人教版九年级数学上21.1一元二次方程导学案（含解析）

21.1 一元二次方程
导学探究
阅读教材P1-4，回答下列问题:
1.观察下列方程:
①2x+3=3x-2 ; ②3x+=4; ③x+2y =1; ④; ⑤x2-5x+5=0;
⑥
(1)上面6个方程中，你已经学习过的方程有__________ (填写序号)，这些方程的名称依次是___________________________________________。2-1-c-n-j-y
(2)这些方程中，方程左、右两边都是整式的有__________ (填写序号); 方程左或右边含有分式的有______________(填写序号).【出处：21教育名师】
2. (1)一元一次方程中的元和次的意义分别是什么?
(2)下列方程有哪些共同特征?它们与一元一次方程有什么不同?
(1) x2 +2x-4 = 0; (2)x2 -2=0; (3x2+ 5x=0; (4)(x-1)(x+2) =1.21世纪教育网版权所有
3.请写出一元二次方程的定义:________________________________________________的方程叫做一元二次方程.21·世纪*教育网
4. (1)一元一次方程的解的意义是什么?
(2)类比一元一次方程的解的意义，你认为x=1是方程x2+x-2=0的解吗? -3，-2，-1, 0，2，3呢?
归纳梳理
1一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件: ①含有_____未知数; ②未知数的最高次数是______ ; ③是______式方程.
2.关于二的一元二次方程，其一般形式是 ，其中二次项是_________，二次项系数是_________，一次项是______，一次项系数是________，常数项是________。 需要注意的是，二次项系数a必须满足条件_______，若a=0且b≠0，则方程ax2+bx+c=0变为一元_____次方程.
3.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的______。
典例解析
1．根据定义判断一个方程是否是一元二次方程
【例1】（2015?浠水县校级模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+2x﹣y=3 B． C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x
总结：一元二次方程必须满足四个条件：
是整式方程；
含有一个未知数；
未知数的最高次数是2；
二次项系数不为0.
练1（2015?科左中旗校级一模）关于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求当a=　　时，方程是一元二次方程；当a=　　时，方程是一元一次方程．21*cnjy*com
2．把一元二次方程化成一般形式（写出其二次项系数、一次项系数和常数项）
【例2】（2014秋?忠县校级期末）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是　 　；它的二次项系数是　　，一次项系数是　　，常数项是　　．
总结：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）
（1）特别要注意a≠0的条件；
（2）在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项．
练2将方程x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数．
练3（2014?东西湖区校级模拟）将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A．5，81 B．5，﹣81 C．﹣5，81 D．5x，﹣81
3．根据一元二次方程的根求参数
【例3】（2015?临淄区校级模拟）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，则m的值为（　　）
A．1 B．0 C．1或2 D．2
总结：
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解.
可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.
已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母参数.
若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略，谨记.
练4（2014?绵阳模拟）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a=　　．
练5（2015?绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=　　．
基础夯实
一、选择题
1．（2015春?莒县期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）
A．ax2+bx+c=0 B．x+y=2 C．x2+3y﹣5=0 D．x2﹣1=0
2．（2014?泗县校级模拟）方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2014秋?沈丘县校级期末）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
4．（2015?石河子校级模拟）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
5．（2015?石河子校级模拟）关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（　　）
A．0 B．﹣ C． D．0或，
6．（2014?祁阳县校级模拟）已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，则关于y的方程y2﹣12=a的解是（　　）
A． B．﹣
C．± D．以上答案都不对
7．（2014秋?南昌期末）关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（　　）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
8. （2016年浙江省台州市）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）【版权所有：21教育】
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
9．（2016·黑龙江大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
二、填空题
10．（2015?东西湖区校级模拟）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围
是　　．
11．（2014秋?西昌市校级期中）方程2x2﹣1=的二次项系数是　 　，一次项系数是　　，常数项是　 　．
12．（2015?厦门校级质检）若m是方程x2﹣2x=2的一个根，则2m2﹣4m+2010的值是　 　．
三、解答题
13．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）5x2=3x；
（2）（﹣1）x+x2﹣3=0；
（3）（7x﹣1）2﹣3=0；
（4）（﹣1）（+1）=0；
（5）（6m﹣5）（2m+1）=m2．
14．（2015春?亳州校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
15．（2015春?嵊州市校级月考）已知，下列关于x的一元二次方程
（1）x2﹣1=0 （2）x2+x﹣2=0 （3）x2+2x﹣3=0 …（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0
（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜测方程（n）的根．
（2）请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．
16．关于y的方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为多少
参考答案：
【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．21·cn·jy·com
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、方程含有两个未知数，故选项错误；
B、不是整式方程，故选项错误；
C、含未知数的项的最高次数是4，故选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
练1．【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答．
解：依题意得，a2+1=2且a﹣1≠0，
解得 a=﹣1．
即当a=﹣1时，方程是一元二次方程．
当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时，方程是一元一次方程．
故答案是：﹣1；1．
点评：本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【来源：21·世纪·教育·网】
【例2】【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．www-2-1-cnjy-com
故答案为：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在解题过程中容易忽视的地方．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
练2．【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括几个步骤：去括号、移项、合并同类项．
去括号，得x2-x=5x－10.
移项、合并同类项，
得x2-6x＋10=0．
其中二次项系数是1，一次项系数为-6，常数项为10．
练3．【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0，
二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，﹣81，
故选：B．
点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．21教育名师原创作品
【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出m的值．
解：∵0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，
∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，
解方程得：m1=1（舍去），m2=2，
∴m=2，
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．
练4．【解析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求．
解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1=0
∴a2﹣1=0，即a=±1；
∵a+1≠0，∴a≠﹣1；
∴a=1．
练5．【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，
所以n+=2，
所以原式=（n+）2﹣2
=（2）2﹣2
=26．
故答案为：26．
点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．
夯实基础答案：
一、选择题
1．【解析】根据一元二次方程的定义进行判断．
解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是1，它属于二元一次方程，故本选项错误；
C、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，它属于二元二次方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
点评：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2·1·c·n·j·y
2．【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．
解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．
故选：B．
点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．
3．【解析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选：B．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．
4．【解析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．
解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得
x2﹣3x+10=0，
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．21*cnjy*com
5．【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【来源：21cnj*y.co*m】
解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，
故选：D．
点评：本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．
6．【解析】由于x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，根据方程解的含义，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出关于y的方程的解．
解：∵x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，
∴3×32+2a×3﹣3a=0，
解得：a=﹣9，
则关于y的方程是y2﹣12=﹣9，
解得y=．
故选：C．
点评：本题考查一元二次方程解的含义，解题的关键是确定方程中待定系数的值．
7．【解析】分别把x=1、﹣2、﹣2代入（k+2）x2﹣kx﹣2=0中，利用一元二次方程的解，当k为任意值时，则对应的x的值一定为方程的解．
解：A、当x=1时，k+2﹣k﹣2=0，所以方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当x=﹣1时，k+2+k﹣2=0，所以当k=0时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣1，所以B选项错误；
C、当x=2时，4k+8﹣2k﹣2=0，所以当k=﹣3时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为2，所以C选项错误；
D、当x=﹣2时，4k+8+2k﹣2=0，所以当k=﹣1时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣2，所以D选项错误．
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
8.【解析】先设出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，
又共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
故选A．
点评: 由实际问题抽象出一元二次方程．
9.【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．
【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，
则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
二、填空题
10．【解析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．
解：根据题意得m﹣2≠0，
所以m≠2．
故答案为：m≠2．
点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．21cnjy.com
11．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，
二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．
点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号
12．【解析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=2，再变形2m2﹣4m+2010得到2（m2﹣m）+2010，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得m2﹣2m=2，
所以2m2﹣4m+2010=2（m2﹣m）+2010=2×2+2010=2014．
故答案为2014．
点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
三、解答题
13．【解析】各项方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，
二次项系数为5，一次项系数为﹣3，常数项为0；
（2）x2+（﹣1）x﹣3=0，
二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣3；
（3）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，
二次项系数为49，一次项为﹣14，常数项为﹣2；
（4）方程整理得：x2﹣1=0，
二次项系数为，一次项系数为0，常数项为﹣1；
（5）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，
二次项系数为11，一次项系数为﹣4，常数项为﹣5．
点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
14．【解析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0得出m2﹣3m+2=0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：
x2+5x=0
x（x+5）=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
当m=1时，5x=0，
解得x=0．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．
15．【解析】（1）利用因式分解法分别求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，根据以上3个方程的根，可猜测方程（n）的根；21教育网
（2）观察即可得出上述几个方程都有一个公共根是1．
解：（1）（1）x2﹣1=0，
（x+1）（x﹣1）=0，
x+1=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣1，x2=1；
（2）x2+x﹣2=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
x+2=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣2，x2=1；
（3）x2+2x﹣3=0，
（x+3）（x﹣1）=0，
x+3=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣3，x2=1；
…
猜测方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根为x1=﹣n，x2=1；
（2）上述几个方程都有一个公共根是1．
点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．
16．【解析】令y=1，即可确定出方程的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和．
解：令y=1，得到m﹣n﹣p=0，
则方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为0．
点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．www.21-cn-jy.com