1.4 二次根式
一、二次根式的概念
把形如（ ）的式子叫做二次根式.
其他的概念：
最简二次根式：在根号内不含 ，不含 的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。
二、二次根式的性质
1. 要使，则需要满足 .
2.的结果：
3.，其中a,b需要满足： .
,其中a,b需要满足 .
三、二次根式的运算
1.乘法法则：
，其中a,b需要满足： .
2.除法法则
，其中a,b需要满足： .
3.整式运算的法则和方法也适用于二次根式的加减运算。
考点一：分式有意义的条件
（2017?潍坊）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
【解析】解：由题意可知：
∴解得：x≥2
【答案】B
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
变式跟进1（2017?济宁）若++1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x= D．x≠
考点二：最简二次根式
（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
【答案】C
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
变式跟进2（2016?上海市黄浦区三模）下列根式中是最简根式的是（ ）
A． B． C． D．
考点三：二次根式的运算
（2015?潜江）下列各式计算正确的是（ ）
A．+= B．4﹣3=1
C．2×3=6 D．÷=3
【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误，
B.4﹣3=，故此选项错误，
C.2×3=6×3=18，故此选项错误，
D.=，此选项正确，
【答案】D
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．
变式跟进3（2017?揭阳一模）如果（2+）2=a+b（a，b为有理数），那么a+b等于（ ）
A．7 B．8 C．10 D．10
考点四：二次根式的性质与化简
（2016?富顺县校级模拟）已知a满足不等式a＞a+1，则化简的结果为 ．
【解答】解：∵不等式a＞a+1，
解得：a＜﹣1﹣，
则
=+
=2a﹣4+
=2a﹣5．
【答案】2a﹣5
【点评】此题主要考查了二次根式的化简以及解一元一次不等式，正确得出a的取值范围是解题关键．
变式跟进4（2016?阳泉模拟）化简：﹣a ．
一、选择题
1．（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017?绵阳）使代数式+有意义的整数x有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（2016?来宾）下列计算正确的是（ ）
A．﹣= B．3×2=6
C．（2）2=16 D．=1
4．（2017?聊城）计算（5﹣2）÷（﹣）的结果为（ ）
A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7
5．（2017?滨州）下列计算：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2015?钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．2﹣4 B．2 C．2 D．20
7．（2015?孝感）已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（ ）
A．0 B． C．2+ D．2﹣
8．（2017?泸州）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2016?济南）计算：2﹣1+= ．
10．（2016·聊城）计算：= 。
11．（2016?包头）计算：6﹣（+1）2= ．
12．（2017?鄂州）若y=+﹣6，则xy= ．
13．（2016?黄石）观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= = ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
14．（2016?厦门）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的a是 ，r是 ．
三、解答题
15．（2017?大连）计算：（+1）2﹣+（﹣2）2．
16．（2017?菏泽）计算：﹣12﹣|3﹣|+2sin45°﹣（﹣1）2．
17．（2016?锦州）先化简，再求值：
，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．
18．（2015?山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
一、选择题
1．（2017?上海市静安区二模）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2016?富顺县校级模拟）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017?天津市北辰区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简的结果为（ ）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
4．（2017?威海模拟）化简x，正确的是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．（2016?杭州市萧山区模拟）若，且x+y=5，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7
6．（2017?新乡二模）下列运算正确的是（ ）
A．6= B．﹣2=
C．a2= D．﹣=
7．（2016?安徽模拟）△ABC的两边长分别为2和2，第三边上的高等于，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C．或2 D．不能确定
二、填空题
8．（2017?济宁市任城区校级模拟）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为 ．
9．（2017?上海市静安区一模）如果代数式有意义，那么x的取值范围为 ．
10．（2017?唐河县四模）若根式有意义，则双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2﹣2k的交点在第 象限．
11．（2017?天津市河西区校级模拟）若y=，则5x+6y的值为 ．
12．（2017?上海市杨浦区三模）化简：= ．
13．（2017?沈阳市和平区校级模拟）= ．
14．（2017?沈阳市和平区三模）计算的结果等于 ．
15．（2017?龙岩模拟）若m=，n=，则m10+n10= ．
三、解答题
16．（2016?北京市朝阳区校级模拟）计算：
．
17．（2016?山西模拟）计算：
（1）9+5﹣3； （2）2；
（3）（）2016（﹣）2015．
18．（2016?富顺县校级模拟）已知，求（m+n）2016的值？
19．（2016?龙岩模拟）若两个实数的积是﹣1．则称这两个实数互为负倒数，如2与﹣互为负倒数，
（1）判断（4+）与（4﹣）是否互为负倒数，并说明理由；
（2）若实数（+）是（﹣）的负倒数，求点（x，y）中纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并画出函数图象．
20．（2016?山西模拟）观察下列各式及其验证过程：
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．
1.4 二次根式
一、二次根式的概念
把形如（）的式子叫做二次根式.
其他的概念：
最简二次根式：在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。
二、二次根式的性质
1. 要使，则需要满足a≥0.
2.的结果：
3.，其中a,b需要满足：a≥0,b≥0
,其中a,b需要满足：a≥0,b>0；
三、二次根式的运算
1.乘法法则：
，其中a,b需要满足：a≥0,b≥0
2.除法法则
，其中a,b需要满足：a≥0,b>0
3.整式运算的法则和方法也适用于二次根式的加减运算。
考点一：分式有意义的条件
（2017?潍坊）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
【解析】解：由题意可知：
∴解得：x≥2
【答案】B
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
变式跟进1（2017?济宁）若++1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x= D．x≠
【解析】解：由题意可知：
解得：x=
【答案】C
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
考点二：最简二次根式
（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
【答案】C
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
变式跟进2（2016?上海市黄浦区三模）下列根式中是最简根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：A、=b，被开方数含b2，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、的被开方数不能因式分解，不含开方开得尽的因式，是最简二次根式，故本选项正确；
C、=，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、==a+b，被开方数含（a+b）2，不是最简二次根式，故本选项错误．
【答案】B
【点评】本题考查了最简二次根式的概念．关键是判断被开方数里是否含有分母，或通过因式分解，是否有完全平方式．
考点三：二次根式的运算
（2015?潜江）下列各式计算正确的是（ ）
A．+= B．4﹣3=1
C．2×3=6 D．÷=3
【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误，
B.4﹣3=，故此选项错误，
C.2×3=6×3=18，故此选项错误，
D.=，此选项正确，
【答案】D
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．
变式跟进3（2017?揭阳一模）如果（2+）2=a+b（a，b为有理数），那么a+b等于（ ）
A．7 B．8 C．10 D．10
【解析】解：∵（2+）2=a+b（a，b为有理数），
∴6+4=a+b，
∴a=6，b=4，
∴a+b=10．
【答案】D
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确得出a，b的值是解题关键．
考点四：二次根式的性质与化简
（2016?富顺县校级模拟）已知a满足不等式a＞a+1，则化简的结果为 ．
【解答】解：∵不等式a＞a+1，
解得：a＜﹣1﹣，
则
=+
=2a﹣4+
=2a﹣5．
【答案】2a﹣5
【点评】此题主要考查了二次根式的化简以及解一元一次不等式，正确得出a的取值范围是解题关键．
变式跟进4（2016?阳泉模拟）化简：﹣a ．
【解答】解：原式=﹣a+
=（﹣a+1）．
【答案】（﹣a+1）
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，当a≤0时，=﹣a．
一、选择题
1．（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
【答案】C
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
2．（2017?绵阳）使代数式+有意义的整数x有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解析】解：由题意，得
x+3＞0且4﹣3x≥0，
解得﹣3＜x≤，
整数有﹣2，﹣1，0，1，
【答案】B
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．
3．（2016?来宾）下列计算正确的是（ ）
A．﹣= B．3×2=6
C．（2）2=16 D．=1
【解析】解：A、不能化简，所以此选项错误；
B、3×=6，所以此选项正确；
C、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；
D、==，所以此选项错误；
本题选择正确的
【答案】B
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
4．（2017?聊城）计算（5﹣2）÷（﹣）的结果为（ ）
A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7
【解析】解：原式=（﹣6）÷（﹣）
=（﹣5）÷（﹣）
=5．
【答案】A
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．（2017?滨州）下列计算：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：：（1）=2，
（2）=2，
（3）（﹣2）2=12，
（4）（+）（﹣）=2﹣3=﹣1．
【答案】D
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
6．（2015?钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．2﹣4 B．2 C．2 D．20
【解析】解：∵3＞2，
∴3※2=﹣，
∵8＜12，
∴8※12=+=2×（+），
∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．
【答案】B
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解．
7．（2015?孝感）已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（ ）
A．0 B． C．2+ D．2﹣
【解析】解：把x=2﹣代入代数式（7+4）x2+（2+）x+得：
=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+
=49﹣48+1+
=2+．
【答案】C
【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算．
8．（2017?泸州）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：∵S=，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S==，
【答案】B
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
二、填空题
9．（2016?济南）计算：2﹣1+= ．
【解析】解：原式=+2
=．
【答案】
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
10．（2016·聊城）计算：= 。
【解析】解：原式=
【答案】12
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
11．（2016?包头）计算：6﹣（+1）2= ．
【解析】解：原式=6×﹣（3+2+1）
=2﹣4﹣2
=﹣4．
【答案】﹣4．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握完全平方公式是解题关键．
12．（2017?鄂州）若y=+﹣6，则xy= ．
【解析】解：由题意可知：，
解得：x=，
∴y=0+0﹣6=﹣6，
∴xy=﹣3，
【答案】﹣3
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
13．（2016?黄石）观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= = ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
【解析】解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
∴第n个等式：an==﹣；
（2）a1+a2+a3+…+an
=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）
=﹣1．
【答案】=﹣；﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
14．（2016?厦门）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的a是 ，r是 ．
【解析】解：由近似值公式得到，
∴a+=，
整理得204a2﹣577a+408=0，解得a1=，a2=，
当a=时，r=2﹣a2=﹣；
当a=时，r=2﹣a2=．
【答案】a=，r=﹣或a=，r=．
【点评】本题考查了二次根式的应用：利用类比的方法解决问题．
三、解答题
15．（2017?大连）计算：（+1）2﹣+（﹣2）2．
【解析】解：原式=3+2﹣2+4
=7．
【答案】7
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式的结构是关键．
16．（2017?菏泽）计算：﹣12﹣|3﹣|+2sin45°﹣（﹣1）2．
【解析】解：原式=﹣1﹣（﹣3）+2×﹣（2017+1﹣2）
=﹣1+3﹣+﹣2018+2
=﹣2016+2．
【答案】﹣2016+2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
17．（2016?锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．
【解析】解：，
=÷，
=×，
=．
x=﹣3﹣（π﹣3）0，
=×4﹣﹣1，
=2﹣﹣1，
=﹣1．
把x=﹣1代入得到：==．即=．
【答案】
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
18．（2015?山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【解析】解：第1个数，当n=1时，
[﹣]
=（﹣）
=×
=1．
第2个数，当n=2时，
[﹣]
=[（）2﹣（）2]
=×（+）（﹣）
=×1×
=1．
【答案】1；1
【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
一、选择题
1．（2017?上海市静安区二模）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：A．x，y的指数分别为2，2．所以此选项错误；
B．x2+y2的指数为1，所以此选项正确；
C．x+y的指数为2，所以此选项错误；
D．x，y的指数分别为1，2．所以此选项错误；
【答案】B
【点评】本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键．
2．（2016?富顺县校级模拟）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：A、被开方数中包含分母，不属于最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，属于最简二次根式，符合题意；
C、被开方数能继续开方，不属于最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数中包含分母，不属于最简二次根式，不符合题意；
【答案】B
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．（2017?天津市北辰区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简的结果为（ ）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
【解析】解：∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|
=a﹣b+c+2（c﹣a﹣b）
=a﹣b+c+2c﹣2a﹣2b
=﹣a﹣3b+3c．
【答案】B
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了三角形三边的关系．
4．（2017?威海模拟）化简x，正确的是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【解析】解：∵﹣＞0，
∴x＜0，
∴x=﹣?=﹣，
【答案】C
【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，关键是正确分析出x的取值范围．
5．（2016?杭州市萧山区模拟）若，且x+y=5，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7
【解析】解：∵，
∴y+2≥0，2x﹣1＞0，
解得：y≥﹣2，x＞，
∵x+y=5，
∴＜x≤7．
【答案】D
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，得出y的取值范围是解题关键．
6．（2017?新乡二模）下列运算正确的是（ ）
A．6= B．﹣2=
C．a2= D．﹣=
【解析】解：∵6=，∴选项A不符合题意；
∵2=﹣，∴选项B不符合题意；
∵a2=，∴选项C不符合题意；
∵﹣=，∴选项D符合题意．
【答案】D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，要熟练掌握．
7．（2016?安徽模拟）△ABC的两边长分别为2和2，第三边上的高等于，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C．或2 D．不能确定
【解析】解：如图1，
根据题意，AB=2、AC=2，AD=，
∴BD==1，CD==3，
则S△ABC=×（1+3）×=2；
如图2，
S△ABC=×（3﹣1）×=，
【答案】C．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，根据点D的位置分类讨论是解题的关键．
二、填空题
8．（2017?济宁市任城区校级模拟）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为 ．
【解析】解：由题意得x2+6x+m≥0，
即（x+3）2+m﹣9≥0，
∵（x+3）2≥0，
则m﹣9≥0，即m≥9即可，
【答案】m≥9．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和配方法的应用，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
9．（2017?上海市静安区一模）如果代数式有意义，那么x的取值范围为 ．
【解析】解：由题意得，x+2＞0，
解得，x＞﹣2，
【答案】x＞﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
10．（2017?唐河县四模）若根式有意义，则双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2﹣2k的交点在第 象限．
【解析】解：由题意得：2﹣2k＞0，
解得：k＜1，
∴2k﹣2＜0，
∴双曲线y=在第二、四象限，
∵抛物线y=x2+2x+2﹣2k的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
与y轴的交点为（0，2﹣2k），在y轴正半轴，
∴抛物线y=x2+2x+2﹣2k的图象不经过第四象限，
∴双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2﹣2k的交点在第二象限．
【答案】二．
【点评】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，熟记二次函数的性质与反比例函数的性质判断出函数图象所经过的象限是解题的关键，也是本题的难点．
11．（2017?天津市河西区校级模拟）若y=，则5x+6y的值为 ．
【解析】解：由题意可知：，
∴
∴x=9，
∴y==
∴5x+6y=47
【答案】47
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
12．（2017?上海市杨浦区三模）化简：= ．
【解析】解：由二次根式有意义的条件可得，则
则=x，
【答案】x．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，能运用性质进行计算是解此题的关键，注意：当x≥0时，=x，当x＜0时，=﹣x．
13．（2017?沈阳市和平区校级模拟）= ．
【解析】解：原式=
=
=
【答案】．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是熟记二次根式的非负性．
14．（2017?沈阳市和平区三模）计算的结果等于 ．
【解析】解：原式=8+12+27
=35+12．
【答案】35+12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
15．（2017?龙岩模拟）若m=，n=，则m10+n10= ．
【解析】解：∵m=，n=，
∴m10+n10=（m5﹣n5）2+2m5n5
=[]2+2××
=（5）2+（﹣2）
=123，
【答案】123．
【点评】本题考查了乘法公式和二次根式的化简求值，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键．
三、解答题
16．（2016?北京市朝阳区校级模拟）计算：
．
【解析】解：原式=++2﹣+1
=﹣2﹣3+2﹣+1
=﹣2．
【答案】-2
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
17．（2016?山西模拟）计算：
（1）9+5﹣3；
（2）2；
（3）（）2016（﹣）2015．
【解析】解：（1）原式=9+10﹣12
=7；
（2）原式=2×2×2×
=；
（3）原式=[（+）（﹣）]2015?（+）
=（5﹣6）2015?（+）
=﹣（+）
=﹣﹣．
【答案】7；；﹣﹣．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（2016?富顺县校级模拟）已知，求（m+n）2016的值？
【解析】解：由题意得，16﹣n2≥0，n2﹣16≥0，n+4≠0，
则n2=16，n≠﹣4，
解得，n=4，
则m=﹣3，
（m+n）2016=1．
【答案】1
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
19．（2016?龙岩模拟）若两个实数的积是﹣1．则称这两个实数互为负倒数，如2与﹣互为负倒数，
（1）判断（4+）与（4﹣）是否互为负倒数，并说明理由；
（2）若实数（+）是（﹣）的负倒数，求点（x，y）中纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并画出函数图象．
【解析】解：（1）不互为负倒数，
理由如下：∵（4+）×（4﹣）=16﹣2=14≠﹣1，
∴（4+）与（4﹣）不互为负倒数；
（2）∵（+）与（﹣）互为负倒数，
∴（+）×（﹣）=﹣1，
∴x﹣y=﹣1，
y=x+1，
函数图象如图所示．
【答案】（1）（4+）与（4﹣）不互为负倒数；
（2）y=x+1，函数图象如图所示．
【点评】本题考查了二次根式的应用，根据负倒数的定义以及一次函数的图象，读懂图目信息，理解并应用负倒数的定义进行计算是解题的关键．
20．（2016?山西模拟）观察下列各式及其验证过程：
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．
【解析】解：（1）5=
验证：5====；
（2）n=，
证明：n====．
【答案】（1） （2）n=
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，运用n=的规律是解题关键．
