2.1 一元一次方程
一、方程的相概念
1.方程：含有 的等式就叫做方程.
2.一元一次方程：方程两边都是整式，只含有 ，并且未知数的指数是 ，这样的方程叫做一元一次方程。
3.方程的解：使方程中等号左右两边 的未知数的值，叫做方程的解.
4.移项法则：把等式一边的某项 移到另一边，叫做移项．
二、等式的性质
1.等式的性质1：等式的两边都 ，所得结果仍是等式。
用字母可以表示为：如果a=b，那么 .
2.等式的性质2：等式的两边都乘或都 ，所得结果仍是等式。
用字母可以表示为：如果a=b，那么 .
三、解一元一次方程
一般地，解一元一次方程的基本步骤：
1.去分母；（根据： ）
2. ；（根据： ）
3. ；（根据： ）
4. ；（根据： ）
5.两边同除以未知数的系数。（根据： ）
四、一元一次方程的应用
解决应用题的一般过程：
1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系
2.设元：选择一适当的未知数用字母表示（例如x）
3.列方程：根据相等关系列出方程
4.解方程：求出未知数的值
5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。
考点一：等式的性质
（2017?杭州）设x，y，c是实数，（ ）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若，则2x=3y
【解析】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；
B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；
【答案】B
【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．
变式跟进1（2016?富顺县校级模拟）运用等式性质的变形，正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+c=b﹣c B．如果，那么a=b
C．如果a=b，那么 D．如果a=3，那么a2=3a2
考点二：解一元一次方程
（2016?株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）
A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1）
【解析】解：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），
【答案】B
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
变式跟进2（2017?临高县校级模拟）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．方程 3x﹣2=2x+1，移项，得 3x﹣2x=﹣1+2
B．方程 3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号，得 3﹣x=2﹣5x﹣1
C．方程x=，未知数系数化为 1，得 x=1
D．方程﹣=1 化成 5（x﹣1）﹣2x=10
考点三：根据实际问题列方程
（2017?滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x=16（27﹣x） B．16x=22（27﹣x）
C．2×16x=22（27﹣x） D．2×22x=16（27﹣x）
【解析】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，
∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，
∴可得2×22x=16（27﹣x）．
【答案】D
【点评】本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．
变式跟进3（2016?曲靖）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（ ）
A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x﹣2）=44
C．9（x+2）=44 D．9（x+2）﹣4×2=44
考点四：一元一次方程的应用
（2017?岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
【解析】解：设这批书共有3x本，
根据题意得：=，
解得：x=500，
∴3x=1500．
答：这批书共有1500本．
【答案】1500本
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据每包书的数目相等．列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
变式跟进4（2017?安徽）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
一、选择题
1．（2017?永州）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
2．（2017?深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（ ）
A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330
C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=330
3．（2015?济南）若代数式4x﹣5与的值相等，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2016?铜仁市）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
A．（9﹣7）x=1 B．（9+7）x=1
C．（﹣）x=1 D．（+）x=1
5．（2017?台湾）如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度为别为40公分，50公分，今将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少公分（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
二、填空题
6．（2015?甘孜州）已知关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，则代数式a2﹣2a+1的值是 ．
7．（2016?天水）规定一种运算“*”，a*b=a﹣b，则方程x*2=1*x的解为 ．
8．（2015?常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是 ．
9．（2017?遵义）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有 两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）
10．（2016?绍兴）书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书超过200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 元．
三、解答题
11．（2017?武汉）解方程：4x﹣3=2（x﹣1）
12．（2016?贺州）解方程：．
13．（2015?深圳）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．
用水量
单价
x≤22
a
剩余部分
a+1.1
（1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值；
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
14．（2016?江西）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
一、选择题
1．（2017?天津市和平区校级一模）方程2x﹣（x+10）=5x+2（x+1）的解是（ ）
A．x= B．x=﹣ C．x=﹣2 D．x=2
2．（2017?沈阳市皇姑区一模）下列变形正确的是（ ）
A．4x﹣5=3x+2变形得4x﹣3x=﹣2+5
B．3x=2变形得
C．3（x﹣1）=2（x+3）变形得3x﹣1=2x+6
D．变形得4x﹣6=3x+18
3．（2017?长春市绿园区一模）对于实数a、b，规定a⊕b=a﹣2b，若4⊕（x﹣3）=2，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．4
4．（2017?黄冈市黄州区校级一模）方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1
C．0＜a＜1 D．＜a＜1
5．（2017?泰安一模）苏州市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽一棵，则树苗正好用完．设原有树苗a棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A．5（a+21﹣1）=6（a﹣1） B．5（a+21）=6（a﹣1）
C．5（a+21）﹣1=6a D．5（a+21）=6a
6．（2017?淅川县一模）李老师新买了一辆小轿车，为了掌握车的耗油情况，在连续两次加油时做了如下工作：
（1）把油箱加满油；
（2）记录了两次加油时的累积里程（注：“累积里程”指汽车从出厂开始累积行驶的路程）．以下是李老师连续两次加油时的记录：
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2017年3月18日
15
1200
2017年3月28日
30
1500
则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．15升 B．10升 C．7.5升 D．5升
7．（2017?石家庄模拟）如图，这是2016年12月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的四个数，请你运用方程的思想来研究，发现这四个数的和不可能是（ ）
A．50 B．58 C．68 D．70
二、填空题
8．（2017?建湖县二模）如图x=4是方程ax=a﹣6的解，那么a的值为 ．
9．（2017?绍兴模拟）方程（2a﹣1）x2+3x+1=4是一元一次方程，则a= ．
10．（2017?睢宁县模拟）若关于x的方程（x﹣2）|x|﹣k=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
11．（2017?太原二模）将一块长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为2cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知长方形铁皮的宽为10cm，盒子的容积为300cm3，则铁皮的长为 cm．
12．（2016?资阳市雁江区一模）当a取整数 时，方程﹣=有正整数解．
13．（2017?江西模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”
译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为 ．
14．（2016?北京市朝阳区二模）在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．
设a、b为正数，且a=b．
∵a=b，
∴ab=b2． ①
∴ab﹣a2=b2﹣a2． ②
∴a（b﹣a）=（b+a）（b﹣a）． ③
∴a=b+a． ④
∴a=2a． ⑤
∴1=2． ⑥
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是
（填入编号），造成错误的原因是 ．
15．（2016?北京市通州区一模）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如，将0.3转化为分数时，可设x=0.，则10x=3.=3+0.，所以10x=3+x，解得x=即0.=．仿此方法，将0.化为分数是 ．
16．（2016?湖州市吴兴区一模）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作，在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作…若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，试通过画图探索出所有a可能的值为 ．
三、解答题
17．（2016?江夏区校级模拟）解方程：5（x﹣2）=3x+4．
18．（2016?重庆校级二模）解方程：=﹣1．
19．（2016?拱墅区二模）现有四个整式：x2﹣1，，，﹣6．
（1）若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成 个方程；
（2）请列出（1）中所有的一元一次方程，并解方程．
20．（2016?河北模拟）根据老师在如图所示的背板上给出的内容，完成下列各小题．
（1）求（4*6）*（﹣2）的值；
（2）若1*x=3，求x的值．
21．（2017?北京市石景山区一模）列方程解应用题：
我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”
译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？
22．（2017?天津市红桥区一模）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元
（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按售价打九折
超过600元
其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
2.1 一元一次方程
一、方程的相概念
1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。
3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
4.移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
二、等式的性质
1.等式的性质1：等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。
用字母可以表示为：如果a=b，那么a±c=b±c.
2.等式的性质2：等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为0），所得结果仍是等式。
用字母可以表示为：如果a=b，那么ac=bc，或（c≠0）.
三、解一元一次方程
一般地，解一元一次方程的基本步骤：
1.去分母；（根据：等式的性质1）
2.去括号；（根据：去括号法则）
3.移项；（根据：等式性质1）
4.合并同类项；（根据：合并同类项法则）
5.两边同除以未知数的系数。（根据：等式的性质2）
四、一元一次方程的应用
解决应用题的一般过程：
1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系
2.设元：选择一适当的未知数用字母表示（例如x）
3.列方程：根据相等关系列出方程
4.解方程：求出未知数的值
5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。
考点一：等式的性质
（2017?杭州）设x，y，c是实数，（ ）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若，则2x=3y
【解析】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；
B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；
【答案】B
【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．
变式跟进1（2016?富顺县校级模拟）运用等式性质的变形，正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+c=b﹣c B．如果，那么a=b
C．如果a=b，那么 D．如果a=3，那么a2=3a2
【解析】解：A、利用等式性质1，两边都加c，得到a+c=b+c，所以A不成立；
B、利用等式性质2，两边都乘以c，得到a=b，所以B成立；
C、不成立，因为c必需不为0；
D、因为a2=9，3a2=27，所以a2≠3a2；
【答案】B
【点评】主要考查了等式的基本性质：等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
考点二：解一元一次方程
（2016?株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）
A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1）
【解析】解：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），
【答案】B
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
变式跟进2（2017?临高县校级模拟）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．方程 3x﹣2=2x+1，移项，得 3x﹣2x=﹣1+2
B．方程 3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号，得 3﹣x=2﹣5x﹣1
C．方程x=，未知数系数化为 1，得 x=1
D．方程﹣=1 化成 5（x﹣1）﹣2x=10
【解析】解：A、方程3x﹣2=2x+1，移项得：3x﹣2=1+2，不符合题意；
B、方程3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号得：3﹣x=2﹣5x+5，不符合题意；
C、方程x=，未知数系数化为1，得：x=，不符合题意；
D、方程﹣=1化为5（x﹣1）﹣2x=10，符合题意，
【答案】D
【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意每项都乘以各分母的最小公倍数．
考点三：根据实际问题列方程
（2017?滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x=16（27﹣x） B．16x=22（27﹣x）
C．2×16x=22（27﹣x） D．2×22x=16（27﹣x）
【解析】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，
∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，
∴可得2×22x=16（27﹣x）．
【答案】D
【点评】本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．
变式跟进3（2016?曲靖）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（ ）
A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x﹣2）=44
C．9（x+2）=44 D．9（x+2）﹣4×2=44
【解析】解：由题意可得，
5x+（9﹣5）（x+2）=5x+4（x+2）=44，
【点评】A
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
考点四：一元一次方程的应用
（2017?岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
【解析】解：设这批书共有3x本，
根据题意得：=，
解得：x=500，
∴3x=1500．
答：这批书共有1500本．
【答案】1500本
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据每包书的数目相等．列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
变式跟进4（2017?安徽）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
【解析】解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3=7x+4．
解得x=7，
∴8x﹣3=53，
答：共有7人，这个物品的价格是53元．
【答案】有7人，53元
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出合适的等量关系，列出相应的方程．
一、选择题
1．（2017?永州）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【解析】解：将x=1代入2x﹣a=0中，
∴2﹣a=0，
∴a=2
【答案】B
【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是正确理解方程的解的概念，本题属于基础题型．
2．（2017?深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（ ）
A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330
C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=330
【解析】解：设上个月卖出x双，根据题意得
（1+10%）x=330．
【答案】D
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．
3．（2015?济南）若代数式4x﹣5与的值相等，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【解析】解：根据题意得：4x﹣5=，
去分母得：8x﹣10=2x﹣1，
解得：x=，
【答案】B
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
4．（2016?铜仁市）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
A．（9﹣7）x=1 B．（9+7）x=1
C．（﹣）x=1 D．（+）x=1
【解析】解：设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为：
（+）x=1．
【答案】D
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出每天飞行的距离是解题关键．
5．（2017?台湾）如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度为别为40公分，50公分，今将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少公分（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【解析】解：设长方形的宽为x公分，抽出隔板后之水面高度为h公分，长方形的长为130+70=200（公分）
×40+×50=200?x?h，
解得：h=44，
【答案】B
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键．
二、填空题
6．（2015?甘孜州）已知关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，则代数式a2﹣2a+1的值是 ．
【解析】解：∵关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，
∴3a﹣2=+3，解得a=2，
∴原式=4﹣4+1=1．
【答案】1．
【点评】本题考查的是一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的基本步骤是解答此题的关键．
7．（2016?天水）规定一种运算“*”，a*b=a﹣b，则方程x*2=1*x的解为 ．
【解析】解：依题意得：x﹣×2=×1﹣x，
x=，
x=．
【答案】．
【点评】本题立意新颖，借助新运算，实际考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
8．（2015?常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是 ．
【解析】解：把x=2代入方程得：3a=a+2，
解得：a=．
【答案】．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．（2017?遵义）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有 两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）
【解析】解：设有x人，依题意有
7x+4=9x﹣8，
解得x=6，
7x+4=42+4=46．
答：所分的银子共有46两．
【答案】46．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目中所分的银子的总两数相等的等量关系列出方程，再求解．
10．（2016?绍兴）书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书超过200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 元．
【解析】解：设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，
依题意得：①当0＜x≤时，x+3x=229.4，
解得：x=57.35（舍去）；
②当＜x≤时，x+×3x=229.4，
解得：x=62，
此时两次购书原价总和为：4x=4×62=248；
③当＜x≤100时，x+×3x=229.4，
解得：x=74，
此时两次购书原价总和为：4x=4×74=296；
④当100＜x≤200时，x+×3x=229.4，
解得：x≈76.47（舍去）；
⑤当x＞200时，x+×3x=229.4，
解得：x≈81.93（舍去）．
综上可知：小丽这两次购书原价的总和是248或296元．
【答案】248或296．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分段考虑，结合熟练关系找出每段x区间内的关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
三、解答题
11．（2017?武汉）解方程：4x﹣3=2（x﹣1）
【解析】解：4x﹣3=2（x﹣1）
4x﹣3=2x﹣2
4x﹣2x=﹣2+3
2x=1
x=
【答案】
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
12．（2016?贺州）解方程：．
【解析】解：去分母得：2x﹣3（30﹣x）=60，
去括号得：2x﹣90+3x=60，
移项合并得：5x=150，
解得：x=30．
【答案】30
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
13．（2015?深圳）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．
用水量
单价
x≤22
a
剩余部分
a+1.1
（1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值；
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
【解析】解：（1）由题意可得：10a=23，
解得：a=2.3，
答：a的值为2.3；
（2）设用户水量为x立方米，
∵用水22立方米时，水费为：22×2.3=50.6＜71，
∴x＞22，
∴22×2.3+（x﹣22）×（2.3+1.1）=71，
解得：x=28，
答：该用户用水28立方米．
【答案】（1）a=2.3 （2）28立方米
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据图表中数据得出用户用水为x米3（x＞22）时的水费是解题关键．
14．（2016?江西）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
【解析】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）．
（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm），
设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，
根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311，
即：320﹣9x=311，
解得：x=1．
答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．
【答案】（1）34cm （2）1cm
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系直接求值；（2）根据数量关系找出关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出不等式（方程或方程组）是关键．
一、选择题
1．（2017?天津市和平区校级一模）方程2x﹣（x+10）=5x+2（x+1）的解是（ ）
A．x= B．x=﹣ C．x=﹣2 D．x=2
【解答】解：去括号得：2x﹣x﹣10=5x+2x+2，
移项合并得：﹣6x=12，
解得：x=﹣2，
【答案】C
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
2．（2017?沈阳市皇姑区一模）下列变形正确的是（ ）
A．4x﹣5=3x+2变形得4x﹣3x=﹣2+5
B．3x=2变形得
C．3（x﹣1）=2（x+3）变形得3x﹣1=2x+6
D．变形得4x﹣6=3x+18
【解答】解：A、4x﹣5=3x+2变形得4x﹣3x=2+5，错误；
B、3x=2变形得x=，错误；
C、3（x﹣1）=2（x+3）变形得3x﹣3=2x+6，错误；
D、x﹣1=x+3变形得4x﹣6=3x+18，
【答案】D
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2017?长春市绿园区一模）对于实数a、b，规定a⊕b=a﹣2b，若4⊕（x﹣3）=2，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．4
【解答】解：4⊕（x﹣3）=2，
4﹣2（x﹣3）=2，
4﹣2x+6=2，
解得：x=4；
【答案】D．
【点评】此题考查了一元一次方程，掌握新定义的计算公式和解一元一次方程的步骤是解题的关键．
4．（2017?黄冈市校级一模）方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1
C．0＜a＜1 D．＜a＜1
【解答】解：∵方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，
∴，
解得：0＜a＜1．
【答案】C．
【点评】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题难度较大，解题的关键是根据题意得到不等式组：．
5．（2017?泰安一模）苏州市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽一棵，则树苗正好用完．设原有树苗a棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A．5（a+21﹣1）=6（a﹣1） B．5（a+21）=6（a﹣1）
C．5（a+21）﹣1=6a D．5（a+21）=6a
【解答】解：设原有树苗x棵，
由题意得：5（a+21﹣1）=6（a﹣1），
【答案】A．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题是根据公路的长度不变列出的方程．“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．
6．（2017?淅川县一模）李老师新买了一辆小轿车，为了掌握车的耗油情况，在连续两次加油时做了如下工作：
（1）把油箱加满油；
（2）记录了两次加油时的累积里程（注：“累积里程”指汽车从出厂开始累积行驶的路程）．以下是李老师连续两次加油时的记录：
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2017年3月18日
15
1200
2017年3月28日
30
1500
则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．15升 B．10升 C．7.5升 D．5升
【解答】解：由题意可得：两次加油间耗油30升，行驶的路程为1500﹣1200=300（千米）
所以该车每100千米平均耗油量为：30÷（300÷100）=10（升）．
【答案】B．
【点评】此题主要考查了算术平均数，正确从图表中获取正确信息是解题关键．
7．（2017?石家庄模拟）如图，这是2016年12月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的四个数，请你运用方程的思想来研究，发现这四个数的和不可能是（ ）
A．50 B．58 C．68 D．70
【解答】解：设圈出一竖列上相邻的四个数中最小的数为x，则另外三个数为x+7、x+14、x+21．
根据题意得：x+（x+7）+（x+14）+（x+21）=4x+42．
A、4x+42=50，
解得：x=2，A符合题意；
B、4x+42=58，
解得：x=4，B符合题意；
C、4x+42=68，
解得：x=6.5，C不符合题意；
D、4x+42=70，
解得：x=7，D符合题意．
【答案】C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据四个数之和分别为四个选项中的数列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
二、填空题
8．（2017?建湖县二模）如图x=4是方程ax=a﹣6的解，那么a的值为 ．
【解答】解：把x=4代入ax=a﹣6得：
4a=a﹣6，
解得：a=﹣2，
【答案】﹣2．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
9．（2017?绍兴模拟）方程（2a﹣1）x2+3x+1=4是一元一次方程，则a= ．
【解答】解：由题意得：2a﹣1=0，
所以a=．
【答案】．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
10．（2017?睢宁县模拟）若关于x的方程（x﹣2）|x|﹣k=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
【解答】解：由（x﹣2）|x|﹣k=0得k=（x﹣2）|x|，设f（x）=（x﹣2）|x|，则f（x）=，
作出函数f（x）的图象如图：
由图象知要使方程（x﹣2）|x|﹣k=0有三个不相等的实根，则﹣1＜k＜0．
故k的取值范围是：﹣1＜k＜0．
【答案】﹣1＜k＜0．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
11．（2017?太原二模）将一块长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为2cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知长方形铁皮的宽为10cm，盒子的容积为300cm3，则铁皮的长为 cm．
【解答】解：设铁皮的长为xcm，根据题意得：
（x﹣4）（10﹣4）×2=300，
解得：x=29，
答：铁皮的长为29cm；
【答案】29．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，列出方程求出符合题意得解．
12．（2016?资阳市雁江区一模）当a取整数 时，方程﹣=有正整数解．
【解答】解：﹣=有去分母，得x﹣4﹣2（ax﹣1）=2，
去括号，得x﹣4﹣2ax+2=2，
移项、合并同类项，得（1﹣2a）x=4，
因为这个方程的解是正整数，即x=是正整数，
所以1﹣2a等于4的正约数，即1﹣2a=1，2，4，
当1﹣2a=1时，a=0；
当1﹣2a=2时，a=﹣（舍去）；
当1﹣2a=4时，a=﹣（舍去）．
故a=0．
【答案】0．
【点评】考查了一元一次方程的解的知识，用含k的代数式表示出x是解决本题的关键．
13．（2017?江西模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”
译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为 ．
【解答】解：设共有客人x人，根据题意得
x+x+x=65．
【答案】x+x+x=65．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
14．（2016?北京市朝阳区二模）在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．
设a、b为正数，且a=b．
∵a=b，
∴ab=b2． ①
∴ab﹣a2=b2﹣a2． ②
∴a（b﹣a）=（b+a）（b﹣a）． ③
∴a=b+a． ④
∴a=2a． ⑤
∴1=2． ⑥
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是
（填入编号），造成错误的原因是 ．
【解答】解：由a=b，得
a﹣b=0．
两边都除以（a﹣b）无意义．
【答案】④；等式两边除以零，无意义．
【点评】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变．
15．（2016?北京市通州区一模）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如，将0.3转化为分数时，可设x=0.，则10x=3.=3+0.，所以10x=3+x，解得x=即0.=．仿此方法，将0.化为分数是 ．
【解答】解：设x=0.，则x=0.4545…①，
根据等式性质得：100x=45.4545…②，
由②﹣①得：100x﹣x=45.4545…﹣0.4545…，
即：100x﹣x=45，99x=45
解方程得：x==．
【答案】．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．
16．（2016?湖州市吴兴区一模）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作，在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作…若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，试通过画图探索出所有a可能的值为 ．
【解答】解：第一次操作后剩下的矩形的两边长度为a、（20﹣a），
第二次操作后剩下的矩形的两边长度为（20﹣2a）、a或（2a﹣20），（20﹣a），
∵矩形ABCD是3阶奇异矩形，
∴有①20﹣2a=2a，②a=2（20﹣2a），③20﹣a=2（2a﹣20），④2a﹣20=2（20﹣a），
解得：a1=5，a2=8，a3=12，a4=15．
【答案】5或8或12或15．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据矩形ABCD是3阶奇异矩形找出关于a的一元一次方程是解题的关键．
三、解答题
17．（2016?武汉市江夏区校级模拟）解方程：5（x﹣2）=3x+4．
【解答】解：去括号得：5x﹣10=3x+4，
移项得：5x﹣3x=4+10，
合并得：2x=14，
解得：x=7．
【答案】x=7
【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程移项时注意要变号．
18．（2016?重庆校级二模）解方程：=﹣1．
【解答】解：去分母得：3x﹣6=4x﹣4﹣12，
移项合并得：x=10．
【答案】x=10
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解．
19．（2016?杭州市拱墅区二模）现有四个整式：x2﹣1，，，﹣6．
（1）若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成 个方程；
（2）请列出（1）中所有的一元一次方程，并解方程．
【解答】解：（1）若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成5个方程；
故答案为：5
（2）=0.5，
去分母得：x+1=2.5，
解得：x=1.5；
=﹣6，
去分母得：x+1=﹣30，
解得：x=﹣31．
【答案】x=﹣31．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2016?河北模拟）根据老师在如图所示的背板上给出的内容，完成下列各小题．
（1）求（4*6）*（﹣2）的值；
（2）若1*x=3，求x的值．
【解答】解：（1）（4*6）*（﹣2）=*（﹣2）==；
（2）∵1*x=3，
∴=3，
解得：x=1，
经检验x=1是原方程的解，
则x的值是1．
【答案】（1） （2）x=1
【点评】此题考查了新定义，掌握新定义的概念是解题的关键，是一道基础题．
21．（2017?北京市石景山区一模）列方程解应用题：
我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”
译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？
【解答】解：设良马x天能够追上驽马．
根据题意得：240x=150×（12+x），
解得：x=20．
答：良马20天能够追上驽马．
【答案】20天
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
22．（2017?天津市红桥区一模）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元
（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按售价打九折
超过600元
其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
【解答】解：（1）设甲的进价为x，
则（60﹣x）÷x=50%，
解得：x=40．
故甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为（80﹣50）÷50=60%．
（2）设甲x件，则乙（50﹣x）件，
由题意得，40x+50（50﹣x）=2100，
解得：x=40．
即购进甲商品40件，乙商品10件．
（3）设小华打折前应付款为y，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得，0.9y=504，
解得：y=560，
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82+（y﹣600）×0.3=504，
解得：y=640，
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
【答案】（1）40；60% （2）40件 （3）7件或8件
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
