浙江省名校协作体2018届高三上学期考试数学试题

2017学年第一学期浙江省名校协作体试题
高三年级数学学科
考生须知：
本卷满分150分，考试时间120分钟；
答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
(
▲
)
双曲线的渐近线方程是（
▲）
3．若变量，满足约束条件，则的最大值是（▲）
.
.
.
.
4
已知数列的前项和，且满足，则（
▲
）
.
.
.
.
5.
展开式中的系数为（
▲
）
6．已知，，那么是“”的（
▲
）
.
充分不必要条件
.
必要不充分条件
.
充要条件
.
既不充分也不必要条件
7．已知函数为增函数，则的取值范围是（
▲
）
8.
设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（
▲
）
9.
函数的值域为(
▲
)
10.
设数列的各项都为正数且.
内的点均满足与的面积比为，若，则的值为(
▲
)
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）
11.
一个棱长为2的正方体被一个平面截
( http: / / www.21cnjy.com )去一部分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为
▲
，体积为
▲
．
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已知在中,,,，且是的外心，则
▲
，
▲
.
13.
已知，且，则
▲
，
▲
．
安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁
( http: / / www.21cnjy.com )波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有
▲
种，学生甲被单独安排去金华的概率是
▲
．
15.
已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.
若，则
▲
．
16.
已知函数则关于的方程的不同实根的个数为
▲
．
如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，三条棱,,都在平面的同侧.
若顶点,到平面的距离分别为,，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为
▲
.
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解答题（本大题共5小题，共74分.
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（本小题满分14分）已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的最值．
（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，∥，且
,，.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
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20．（本小题满分15分）设函数．
（Ⅰ）当(为自然对数的底数)时，求的极小值；
（Ⅱ）若对任意正实数、（），不等式恒成立，求的取值范围．
21．（本小题满分15分）如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．
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22．（本小题满分15分）已知无穷数列的首项，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）
记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，.
命题：金华一中
衢州二中（审校）
审核：诸暨中学
2017学年第一学期浙江省名校协作体参考答案
高三年级数学学科
首命题：金华一中
次命题兼审校：衢州二中
审核：诸暨中学
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
B
C
B
A
A
D
A
二、填空题
11.
，
12.
，
13.
，
14.
,
15.
16.
个
17.
三、解答题
18
解:(
Ⅰ)-----------------4分
,所以-----------------------6分
(Ⅱ)------------------8分
当时，--------------------10分
所以；
-------14分
19
解：(Ⅰ)证明：取中点为，连接，因为，所以，又，，所以，所以四边形为矩形，所以，
又，所以平面.-------------------------------------------4分
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.-------------------------------6分
( http: / / www.21cnjy.com )
(Ⅱ)　在中，，，，所以；
在中，，，，所以.
取和的中点分别为和，则，
又，所以，所以四边形为平行四边形，
又，为的中点，所以，
所以平面，所以平面，所以平面平面，----------10分
所以为在平面上的射影，所以为与平面所成的角。-----
12分
在中，，，所以，
所以。
即直线与平面所成角的正弦值为------------------------------
15分
（用其它方法（如用空间向量法、等体积法等）解答，酌情给分！）
20
解：（Ⅰ）时，，-----------------2分
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取极小值为。---------------------------
6分
（Ⅱ）不妨设，则有，即，
构造函数，所以，所以为上为减函数-----10分
所以对任意恒成立----------------------12分
即--------15分
解：（Ⅰ）的方程为--------------------3分
其准线方程为．------------------5分
（Ⅱ）设，，，
则切线的方程：，即，又，所以，同理切线的方程为，又和都过点，所以，所以直线的方程为.----------9分
联立得，所以。
所以．------------------11分
点到直线的距离．-----------13分
所以的面积
所以当时，
取最小值为。即面积的最小值为--------15分
（Ⅰ）证明：①当时显然成立；
②假设当时不等式成立，即，
那么当时，，所以，
即时不等式也成立.
综合①②可知，对任意成立.--------------------------------5分
（Ⅱ），即，所以数列为递增数列。------------7分
又，易知为递减数列，
所以也为递减数列，
所以当时，-------------------10分
所以当时，------12分
当时，，成立；
当时，
综上，对任意正整数，-----------------------------------------------------------------15分