课件15张PPT。1.1.1 命题1.掌握命题的定义并会判断一些语句是不是命题以及命题的真假.
2.了解命题的结构形式.1.一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
【做一做1】 下列语句是命题的是( )B.3x≤5
C.什么是“温室效应”?
D.给我把门打开!解析:选项A,因为 并且可以判断它是真的,所以是命题;选项B,因为不确定x的值,无法判断“3x≤5”的真假,所以选项B不是命题;选项C是疑问句,选项D是祈使句,故都不是命题.
答案:A2.判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
【做一做2】 下列命题是真命题的是( )
A.所有质数都是奇数
B.若a>b,则a-6>b-6成立
C.对任意的x∈N,都有x3>x2成立
D.方程x2+x+1=0有实根
解析:选项A是假命题,因为2是偶数也是质数;选项C是假命题,因为当x=0时,x3>x2不成立;选项D是假命题,因为Δ=12-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0无实根.
答案:B3.在数学中,“若p,则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条件,
q叫做命题的结论.
【做一做3】 把命题“垂直于同一个平面的两条直线互相平行”改写成“若p,则q”的形式为 .?
答案:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线互相平行
归纳总结命题既可用语言表达,又可用符号或式子表达;一般来说,命题是陈述句,而且还能判断真假.疑问句、祈使句、感叹句以及无法判断真假的陈述句都不是命题.判断一个语句是不是命题的方法
剖析:判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件,只有同时满足这两个条件才是命题.如“这是一棵大树”就不是命题,因为“大树”没有界定标准,所以不能判断“这是一棵大树”的真假;“3x≥7”也不是命题,因为x是未知数,不能判断“3x≥7”是真还是假.但是,语句“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”可以算是命题,因为尽管目前我们还不能确定其真假,但随着科技的发展和时间的推移,总能判定它的真假.题型一题型二题型三题型四判断一个语句是不是命题
【例1】 判断下列语句是不是命题,并说明理由:
(2)若a与b是无理数,则ab是无理数;
(3)3x2≤5;
(4)梯形是不是平面图形呢?
(5)x2-x+7>0;
(6)8≥10.
分析:根据命题的概念进行判断.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为 并且它是假的,所以它是命题.
(2)因为“若a与b是无理数,则ab是无理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
(3)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
(4)因为“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题.
(5)因为可以判断“x2-x+7>0”是真的,所以它是命题.
(6)因为“8≥10”是用式子表达的陈述句,而且是假的,所以它是命题.
反思判断一个语句是不是命题,一般把握住两点:①是不是陈述句;②能否判断真假,两者同时成立才是命题.注意不要把假命题误认为不是命题.【变式训练1】 下列语句:
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
②一个数不是正数就是负数;
③若x,y都是无理数,则x+y也是无理数;
④请把门关上;
⑤若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行.
其中为命题的是 .(填序号)?
解析:本题考查命题的定义.借助命题的定义“可以判断真假的陈述句叫做命题”来判断.
①不是命题,因为它不是陈述句;②是命题,是假命题,因为0既不是正数也不是负数;③是命题,是假命题,
④不是命题,因为它不是陈述句;⑤是命题,是假命题,直线l与平面α可以相交.
答案:②③⑤题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四判断命题的真假
【例2】 判断下列命题的真假:
(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c或b≠d,则a+b≠c+d;
(2)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根;
(3)空集是任何集合的真子集;
(4)垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
分析:根据真命题、假命题的定义进行判断.
解:(1)假命题.反例:1≠4或5≠2,而1+5=4+2.
(2)真命题.因为m>1?Δ=4-4m<0?方程x2-2x+m=0无实数根.
(3)假命题.空集是任何非空集合的真子集.
(4)假命题.反例:有可能互相垂直,如墙角.
反思要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明;而要判断一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 下列命题:
①若ac2>bc2,则a>b;
②若sin α=sin β,则α=β;
③若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.
其中真命题的序号是 .?
解析:①中,∵ac2>bc2,∴c≠0,
∴c2>0,∴a>b,故①正确;
②中,由三角函数的周期性可知,②不正确;
③中∵f(x)=log2x,∴f(|x|)=log2|x|,是偶函数,故③正确.
答案:①③题型一题型二题型三题型四将命题改写成“若p,则q”的形式
【例3】 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:
(1)当a>b时,ac>bc;
(2)在平面内,平行于同一条直线的两条直线互相平行;
(3)同弧所对的圆周角不相等.
解:(1)若a>b,则ac>bc.假命题.
(2)在平面内,若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线互相平行.真命题.
(3)若两个角为同弧所对的圆周角,则这两个角不相等.假命题.题型一题型二题型三题型四反思把命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式,其中p为命题的条件,q为命题的结论;要注意条件及结论的完整性,将条件写在前面,结论写在后面.“若p,则q”是命题的一般叙述形式,它的真假性等同于原来的命题.
不要认为假命题没有条件和结论,对于一个命题,无论是真命题还是假命题,它必须由条件和结论两个部分组成,只是有些命题的条件或结论不明显.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:
(1)函数y=lg x是单调函数;
(2)相似三角形的对应角相等;
(3)当a>1时,函数y=ax是增函数.
解:(1)若函数是对数函数y=lg x,则这个函数为单调函数.真命题.
(2)若两个三角形相似,则它们的对应角相等.真命题.
(3)若a>1,则函数y=ax是增函数.真命题.题型一题型二题型三题型四易错辨析
易错点 概念理解不清致错
【例4】 判断下列语句是不是命题:
(1)好人一生平安;
(2)x≥3.
错解:(1)(2)都是命题.
错因分析:没有真正理解命题的概念,判断时要把握住概念中“能判断真假”和“陈述句”这两个关键词.
正解:(1)因为什么人是好人没有一个明确的判断标准,所以不能判断(1)的真假;
(2)因为x的值不确定,所以不能判断x≥3的真假.故(1)(2)都不是命题.
反思对考查概念的题目,要准确地把握概念中的关键词,从而对题目做出准确无误的判断.课件20张PPT。1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.
2.会分析四种命题间的相互关系.1.四种命题
一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.
也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆命题为“若q,则p”.
对于两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做 互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题.
也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为“若?p,则?q”.对于两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做 互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题.
也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命题为“若 ?q,则?p”.2.四种命题间的相互关系 归纳总结在写四种命题时,首先要把原命题改写成“若p,则q”的形式,其次一定要记清条件和结论的位置的变化.在写否命题和逆否命题时,条件和结论要同时否定.另外,在写命题时,为了使句子更通顺,可适当添加一些词语,但不能改变原来命题的含意.【做一做1】 命题“若a>b,则a-8>b-8”的逆否命题是 ( )
A.若aB.若a-8>b-8,则a>b
C.若a≤b,则a-8≤b-8
D.若a-8≤b-8,则a≤b
答案:D3.四种命题的真假之间的关系
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
名师点拨可以通过判断一个命题的逆否命题的真假来确定原命题的真假.
【做一做2】 命题“若a≠0,且b≠0,则ab≠0”的逆否命题是 ,原命题是 命题.(填“真”或“假”)?
解析:原命题的逆否命题是“若ab=0,则a=0或b=0”.因为逆否命题显然为真命题,故由互为逆否的命题具有相同的真假性可知,原命题也为真命题.
答案:若ab=0,则a=0或b=0 真1.互为逆否的命题的真假性一致
剖析:原命题与它的逆否命题同真假,原命题的逆命题和否命题互为逆否命题,也具有相同的真假性.因此,对于一些命题的真假判断(或证明),我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).2.用反证法证明命题的真假
剖析:(1)反证法是常用的数学证明方法之一,适用于下列情况下的证明题:①证明唯一性、无数个等问题;②命题以否定形式出现(如不存在,不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语;③正难则反,即从正面解决不好入手或比较麻烦,可以从问题的反面入手解决.
(2)用反证法证明命题的一般步骤:
①假设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;
②归谬:从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
③结论:由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.题型一题型二题型三题型四判断四种命题的真假【例1】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假:
(1)正偶数不是质数;
(2)末位数字是偶数的整数能被2整除.
分析:先将原命题改写成“若p,则q”的形式,再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.在判断各种形式命题的真假时,要注意利用互为逆否命题等价的原理.题型一题型二题型三题型四解:(1)逆命题:若一个正数不是质数,则这个正数是偶数.(假命题)
否命题:若一个正数不是偶数,则这个正数是质数.(假命题)
逆否命题:若一个正数是质数,则这个正数不是偶数.(假命题)
(2)逆命题:若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数.(真命题)
否命题:若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除.(真命题)
逆否命题:若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶数.(真命题)题型一题型二题型三题型四反思在写四种命题时,要找出原命题的条件和结论,把结论作为条件,条件作为结论就得到逆命题;否定条件作为条件,否定结论作为结论就得到否命题;否命题的逆命题就为原命题的逆否命题.判断四种命题的真假时,要注意利用其他知识判断命题的真假,需要对其他知识熟练掌握.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 写出命题“若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.
分析:本题已具备“若p,则q”的形式,因此可直接写出逆命题、否命题、逆否命题,然后根据命题间的相互关系判断其真假.
解:逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互补.(真命题)
否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形.(真命题)
逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则这个四边形的对角不互补.(真命题)题型一题型二题型三题型四互为逆否命题真假性等价的应用
【例2】 (一题多解)判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,则a<2”的逆否命题的真假.
分析:判断这个命题的逆否命题的真假,可先写出它的逆否命题再判断,也可以利用互为逆否命题的两个命题的等价性来判断.
解法一:原命题的逆否命题为:“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.
判断真假如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,对应的方程的判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
∵a≥2,∴4a-7>0,即抛物线与x轴有交点,
∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真.题型一题型二题型三题型四解法二:
∵a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,
?
由原命题和它的逆否命题等价,知它的逆否命题为真命题.
反思在判断命题的真假时,如果直接判断有难度,可以利用原命题与逆否命题的等价性,先判断逆否命题的真假,再由逆否命题的真假确定原命题的真假.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不经过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:本题考查等价命题真假的判断,原命题为真命题,故逆否命题为真命题,而逆命题和否命题都是假命题.
答案:C题型一题型二题型三题型四用互为逆否命题的等价性证明命题
【例3】 对于正实数x,y,x+y>2.题型一题型二题型三题型四反思命题的结论涉及至少、至多、唯一、存在等的证明时,往往从反面考虑.常见的一些词语和它的否定词语对照:题型一题型二题型三题型四分析:本题主要考查利用反证法来证明问题,如果直接从条件推证,方向不明,过程不可推测,较难,可使用反证法.
证明:假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
则a+b+c≤0.=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.
∴a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾.
故a,b,c中至少有一个大于0.题型一题型二题型三题型四易错辨析
易错点 忽视命题中隐含条件致错
【例4】 写出命题“两个有理数的和是有理数”的否命题.
错解:否命题:若两个数不是有理数,则它们的和不是有理数.
错因分析:把原命题改为“若p,则q”的形式为“若两个数是有理数,则它们的和是有理数”,其中条件中的“是”是指“都是”之意,往往容易忽视这一点而导致错误.
正解:否命题:若两个数不都是有理数,则它们的和不是有理数.
反思要注意命题中的隐含条件的挖掘.课件23张PPT。1.2 充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.
2.会判断p是不是q的充分条件、必要条件、充要条件.1.一般地,“若p,则q”为真命题,即由p?q,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.一般地,如果既有p?q,又有q?p,就记作p?q.
此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.
概括地说,如果p?q,那么p与q互为充要条件.
名师点拨p与q互为充要条件可以理解为“p成立当且仅当q成立”或者“p等价于q”.【做一做1】 “|x|=|y|”是“x=y”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若x=1,y=-1,则|x|=|y|,但x≠y;而x=y?|x|=|y|.
答案:B
【做一做2】 已知a,b是实数,则“a>0,且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:对于“a>0,且b>0”可以推出“a+b>0,且ab>0”,反之也是成立的.
答案:C答案:充分不必要 1.从逻辑关系和集合关系上看充分条件、必要条件和充要条件的意义
剖析:(1)从逻辑关系上看:例如,“若x>0,则x2>0”,即由x>0可推出x2>0,记作x>0?x2>0,我们说“x>0”是“x2>0”的充分条件,即只要“x>0”成立,就一定有“x2>0”成立.
p是q的充分条件,“充分”的意思是:要使q成立,条件p成立就足够了,即有p成立,可充分保证q成立.
由x>0?x2>0, 则说“x2>0”是“x>0”的必要条件,即如果要“x>0”成立,就必须“x2>0”成立.如果缺少“x2>0”就不会有x>0,换句话说,如果“x2>0”不成立,即“x2=0”成立,就不会有“x>0”成立.
q?p的逆否命题是??p? ?? q,即“若p不成立,则q就不成立”,换句话说,缺少了p,q是不会成立的.这更能从字面的意思上理解必要条件.(2)从集合与集合之间的关系上看:
如果命题p,q分别以集合A={x|p(x)},集合B={x|q(x)}的形式出现,那么p,q之间的关系可借助集合知识来判断.例如,A={中学生},B={学生},A?B,即某人是中学生,必是学生,故“某人是中学生”是“某人是学生”的充分条件,若“某人是学生”,则他不一定是中学生,而“某人不是学生”,则他一定不是中学生,所以“某人是学生”是“某人是中学生”的必要条件,如图所示.2.判断充分条件、必要条件、充要条件的方法和应注意的问题
剖析:(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要采用以下方法:
①确定条件p是什么,结论q是什么;
②尝试从条件推结论,若p?q,则充分性成立,p是q的充分条件;
③考虑从结论推条件,若q?p,则q是p的充分条件,即p是q的必要条件,必要性成立;
④要证明命题的条件是充要的,既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题成立即证明条件是结论成立的充分条件,证明逆命题成立即证明条件是结论成立的必要条件.(2)对于充要条件,要熟悉它的同义词语
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识十分重要.题型一题型二题型三题型四充分条件、必要条件和充要条件的判断 A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
分析:考查一元二次方程根的判别方法及简易逻辑知识.
解析:∵关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解,答案:A 题型一题型二题型三题型四反思(1)判断p是q的什么条件,主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立,若p?q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q?p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p?q及q?p的真假时,也可以从集合角度去判断.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 若a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“aA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由a由(a-b)a2<0及a2>0,则a因此,充分性成立.
综上可得“(a-b)a2<0”是“a答案:A题型一题型二题型三题型四充分条件、必要条件、充要条件的应用 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,常利用命题的等价性进行转化,从集合的包含、相等关系来考虑制约关系.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 把例2(2)中“且p是q的充分条件”改为“且p是q的必要条件”,求实数m的取值范围.
解:∵|f(x)-m|<2,
∴m-2又p是q的必要条件,题型一题型二题型三题型四充要条件的证明
【例3】 已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明:必要性:
∵a+b=1,∴a+b-1=0,
∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)
=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
充分性:
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,
∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.∴a+b-1=0,即a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.题型一题型二题型三题型四反思有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件.由“条件”?“结论”是证明命题的充分性,由“结论”?“条件”是证明命题的必要性.证明过程要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性,要搞清它的叙述格式,避免在论证时将充分性错当必要性证明或将必要性错当充分性证明.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明:必要性:
∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.
∴a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
充分性:
∵a+b+c=0,
∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,
即(x-1)·(ax+a+b)=0.
故方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
综上可知,方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.题型一题型二题型三题型四易错辨析
易错点 混淆充分性与必要性致错A.m>0,n>0 B.mn<0
C.m<0,n<0 D.mn>0题型一题型二题型三题型四课件21张PPT。1.3 简单的逻辑联结词1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.
2.会使用联结词“且”“或”“非”,并会改写某些数学命题,会判断含有联结词的命题的真假.1.一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来得到的新命题,记作p∧q,读作“p且q”.
知识拓展对“且”的理解,可联想集合中“交集”的概念,“x∈A∩B”是指“x∈A”“x∈B”要同时满足的意思,即x既属于集合A,又属于集合B,用“且”联结两个命题p与q构成的新命题“p且q”,只有当“p真q真”时,“p且q”为真.2.一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来得到的新命题,记作p∨q,读作“p或q”.
知识拓展对“或”的理解,可考虑并集的概念,“x∈A∪B”是指“x∈A”“x∈B”中至少有一个是成立的,即可以“x∈A,且x?B”,也可以“x?A,且x∈B”,也可以“x∈A,且x∈B”.逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的.由“或”联结两个命题p和q构成的新命题“p或q”,在“p真q假”“p假q真”“p真q真”时,“p或q”都为真.
【做一做1】 若xy=0,则x=0 y=0;若xy≠0,
则x≠0 y≠0.(填“且”或“或”)?
答案:或 且3.一般地,对一个命题p全盘否定,得到一个新命题,记作??p,读作“非p”或“p的否定”.
知识拓展对“非”的理解,可回想集合中“补集”的概念.“非”有否定的意思,一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个新命题“非p”.当p为真时,则“非p ”为假;当p为假时,则“非p”为真.若将命题p对应集合P,则命题“非p”就对应集合P在全集U中的补集?UP.
【做一做2】 命题“在△ABC中,三个内角分别为A,B,C,若C=90°,则A,B都是锐角”的否定为? .?
答案:在△ABC中,三个内角分别为A,B,C,若C=90°,则A,B不都是锐角4.已知p,q的真假时,常用下列表格(称为真值表)判断p∧q,p∨q,
?p的真假.归纳总结对于“且”,p和q同为真才是真,只要有一个为假则为假;对于“或”,p和q同为假才是假,只要有一个为真则为真;p与??p则有相反的真假性.【做一做3】 下列命题:①2020年10月1日既是国庆节,又是中秋节;②10的倍数一定是5的倍数;③梯形不是矩形;④方程x2=1的解是x=±1.其中使用逻辑联结词的命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:①中有逻辑联结词“且”;③中有逻辑联结词“非”;④中有逻辑联结词“或”.
答案:C剖析(1)命题的否定:“非”命题是对原命题结论的否定,一个命题p经过使用逻辑联结词“非”,就构成一个新命题“??p”,称为命题的否定.
“?? p”形式的新命题与原命题构成一对矛盾命题,但“?? p”绝不是“是”与“不是”的简单演绎.
对于“非”命题的四点注意:
①“?? p”是否定命题p的结论,不否定命题p的条件,这也是“?? p”与否命题的区别;
②p与“?? p”真假必相反;
③“?? p”必须包含p结论的所有对立面;
④“?? p”必须对p中的结论关键词进行否定.(2)否命题:一个命题的条件和结论是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题为互否命题.求一个命题的否命题时应对原命题的条件和结论同时否定.原命题与否命题真假性没有关系.
(3)注意事项:
①逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集,假定p与“?? p”的结论所确定的集合分别是A,B,则A,B必须满足A∪B=U(全集),A∩B=?.
②要透彻地理解常用词语对应的否定词语.题型一题型二题型三题型四分析命题的构成
【例1】 指出下列命题的形式及构成它们的简单命题:
(1)48是16和12的倍数;
(2)方程x2+x+3=0没有实数根;
(3)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形;
(4)他是运动员兼教练员.
分析:(1)中“和”表示“且”结构;(2)中“没有”表示“非”结构;(3)中“或”表示“或”结构;(4)中“兼”表示“且”结构.题型一题型二题型三题型四解:(1)是“p∧q”形式的命题,其中p:48是16的倍数,q:48是12的倍数.
(2)是“?p”形式的命题.其中p:方程x2+x+3=0有实数根.
(3)是“p∨q”形式的命题.其中p:菱形是圆的内接四边形,q:菱形是圆的外切四边形.
(4)是“p∧q”形式的命题.其中p:他是运动员,q:他是教练员.
反思正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键,有些命题不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词,要结合命题的具体含义进行正确的判定.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 用逻辑联结词“或”“且”“非”改写下列命题:
(1)96既是48的倍数,又是16的倍数;
(2)方程x2-3=0没有有理数根;
(3)2≥3.
解:(1)这个命题是“p∧q”的形式,即96是48的倍数且96是16的倍数.
(2)这个命题是“?p”的形式,其中p方程x2-3=0没有有理数根.
(3)这个命题是“p∨q”的形式,即2>3或2=3.题型一题型二题型三题型四判断命题的真假
【例2】 判断下列命题的真假:
(1)3≥2;
(2)3≥3;
?
(4)7不是42的约数.
分析:(1)(2)中都是“p∨q”形式,即3>2或3=2,3>3或3=3;(3)中是“p∧q”形式;(4)中是“?p”形式.题型一题型二题型三题型四解:(1)是“p∨q”形式的命题.其中p:3>2,q:3=2.p为真,q为假,故原命题为真命题.
(2)是“p∨q”形式的命题.其中p:3>3,q:3=3.p为假,q为真,故原命题为真命题.(4)是“?p”形式的命题.其中p:7是42的约数.p为真,故原命题为假命题.
反思判断命题的真假,首先要分清命题的结构是“p∨q”“p∧q”,还是“?p”,然后判断“p”“q”的真假,最后结合真值表进行判断.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 指出下列命题的真假:
(1)不等式|x+2|≤0没有实数解;
(2)-1是偶数或奇数;
(3)0属于集合Q,也属于集合R;
(4)A?(A∪B).题型一题型二题型三题型四解:(1)此命题是“?p”的形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数解.∵x=-2是该不等式的一个解,∴命题p为真命题,即?p是假命题.故原命题为假命题.
(2)此命题是“p∨q”的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.∵命题p为假命题,命题q为真命题,
∴命题“p∨q”为真命题,故原命题为真命题.
(3)此命题为“p∧q”的形式,其中p:0∈Q,q:0∈R,命题p为真命题,命题q为真命题,故原命题为真命题.
(4)此命题为“?p”的形式,其中p:A?(A∪B).
∵p为真命题,∴?p为假命题,故原命题为假命题.题型一题型二题型三题型四利用命题的真假求参数的取值范围
【例3】 已知a>0,命题p:对任意x>0, 恒成立,命题q:对任意k∈R,直线kx-y+2=0与圆x2+y2=a2恒有交点.是否存在正数a,使得p∧q为真命题?若存在,请求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
分析:若p∧q为真,则p和q都为真,从而可求出a的取值范围.题型一题型二题型三题型四反思命题p和q的真假情况是解“p∧q”的真假的关键.如“p∧q”为假,应包括“p真q假”“p假q真”“p假q假”三种情况;“p或q”为假,则只有“p假q假”一种情况;而“??p”的真假性一定与p的真假性相反.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错辨析
易错点 对命题的否定把握不准致错题型一题型二题型三题型四课件17张PPT。1.4 全称量词与存在量词1.理解全称量词与存在量词的意义,会判断一个含有量词的全称命题、特称命题的真假.
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.1.短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“?”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.
【做一做1】 下列命题中含有全称量词的是( )
A.至少有一个自然数是2的倍数
B.存在小于零的整数
C.方程3x=2有实数根
D.无理数是小数
答案:D2.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号?x∈M,p(x)表示,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,可用符号?x0∈M,p(x0)表示,读作“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”.
归纳总结全称命题中的全称量词表明给定范围内的所有对象都具有某一性质,无一例外;而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外,两者正好构成相反意义的表述.
【做一做2】 下列语句是特称命题的是( )
A.整数n是2和7的倍数
B.存在整数n,使n能被11整除
C.x>7
D.?x∈M,p(x)成立
解析:B选项中有存在量词“存在”,故B项是特称命题,A和C不是命题,D是全称命题.
答案:B3.含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x0∈M, ?p(x0),是特称命题;
(2)特称命题p:?x0∈M,p(x0),它的否定?p:?x∈M, ?p(x),是全称命题.答案:D 【做一做3-2】 已知命题p:?x∈R,sin x≤1,则?p是 .?
解析:全称命题的否定为特称命题.则?p:?x0∈R,sin x0>1.
答案:?x0∈R,sin x0>11.全称命题与特称命题的真假
剖析:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立;但要判定一个全称命题是假命题,却只需找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”).要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.2.含有一个量词的命题的否定
剖析:全称命题和特称命题的否定,其模式是固定的,即先把相应的全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词,再对命题结论进行否定,熟练地掌握下列常用词语的否定,对写出含有一个量词的命题的否定有很大帮助.归纳总结在实际应用中,若从正面证明全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题不容易,可证明它的否定“?x0∈M, ?p(x0)”是假命题,反之亦然.题型一题型二题型三题型四全称命题与特称命题的辨析
【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(1)负数没有对数;
(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;
(3)?x∈{x|x是无理数},x2是无理数;
(4)?x0∈{x|x∈Z},log2x0>0.
分析:(1)虽然表面看并不含量词,但从意义上来理解却含有“全部”“所有的”这样的意思;(2)(3)(4)明显含有量词.
解:(1)和(3)为全称命题;(2)和(4)为特称命题.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 判断下列语句是全称命题,还是特称命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
?
解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.题型一题型二题型三题型四判断全称命题与特称命题的真假
【例2】 已知命题:
p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,
p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,
则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(?p1)∨p2和q4:p1∧(?p2)中,真命题是( )
A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4
解析:p1为真,p2为假,
则q1为真,q2为假,q3为假,q4为真.
答案:C
反思要判定一个全称命题是真命题,需要对限定集合中每一个元素验证其成立;但要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合中找到一个元素说明其成立即可.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 判断下列命题的真假:
(1)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;题型一题型二题型三题型四对含有一个量词的命题的否定
【例3】 写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)有些质数是奇数;
(2)所有二次函数的图象都开口向上;
?
(4)不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根.
分析:先判断命题是全称命题还是特称命题,再写出它的否定.题型一题型二题型三题型四解:(1)“有些质数是奇数”是特称命题,其否定为“所有质数都不是奇数”,假命题.
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题,其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”,真命题.
(3) 其否定为“?x∈Q,x2≠5”,真命题.
(4)“不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根”是全称命题,其否定为“存在实数m,使得方程x2+2x-m=0没有实数根”,真命题.
反思在含有一个量词的命题的否定中,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.注意有些原命题无关键量词,但隐含着其含义,要注意辨析.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)梯形的对角线相等;
(3)有的四边形没有外接圆;
分析:本题主要考查全称命题与特称命题的否定.可先将命题写成较明显、易理解的形式,再对一些关键词语进行否定.题型一题型二题型三题型四解:(1)命题的否定“存在一个平行四边形的对边不都平行.”由平行四边形的定义知,这是假命题.
(2)命题的否定“有些梯形的对角线不相等.”因为直角梯形的对角线不相等,所以是真命题.
(3)命题的否定“所有四边形都有外接圆.”因为只有对角互补的四边形才有外接圆,所以原命题为真,命题的否定为假命题.
所以原命题为真,命题的否定为假命题.题型一题型二题型三题型四易错辨析
易错点 因对量词的否定不当致错
【例4】 某科学家在试验室种下了三颗种子,他预测:
(1)三颗种子都发芽;
(2)三颗种子至少有两颗发芽.
请分别给出(1)和(2)的否定.
错解:(1)三颗种子都不发芽;(2)三颗种子至多有两颗发芽.
错因分析:(1)“都”在否定中是“不都”而不是“都不”;(2)“至少有两颗发芽”的否定应是“至多有一颗发芽”.因为至多有两颗和至少有两颗都包括两颗的情况.
正解:(1)三颗种子中至少有一颗不发芽;(2)三颗种子中至多有一颗发芽.课件18张PPT。本章整合第三章 变化率与导数专题一专题二专题三专题四专题一 四种命题及其相互关系
四种命题的形式和关系如下图:由原命题构造逆命题只要将p和q换位就可以.由原命题构造否命题只要将p和q分别否定为?p和?q,但p和q不换位.由原命题构造逆否命题时,不仅要将p和q换位,而且要将换位后的p和q都否定.专题一专题二专题三专题四原命题为真,它的逆命题不一定为真.
原命题为真,它的否命题不一定为真.
原命题为真,它的逆否命题一定为真.
因为互为逆否命题同真同假,所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个,逆命题和否命题中的一个,即只讨论两种就可以了,不必对四种命题形式一一加以讨论.专题一专题二专题三专题四应用写出命题“两条对角线不相等的平行四边形不是矩形”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
提示:应当先把原命题改写成“若p,则q”的形式,再设法构造其余三种形式的命题.要注意对大前提的处理.
解:原命题可以写成“若一个平行四边形的两条对角线不相等,则它不是矩形”,是真命题.
逆命题是“若一个平行四边形不是矩形,则它的两条对角线不相等”,是真命题.
否命题是“若一个平行四边形的两条对角线相等,则它是矩形”,是真命题.
逆否命题是“若一个平行四边形是矩形,则它的两条对角线相等”,是真命题.专题一专题二专题三专题四专题二 充分条件与必要条件
1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类:2.充分条件与必要条件的判断
(1)直接利用定义判断:即“若p?q成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件”.
(2)利用等价命题的关系判断:“p?q”的等价命题是“?q??p”,即“若?q??p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件”.专题一专题二专题三专题四应用1设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
提示:本题考查了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题.
解析:因为由x3=x,解得x=0,x=1或x=-1,所以“x=1”是“x3=x”的充分不必要条件.
答案:A专题一专题二专题三专题四应用2在下列各小题中,p是q的充要条件的是( )
①p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;
③p:cos α=cos β;q:tan α=tan β;
④p:A∩B=A;q:?UB??UA.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析:对于①,∵y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,
∴m2-4(m+3)>0,解得m<-2或m>6.
∴p是q的充要条件,排除选项B,C.
对于②,取f(x)=x2,在R上为偶函数, 处没有意义,p是q的充分不必要条件,排除选项A.故选D.
答案:D专题一专题二专题三专题四专题三 逻辑联结词
(1)“p∨q”的真假性:当p与q中至少有一个是真命题时,“p∨q”为真命题;当p,q都是假命题时,“p∨q”为假命题,即有真则真.
(2)“p∧q”的真假性:当p,q都是真命题时,“p∧q”为真命题;当p为真命题,q为假命题,或当p为假命题,q为真命题,或当p为假命题,q为假命题时,“p∧q”为假命题,即有假则假.
(3)“?p”的真假性:若p是真命题,则?p必是假命题;若p是假命题,则?p必是真命题.专题一专题二专题三专题四应用指出下列命题的构成形式(“p∧q”或“p∨q”)及构成它的命题p,q,并判断它们的真假.
(1)5≥3;
(2)(n-1)·n·(n+1)(n∈N*)既能被2整除,又能被3整除.
分析:先确定构成复合命题的原命题p,q,再利用真值表判断真假.
解:(1)此题为“p∨q”的形式,其中,p:5>3;q:5=3.此命题为真命题,因为p为真命题,q为假命题,所以“p∨q”为真命题.
(2)此命题为“p∧q”形式的命题,其中,
p:(n-1)·n·(n+1)(n∈N*)能被2整除;
q:(n-1)·n·(n+1)(n∈N*)能被3整除.
此命题为真命题,因为p为真命题,q也是真命题,故“p∧q”为真命题.专题一专题二专题三专题四专题四 全称命题与特称命题
含有全称量词的命题叫全称命题,含有存在量词的命题叫特称命题,此部分是近几年高考的新宠,在高考中多以选择题、填空题的形式出现.专题一专题二专题三专题四应用判断下列命题是特称命题还是全称命题,用符号形式写出其否定并判断命题的否定的真假性.
(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;
(2)任何一条直线都存在斜率;提示:本题考查含有量词的命题的含义以及符号表示,命题的否定的真假判断可以从原命题或原命题的否定处理.
解:(1)特称命题,否定:?α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.
(2)全称命题,否定:存在直线l,l没有斜率,真命题.123451(2016四川高考)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件12345解析:画出可行域(如图所示),可知命题q中不等式组表示的平面区域△ABC在命题p中不等式表示的圆盘内,即p q,q?p,所以p是q的必要不充分条件.故选A.
答案:A123452(2016山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面,故选A.
答案:A123453(2016天津高考)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由题意,得a2n-1+a2n<0?a1(q2n-2+q2n-1)<0?q2(n-1)(q+1)<0?q∈(-∞,-1),因此,q<0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0的必要不充分条件.故选C.
答案:C123454(2016北京高考)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由|a|=|b|无法得到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,也无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选D.
答案:D123455(2015课标全国Ⅰ高考)设命题p:?n∈N,n2>2n,则?? p为( )
A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2n
C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n
解析:∵p:?n∈N,n2>2n,
∴??p:?n∈N,n2≤2n.故选C.
答案:C
