2017年秋人教版九年级上册数学课件22.2 二次函数与一元二次方程 课件

(共23张PPT)
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
提出问题
如教材图22.2-1所示，以40 m/s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系
提出问题
考虑以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
问题探究
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间 t 的关系是二次函数 .
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于 t 的一元二次方程.如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.
解：（1）解方程
15=20t-5t2 ，
t2-4t+3=0，
t1=1,t2=3.
当小球飞行1 s和3 s时，它的高度为15 m.
问题探究
问题探究
（2）解方程
20=20t-5t2 ，
t2-4t+4=0 ，
t1=t2=2.
当小球飞行2s 时，它的飞行高度为20 m.
问题探究
（3）解方程
20.5 = 20t-5t2 ，
t2- 4t+4.1=0.
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无实数根.
这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.
问题探究
（4）小球飞出时和落地时的高度都是0 m， 解方程
0 =20t-5t2 ，
t2-4t = 0，
t1=0，t2= 4.
当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.
这表明小球从飞出到落地要用4 s .
问题探究
例如：已知二次函数 的值为3，求自变量x的值.可以解一元二次方程 （即 ）.反过来，解方程
又可以看作已知二次函数 的值为0，求自变量 x 的值.
二次函数与一元二次方程的解有什么关系？
问题探究
结论：一般地，我们可以利用二次函数 深入讨论一元二次方程 .
观察思考
问题1:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
（1） （2）
（3）
问题2:当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
观察思考
图象如下图所示：
(1) 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2,1. 当 x取公共点的横坐标时，函数的值是0. 由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.
归纳总结
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点，它的横坐标是3.当 x=3时，函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
归纳总结
(3) 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此得出方程x2-x+1=0没有实数根.
归纳总结
归纳总结
一般地，从二次函数 的图象可知：
（1）如果抛物线 与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0,因此 x=x0就是方程 的一个根.
归纳总结
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有
三种：
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0
（1）有两个交点
（方程有两个不相等的实数根）
（2）有一个交点
（方程有两个相等的实数根）
（3）没有交点
（方程没有实数根）
典型例题
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的 实数根（精确到0.1）.
解：画 x2-2x-2=0的图象（如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7）.
所以方程 x2-2x-2=0 的实数根为
探究
观察函数 y= x2-2x-2 的图象可以发现，当自变量为2时的函数值小于0，当自变量为3时的函数值大于0，所以抛物线 y= x2-2x-2 在2这一段经过x轴，也就是在2我们可以通过取平均数的方法
不断缩小根所在范围，逐步得到根
所在范围.
巩固练习
教材第47页习题22.2第1、2题.
1.已知函数y= x2-4x+3.
(1)画出这个函数的图象；
(2)观察图象，当 x取哪些值时，函数值为0？
2.用函数图象求下列方程的解：
(1) x2-3x+2=0； (2) -x2-6x-9=0 .
总结提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑？说给老师或同学听听.
①二次函数与一元二次方程的关系.
②二次函数与一元二次方程根的情况之间的关系.
③事物是普遍联系的，运用方程知识可以解决函数问题，同样运用函数知识又可以解决方程根的问题.
作业布置
必做题：教材第47页习题22.2第3、4题.
选做题：教材第47页习题22.2第5、6题.