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课题：11.1.2三角形的高、中线与角平分线
教学目标：
1.掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的定义中体现出来的性质．
2.会画三角形的高、中线、角平分线．
重点：
了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
难点：
1.三角形的角平分线与角的平分线的区别，三角形的高与垂线的区别．
2．钝角三角形高的画法．
3．不同的三角形三条高的位置关系．
教学流程：
一、知识回顾
想一想：如何利用直尺和三角板过点A作直线l的垂线
答案：1、画；2、放；3、移；4、靠.
二、探究1
问题1：与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高．你能过三角形顶点A，画出它的对边的垂线吗？21教育网
答案：
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三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
符号语言：
∵AD是△ABC的高
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
反之：
∵∠ADB =90°(或∠ADC =90°)
∴AD是△ABC的高
问题2：你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的高吗？你有何发现？
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
问题3：分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，这三条高的位置有什么关系？
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
锐角三角形的三条高交于一点；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高没有交于一点，钝角三角形的三条高所在直线交于一点.21·cn·jy·com
归纳1：三角形的三条高所在的直线交于一点.
练习1：
1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )
答案：A
2．如图，△ABC中BC边上的高是___ ( http: / / www.21cnjy.com )_，△ACD中CD边上的高是____，△BCE中BC边上的高是____，以CF为高的三角形是__________．www.21-cn-jy.com
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答案：AD；AD；BE，△ABC，△BCF，△AFC
三、探究2
思考：已知D是BC的中点， △ABD与△ACD的面积相等吗？
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答案：
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD＝BC
反之：
∵BD＝CD (或BD＝BC)
∴AD是△ABC的中线
问题1：你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？你有何发现？
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2：分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，这三条中线的位置有什么关系？
答案：
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归纳2：三角形的三条中线交于一点
三角形的重心：三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.
知识链接：取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.2·1·c·n·j·y
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练习2：
1．已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是( )
A.2 B.3 C.6 D.不能确定
答案：A
2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
答案：B
四、探究3
操作并思考：准备一个三角形纸片ABC ，按图所示的方法折叠，展开后，折痕BD 把∠ABC 分成∠1和∠2 两个角．∠1和∠2 有什么关系？【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．21·世纪*教育网
符号语言：
∵BD是△ABC的角平分线
∴∠1＝∠2＝
反之：
∵∠1＝∠2
∴BD是△ABC的角平分线
问题1：你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的角平分线吗？你有何发现？
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2：分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，这三条角平分线的位置有什么关系？
答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
归纳3：三角形的三条角平分线交于一点.
练习3：
如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( )
A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线
C．∠ACB＝2∠3 D．CE是△ABC的角平分线
答案：D
五、应用提高
如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，求阴影部分的面积．www-2-1-cnjy-com
解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝4cm2.
∵E是AD的中点，
∴S△BED＝S△ABD＝2cm2，
S△DCE＝S△ACD＝2cm2，
∴S△BEC＝S△BED＋S△DCE＝4cm2.
∵F是CE的中点，
∴S阴影＝S△BCE＝2cm2
六、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.你能分别描述三角形中的几种重要线段吗？
2.你能说说什么是三角形的重心吗？
七、达标测评
1.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC的度数是( )21cnjy.com
A．15° B．30° C．45° D．60°
答案：B
2.如图，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的三角形有____个．
答案：6
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13，BC＝12，AC＝5.
(1)求△ABC的面积；
(2)求CD的长．
解：(1)S△ABC＝AC·BC＝30
(2)∵S△ABC＝AB·CD，
∴CD＝＝
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24和30两部分，求△ABC各边的长．21世纪教育网版权所有
解：设AB＝x，BC＝y，由题意知有两种情况，
即或
解得或
∴AB＝AC＝16，BC＝22或AB＝AC＝20，BC＝14
八、布置作业
教材8页习题11.1第3、4题．
21世纪教育网www.21cnjy.com精品试卷·第2页(共2页)
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【义务教育教科书人教版八年级上册】
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
学校：________
教师：________
知识回顾
l
A
B
想一想：如何利用直尺和三角板过点A作直线l的垂线
画
放
移
靠
∵AD是△ABC的高
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°
探究1
与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高．
你能过三角形顶点A，画出它的对边的垂线吗？
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
符号语言：
反之：
∵∠ADB =90°(∠ADC =90°)
∴AD是△ABC的高
探究1
你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的高吗？
你有何发现？
探究1
分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，这三条高的位置有什么关系？
锐角三角形
锐角三角形的三条高交于一点.
探究1
分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，这三条高的位置有什么关系？
直角三角形
直角三角形的三条高交于直角顶点.
探究1
分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，这三条高的位置有什么关系？
钝角三角形
钝角三角形的三条高没有交于一点.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
归纳
三角形的三条高所在的直线交于一点.
练习1
1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )
A
练习1
2．如图，△ABC中BC边上的高是____，△ACD中CD边上的高是____，△BCE中BC边上的高是____，以CF为高的三角形是 ．
AD
AD
BE
△ABC，△BCF，△AFC
探究2
思考：已知D是BC的中点， △ABD与△ACD的面积相等吗？
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
∵AD是△ABC的中线
∴BD ＝CD ＝ BC
符号语言：
反之：
∵BD＝CD (BD＝ BC)
∴AD是△ABC的中线
探究2
你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？
你有何发现？
探究2
分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，这三条中线的位置有什么关系？
三角形的三条中线交于一点.
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.
探究2
知识链接：取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.
练习2
1．已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是( )
A.2 B.3 C.6 D.不能确定
2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
A
B
探究3
准备一个三角形纸片ABC ，按图所示的方
法折叠，展开后，折痕BD 把∠ABC 分成∠1和∠2 两个角．∠1和∠2 有什么关系？
在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
探究3
∵BD是△ABC的角平分线
∴∠1＝∠2＝
符号语言：
反之：
∵∠1＝∠2
∴BD是△ABC的角平分线
你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的角平分线吗？
你有何发现？
探究3
分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，这三条角平分线的位置有什么关系？
三角形的三条角平分线交于一点.
练习3
如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( )
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠ACB＝2∠3
D．CE是△ABC的角平分线
D
应用提高
今天我们学习了哪些知识？
1.你能分别描述三角形中的几种重要线段吗？
2.你能说说什么是三角形的重心吗？
体验收获
达标测评
1.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC的度数是( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
2.如图，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的三角形有____个．
B
6
达标测评
达标测评
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24和30两部分，求△ABC各边的长．
布置作业
教材8页习题11.1第3、4题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．钝角三角形的高线在三角形外的条数有（ ）条.
A．3 B．2 C．1 D．0
2．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是三角形的( )
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中位线
3．下列说法错误的是( )
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
4．如图，AD⊥BC，BD＝DC，AC＝CE，若∠B＝52°，则∠E＝（ ）
A．40° B．26° C．31° D．38°
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第4题图 第5题图
5．如图，在△ABC中，E是BC上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF-S△BEF＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．如图，AE是△ABC的中线，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )EC＝8，DE＝3，则BD＝___________.
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第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝28 ，∠C＝60 ，则∠DAE＝______ .【来源：21·世纪·教育·网】
8．如图，直角三角形ABC中，∠C ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，若AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，则点C到AB的最短距离等于 cm.www-2-1-cnjy-com
9．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE＝3cm2，则S△ABC＝__cm2．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第9题图 第10题图
10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，则∠BOC＝_______________.21cnjy.com
三、解答题(每小题20分，共40分)
11．如图，AD为△ABC的中线，
（1）作△ABD的中线BE；
（2）作△BED的BD边上的高EF；
（3）若△ABC的面积为60，BD＝10，则点E到BC边的距离为多少？
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12．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．2·1·c·n·j·y
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参考答案
1．B
【解析】本题考查的是三角形的高，作出钝角三角形的三条高线即可得出结果．
钝角三角形有3条高，其中两条在外部，一条在内部．故选B．
2．A
【解析】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A.
3．A.
【解析】A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 ，错误，符合题意；
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；
D．三角形的三条高可能相交于外部一点，正确，不符合题意.
故选A.
4．B．
【解析】解：∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠B＝52°，
∴∠ACB＝52°，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠E+∠CAE＝∠ACB＝52°，
∴∠E＝26°，
5．B
【解析】∵点D是AC的中点，
∴AD＝AC，
∵S△ABC＝12，
∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6．
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4，
∵S△ABD-S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF-S△BEF，21·cn·jy·com
即S△ADF-S△BEF＝S△ABD-S△ABE＝6-4＝2．
故选B．
6．5
【解析】根据三角形的中线定义可得出BE的长，再作差即可求解.
解：∵AE是△ABC的中线
∴BE＝CE＝8
∴BD＝BE-DE＝8-3＝5
故答案为：5
7．16°
【解析】∵∠B＝28°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°-28°-60°＝92°．
∵AD是角平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝46°，
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝74°．
∵AD是高，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°-∠AED＝90°-74°＝16°．
故答案为：16°．
8．
【解析】
试题分析：利用三角形面积相等法可CD的长度.
因为直角三角形的面积为：×AC×BC＝×3×4＝6;
还可表示为：×AB×CD＝CD
即×AB×CD＝CD＝6
∴CD＝.
9．12
【解析】∵CE是△ACD的中线，
∴＝2＝3cm .
∵AD是△ABC的中线，
∴＝2＝12cm .故答案为:12.
10．115°
【解析】∠A＝50°，依据三角形内角和定理，∠ABC+∠ACB＝180°-50°＝130°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以∠OBC+∠OCB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )(∠ABC+∠ACB)＝65°，∠BOC＝180°-(∠OBC+∠OCB)＝180°-65°＝115°.21世纪教育网版权所有
11．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）3
【解析】（1）找到边AD的中点E，连接BE，线段BE是△ABD的中线；
（2）△BED是钝角三角形，所以BD边上的高在BD的延长线上；
（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED的面积，再直接求点E到BC边的距离即可．21教育网
解：（1）如图所示，BE是△ABD的中线；
（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．
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（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
∴S△BED＝S△ABC＝×60＝15；
∵BD＝10，
∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷10＝3，
即点E到BC边的距离为3．
12．AC＝48；AB＝28
【解析】首先设BD＝CD＝x，AB＝y， ( http: / / www.21cnjy.com )则AC＝4x，然后分AC+CD＝60，AB+BD＝40和AC+CD＝40，AB+BD＝60两种情况分别求出x和y的值，然后看三角形的三边关系判定是否都符合条件.www.21-cn-jy.com
解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC， ∴BD＝CD， 设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，21·世纪*教育网
分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，
则4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48，AB＝28；
②AC+CD＝40，AB+BD＝60，
则4x+x＝40，x+y＝60，
解得：x＝8，y＝52，
即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，
此时不符合三角形三边关系定理；
综合上述：AC＝48，AB＝28．
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