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课题：11.1.1三角形的边
教学目标：
1.理解三角形及其有关概念及三角形的分类.
2.理解“三角形两边的和大于第三边”，并运用这个性质解决问题.
重点：
“三角形两边的和大于第三边”的理解和运用.
难点：
运用“三角形两边的和大于第三边”解决实际问题.
教学流程：
一、情境引入
引言：三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形象.
二、探究1
问题：三角形是我们熟悉的图形，你能说一说三角形是怎样的图形吗？
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形.
边：AB，BC，AC或c，a，b．
顶点：A，B，C．
内角：∠A，∠B，∠C．简称：三角形的角
三角形用“△”符号表示
顶点是A、B、C的三角形，记作：△ABC
练习1：
1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.
解：5个.△ABC，△ABE，△BEC，△BDC，△DEC.
2.说出图中△ABE的三个角及三条边.
解：∠ABE、∠AEB、∠A；边AB、边AE、边BE.
三、探究2
定义：
等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)
等腰三角形：两条边相等的三角形叫做等腰三角形
不等边三角形：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形
强调：
等边三角形是特殊等腰三角形
问题：我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．如何按照边的关系对三角形进行分类呢？
答案：
练习2：
1.三条边相等的三角形是( )三角形.
A.不等边 B.等腰 C.等边 D.直角
答案：C
2.等腰三角形至少有( )条边相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
3.判断正误
(1)等腰三角形都是等边三角形.( )
(2)所有等边三角形都是等腰三角形而且都是锐角三角形.( )
答案：×；√
四、探究3
问题：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？
答案：有两条路线可以选择：
(1)由点B到点C(也就是线段BC的长)
(2)由点B经点A再到点C(也就是线段AB与AC的和即：AB＋AC)
追问：哪一条路线更短一些呢？
答案：第一条路线更短些
因为：AB＋AC＞BC(两点之间，线段最短)
强调：在三角形中有
AC＋BC＞AB
AB＋BC＞AC
即：三角形两边的和大于第三边．
由：BC＞AB－AC
BC＞AC－AB
可知：三角形两边的差小于第三边．
练习3：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么
(1)3，4，8；(2)5，6，11；(3)5，6，10．
解：(1)不能．因为3＋4＜8，不符合三角形两边的和大于第三边.
(2)不能．因为5＋6＝11，不符合三角形两边的和大于第三边.
(3)能．因为5＋6＞10，10＋6＞5，10＋5＞6，符合三角形两边的和大于第三边.
五、应用提高
例：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少
(2)能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗 为什么
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
x＋2x＋2x＝18．
解得x＝3.6.
所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm．
(2)有两种情况：
①如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，则
4＋2x＝18．解得x＝7.
②如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，则
4×2＋x＝18.解得x＝10.
因为4＋4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为4的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长为4cm的等腰三角形．
六、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.三角形按角怎样分类？按边呢？
2.三角形的边具有怎样的性质？是怎样得到的？
七、达标测评
1.图中有几个三角形？请用符号“△”表示出来，并说出△EFG的三边.
解：3个，分别为：△EFH，△EHG，△EFG
△EFG的三边分别为：EF、FG、EG.
达标测评
2.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)1，10，8( )
(2)3，5，6( )
(3)5，10，10( )
(4)2，6，9( )
答案：不能；能；能；不能
3.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，则它的周长为______cm.
答案：27
分析：有两种情况：
(1)5，5，11，此种情况不成立，
(2)11，11，5，此种情况成立，
所以周长为11＋11＋5＝27
4.一个三角形的三边长是x、3、5，那么x的取值范围是( )
A.3＜x＜5 B.0＜x＜5 C.2＜x＜8 D.0＜x＜8
答案：C
分析：因为三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．
所以－3＜x＜5＋3
即：2＜x＜8
八、布置作业
教材8页习题11.1第1、2题．
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【义务教育教科书人教版八年级上册】
11.1.1三角形的边
学校：________
教师：________
情境引入
三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形象.
探究1
三角形是我们熟悉的图形，你能说一说三角形是怎样的图形吗？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形.
边：AB，BC，AC
顶点：A，B，C ．
内角：∠A ，∠B ，∠C．
或 c，a，b．
简称：三角形的角
三角形用“△” 符号表示
顶点是A、B、C的三角形，记作：△ABC
练习1
1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.
解：5个. △ABC，△ABE，△BEC， △BDC，△DEC.
2.说出图中△ABE的三个角及三条边.
解：∠ABE、 ∠AEB、∠A；
边AB、边AE、边BE.
探究2
三边都相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）
两条边相等的三角形叫做等腰三角形
腰
腰
顶角
底角
底角
等腰三角形
等边三角形
特殊
底边
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形
不等边三角形
探究2
我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．如何按照边的关系对三角形进行分类呢？
三边都不相等的三角形
三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
练习2
1. 三条边相等的三角形是（ ）三角形.
A.不等边 B.等腰 C.等边 D.直角
2. 等腰三角形至少有（ ）条边相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.判断正误
（1）等腰三角形都是等边三角形.（ ）
（2）所有等边三角形都是等腰三角形而且都是锐角三角形.（ ）
C
C
×
√
探究3
任意画一个△ABC，从点B 出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？
有两条路线可以选择：
（1）由点B到点C
（2）由点B经点A再到点C
BC
AB＋AC
哪一条路线更短一些呢？
AB＋AC＞ BC
两点之间，线段最短.
AC + BC＞AB
AB + BC＞AC
即：三角形两边的和大于第三边．
BC＞AB－AC
BC＞AC－AB
三角形两边的差小于第三边．
练习3
下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么
（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10．
解：（1）不能．因为3＋4＜8，
不符合三角形两边的和大于第三边.
（2）不能．因为5＋6＝11，
不符合三角形两边的和大于第三边.
（3）能．
因为5＋6＞10，10＋6＞5，10＋5＞6，
符合三角形两边的和大于第三边.
应用提高
例：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少
(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗 为什么
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm．
x ＋2x＋2x ＝18．
解得 x ＝3.6.
所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm．
应用提高
例：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少
(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗 为什么
(2)有两种情况：
①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则
4＋2x＝18． 解得 x＝7.
②如果4 cm长的边为腰，设底边长为x cm，则
4×2＋x＝18. 解得 x ＝10.
因为4＋4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为4 的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长为4 cm的等腰三角形．
今天我们学习了哪些知识？
1.三角形按角怎样分类？按边呢？
2.三角形的边具有怎样的性质？是怎样得到的？
体验收获
达标测评
1.图中有几个三角形？请用符号“△”表示出来，并说出△EFG的三边.
Q
F
E
P
G
H
解：3个，分别为：
△EFH
△EHG
△EFG
△EFG的三边分别为：
EF、FG 、EG.
达标测评
2.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1） 1，10，8 （ ）
（2） 3，5，6 （ ）
（3） 5，10，10 （ ）
（4） 2，6，9 （ ）
不能
能
能
不能
3.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm,
则它的周长为______cm.
27
5，5，11
11，11，5
成立
不成立
达标测评
4.一个三角形的三边长是 x、3、5，那么 x 的取值范围是（ ）
A. 3＜x＜5 B. 0＜x＜5
C. 2＜x＜8 D. 0＜x＜8
C
三角形两边的和大于第三边．
三角形两边的差小于第三边．
5－3＜x＜5＋3
即：2＜x＜8
布置作业
教材8页习题11.1第1、2题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
11.1.1三角形的边
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.图中三角形的个数是（ ）
A．8个 B．9个 C．10个 D．11个
2. 至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D.锐角三角形
3.以下三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A.1cm、2cm、3cm B. 2cm、2cm、4cm
C.3cm、4cm、5 cm D. 4cm、8cm、2cm
4.已知三角形的三边为4、5、x，则不可能是（ ）
A.6 B. 5 C. 4 D. 1
5．若三角形的三边长分别为3，4，x－1，则x的取值范围是( )
A．0＜x＜8 B．2＜x＜8 C．0＜x＜6 D．2＜x＜6
二、填空题(每小题6分，共30分)
6. 如图，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形，
（1）其中以AB为一边可以画出 个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 个三角形.
7.一个三角形的周长为81cm，三边长的比为2：3：4，则最长边比最短边长 ．
8.小华要从长度分别是5cm，6cm，11cm，16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_________________.
9.等腰三角形的一边为6，另一边为12，则其周长为 .
10.如图，观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个．
三、解答题(每小题20分，共40分)
11.一个等腰三角形的周长是16厘米，其中一条边长是4厘米，则另外两边长分别是多少厘米.
12.若△ABC的三边长分别为a，b，c，请化简.
参考答案
1.B
【解析】试题分析：此题考查了三角形，注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行.
解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9个三角形.
2.B
【解析】试题分析：本题考查了三角形的分类．此题属于易错题，同学们往往忽略了等边三角形是一特殊的等腰三角形，且等腰三角形也可以是锐角三角形、钝角三角形以及直角三角形.
解：本题需要分类讨论：两边相等的三角形称为等腰三角形，该等腰三角形可以是等腰直角三角形，该等腰三角形有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形；
当有三边相等时，该三角形是等边三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形．
3.C
【解析】试题分析：此题考查三角形的三边关系：任何两边的和大于第三边；做此题题目的关键是直接判断较小的两条边的和与最长边的和的大小关系，如果前者大，说明这三条边能组成三角形，否则，不能组成三角形.
解：根据三角形的三边关系，得：A项，1+2=3，不能组成；B项，2+2=4，不能组成；C项，3+4＞5，能组成；D项，4+2=8，不能组成.故选C.
4.D
【解析】试题分析：根据“三角形两边的和大于第三边”和“三角形两边的差小于第三边”可得第三条边的取值范围.
解：根据三角形三边关系，可得，即，则x不能取1.
5.B
【解析】试题分析：根据“三角形两边的和大于第三边”和“三角形两边的差小于第三边”可得第三条边的取值范围；当然，此题不要忘了第三条边长为（x-1）.
解：这里第三边长为x-1，根据三角形三边关系，可得，即，故选B.
6.（1）3 （2）6
【解析】试题分析：（1）根据以AB为一边，分别得出符合题意的三角形即可；（2）根据以C为顶点，分别得出符合题意的三角形即可.
解：（1）其中以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）其中以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE．故答案为：（1）3；（2）6．
7.18 cm
【解析】试题分析：本题考查了一元一次方程在三角形中的应用，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.
解：设三角形的三边长为2x，3x，4x，
由题意，得2x+3x+4x=81，
解得x=9，
则三角形的三边长分别为：18cm，27cm，36cm，
所以，最长边比最短边长：36-18=18（cm）．
8. 6cm，11cm，16cm
【解析】试题分析：按顺序写出4种取法，然后根据三角形的三边关系再判断；判断是注意技巧，即符合“两条较短边长的和大于较大的边长”的就能组成三角形.
解：从这四根小木棒取出三根有以下取法：①5cm，6cm，11cm；②5cm，6cm，16cm；③5cm，11cm，16cm；④6cm，11cm，16cm，一共有4种选法.其中，①5+6=11，不能；②5+6＜16，不能；③5+11=16，不能；④6+11＜16，能.综上，能摆成三角形的只有④.
9.30
【解析】试题分析：运用分类讨论的思想和三角形三边关系的知识去解题.题中没有给出有腰长为6还是12，所以要分两种情况去讨论，特别要注意的是要判断三边是否能组成三角形.
解：该三角形是等腰三角形，当腰长为6时，三边长为6,6,12，此时6+6=12，则这三边不能组成三角形，故不符合；当腰长为12时，三边长为6,12,12，这三边能组成三角形，则周长为6+12+12=30.
10.91
【解析】试题分析：此题为规律题型.从第1个大三角形到第2个大三角形可发现其中较大的白色三角形周围每边分别多出了一个白色较小的三角形，即增加了3个白色三角形；从第2个大三角形到第3个大三角形可发现，较小的3个三角形，每个的周围每边分别多出了一个白色更小的三角形，即增加了9个三角形；从而发现增加的白色三角形的数量规律.
解：第2个大三角形比第1个大三角形增加了1×3=3个白色三角形；
第3个大三角形比第2个大三角形增加了3×3=9个白色三角形；
所以，第4个大三角形比第3个大三角形增加了9×3=27个白色三角形；
第5大三角形比第4个大三角形增加了27×3=51个白色三角形，即一共有1+3+9+27+51=91个白色三角形.
11.6厘米，6厘米
【解析】试题分析：运用分类讨论的思想和三角形三边关系的知识去解题.题中没有给出长为4厘米的边是底边还是腰，所以要分类讨论.特别要注意的是要判断三边是否能组成三角形.
解：该三角形是等腰三角形，当底边长为4厘米时，其它两条边为（16-4）÷2=6（厘米），即三边长分别为6厘米、6厘米、4厘米，能组成三角形.
当腰长为4厘米时，底边长为16-2×4=8（厘米），即三边长分别为4厘米,4厘米,8厘米，不能组成三角形.
综上，另外两边长分别为6厘米、6厘米.
12.
【解析】试题分析：观察要化简的式子可得，其实就是比较a+b和c、a+c和b的大小关系，而a，b，c是三角形的三条边，则根据三角形三边关系可比较它们的大小.
解：∵a，b，c是△ABC的三边，
∴它们满足，.
∴.
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