上海市向明中学2018届高三8月摸底考试数学试题（PDF版）

2017
学年第一学期向明中学摸底考
高三年级数学试卷
2017.8.30
一、填空题（本大题满分
54
分）
3n 1
1.
lim

___________
；
n
3
n
2.
已知函数
f
x
2x 1(x

0)
，则
f
x 的反函数
f
1(x)

________
；
5
3.
在
x
y
的二项展开式中，
x3
的系数是__________；
2
4.
已知抛物线
x

2py(p

0)上的点
m,3 到焦点的距离为
5，则
p

_______
；
a

i
5.
已知
（
i
是虚数单位）是实数，则实数a
的值为______________；
1
2i
6.
已知
i,
j
为平面内所有向量的一组基，且
a

i

j,b

j,c

4i

j
，若用a,b
表示
c
，
则
c

__________；
7.
若等差数列的前
6
项和为
23，前
9
项和为
57，则数列的前
n
项和
Sn

___________
；
8.
已知函数
y

f
x 是定义在R
上的偶函数，且在 0, 上式增函数，若
f
a
f
4 ，
则实数a的取值范围是_______________；
9.
从
4
名男同学和
6
名女同学中随机选取
3
人参加某社团活动，选出的
3
人中若男女同学
都有的概率为____________（结果用数值表示）；


2

10.
若函数
y

2arccos(sin
x)的定义域是

,
，则它的值域为________；

3
3

11.
在正方体
ABCD

A1B1C1D1中，异面直线
A1B与B1C
所成角的大小为_________；
2
0
1
1


12.
记矩阵
A

0
1
0
6 中的第
i
行第
j
列上的元素为ai
,
j
.
现对矩阵A中的元素按如

1
3
0
0


下算法所示的步骤作变动（直到不能变动为止）：若ai,
j

ai 1,
j
，则
p

ai,
j
，ai,
j

ai 1,
j
，
ai 1,
j

p
；若
ai,
j

ai 1,
j
，则不变动，这样得到矩阵
B.
在对矩阵
B
中的元素按如下算法
所示的步骤作变动（直到不能变动为止）：若
ai,
j

ai,
j 1
，则
q

ai,
j
，
ai,
j

ai,
j 1
，
ai,
j 1

q；若ai,
j

ai,
j 1，则不变动，这样得到矩阵
C，则
C=_____________；
二、选择题（本大题满分
20
分）
1
an 22
n 1
13.
用数学归纳法证明：1
a

a

a

a
1,n N

，在验证n
1成立
1
a
时，计算左边所得结果是（
）
A、1
B、1
a
C、1
a
a2
2
3
D、1
a
a

a
14.
经过点P x0
,
y0
，且方向向量为d

u,v 的直线方程是（
）
x

x0
y

y0
x

x0
u
vA、

B、

C、y

y0

x

x0

D、u y

y0

v x
x0

u
v
y

y0
v
u
4
5
15.
在 ABC
中，已知cos
B

，
sin
C

，则cos
A
（
）
5
13
63
33
63
33
A、
B、
C、
或
D、以上答案都不对
65
65
65
65
16.
对于函数
f
x ，若存在区间
A

m,n ，使得 y
y

f
x ,
x A
A，则称函数
f
x
为“可等域函数”，区间
A
为函数
f
x 的一个“可等域区间”。给出下来四个函数：


2
x
（1）f
x
sin
x ；（2）f
x
2x
1；（3）f
x
1 2
；（4）f
x
log2 2x 2 ；

2

其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（
）
A、（1）（2）（3）
B、（2）（3）
C、（1）（3）
D、（2）（3）（4）
三、解答题（本大题满分
76
分）
17.
（第（1）6
分，第（2）题
8
分）直三棱柱
ABC

A1B1C1中，
AB

AC

AA1

2，
ABC

45
.（1）求直三棱柱
ABC

A1B1C1的体积；（2）若
D
是
AC
的中点，求异面直
线
BD与
A1C所成的角。
18.
（第（1）题
7
分，第（2）题
7
分）
已知向量d


3sin3x, y ，b

(m,cos3x m) m R ，且a
b

0，设
y

f
x ；



2

（1）求
f
x 的表达式，并求函数
f
x 在

,
上图像最低点
M
的坐标；
18
9




（2）若对任意
x 0,
，
f
x
t
9x 1恒成立，求实数
t
的范围。

9

19.
（第（1）小题
6
分，第（2）题
8
分）
某企业
2016
年的纯利润为
500
万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，
若不进行技术改造，预测从今年（2017
年）起每年比上一年纯利润减少
20
万元，今年初该
企业一次性投入资金
600
万元进行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第n
年
1
（今年为第一年）的利润为500(1
)
万元（n
为正整数）。
2n
（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为
An
万元，进行技术改
造后的累计纯利润为Bn
万元（须扣除技术改造资金），求
An
，Bn
的表达式；
（2）以上述预测，从今年起该企业至少经过多少年后，进行技术改造后的累计纯利润超过
不进行技术改造的累计纯利润？
20.
（第（1）题
4
分，第（2）题
5
分，第（3）题
7
分）
已知函数
f
x
log3 ax b 的图像过点
A 2,1 和B 5,2 。
（1）求函数
f
x 的解析式；
2



（2）若
f
x

log3 t

在
1,3 上有解，求
t
的最小值；

x
1

1

1


1

（3）记a

3
f
n（ n
n N
），是否存在正数
k
，使得 1
1



1


k
2n 1

a1

a2


an

对一切n N
均成立？若存在，求出
k
的最大值；若不存在，说明理由。
21.（第（1）题分，第（2）题
6
分，第（3）题
8
分）
x2
y2
x2
y2
对于双曲线
C：

1 a

0,b

0 ，定义C
：

1为其伴随曲线，记双曲线
a2
b2
1
a2
b2
C
的左、右顶点为
A、B.
（1）当
a

b时，记双曲线
C
的半焦距为c
，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c

2c1，求
双曲线C
的渐近线方程
x2
y2
（2）若双曲线C
的方程为

1，弦
PQ

x轴，记直线PA
与直线QB
的交点我M
，
4
2
其动点M
的轨迹方程。
2
2
（3）过双曲线C
：x

y
1的左焦点F
，且斜率为k
的直线
l
与双曲线C
交于N1,
N2
两

1
1


2
点，求证：对任意的
k
2
4
,2
4
，在伴随曲线C1上总存在点S
，使得FN1
FN2

FS
.


参考答案
2
1
x
1
1
5n
7n
1、；2、
f
(x)

(x

1)；3、10；4、4
；5、
；
6、c

4a
5b
；7、
；
2
2
6
0
0
1
2
4

5


8、
a 4,4 ；9、
；10、
0,
；11、
；12、
0
0
1
3
；
5

3

3
0
1
1
6
13、C；14、D；15、
C；16、B;
10
17、（1）4
；（2）arccos
；
10


2

18、（1）
f
(x)

2sin(3x

),
,1 ；（2）
t

0；
6

9

500
19、（1）
An

490n 10n
2
,
Bn

500n
100
；
2n
500
（2）Bn

An
10n
2
10n
100，当且仅当n

4时，Bn

An，即至少经过4年。
2n
2
3
20、（1）
f
(x)

log3
2x 1 ；（2）
t

5；（3）
；
3
15
x
2
y2
21、（1）
y


x；（2）

1；（3）略
5
4
2