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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A.
B.
C.
D.
解析： 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则l＝2πr，
S表＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr·2πr＝2πr2(1＋2π)，
S侧＝2πr·l＝2πr·2πr＝4π2r2，
∴S表∶S侧＝.
答案： B
2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A.
B.
C．64π
D．128π
解析：
设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h(如图所示)，则由题意得l＝r，h＝r，
∵S圆锥侧＝πrl＝πr·r＝16π，
∴r＝4，l＝4，h＝r＝4，
∴V圆锥＝πr2·h＝π×42×4＝.
答案： A
3．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．108
cm3
B．100
cm3
C．92
cm3
D．84
cm3
解析： 根据三视图还原出几何体，再根据几何体的形状及相应的尺寸求其体积．
此几何体为一个长方体ABCD－A1B1C1D1被截去了一个三棱锥A－DEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE，AF，AD的长分别为4、4、3，故其体积为××4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．
答案： B
4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )
A．4，8
B．4，
C．4(＋1)，
D．8,8
解析： 由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积．
由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝×22×2＝.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，
∴S侧＝4××2×＝4.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．(2015·安庆市石化一中高二(上)期中)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.
解析： 几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边长分别为3,4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：
V＝V棱柱－V棱锥＝×3×4×5－××3×4×3＝24(cm3)．
答案： 24
6．(2015·蚌埠市五河高中高二(上)期中)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________．
解析： 因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，
所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝＝π，
设圆锥的底面圆的半径为r，
因为扇形的弧长为×2＝π，
所以2πr＝π，所以r＝，
所以底面圆的面积为π.所以圆锥的表面积为π.
答案： π
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：
将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．
原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.
答案： 16＋8π
三、解答题(每小题10分，共20分)
8.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，求V1∶V2.
解析： 通过点D，E，F为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系，然后利用体积公式得到体积之间的比值．
设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝×S×h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.
9.如图是一个底面直径为20
cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6
cm，高为20
cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？
解析： 因为圆锥形铅锤的体积为×π×2×20＝60π(cm3)，设水面下降的高度为x
cm，
则小圆柱的体积为π2x＝100πx.
所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.
故杯里的水将下降0.6
cm.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
解析： 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．
答案： A
2．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
解析： 如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．
答案： C
3.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．6
cm
B．8
cm
C．(2＋3)cm
D．(2＋2)cm
解析： 直观图中，O′B′＝，原图形中OC＝AB＝＝3，OA＝BC＝1，
∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.
答案： B
4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB
B．AD
C．BC
D．AC
解析： 由直观图易知A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形．AD为BC边上的高，则有AB，AC相等且最长，AD最短．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析： 由于在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则AB边的中线为2.5.
答案： 2.5
6.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析： 点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d，
而O′A′＝OA＝1，∠C′O′A′＝45°，
所以d＝O′A′＝.
答案：
7.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________．
解析： ∵A′D′∥B′C′，∴AD∥BC.
∵∠A′B′C′＝45°，∴∠ABC＝90°.
∴AB⊥BC.∴四边形ABCD是直角梯形，如图所示．
其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋，AB＝2，
即S梯形ABCD＝2＋.
答案： 2＋
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图．
解析： 画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°(如图(2))；
(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC；在y′轴上截取O′D′＝OD.
(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．
9．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
解析： 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，易知梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD＝，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
解析： 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形．
答案： D
2．如图所示，这些几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析： 以正方体其中一面为正视方向时所得的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C.
答案： D
3．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个说法：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如右图．其中正确说法的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析： 底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．
答案： A
4．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )
A．8
B．6
C．10
D．8
解析：
将三视图还原成几何体的直观图如图所示．
它的四个面的面积分别为8,6,10,6，故最大的面积应为10.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．
解析： 由题意可知该正方体的放置如图所示，侧视图的方向垂直于面BDD1B1，正视图的方向垂直于面A1C1CA，且正视图是长为，宽为1的矩形，故正视图的面积为.
答案：
6．如图甲所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．
解析： 在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图乙(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图乙(2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图乙(3)．
答案： (1)(2)(3)
7．两条平行线在一个平面内的正投影可能是________．
①两条平行线；②两个点；③两条相交直线；④一条直线和直线外的一点；⑤一条直线．
解析： 如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，直线A1B1∥C1D1，它们在平面ABCD内的投影为AB，CD，且AB∥CD，故①正确；它们在平面BCC1B1内的正投影是点B1和点C1，故②正确；取A1D1的中点E，B1C1的中点F，连接EF，则EF∥D1C1且EF与D1C1在平面ABB1A1内的投影是同一直线A1B1，故⑤正确，故填①②⑤.
答案： ①②⑤
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．画出如图所示的几何体的三视图．
解析： 该几何体的三视图如下：
9．根据图中(1)(2)(3)所示的几何体的三视图，想象其实物模型，画出其对应的直观图．
解析： 三视图对应的几何体如图所示．(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．两个球的半径之比为2∶3，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3
B．4∶9
C.∶
D．8∶27
解析： 设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，
则＝＝＝.故选B.
答案： B
2．(2015·德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析： 根据题意球的半径R满足(2R)2＝6a2，
所以S球＝4πR2＝6πa2，故选B.
答案： B
3．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．9π
B．10π
C．11π
D．12π
解析： 由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体，其表面积S＝4πR2＋2πr2＋2πr·h，代入数据得S＝4π＋2π＋2π×3＝12π.故选D.
答案： D
4．(2015·唐山市玉田县林南仓中学高二(上)期中)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1∶S2等于( )
A．1∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．4∶1
解析： 由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，
则S1＝6π，S2＝4π.
所以S1∶S2＝3∶2，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为________．
解析： 利用截面圆的性质先求得球的半径长．
如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1，
∴OM＝＝，
即球的半径为，
∴V＝π()3＝4π.
答案： 4π
6．(2015·吕梁学院附中高二(上)月考)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4，底面边长都为2，则这个球的表面积是________．
解析： 长方体的体对角线长为＝2，
球的直径是2R＝2，
所以R＝，
所以这个球的表面积S＝4π()2＝24π.
答案： 24π
7．(2015·河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6
cm，深为1
cm的空穴，则该球半径是________
cm，表面积是________cm2.
解析： 设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝R－1，
则(R－1)2＋32＝R2，
解之得R＝5
cm，
所以该球表面积为
S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．
答案： 5 100π
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4
cm与2
cm，如图所示，俯视图是一个边长为4
cm的正方形．求该几何体的外接球的体积．
解析： 由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2.
由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径是r，
d＝＝＝6(cm)，所以球的半径为r＝3
cm.
因此球的体积V＝πr3＝×27π＝36π(cm3)，
所以外接球的体积是36π
cm3.
9．(2015·大同一中高二(上)月考)如图所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．
解析： S球＝×4π×22＝8π(cm2)，
S圆台侧＝π(2＋5)＝35π(cm2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
即该几何体的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)．
所以该几何体的体积为
V圆台－V半球＝52π－＝(cm3)．(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )
A．圆台
B．圆锥
C．圆柱
D．球
解析： 由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，
所以形成的几何体是圆锥．故选B.
答案： B
2．下列说法正确的有( )
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析： ①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．
答案： C
3．(2015·江西临川一中月考)图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(1)(4)
D．(1)(5)
解析： 当截面不过旋转轴时，截面图形是(5)，故选D.
答案： D
4．(2015·安徽宿州十三校联考)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，已知圆台的母线长是6
cm，则圆锥的母线长为( )
A．2
cm
B.
cm
C．8
cm
D．4
cm
解析：
该圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，圆锥的母线长为l，因为上、下底面的面积之比为1∶16，所以r1∶r2＝1∶4，如图为几何体的轴截面；则有＝，
解得，l＝8.故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．有下列说法：
①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；
②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；
③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．
其中正确说法的个数为________个．
解析： 命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．
答案： 3
6．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是3，则其轴截面面积是________．
解析： 设圆台的高为h，则h＝＝9，
∴轴截面面积S＝(4＋10)×9＝63.
答案： 63
7．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10
cm，则圆锥的母线长为________．
解析： 设圆锥的母线长为y，圆台的上、下底面半径为x,4x，根据相似三角形的比例关系得：＝，也就是4(y－10)＝y，所以y＝(cm)，
所以圆锥的母线长为
cm.
答案：
cm
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．直角三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，分别以AB，BC，AC所在直线为轴旋转一周，分析所形成的几何体的结构特征．
解析： 在Rt△ABC中，分别以三条边AB，BC，AC所在直线为轴旋转一周所得的几何体，如下图．
其中图(1)和图(2)是两个不同的圆锥，它们的底面分别是半径为4和3的圆面，母线长均为5.
图(3)是由两个同底圆锥构成的几何体，在圆锥AO中，AB为母线，在圆锥CO中，CB为母线．
9．指出如图所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
解析： 分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．
图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图(3)是由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成．
图(4)是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成的．(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．组合体
解析： 剩余部分是以四边形BCC′B′为底面的四棱锥．
答案： B
2．下列说法中正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②三棱柱的侧面为三角形；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长都相等．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
解析： 由棱锥的定义可知，棱锥的各个侧面都是三角形，①正确；由棱锥的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，②错误；③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共顶点，④不正确．故选B.
答案： B
3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
A．20
B．15
C．12
D．10
解析： 从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．
答案： D
4．下列命题中正确的是( )
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的底面是两个相似的正方形
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
解析： A中的平面不一定平行于底面，故A错；正六棱柱中相对的两个侧面互相平行，但不是底面，故B错；C中底面不一定是正方形．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．
解析： 棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成．
答案： 三 5
6．如图，M是棱长为2
cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是____________cm.
解析： 由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2
cm,3
cm，故两点之间的距离是
cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1
cm,4
cm，故两点之间的距离是
cm.
故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
答案：
7．侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱．
侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．
底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．
底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体．
侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体．
底面是矩形的直平行六面体叫作长方体．
棱长都相等的长方体叫作正方体．
请根据上述定义，回答下面的问题：
(1)直四棱柱________是长方体；
(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”、“不一定”“一定不”)
解析： 根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．
答案： (1)不一定 (2)不一定
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解析： (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．
(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
9．在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30°，在一条棱上有A，B两点，OA＝4，OB＝3，以A，B为端点同一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A，B之间的最短绳长．
解析： 作出三棱锥的平面展开图，如图，A，B两点间的最短绳长就是线段AB的长度．OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，所以AB＝5，即此绳在A，B间最短的绳长为5.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．观察图中的四个几何体，其中判断正确的是( )
A．(1)是棱台
B．(2)是圆台
C．(3)是棱锥
D．(4)不是棱柱
解析： 图(1)不是由棱锥截得的，图(2)的上、下两个面不平行，图(4)的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以A，B，D都不正确．
答案： C
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A．棱柱
B．棱台
C．圆柱
D．圆台
解析： 从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．
答案： D
3．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )
A．16π
B．32π
C．36π
D．64π
解析： 将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.
答案： A
4.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
解析： 由斜二测画法的规则可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×＝，
又∵AO⊥BC，∴AB＝AC＝2，故△ABC是等边三角形．
答案： A
5．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )
A．V1＜V2＜V4＜V3
B．V1＜V3＜V2＜V4
C．V2＜V1＜V3＜V4
D．V2＜V3＜V1＜V4
解析： 由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：
V1＝(4π＋π＋2π)＝，V2＝2π，
V3＝23＝8，V4＝(16＋4＋8)＝.
故V2＜V1＜V3＜V4.
答案： C
6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为( )
A．1∶2∶3
B．1∶3∶5
C．1∶2∶4
D．1∶3∶9
解析： 如图，由题意知O1A1∶O2A2∶OA＝1∶2∶3，以O1A1，O2A2，OA为半径的圆锥的侧面积之比为1∶4∶9.
故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5.
答案： B
7．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
A.
B.
C．8π
D.
解析： 设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为＝，
所以球的体积为π()3＝，故选D.
答案： D
8.如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝A1B1，则多面体P－BCC1B1的体积为( )
A.
B.
C．4
D．5
解析： V多面体P－BCC1B1＝S正方形BCC1B1·PB1＝×42×1＝.
答案： B
9．如图所示，三棱台ABC－A1B1C1中，A1B1∶AB＝1∶2，则三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的体积比为( )
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶
D．1∶4
解析： 三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的高相等，故其体积之比等于△A1B1C1与△ABC的面积之比，而△A1B1C1与△ABC的面积之比等于A1B1与AB比的平方，即1∶4.故三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的体积比为1∶4.
答案： D
10．一个正三棱柱的三视图如图所示，则此三棱柱的表面积和体积分别为( )
A．24＋8，8
B．4，4
C．12＋2，4
D．24＋4，4
解析： 由三视图可知此正三棱柱的底面三角形的高为2，三棱柱的高为2，所以其底面边长为4，于是S表＝24＋8，V＝××42×2＝8.
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________．
解析： 设棱台的高为x，则有2＝，
解之，得x＝11.
答案： 11
12．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍．
解析： 设原来球的半径为r，扩大后的半径为R，
则有4πR2＝2×4πr2，则R＝r.
则扩大后的体积V＝πR3＝π(r)3＝2·πr3，即体积扩大到原来的2倍．
答案： 2
13．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为________．
解析： 如图所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O′，连接O′B，OB，则在Rt△OO′B中，由OB＝4，O′B＝2，可得OO′＝2，故VO－ABCD＝S矩形ABCD·OO′＝×6×2×2＝8.
答案： 8
14.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，高为5，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________．
解析： 如图所示，将三棱柱沿AA1剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2＝13.
答案： 13
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)画出下图中几何体的三视图．
解析： 图中几何体组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按照正方体和圆柱的三视图的画法画出该组合体的三视图．
该几何体的三视图如图所示．
16.(本小题满分12分)如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3
cm，求圆台O′O的母线长．
解析： 设圆台O′O的母线长为l，由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3
cm.故＝，
即＝.
解得l＝9，故圆台O′O的母线长为9
cm.
17．(本小题满分12分)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1
cm，求球的体积．
解析： 如图作出轴截面，
∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.
∵CD＝1
cm，∴AC＝2
cm，AD＝
cm.
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴＝.
设OE＝R，则AO＝－R，∴＝，
∴R＝(cm)．
∴V球＝π3＝π(cm3)．
∴球的体积等于π
cm3.
18．(本小题满分14分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′－BC′D的体积．
解析： (1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，
∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴三棱锥A′－BC′D的表面积为4××a××a＝2a2.
而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为＝.
(2)三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．
故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD
＝a3－4××a2×a＝.
