150
C．24
D．12
3．两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔内
（
）。
A．加速度大的，其位移一定也大
B．初速度大的，其位移一定也大
C．末速度大的，其位移一定也大
D．平均速度大的，其位移一定也大
4．一物体以5
m/s的初速度、-2
m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，在4
s内物体通过的路程为
（
）。
A．4
m
B．36
m
C．6.25
m
D．以上答案都不对
5．某质点的位移随时间的变化规律的关系是：，s与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为
（
）。
A．4
m/s与2
m/s2
B．0与4
m/s2
C．4
m/s与4
m/s2
D．4
m/s与0
6．从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动直至停车，汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50
m。则汽车的最大速度为（
）。
A．5m/s
B．2m/s
C．3m/s
D．1m/s
参考答案：
1.A
C
2.C
3．D
4．C
5．C
6.A
教育格言
既然习惯是人生的主宰，人们就应当努力求得好的习惯。习惯如果是在幼年就起始的，那就是最完美的习惯，这是一定的，这个我们叫做教育。教育其实是一种从早年就起始的习惯。
Ⅱ
Ⅰ
t2
t1
0
v(m·s-1)
t/s
图2-3-1
a
C′
A′
C
B
A
图2-3-2
b
0
tb
ta
Ⅱ
Ⅰ
v/(m·s-1)
t/s
图2-3-3
T
v0
t/s
0
v/(m·s-1)
图2-3-5
Ⅱ
Ⅰ
t2
t1
0
v/(m·s-1)
t/s
图2-3-4
图2-3-6
t
v
O
V
V
s-2
1.5
1.0
0.2
0.5
0.1
0.3
0.5
0.4
v
t
O
v
t
v
图2-3-10
t
O《匀变速直线运动的位移与时间的关系》
教学目标：
（一）知识与技能
1．知道匀速直线运动的位移与时间的关系；
2．了解位移公式的推导方法，掌握位移公式x＝vot+
at2/2；
3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用；
4．理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移；
5．能推导并掌握位移与速度的关系式v2-v02=2ax；
6．会适当地选用公式对匀变速直线运动的问题进行简单的分析和计算。
（二）过程与方法
1．通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较；
2．感悟一些数学方法的应用特点。
（三）情感态度与价值观
1．经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系，培养自己动手的能力，增加物理情感；
2．体验成功的快乐和方法的意义，增强科学能力的价值观。
教学重点：
1．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系x＝vot+
at2/2及其应用；
2．理解匀变速直线运动的位移与速度的关系v2-v02=2ax及其应用．
教学难点:
1．v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移；
2．微元法推导位移时间关系式；
3．匀变速直线运动的位移与时间的关系x＝vot+
at2/2及其灵活应用。
教学方法:探究、讲授、讨论、练习
教学用具：坐标纸、铅笔、刻度尺、多媒体课件
教学过程：
（一）新课导入
师：匀变速直线运动跟我们生活的关系密切，研究匀变速直线运动很有意义．对于运动问题，人们不仅关注物体运动的速度随时间变化的规律，而且还希望知道物体运动的位移随时间变化的规律．
我们用我国古代数学家刘徽的思想方法来探究匀变速直线运动的位移与时间的关系．
（二）新课教学
1、匀速直线运动的位移
师：我们先从最简单的匀速直线运动的位移与时间的关系入手，讨论位移与时间的关系．我们取初始时刻质点所在的位置为坐标原点．则有t时刻原点的位置坐标工与质点在o～t一段时间间隔内的位移相同．得出位移公式x＝vt．请大家根据速度-时间图象的意义，画出匀速直线运动的速度-时间图象．
学生动手定性画出一质点做匀速直线运动的速度-时间图象．如图2—3—1和2—3—2所示．
师：请同学们结合自己所画的图象，求图线与初、末时刻线和时间轴围成的矩形面积．
生：正好是vt．
师：当速度值为正值和为负值时，它们的位移有什么不同
生：当速度值为正值时，x＝vt>O，图线与时间轴所围成的矩形在时间轴的上方．当速度值为负值时，x＝vt师：位移x>0表示位移方向与规定的正方向相同，位移x师：对于匀变速直线运动，它的位移与它的v—t图象，是不是也有类似的关系呢
2、匀变速直线运动的位移
思考与讨论：
学生阅读教材第40页思考与讨论栏目，老师组织学生讨论这一问题．
(课件投影)在“探究小车的运动规律”的测量记录中，某同学得到了小车在0，1，2，3，4，5几个位置的瞬时速度．如下表：
位置编号
0
1
2
3
4
5
时间t／s
0
0．1
0．2
0．3
0．4
0．5
速度v／(m·s—1)
0．38
0．63
0．88
1．11
1．38
1．62
师：能否根据表中的数据，用最简便的方法估算实验中小车从位置0到位置5的位移
学生讨论后回答．
生：在估算的前提下，我们可以用某一时刻的瞬时速度代表它附近的一小段时间内的平均速度，当所取的时间间隔越小时，这一瞬时的速度越能更准确地描述那一段时间内的平均运动快慢．用这种方法得到的各段的平均速度乘以相应的时间间隔，得到该区段的位移x＝vt，将这些位移加起来，就得到总位移．
师：当我们在上面的讨论中不是取0。1s时，而是取得更小些．比如0。06s，同样用这个方法计算，误差会更小些，若取0。04
s，0。02
s……误差会怎样
生：误差会更小．所取时间间隔越短，平均速度越能更精确地描述那一瞬时的速度，误差也就越小．
交流与讨论：
(课件投影)请同学们阅读下面的关于刘徽的“割圆术”．
分割和逼近的方法在物理学研究中有着广泛的应用．早在公元263年，魏晋时的数学家刘徽首创了“割圆术”——圆内正多边形的边数越多，其周长和面积就越接近圆的周长和面积．他著有《九章算术》，在书中有很多创见，尤其是用割圆术来计算圆周率的想法，含有极限观念，是他的一个大创造．他用这种方法计算了圆内接正192边形的周长，得到了圆周率的近似值π=157／50(＝3．14)；后来又计算了圆内接正3072边形的周长，又得到了圆周率的近似值π=3927／1
250(＝3．141
6)，用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率，早在古希腊的数学家阿基米德首先采用，但是阿基米德是同时采用内接和外切两种计算，而刘徽只用内接，因而较阿基米德的方法简便得多．
学生讨论刘徽的“割圆术”和他的圆周率，体会里面的“微分”思想方法．
生：刘徽采用了无限分割逐渐逼近的思想．圆内一正多边形边数越多，周长和面积就越接近圆的周长和面积．
让学生动手用剪刀剪圆，体会分割和积累的思想．具体操作是：用剪刀剪一大口，剪口是一条直线；如用剪刀不断地剪许多小口，这许多小口的积累可以变成一条曲线．
师：下面我们采用这种思想方法研究匀加速直线运动的速度一时间图象．
(课件展示)一物体做匀变速直线运动的速度一时间图象，如图2—3—4中甲所示．
师：请同学们思考这个物体的速度一时间图象，用自己的语言来描述该物体的运动情况．
生：该物体做初速度为v0的匀加速直线运动．
师：我们模仿刘徽的“割圆术”做法，来“分割”图象中图线与初、末时刻线和时间轴图线所围成的面积．请大家讨论．
将学生分组后各个进行“分割”操作．
A组生1：我们先把物体的运动分成5个小段，例如t/5算一个小段，在v—t图象中，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示(如图乙)．
A组生2：我们以每小段起始时刻的速度乘以时间t/5近似地当作各小段中物体的位移，各位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表．5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移．
B组生：我们是把物体的运动分成了10个小段．
师：请大家对比不同组所做的分割，当它们分成的小段数目越长条矩形与倾斜直线间所夹的小三角形面积越小．这说明什么
生：就像刘徽的“割圆术”，我们分割的小矩形数目越多，小矩形的面积总和越接近于倾斜直线下所围成的梯形的面积．
师：当然，我们上面的做法是粗糙的．为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图丙，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移．从v—t图象上看，就是用更多的但更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移．
可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和，就能准确地代表物体的位移了．这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起组成了一个梯形OABC，梯形OABC的面积就代表做匀变速直线运动物体在0(此时速度是v0)到t(此时速度是v)这段时间内的位移．
教师引导学生分析求解梯形的面积，指导学生怎样求梯形的面积．
生：在图丁中，v—t图象中直线下面的梯形OABC的面积是
S=(OC+AB)OA/2
把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成x＝(Vo+V)t/2
把前面已经学过的速度公式v＝v0+at代人，得到x＝vot+at2/2
这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。
师：这个位移公式虽然是在匀加速直线运动的情景下导出的，但也同样适用于匀减速直线运动。
师：在公式x＝vot+at2/2中，我们讨论一下并说明各物理量的意义，以及应该注意的问题。
生：公式中有起始时刻的初速度vo，有t时刻末的俊置x(t时间间隔内的位移)，有匀变速运动的加速度a，有时间间隔t
师：注意这里哪些是矢量，讨论一下应该注意哪些问题．
生：公式中有三个矢量，除时间t外，都是矢量．
师：物体做直线运动时，矢量的方向性可以在选定正方向后，用正、负来体现．方向与规定的正方向相同时，矢量取正值，方向与规定的负方向相反时，矢量取负值．一般我们都选物体的运动方向或是初速度的方向为正．
师：在匀减速直线运动中，如刹车问题中，尤其要注意加速度的方向与运动相反．
教师课件投影图2—3—5．
师：我们在本节课的开始发现匀速直线运动的速度一时间图象中图线与坐标轴所围成的面积能反映位移。下面我们也看一下匀变速直线运动的速度一时间图象是否也能反映这个问题。
师：我给大家在图上形象地标出了初速度、速度的变化量，请大家从图象上用画斜线部分的面积表示位移来进一步加深对公式的理解．请大家讨论后对此加以说明．
学生讨论．
生：at(是o～t时间内的速度变化量△v，就是图上画右斜线部分的三角形的高，而该三角形的底恰好是时间间隔t，所以该三角形的面积正好等于1/2·at·
t=at2/2。该三角形下画左斜线部分的矩形的宽正好是初速度vo，而长就是时间间隔t，所以该矩形的面积等于v0t．于是这个三角形和矩形的“面积”之和，就等于这段时间间隔t内的位移(或t时刻的位置)．即x＝vot+at2/2．
师：类似的，请大家自己画出一个初速度为v0的匀减速直线运动的速度图象，从中体会：图象与时间轴所围成的梯形“面积”可看作长方形“面积”v0t与三角形“面积”1/2·at·
t=at2/2之差．
课堂探究:
一质点以一定初速度沿竖直方向抛出，得到它的速度一时间图象如图2—3—6所示．试求出它在前2
s内的位移，后2
s内的位移，前4s内的位移．
参考答案：前2s内物体的位移为5
m，前4s内的位移为零．
解析：由速度一时间图象可以用图线所围成的面积求物体的位移．前2s内物体的位移为5
m，大小等于物体在前2
s内图线所围成的三角形的面积．前4s内的位移为前2s内的三角形的面积与后2
s内的三角形的面积之“和”，但要注意当三角形在时间轴下方时，所表示的位移为负．所以这4s内的位移为两个三角形的面积之差,由两个三角形的面积相等，所以其总位移为零．
教师总结对此类型的试题进行点评．
(课件投影)
特例：如图2—3—7所示，初速度为负值的匀减速直线运动，位移由两部分组成:t1时刻之前位移x1为负值；t2时刻之后位移x2为正值；故在0～t2时间内总位移x＝｜x2｜一｜x1｜
若x>0，说明这段时间内物体的位移为正；
若x<0，说明这段时间内物体的位移为负．
例题剖析:
(出示例题)一辆汽车以1
m／s2的加速度行驶了12s，驶过了180m．汽车开始加速时的速度是多少
让学生审题，弄清题意后用自己的语言将题目所给的物理情景描述出来．
生：题目描述一辆汽车的加速运动情况，加速度是lm／s2，加速行驶的时间是12s．问开始加速时的速度．
师：请大家明确列出已知量、待求量，画物理过程示意图，确定研究的对象和研究的过程．
学生自己画过程示意图，并把已知待求量在图上标出．
3、匀变速直线运动的位移与速度的关系
讨论与交流:
展示问题：射击时，火药在枪简内燃烧．燃气膨胀，推动弹头加速运动．我们把子弹在枪筒中的运动看作匀加速直线运动，假设子弹的加速度是a=5Xl05m／s2，枪筒长；x=0.64m，请计算射出枪口时的速度．
让学生讨论后回答解题思路．
师：通过大家的讨论和推导可以看出，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用位移一速度的关系v2-v02=2ax可以很方便地求解．
小结:
一、匀速直线运动的位移
1、匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图像中的一块矩形的面积。
2、公式：x
＝
v
t
二、匀变速直线运动的位移与时间的关系
1、匀变速直线运动，物体的位移对应着v-
t图像
中图线与时间轴之间包围的梯形面积。
2、公式
x＝vot+at2/2
3、推论
v2－v02
=
2
a
x
4、平均速度公式
v平＝（v0＋v）/2
作业:教材44页1-4《匀变速直线运动的位移与时间的关系》
一．教学目标：
知识与技能：
掌握用v—t图象描述位移的方法；掌握匀变速运动位移与时间的关系并运用（知道其推导方法）；掌握位移与速度的关系并运用。
过程与方法：
通过对微分思想的理解，明确“面积”与位移的关系；练习位移公式不同形式的应用。
情感、态度与价值观：
(1)、养成认真分析问题的好习惯，体会一题多解，要解题严谨。
(2)、题目有多解，人生道路有多种选择，青年学生要选择正确的人生观。
教学重点：
位移与时间关系推导。
表达式：x
=
v0
+
at2/2、v2
-
v02
=
2ax
.
运用公式解决具体问题。
教学难点：
公式中各物理量的理解与准确应用。
速度—时间图象中面积表示位移。
教学过程：
初中已学过匀速直线运动求位移的方法x=vt,在速度—时间图像中可看出位移对应着一块矩形面积。（此处让学生思考回答）
对于匀变速直线运动是否也对应类似关系呢？
引入新课
分析书上
“思考与讨论”
，引入微积分思想，对书P41图2.3-2的分析理解（教师与学生互动）确认v-t图像中的面积可表示物体的位移。
位移公式推导：
先让学生写出梯形面积表达式：
S=(OC+AB)OA/2
分请学生析OC,AB,OA各对应什么物理量？并将v
=
v0
+
at
代入，
得出：x
=
v0t
+
at2/2
注意式中x,
v0
,a要选取统一的正方向。
应用：1。书上例题分析，按规范格式书写。
2．补充例题：汽车以10s的速度行驶，刹车加速度为5m/s，求刹车后1s，2s，3s的位移。
已知：
v=
10m/s,
a=
-5m/s2。
由公式：x
=
v0t
+
at2/2
可解出：x1
=
10
1
-
5
12/2
=
7.5m
x2
=
10
2
-
5
22/2
=
10m
x3
=
10
3
-
5
32/2
=
7.5m
？
由x3=7.5m学生发现问题：汽车怎么往回走了？
结合该问题教师讲解物理知识与实际问题要符合，实际汽车经2S已
经停止运动，不会往回运动，所以3S的位移应为10米。事实上汽车在大于2S的任意时间内位移均为10m。
匀变速直线运动的位移与速度的关系：
如果我们所研究的问题不涉及时间，而仍用v=v0+at
和x=v0t+at2/2会显得繁琐。在以上两公式中消去时间t，所得的结果直接用于解题，可使不涉及时间的问题简洁起来。
由：v
=
v0
+
at
x
=
v0t
+
at2/2
消去t，得v2
-
v02
=
2ax
（注意：该式为不独立的导出式）
练习：由前面例题：v0
=10m/s,
a
=
-5m/s2
求刹车经7.5m时的速度？
由公式：
v
=
-5m/s
(舍去)
刹车经7.5米时的速度为5m/s,与初速度方向相同。
补充练习：
某航空母舰上飞机在跑道加速时，发动机最大加速度为5m/s2，所需起飞速度为50m/s，跑道长100m，通过计算判断，飞机能否靠自身发动机从舰上起飞？为了使飞机在开始滑行时就有一定的初速度，航空母舰装有弹射装置，对于该型号的舰载飞机，弹射系统必须使它具有多大的初速度？（答：不能靠自身发动机起飞；39m/s。）
2．（1999年上海高考题）为了测定某轿车在平直路上运动时的加速度（轿车启动时的运动可以近似看做匀加速运动），某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片（如图），如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为
4.5m那么这辆轿车的加速度约为（
）
A
1m/s；
B
2m/s；
C
3m/s；
D
4m/s；
（答：B）
在某次交通事故中，交警测量汽车刹车线的长，用以判断该车是否超速。请问还需什么数据，如何计算？（还应知汽车最大制动加速度）
在解答本题前可让学生分析一下发生交通事故的可能原因；略
问：汽车在反应距离做什么运动？（匀速）汽车在刹车距离做什么运动？（匀减速）反应距离跟哪些有关系？（反应时间及刹车时的速度）刹车距离跟哪些有关系？（刹车时的速度及刹车的加速度）
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课题
匀变速直线运动的位移与时间关系
课时
2课时（第1课时）
课型
探究型
教具
PPT课件、坐标纸、铅笔
教材
普通高中课程标准实验教科书《物理》必修第一章第三节
教学目标
一、知识目标：1.知道匀速直线运动的位移和时间关系。2.理解匀变速直线运动的位移与时间关系及其应用。3.理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积。二、能力目标1.通过近似推导位移的过程体验微元法的特点和技巧。
2.应用s-t图分析物理现象，培养学生分析解决实际问题的能力、一些数学方法的应用。情感目标经历观察、实验、合作探究等学习活动，培养尊重客观事实，实事求是的科学态度和团结协作的科学精神。
教学手段教学重难点
采用探究式教学方法：根据生活经验提出问题进行，实例分析、类比、讨论、验证猜想与假设，归纳总结得出科学结论。教学重点：理解匀变速直线运动的位移与时间关系及其应用教学难点：1.v-t图象中图线与t轴所夹的面积2.微元法的特点和技巧
教学过程
教学内容及教师活动
学生活动
引入新课新课
取运动初始时刻的位置为坐标原点，写出t时间内位移与时间的关系及匀速直线运动的v-t图像。匀变速直线运动的位移可以用v-t图中所夹的面积来表示，那么匀变速直线运动是否也有类似情况呢？接下来就来讨论。匀变速直线运动的位移讨论课本的“思考与讨论”微元法：先微分后累加无限分割逐渐逼近
学生在纸上画出初速度V的匀变速直线运动的v-t图，分析图线与时间轴所夹面积是否它的位移。老师分析讲解（无限分割逐渐逼近）1.定义：V-t图像中图像与t轴所夹面积表示t时间内物体匀变速直线运动的位移二、匀变速直线运动的位移与时间公式根据图2.3-2d图试着推导出位移与时间关系适用范围
i.仅适用匀变速直线运动；
ii、x、v、a都是矢量，用事要选取统一正方向时间与位移的图像叫s-t图运用初中二次函数，可以画出X=vt+1/2at 的s-t图其中v,a是常数。三、匀变速直线运动位移时间公式应用学生阅读书p42的例题，运用位移公式对它进行分析（先不看解析，独立思考）一辆汽车以1m/s的加速度加速行驶了12s，驶过了180M。汽车开始加速时的速度是多少？老师引导解答……实例探究火车沿平直轨道匀加速前进通过某一路标时v=10.8m/s,一分钟后变成火车的54km/h.再经一段时间，火车的速度达到64.8km/h.求所述过程中火车的位移是多少？
思考讨论x=vt学生参与动手在做标纸上画出图像。学生思考讨论回答：学生A计算中时间间隔越小计算出的误差就越小越接近真值学生：作图
分组讨论（也可参照图2.3-2）学生：推导讨论，梯形面积公式X=vt+1/2at 画图是抛物线在纸上计算V.=9m/s学生自我练习检测发现问题
板书设计
1.3匀变速直线运动的位移与时间匀变速直线运动的位移1、定义：V-t图像中图像与t轴所夹面积表示t时间内物体匀变速直线运动的位移匀变速直线运动的位移与时间公式
X=vt+1/2at I．仅适用匀变速直线运动；Ii、
x、v、a都是矢量，用事要选取；三、匀变速直线运动位移时间公式应用---实例探究
教学反思
通过本课的学习，学生能独自主解释许多物理现象及知识。可以解决本节课的重点、难点问题。有利于培养学生学习物理的兴趣，有利于培养学生的物理思维能力。
