2017—2018学年数学人教A版必修2同步练习:第2章 点、直线、平面之间的位置关系(9份)

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名称 2017—2018学年数学人教A版必修2同步练习:第2章 点、直线、平面之间的位置关系(9份)
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2017-09-03 09:17:33

文档简介

(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列命题中:
①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(  )
A.①③        
B.②④
C.③④
D.①②
解析: 由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,所以①不对,实质上它共有四个二面角;由a,b分别垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对;由定义知④正确.故选B.
答案: B
2.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是(  )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
解析: 由面面垂直的判定定理知:平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,A、B、D正确.
答案: C
3.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为(  )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
解析: ∵PA⊥平面ABC,BA,CA 平面ABC,
∴BA⊥PA,CA⊥PA,因此,∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,故选A.
答案: A
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为(  )
A.
B.
C.
D.
解析: 如右图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,O为BD中点,
∵A1D=A1B,
∴在△A1BD中,A1O⊥BD.
又∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,
∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.
设AA1=1,则AO=.∴tan∠A1OA==.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个.
解析: 设面外的点为A,面内的点为B,过点A作面α的垂线l,若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案: 1或无数
6.正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________.
解析: 如图所示,设正四面体ABCD的棱长为1,顶点A在底面BCD上的射影为O,连接DO并延长交BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,故AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角.
在Rt△AEO中,AE=,
EO=ED=·=,∴cos∠AEO==.
答案: 
7.如图,平面ABC⊥平面BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且AB=AC=a,则AD=________.
解析: 取BC中点M,则AM⊥BC,
由题意得AM⊥平面BDC,
∴△AMD为直角三角形,
AM=MD=a.∴AD=a×=a.
答案: a
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD.
证明: 连接AC,交BD于点F,连接EF,
∴EF是△SAC的中位数,∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD.
又EF 平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.
9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值大小.
解析: 取BD的中点O,连接AO,A1O(图略).
在正方体中,AO⊥BD,
A1B=A1D,∴A1O⊥BD,
∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角,设AA1=a,
在Rt△A1OA中,tan∠A1OA===.
即二面角A1-BD-A的正切值为.
10.(2015·蚌埠一中高二期中)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,则下列结论中错误的是(  )
A.D1O∥平面A1BC1
B.MO⊥平面A1BC1
C.异面直线BC1与AC所成的角等于60°
D.二面角M-AC-B等于90°
解析: 对于选项A,连接B1D1,BO,交A1C1于E,则四边形D1OBE为平行四边形,所以D1O∥BE,因为D1O 平面A1BC1,BE 平面A1BC1,所以D1O∥平面A1BC1,故正确;
对于选项B,连接B1D,因为O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,
所以MO∥B1D,易证B1D⊥平面A1BC1,
所以MO⊥平面A1BC1,故正确;
对于选项C,因为AC∥A1C1,所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角,因为△A1C1B为等边三角形,
所以∠A1C1B=60°,故正确;对于选项D,因为BO⊥AC,MO⊥AC,所以∠MOB为二面角M-AC-B的平面角,显然不等于90°,故不正确.综上知,选D.
答案: D
11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上一动点.当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析: 连接AC,则BD⊥AC.
由PA⊥底面ABCD,可知BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC 平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案: DM⊥PC(或BM⊥PC等)
12.(2015·杭州重点中学高二联考)如图多面体中,正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直,且AD=AB=CD=2,AB∥CD,M为CE的中点.
(1)证明:BM∥平面ADEF;
(2)证明:平面BCE⊥平面BDE.
证明: (1)取DE中点N,连接MN,AN,
因为M、N分别为EC,ED的中点,
所以MN綊CD,
由已知AB∥CD,AB=CD,
所以MN綊AB.
所以四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN,
又因为AN 平面ADEF,
且BM 平面ADEF,所以BM∥平面ADEF.
(2)在正方形ADEF中,ED⊥AD,
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,
且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中,取CD的中点P,连接BP,
AB=AD=2,CD=4,
可得BC=2,
在△BCD中,BD=BC=2,CD=4,
所以BC⊥BD,BD∩ED=D.所以BC⊥平面BDE,
又因为BC 平面BCE,
所以平面BCE⊥平面BDE.
13.(2015·杭州重点中学高二联考)在图(1)等边三角形ABC中,AB=2,E是线段AB上的点(除点A外),过点E作EF⊥AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合,如图(2)),使得∠PFC=60°.
(1)求证:EF⊥PC;
(2)试问,当点E在线段AB上移动时,二面角P-EB-C的大小是否为定值?若是,求出这个二面角的平面角的正切值,若不是,请说明理由.
解析: (1)证明:因为EF⊥PF,EF⊥FC,
又由PF∩FC=F,所以EF⊥平面PFC.
又因为PC 平面PFC,所以EF⊥PC.
(2)
由(1)知,EF⊥平面PFC,
所以平面BCFE⊥平面PFC,
作PH⊥FC,则PH⊥平面BCFE,
作HG⊥BE,连接PG,则BE⊥PG,
所以∠PGH是这个二面角的平面角,
设AF=x,则0<x≤1,
因为∠PFC=60°,
所以FH=,PH=x,易求GH=x,
所以tan∠PGH==,
所以二面角P-EB-C的大小是定值.(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点,则EF与HG的位置关系是(  )
A.平行       
B.相交
C.异面
D.平行或异面
解析: ∵E,F分别是SN和SP的中点,∴EF∥PN.
同理可证HG∥PN,∴EF∥HG.
答案: A
2.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为(  )
A.相交
B.平行
C.异面而且垂直
D.异面但不垂直
解析: 将展开图还原为正方体,如图所示.
AB与CD所成的角为60°,故选D.
答案: D
3.下列命题中
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
正确的结论有(  )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析: 对于①,这两个角也可能互补,故①错;对于②,正确;对于③,不正确,举反例:如右图所示,BC⊥PB,AC⊥PA,∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边,但这两个角既不一定相等,也不一定互补;对于④,由公理4可知正确.故②④正确,所以正确的结论有2个.
答案: B
4.若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则(  )
A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面
解析: 逐个分析,过点P与l,m都平行的直线不存在;过点P与l,m都垂直的直线只有一条;过点P与l,m都相交的直线1条或0条;过点P与l,m都异面的直线有无数条.
答案: B
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行,∠A=70°,则∠B=________.
解析: ∵∠A的两边和∠B的两边分别平行,
∴∠A=∠B或∠A+∠B=180°.
又∠A=70°,∴∠B=70°或110°.
答案: 70°或110°
6.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.
(1)直线AB1和CC1所成的角为________;
(2)直线AB1和EF所成的角为________.
解析: (1)因为BB1∥CC1,
所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.
(2)连接B1C,易得EF∥B1C,
所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.
连接AC,则△AB1C为正三角形,
所以∠AB1C=60°.
答案: (1)45° (2)60°
7.
如右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
①BM与ED平行;
②CN与BE是异面直线;
③CN与BM成60°的角;
④DM与BN垂直.
以上四种说法,正确说法的序号是________.
解析: 把平面展开图折叠成正方体如图所示,由图可知:①BM与ED异面;②CN与BE平行;③∵AN∥BM,∴∠ANC为异面直线CN与BM所成的角,∠ANC=60°;④BN⊥DM.
答案: ③④
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.如图所示,E、F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.
求证:四边形B1EDF是平行四边形.
证明: 设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.
∵E是AA1的中点,∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中,A1D1綊B1C1,
∴EQ綊B1C1(平行公理).
∴四边形EQC1B1为平行四边形.
∴B1E綊C1Q.
又∵Q,F是DD1,C1C两边的中点,∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形.
∴C1Q綊DF.
又∵B1E綊C1Q,∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形.
9.在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,BD=,AC=,求AC和BD所成的角.
解析: 如图,取AB,CD,AD,AC的中点E,G,F,H,连接EF,FG,GE,EH,HG,
则∠EFG(或其补角)为BD与AC所成的角,
且EF=BD=,FG=AC=,
EH∥BC,HG∥AD.
∵AD⊥BC,∴EH⊥HG.
∴EG2=EH2+HG2=1.
在△EFG中,EG2=EF2+FG2=1,
∴∠EFG=90°,
∴AC与BD所成的角是90°.(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是(  )
A.A∈l,l α        
B.A∈l,l α
C.A l,l α
D.A l,l α
解析: 注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系,直线与平面之间的关系是集合与集合间的关系.
答案: B
2.下列说法正确的是(  )
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
解析: A错误,不共线的三点可以确定一个平面.B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.C错误,四边形不一定是平面图形.D正确,两条相交直线可以确定一个平面.
答案: D
3.空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是(  )
A.1
B.2
C.3
D.1或3
解析: 若三条直线两两相交共有三个交点,则确定1个平面;若三条直线两两相交且交于同一点时,可能确定3个平面.
答案: D
4.下列推断中,错误的是(  )
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α l α
B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β α∩β=AB
C.l α,A∈l A α
D.A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线 α,β重合
解析: A即为直线l上有两点在平面内,则直线在平面内;B即为两平面的公共点在公共直线上;D为不共线的三点确定一个平面,故D也对.
答案: C
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.线段AB在平面α内,则直线AB与平面α的位置关系是________.
解析: 因为线段AB在平面α内,所以A∈α,B∈α.由公理1知直线AB 平面α.
答案: 直线AB 平面α
6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
(1)A α,a α________.
(2)α∩β=a,P α且P β________.
(3)a α,a∩α=A________.
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________.
解析: (1)图C符合A α,a α.
(2)图D符合α∩β=a,P α且P β.
(3)图A符合a α,a∩α=A.
(4)图B符合α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O.
答案: (1)C (2)D (3)A (4)B
7.平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=________.
解析: 根据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.
答案: CR
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.
解析: 
已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:直线a,b,c和l共面.
证明:如图所示,因为a∥b,由公理2可知直线a与b确定一个平面,设为α.
因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.又因为A∈l,B∈l,所以由公理1可知l α.
因为b∥c,所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由公理2的推论2知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.
求证:(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
证明: 如图.
(1)连接B1D1.
∵EF是△D1B1C1的中位线,
∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面,
即D,B,F,E四点共面.
(2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1,∴Q∈α.又Q∈EF,∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点,同理P是α与β的公共点,
∴α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,∴R∈A1C.
∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ.故P,Q,R三点共线.(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若l,m,n表示不重合的直线,α表示平面,则下列说法中正确的个数为(  )
①l∥m,m∥n,l⊥α n⊥α;②l∥m,m⊥α,n⊥α l∥n;
③m⊥α,n α m⊥n.
A.1         
B.2
C.3
D.0
解析: ①正确,∵l∥m,m∥n,∴l∥n.
又l⊥α,∴n⊥α;
②正确.∵l∥m,m⊥α,∴l⊥α.
又n⊥α,∴l∥n;
③正确,由线面垂直的定义可知其正确.
故正确的有3个.
答案: C
2.如果直线a与平面α不垂直,那么平面α内与直线a垂直的直线有(  )
A.0条
B.1条
C.无数条
D.任意条
解析: 可构造图形,若a∥α,a′ α,且a′∥a,则在平面α内有无数条直线垂直于a′,故平面α内有无数条直线垂直于直线a.
答案: C
3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(  )
A.AB∥m
B.AC⊥m
C.AB∥β
D.AC⊥β
解析: 如图所示.
AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l AC⊥m;AB∥l AB∥β,故选D.
答案: D
4.线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内,并与这两个面都成30°角,则异面直线AB与l所成的角是(  )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
解析: 过B作l的平行线,过A′作l的垂线,两线交于点C,过B作l的垂线交l于B′,连接AC,A′B,AB′,则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角,
由题意,∠ABA′=∠BAB′=30°,
所以AA′=AB,
BB′=A′C=AB,AB′=AB,
所以A′B′=BC=AB,AC=AB,
由勾股定理知∠ACB=90°,
则∠ABC=45°.
答案: B
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.已知平面α,β,γ,直线l,m满足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么可推出的结论有________.(请将你认为正确的结论的序号都填上)
①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.
解析: 如图,∵α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,
∴l⊥α,α⊥β,
而m⊥β,β⊥γ不一定成立.
答案: ②④
6.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是________.
解析: ∵EA⊥α,平面α∩平面β=l,
即l α,∴l⊥EA.
同理l⊥EB.
又EA∩EB=E,∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β,a 平面β,∴EB⊥a.
又a⊥AB,EB∩AB=B,
∴a⊥平面EAB,∴a∥l.
答案: 平行
7.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=________.
解析: 取AB的中点E,连接PE.
∵PA=PB,∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,
∴PE⊥平面ABC.连接CE,
所以PE⊥CE.
∠ABC=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=2,PE==,
CE==,PC==7.
答案: 7
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.如图:三棱锥P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,∠ACP=30°,平面PAC⊥平面ABC.求证:平面PAB⊥平面PBC.
证明: ∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,
∴PA⊥平面ABC.
又BC 平面ABC,∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC,AB∩PA=A,AB 平面PAB,
PA 平面PAB,∴BC⊥平面PAB.
又BC 平面PBC,
∴平面PAB⊥平面PBC.
9.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA=BC=3,PC=AB=5,AC=4,PB=.
(1)求证:PA⊥平面ABC;
(2)过C作CF⊥PB交PB于F,在线段AB上找一点E,使得PB⊥平面CEF.
解析: (1)证明:由已知得
PC2=PA2+AC2=25,PB2=PA2+AB2=34,
∴PA⊥AC,PA⊥AB,且AB∩AC=A,
∴PA⊥平面ABC.
(2)∵CF⊥PB,
∴只要PB⊥CE,则有PB⊥平面CEF.
∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥CE,只需CE⊥AB,
则有CE⊥平面PAB,可得PB⊥CE,
则PB⊥平面CEF,
设BE=x,∵AC2+BC2=AB2,
∴△ACB是直角三角形.
∵BC2=BE·AB,即9=5x,
∴x=,故点E在AB上且到点B的距离为.
10.(2015·运城市康杰中学高二期中)如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A-BCD,使平面ABD⊥平面BCD,则下列说法中不正确的是(  )
A.平面ACD⊥平面ABD   
B.AB⊥CD
C.平面ABC⊥平面ACD
D.AB∥平面ABC
解析: 因为BD⊥CD,平面ABD⊥平面BCD,
所以CD⊥平面ABD,
因为CD 平面ACD,
所以平面ACD⊥平面ABD,故A正确;
因为平面四边形ABCD中,
AB=AD=CD=1,BD=,
所以AB⊥AD,
又CD⊥平面ABD,所以AB⊥CD,故B正确;
因为AB⊥平面ACD,AB 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ACD,故C正确;
因为AB 平面ABC,
所以AB∥平面ABC不成立,故D错误.故选D.
答案: D
11.(2015·宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:
①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.
上述命题中,其中假命题的序号是________.
解析: ①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故①不正确;
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;
③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;
④若m⊥α,n⊥α,由直线垂直于平面的性质定理知m∥n,故④正确.
答案: ①③
12.如图,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.
(1)求证:AE∥平面BCD;
(2)求证:平面BDE⊥平面CDE.
证明: (1)取BC的中点M,连接DM,
因为BD=CD,且BD⊥CD,BC=2,
所以DM=1,DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC,
所以DM⊥平面ABC,
又AE⊥平面ABC,
所以AE∥DM.
又因为AE 平面BCD,DM 平面BCD,
所以AE∥平面BCD.
(2)由(1)已证AE∥DM,
又AE=1,DM=1,
所以四边形DMAE是平行四边形,
所以DE∥AM.
连接AM,易证AM⊥BC,
因为平面BCD⊥平面ABC,
所以AM⊥平面BCD,
所以DE⊥平面BCD.
又CD 平面BCD,
所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD,BD∩DE=D,
所以CD⊥平面BDE.
因为CD 平面CDE,
所以平面BDE⊥平面CDE.
13.如图,在△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC;
(2)求证:平面EBC⊥平面ACD;
(3)求几何体A-DEBC的体积V.
解析: (1)证明:如图,取BE的中点H,连接HF,GH.
因为G,F分别是EC和BD的中点,
所以HG∥BC,HF∥DE.
又因为四边形ABED为正方形,
所以DE∥AB,从而HF∥AB.
所以HF∥平面ABC,HG∥平面ABC.
又因为GH∩HF=H,
所以平面HGF∥平面ABC.
所以GF∥平面ABC.
(2)
证明:因为四边形ABED为正方形,
所以EB⊥AB.
又因为平面ABED⊥平面ABC,
所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC.
又因为CA2+CB2=AB2,所以AC⊥BC.
又因为BE∩BC=B,所以AC⊥平面EBC.
又因为AC 平面ACD,
从而平面EBC⊥平面ACD.
(3)取AB的中点N,连接CN,因为AC=BC,
所以CN⊥AB,且CN=AB=a.
又平面ABED⊥平面ABC,
所以CN⊥平面ABED.
因为C-ABED是四棱锥,
所以VC-ABED=S四边形ABED·CN=a2·a=a3.
即几何体A-DEBC的体积V=a3.(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的是(  )
A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
解析: 画图或在正方体模型中观察可得.
答案: B
2.在空间四边形各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,则(  )
A.P一定在直线BD上
B.P一定在直线AC上
C.P一定在直线AC或BD上
D.P既不在直线AC上,也不在直线BD上
解析: 由已知P∈EF,EF 平面ABC,
∴P∈平面ABC,
同理可得,P∈平面ACD.
而平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC.
答案: B
3.设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是(  )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
解析: 选项A,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交,故错误;
选项B,若l⊥α,l⊥β,则α∥β,故正确;
选项C,若l⊥α,l∥β,则α⊥β,故错误;
选项D,若α⊥β,l∥α,则l与β的位置关系有三种可能:l⊥β,l∥β,l β,故错误.
答案: B
4.在等腰Rt△ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为(  )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
解析: 如图所示,由AB=BC=1,∠A′BC=90°,得A′C=.
∵M为A′C的中点,∴MC=AM=,且CM⊥BM,AM⊥BM,
∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.
∵AC=1,MC=AM=,
∴∠CMA=90°.
答案: C
5.如图所示,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是(  )
A.平行
B.相交
C.异面
D.相交成60°
解析: 如图所示,△ABC为正三角形,故AB,CD相交成60°.
答案: D
6.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则(  )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
解析: 根据所给的已知条件作图,如图所示.
由图可知α与β相交,且交线平行于l,故选D.
答案: D
7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于(  )
A.AC
B.BD
C.A1D
D.A1D1
解析: 由BD⊥AC,BD⊥AA1,知BD⊥平面ACC1A1.
又CE 平面ACC1A1,
∴BD⊥CE.故选B.
答案: B
8.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(  )
A.
B.
C.
D.
解析: 如图,连接AC,交BD于点O,由正四棱柱的性质,有AC⊥BD.
因为CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD.
又CC1∩AC=C,
所以BD⊥平面CC1O.
在平面CC1O内作CH⊥C1O,
垂足为H,则BD⊥CH.
又BD∩C1O=O,所以CH⊥平面BDC1,
连接DH,则DH为CD在平面BDC1上的射影,
所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角.
设AA1=2AB=2.
在Rt△COC1中,由等面积交换易求得CH=.
在Rt△CDH中,sin∠CDH==.
答案: A
9.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面AC,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为(  )
A.
B.
C.
D.
解析: 如图,过点A作AE⊥BD于E,连接PE.
∵PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
∴PA⊥BD,∴BD⊥平面PAE,
∴BD⊥PE.
∵AE==,PA=1,
∴PE==.
答案: B
10.如图,点P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,且PO⊥平面ABC于点O,则点O是△ABC的(  )
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
解析: 如图所示,连接OA,OC.
由于PA⊥PB,PA⊥PC,
所以PA⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,
所以BC⊥PA.又PO⊥平面ABC,
BC 平面ABC,
所以BC⊥PO.
又PO∩PA=P,所以BC⊥平面PAO,所以BC⊥AO.
同理可证AB⊥OC,所以O是△ABC的垂心.
答案: C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
11.设α,β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
④若l与α内的两条直线垂直,则直线l与α垂直.
上面命题中,正确的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
解析: ①即面面平行的判定定理;②即线面平行的判定定理;③由α内有一条直线垂直于l不能得到该直线垂直于β,也就得不到α和β垂直,故不正确;④不符合线面垂直的判定定理,因此不正确.
答案: ①②
12.在四面体A-BCD中,已知棱AC的长为,其余各棱长都为1,则二面角A-CD-B的平面角的余弦值为________.
解析: 如图所示,取AC的中点E,CD的中点F,连接EF,BF,BE,DE.
∵AC=,其余各棱长都为1,
∴AD⊥CD,∴EF⊥CD.又BF⊥CD,
∴∠BFE是二面角A-CD-B的平面角.
∵EF=,BE=,BF=,
∴EF2+BE2=BF2.∴∠BEF是直角.
∴cos∠BFE==.
答案: 
13.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).
解析: 由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.
答案: B1D1⊥A1C1
14.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________.
解析: 如图,①取BD的中点E,连接AE,CE,则BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC,AC 平面AEC,故AC⊥BD.故①正确.
②设正方形的边长为a,则AE=CE=a.由①知∠AEC=90°是直二面角A-BD-C的平面角,
∴AC=a,∴△ACD是等边三角形,故②正确.
③由题意及①知,AE⊥平面BCD,
故∠ABE是AB与平面BCD所成的角,
而∠ABE=45°,∴③不正确.
④分别取BC,AC的中点M,N,连接ME,NE,MN,则MN∥AB,且MN=AB=a,ME∥CD,且EM=CD=a,
∴∠EMN是异面直线AB,CD所成的角.
在Rt△AEC中,AE=CE=a,AC=a,
∴NE=AC=a,
∴△MEN是正三角形,
∴∠EMN=60°,故④正确.
答案: ①②④
三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.
求证:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
证明: (1)因为AS=AB,AF⊥SB,
垂足为F,所以F是SB的中点.
又因为E是SA的中点,
所以EF∥AB.
因为EF 平面ABC,AB 平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.
又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,
且交线为SB,
又AF 平面SAB,AF⊥SB,
所以AF⊥平面SBC.
因为BC 平面SBC,所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF 平面SAB,AB 平面SAB,
所以BC⊥平面SAB.
因为SA 平面SAB,所以BC⊥SA.
16.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
解析: (1)
证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.
又D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF.
因为DF 平面A1CD,BC1 平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)
因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以AA1⊥CD.
由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.
又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.
所以CD⊥A1D,CD⊥DE.
由AA1=AC=CB=2,AB=2得
∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,
故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
又∵A1D∩CD=D,所以DE⊥平面ADC.
所以V三棱锥C-A1DE=××××=1.
17.(本小题满分12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?证明你的结论.
解析: 当点E为棱AB的中点时,
DE∥平面AB1C1.证明如下:
如图,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,
∵D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,
∴EF∥AB1,
∵AB1 平面AB1C1,EF 平面AB1C1,
∴EF∥平面AB1C1.
同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD=F,∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD,
∴DE∥平面AB1C1.
18.(本小题满分14分)如图所示,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(2)求二面角D-AP-C的正弦值.
解析: (1)证明:∵D是AB的中点,△PDB是正三角形,
AB=20,
∴PD=AB=10,
∴AP⊥PB.
又AP⊥PC,PB∩PC=P,
∴AP⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,
∴AP⊥BC.
又AC⊥BC,AP∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC.
又BC 平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)∵PA⊥PC,且PA⊥PB,
∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.
由(1)知BC⊥平面PAC,则BC⊥PC,
∴sin∠BPC==.(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若直线a与平面α平行,则必有(  )
A.在α内不存在与a垂直的直线
B.在α内存在与a垂直的唯一直线
C.在α内有且只有一条直线与a平行
D.在α内有无数条直线与a平行
解析: 对选项A、B,显然没有考虑异面垂直的情形,实际上,在α内会存在无数条与a垂直的直线,且它们相互平行.据平行公理知在α内有无数条直线与a平行,故选项C错D正确,故选D.
答案: D
2.(2015·北京市房山区高二(上)期中)若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点,MN与过直线BC的平面β的位置关系是(  )
A.MN∥β
B.MN与β相交或MN β
C.MN∥β或MN β
D.MN∥β或MN与β相交或MN β
解析: MN是△ABC的中位线,所以MN∥BC,因为平面β过直线BC,若平面β过直线MN,则MN β.若平面β不过直线MN,由线线平行的判定定理MN∥β,故选C.
答案: C
3.已知m、n、a、b是四条直线,α,β是两个平面.有以下命题:
①m α,n α且直线m与n相交,a β,b β且直线a与b相交,m∥a,n∥b,则α∥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确命题的个数是(  )
A.0            
B.1
C.2
D.3
解析: 把符号语言转换为文字语言或图形语言,可知①正确;②③中平面α、β还有可能相交,所以选B.
答案: B
4.已知两个不重合的平面α、β,给定以下条件:
①α内不共线的三点到β的距离相等;
②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β;
③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
其中可以判定α∥β的是(  )
A.①
B.②
C.①③
D.③
解析: ①中,若三点在平面β的两侧,则α与β相交,故不正确.②中,α与β也可能相交.③中,若把两异面直线l、m平移到一个平面内,即为两相交直线,由判定定理知正确.
答案: D
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出下列四个说法:①OM∥面PCD;②OM∥面PBC;③OM∥面PDA;④OM∥面PBA.其中正确说法的个数是____________.
解析: ∵OM∥PD,OM 面PCD,OM 面PAD,
∴OM∥面PCD,OM∥面PAD.
答案: 2
6.a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出四个命题.
① a∥b;② a∥b;③ a∥α;
④ a∥α.
其中正确的命题是________.(填序号)
解析: ①显然正确;②中a,b还可能异面或相交;③忽略了a α的情形;④显然正确.
答案: ①④
7.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系为________.
解析: 如图.
AB∥CD∥EF且AB=CD=EF,则α∥β或α∩β=l.
答案: 平行或相交
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.如图,已知P是 ABCD所在平面外一点,M为PB的中点.求证:PD∥平面MAC.
证明: 连接BD与AC相交于点O,连接MO,
∵O为BD的中点,
又M为PB的中点,
∴MO∥PD.
又∵MO 平面MAC,PD 平面MAC,
∴PD∥平面MAC.
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.
求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明: (1)如图,连接SB,
∵E,G分别是BC,SC的中点,∴EG∥SB.
又∵SB 平面BDD1B1,EG 平面BDD1B1,
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD,∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD.
又∵SD 平面BDD1B1,FG 平面BDD1B1,
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1,
且EG 平面EFG,FG 平面EFG,EG∩FG=G,
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
10.如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下面说法错误的是(  )
A.OQ∥平面PCD
B.PC∥平面BDQ
C.AQ∥平面PCD
D.CD∥平面PAB
解析: 因为O为 ABCD对角线的交点,
所以AO=OC,又Q为PA的中点,
所以QO∥PC.
由线面平行的判定定理,可知A、B正确,
又ABCD为平行四边形,
所以AB∥CD,
故CD∥平面PAB,故D正确,选C.
答案: C
11.如图所示的是正方体的平面展开图.有下列四个命题:
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;
③平面BDM∥平面AFN;
④平面BDE∥平面NCF.
其中,正确命题的序号是________.
解析: 展开图可以折成如图(1)所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图(2)所示,
因为AB∥MN,且AB=MN,
所以四边形ABMN是平行四边形.
所以BM∥AN.
因为AN 平面DE,BM 平面DE,
所以BM∥平面DE.
同理可证CN∥平面AF,
所以①②正确;
如图(3)所示,
可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,进而得到平面BDM∥平面AFN,
同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.
答案: ①②③④
12.如图所示,三棱锥S-ABC中,D,E,F分别是棱AC,BC,SC的中点.求证:平面DEF∥平面SAB.
证明: 因为D,E分别是AC,BC的中点,
所以DE是△ABC的中位线,所以DE∥AB.
因为DE 平面SAB,AB 平面SAB,
所以DE∥平面SAB.同理DF∥平面SAB.
又因为DE∩DF=D,DE 平面DEF,DF 平面DEF.
所以平面DEF∥平面SAB.
13.(2015·开封实验高中月考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点.
(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1
(2)当BC1∥平面AB1D1时,求证:平面BC1D∥平面AB1D1.
解析: (1)=1.证明如下:
如图,此时D1为线段A1C1的中点,连接A1B交AB1于O,连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1,BC1 平面AB1D1,
所以BC1∥平面AB1D1,
所以当=1时,BC1∥平面AB1D1.
(2)证明:由(1)知,当BC1∥平面AB1D1时,点D1是线段A1C1的中点,则有AD∥D1C1,且AD=D1C1,
所以四边形ADC1D1是平行四边形.
所以AD1∥DC1.
又因为DC1 平面AB1D1,AD1 平面AB1D1,
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1,
BC1 平面BC1D,DC1 平面BC1D,DC1∩BC1=C1,
所以平面BC1D∥平面AB1D1.(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是(  )
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
A.①③          
B.②
C.②④
D.①②④
解析: 由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③图形所在的平面;对于②④图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
答案: A
2.已知直线a∥直线b,b⊥平面α,则(  )
A.a∥α
B.a α
C.a⊥α
D.a是α的斜线
解析: 
答案: C
3.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是(  )
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
解析: 连接AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
答案: C
4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,则直线BA1与平面DD1B1B所成的角是(  )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
解析: 如图取B1D1的中点O1,连A1O1,易证A
1O1⊥平面DD1B1B.连接O1B,则O1B为A1B在平面DD1B1B内的射影,∴∠A1BO1为所求的线面角,在Rt△A1O1B中,sin∠A1BO1==,∴∠A1BO1=30°.
答案: D
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形一定是________.
解析: 
如图,PA⊥平面ABCD得PA⊥BD,又PC⊥BD,∴BD⊥平面PAC,
∴BD⊥AC,平行四边形ABCD为菱形.
答案: 菱形
6.矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是________.
解析: tan∠PCA===,
∴∠PCA=30°.
答案: 30°
7.在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,则ED=________.
解析: 
如图所示,在Rt△ABC中,
CD=AB.
∵AC=6,BC=8,
∴AB==10.∴CD=5.
∵EC⊥平面ABC,CD 平面ABC,
∴EC⊥CD.
∴ED===13.
答案: 13
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC.若点O为△ABC的外心,求证:PO⊥平面ABC.
证明: 如图所示,分别取AB,BC的中点D,E,连接OD,OE,PD,PE.
∵O为△ABC的外心,
∴OD⊥AB,OE⊥BC.
∵PA=PB,D是AB的中点,
∴AB⊥PD.而OD∩PD=D,
∴AB⊥平面POD.
又∵PO 平面POD,∴AB⊥PO.
同理,BC⊥PO.
∵AB∩BC=B,∴PO⊥平面ABC.
9.如图所示,直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,AC,BC与α所成的角分别为30°,45°,CD是直角三角形斜边AB上的高,求CD与平面α所成的角.
解析: 设C在平面α内的射影为H,连接DH,AH,BH,如图所示,则易知∠CDH是CD与平面α所成的角.
设CH=m,则在Rt△CAH中,由∠CAH=30°可得CA=2m.
又在Rt△CBH中,由∠CBH=45°可得CB=m.
故在Rt△ABC中,由CA=2m,CB=m,可得斜边上的高CD=,
则sin∠CDH===,即∠CDH=60°.故CD与平面α所成的角为60°.
10.(2015唐山玉田县林南仓中学高二期末)如图,四面体ABCD的各棱长均相等,AD⊥平面α于点A,点B、C、D均在平面α外,且在平面α的同一侧,线段BC的中点为E,则直线AE与平面α所成角的正弦值为(  )
A.
B.
C.
D.
解析: 
如图,设四面体ABCD的棱长为a,
则△ABC为边长为a的正三角形,
又E为BC边的中点,
所以AE⊥BC,则AE=a.
取AD的中点M,连接BM、CM,
则BM⊥AD,CM⊥AD,
又BM∩CM=M,
所以AD⊥平面BCM,
故平面BCM∥平面α,
所以平面BCM到平面α的距离为,
所以E到平面α的距离为.
则直线AE与平面α所成角的正弦值sin
α===,故选A.
答案: A
11.(2015·广东河源高二期中)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正确结论的序号是________.
解析: 连接SO,如图所示,
因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD.
因为SD⊥底面ABCD,
所以SD⊥AC,
因为SD∩BD=D,
所以AC⊥平面SBD,
因为SB 平面SBD,所以AC⊥SB,则①正确;
因为AB∥CD,AB 平面SCD,CD 平面SCD,
所以AB∥平面SCD,则②正确;
因为SD⊥底面ABCD,
所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,
因为AD=CD,SD=SD,
所以∠SAD=∠SCD,则③正确;
因为AC⊥平面SBD,SO 平面SBD,
所以AC⊥SO,则④正确.
答案: ①②③④
12.(2015·北京市房山区高二期中)如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点,求证:
(1)FD∥平面ABC;
(2)AF⊥平面EDB.
证明: (1)因为F是BE的中点,取BA的中点M,
连接FM,MC,
则FM∥EA,FM=EA=a,
因为EA、CD都垂直于平面ABC,
所以CD∥EA,所以CD∥FM,
又CD=a=FM,
所以四边形FMCD是平行四边形,
所以FD∥MC,
FD 平面ABC,MC 平面ABC,
所以FD∥平面ABC.
(2)因为M是AB的中点,△ABC是正三角形,
所以CM⊥AB.
又EA垂直于平面ABC,所以CM⊥AE,
又AE∩AB=A,所以CM⊥平面EAB,
因为AF 平面EAB,
所以CM⊥AF,又CM∥FD,从而FD⊥AF,
因为F是BE的中点,EA=AB,
所以AF⊥EB.
EB,FD是平面EDB内两条相交直线,
所以AF⊥平面EDB.
13.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值;
(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.
解析: (1)证明:设点O为AC,BD的交点.
由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线.
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以PA⊥BD.PA∩AC=A.
所以BD⊥平面APC.
(2)连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.
由题意得OG=PA=.
在△ABC中,
AC=
=2,
所以OC=AC=.
在直角△OCD中,OD==2.
在直角△OGD中,tan∠OGD==.
所以DG与平面APC所成的角的正切值为.
(3)因为PC⊥平面BGD,OG 平面BGD,
所以PC⊥OG.
在直角△PAC中,得PC=.
所以GC==.
从而PG=,
所以=.(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,则过点B,P,Q的截面是(  )
A.邻边不等的平行四边形  
B.菱形但不是正方形
C.邻边不等的矩形
D.正方形
解析: 如图所示,过点B,P,Q的截面是菱形PBQD1.
答案: B
2.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有(  )
A.0条
B.1条
C.0或1条
D.无数条
解析: 过直线a与交点作平面β,设平面β与α交于直线b,则a∥b,若所给n条直线中有1条是与b重合的,则此直线与直线a平行;若没有重合的,则与直线a平行的直线有0条,故选C.
答案: C
3.已知平面α∥平面β,平面γ∩平面α=直线a,平面γ∩平面β=直线b,直线c β,且c∥b,则下列说法不正确的是(  )
A.c∥a
B.a∥b
C.b∥β
D.c∥α
解析: 根据题意画出图形,如图所示,由图易知只有选项C不正确,因为b β.
答案: C
4.已知a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不重合的平面,给出下列四个命题:
①若α∥β,a α,b β,则a∥b;
②若a∥b,a∥α,b∥β,则α∥β;
③若α∥β,a α,则a∥β;
④若a∥α,a∥β,则α∥β.
其中正确的个数为(  )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析: 对于①,a∥b或a与b是异面直线,故①错;对于②,也可能是α与β相交,故②错;对于④,同样α与β也可能相交,故④错;只有③正确.
答案: A
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过点P,E,F的平面与棱CD交于Q,则PQ=________.
解析: ∵EF∥平面ABCD,PQ=平面PEF∩平面ABCD,
∴EF∥PQ,∴DP=DQ=,
故PQ==DP=.
答案: 
6.如图所示,直线a∥平面α,点A在α另一侧,点B,C,D∈a.线段AB,AC,AD分别交α于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=________.
解析: A a,则点A与直线a确定一个平面,即平面ABD.
因为a∥α,且α∩平面ABD=EG,
所以a∥EG,即BD∥EG.所以=.
又=,所以=.
于是EG===.
答案: 
7.已知a,b表示两条直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题:
①若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β;
②若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β;
③若a∥α,a∥β,则α∥β;
④若a α,a∥β,α∩β=b,则a∥b.
其中正确命题的序号是________.
解析: ①错误,α与β也可能相交;②正确,设a,b确定的平面为γ,依题意,得γ∥α,γ∥β,故α∥β;③错误,α与β也可能相交;④正确,由线面平行的性质定理可知.
答案: ②④
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,∠BCD=120°,M为线段AE的中点.求证:DM∥平面BEC.
证明: 取线段AB的中点N,连接MN,DN,
因为MN是△ABE的中位线,所以MN∥BE.
又MN 平面BEC,BE 平面BEC,所以MN∥平面BEC.
因为△ABD是正三角形,N是线段AB的中点,
所以ND⊥AB.
因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°,
所以∠ABC=60°+30°=90°,
所以BC⊥AB,所以ND∥BC.
又ND 平面BEC,BC 平面BEC,所以ND∥平面BEC.
又MN∩ND=N,所以平面MND∥平面BEC.
因为直线DM 平面MND,所以DM∥平面BEC.
9.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:GH∥PA.
证明: 如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.
∵ABCD是平行四边形,
∴O是AC的中点,又M是PC的中点,
∴PA∥MO,而AP 平面BDM,
OM 平面BDM,
∴PA∥平面BMD,
又∵PA 平面PAHG,
平面PAHG∩平面BMD=GH,∴PA∥GH.
10.如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为(  )
A.2+      
B.3+
C.3+2
D.2+2
解析: 因为CD∥AB,AB 平面SAB,CD 平面SAB,
所以CD∥平面SAB.
又CD 平面CDEF,平面SAB∩平面CDEF=EF,
所以CD∥EF,
所以四边形CDEF为等腰梯形,
且CD=2,EF=1,DE=CF=,
所以四边形CDEF的周长为3+2,选C.
答案: C
11.如图,四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=______________.
解析: 因为AC∥平面EFGH,
所以EF∥AC,HG∥AC.所以EF=HG=·m.
同理,EH=FG=·n.
因为四边形EFGH是菱形,
所以·m=·n,所以AE∶EB=m∶n.
答案: m∶n
12.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?并证明你的结论.
解析: 当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
证明如下:
如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1.
因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,
所以EF∥AB1.
因为AB1 平面AB1C1,EF 平面AB1C1,
所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE 平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.
13.如图所示,四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.
(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.
解析: (1)证明:因为四边形EFGH为平行四边形,
所以EF∥HG.
因为HG 平面ABD,EF 平面ABD,
所以EF∥平面ABD.
因为EF 平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,
所以EF∥AB,
所以AB∥平面EFGH.
同理,可证CD∥平面EFGH.
(2)设EF=x(0<x<4),
由(1)知,=.
则===1-.
从而FG=6-x,
所以四边形EFGH的周长l=2=12-x.
又0<x<4,则有8<l<12.
即四边形EFGH的周长的取值范围是(8,12).(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是(  )
A.平行       
B.相交
C.平行或相交
D.不能确定
解析: 如下图所示:
由图可知,两个平面平行或相交.
答案: C
2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系为(  )
A.平行
B.相交
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
解析: 由面面平行的定义可知,若一条直线在两个平行平面中的一个平面内,则这条直线与另一个平面无公共点,所以与另一个平面平行.由此可知,本题中这条直线可能在平面内.否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必然与另一个平面相交).
答案: D
3.若直线l不平行于平面α,且l α,则(  )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
解析: 若在平面α内存在与直线l平行的直线,因l α,故l∥α,这与题意矛盾.
答案: B
4.已知直线m,n和平面α,m∥n,m∥α,过m的平面β与α相交于直线a,则n与a的位置关系是(  )
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上均有可能
解析: 由线面平行的性质知m∥a,而m∥n,所以n∥a.
答案: A
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.下列命题:
①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;
②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.
其中错误命题的序号为________.
解析: 对于①,两个平面相交,则有一条交线,也有无数多个公共点,故①错误;对于②,借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故②错误.
答案: ①②
6.与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个.
解析: A,B,C,D四个顶点在平面α的异侧,如果一边3个,另一边1个,适合题意的平面有4个;如果每边2个,适合题意的平面有3个,共7个.
答案: 7
7.下列命题正确的有________.
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;
⑥若平面α∥平面β,直线a α,直线b β,则直线a∥b.
解析: 对②,直线l也可能与平面相交;对③,直线l与平面内不过交点的直线是异面直线,而与过交点的直线相交;对④,另一条直线可能在平面内,也可能与平面平行;对⑥,两平行平面内的直线可能平行,也可能异面.故①⑤正确.
答案: ①⑤
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中M,N分别是A1B1和BB1的中点,则下列直线与平面的位置关系是什么?
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.
解析: (1)AM所在的直线与平面ABCD相交;
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交;
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行;
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.
9.如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A l,B l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.
解析: 平面ABC与β的交线与l相交.
证明:∵AB与l不平行,且AB α,l α,∴AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.
又∵AB 平面ABC,l β,∴P∈平面ABC,P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,
∴直线PC就是平面ABC与β的交线.
即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,
∴平面ABC与β的交线与l相交.