九年级数学导学稿
第4章一元二次方程
课题一元二次方程（第2课时）
学习目标：1、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程,在配方法的应用过程中体会
“转化”的思想，掌握一些转化的技能。
2.
使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。
重点：1、使学生掌握配方法解一元二次方程。2.
掌握一元二次方程的求根公式。
难点：1、把一元二次方程转化为,2.
求根公式的推导.
教学过程：
【温故知新】
1、解下列方程，并说明解法的依据：
（1）
（2）
（3）
教师点评：
通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：
根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b
<
0，方程就没有实数解。
如
1、请说出完全平方公式。
。
【创设情境】
试一试：
1、解下列方程：
＋2x＝5；
（2）－4x＋3＝0.
思考:
能否经过适当变形，将它们转化为
=
a
的形式，应用直接开方法求解？
解:（1）原方程化为＋2x＋1＝6，
（方程两边同时加上1）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
（2）原方程化为－4x＋4＝－3＋4
（方程两边同时加上4）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
【探索新知】
上面，我们把方程－4x＋3＝0变形为＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
试一试：对下列各式进行配方：
(1)；
(2)；
（3）；
（4）
(5)
通过练习，使学生探讨配方的关键是
【巩固提升】
用配方法解下列方程：
（1）－6x－7＝0；
（2）＋3x＋1＝0.
2、填空：
（1）
（2）－8x＋（
）＝2
（3）＋x＋（
）＝（x＋
）2；
（4）4－6x＋（
）＝4（x－
）2
3、
用配方法解方程：
（1）＋8x－2＝0
（2）－5
x－6＝0.
（3）
（4）
【课堂小结】
通过这节课的学习你有哪些收获？
【达标检测】
1、（1）用公式法解方程得到方程的根是
。
（2）已知能使的值等于的值的值是
。
（3）若代数式与的值是互为相反数，则的值为
。
2、若代数式与的值是互为相反数，则的值为
。九年级数学导学稿
4.3用公式法解一元二次方程（第1课时）
学习目标：
1.经历一元二次方程求根公式的探索过程.
2.能用公式法解简单的一元二次方程.
3.通过推导求根公式，培养学生的推理能力和符号意识.
重点：
会用求根公式解一元二次方程.
难点：
理解求根公式的推导过程.
教学过程：
【情境导入】
上一节学习了一元二次方程的概念及配方法解一元二次
方程的一般步骤。
配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？用配方法解2x2
-8x-9=0
对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
能否用
配方法求出它的解？
【探究新知】
1.你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2
+bx+c=0(a≠0)吗
化简、移项、配方、变形和学生一起探究完成，到
这步时，提出问题:
①
此时可以直接开平方吗？需要注意什么？
②
等号右边的值有可能为负吗？说明什么？让小组交
流、讨论达成共识。
总结：当b2-4ac<0时，原方程无实数解。
当b2-4ac>0
或b2-4ac=0时，原方程有实数解，此时引导学生得出
方程的根为
，这个公式就称为“求根公式”。利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。
2.
熟记公式，理解记忆
3.
精讲点拨
（1）与学生共同完成例1后，总结步骤，由学生根据例题自己总结出用求根根式解方程的一般步骤：
①把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。②
求出b2
-4ac的值。③代入求根公式
:
(a≠0,
b2-4ac≥0)
④
写出方程的解：
x1= ,
x2=
通过总结使学生规范解题格式,让学生体会数学课中的严谨逻辑推
理不仅在几何问题中大量存在,也更广泛应用于代数中；从而更好
地体会到用公式法解
5.巩固练习
做课本89页练习，3位学生板演，熟悉公式法，强化解题格式，及时发现错误及时解决。
（2）不解方程，判断下列方程的根情况
①m2-2m+1=0
②3x2+4x+5=0
③-y2+7y+6=0
【巩固提升】
1、用公式法解一元二次方程
（1）x2=2x+1（2）2x2-2=3x（3）x2-x=-3（4）3x2-6=5x
2、当m为何值时，方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0
①有两个相等的实数根；
②没有实数根
【课堂小结】
通过本节课的学习，你有什么收获与疑虑？
【达标检测】
1、下列方程中，有实数根的是（
）
A、x2-x+1=0
B、x2-2x+3=0
C、x2+x-1=0
D、x2+4=0
2、用公式法解方程
①2x2+7x=4
②7x2-5=6x
3、已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是
。
九年级数学导学稿
第三章一元二次方程
课题3.3用公式法解一元二次方程（第二课时）
枳沟初中
袁法红
学习目标
1、了解根的判别式的概念，能用判别式判别根的情况．
2、掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
3、进一步渗透转化和分类的思想方法，渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律
教学重点：
会用判别式判定根的情况．
一元二次方程根与系数关系
教学难点：
一元二次方程根与系数关系的应用．
教学过程：
温故知新、
一元二次方程的求根公式为
解一元二次方程①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
创设情境在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．
在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程
探索新知
任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将
（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
答：b2-4ac．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．
反之亦然．
注意以下几个问题：
（1）∵
a≠0，∴
4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．
（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．
例1
不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．
推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．
设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导
例二．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；
（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；
（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0
巩固提升
1、关于x的二次方程k2x2+(k-3)x+1=0
(1)
k为何值时，方程有两个不相等实数根？
(2)如果方程的两个实数根x1与x2的倒数和为m，试求m的取值范围
2、已知x1和x2是方程
x2-5x-2=0的两个根，求3x1+3x2和3x1·3
x2
3、已知方程3x2-4x-2=0的两根为x1和x2，不解此方程，求下列有关根的代数式
课堂小结
本节课主要学习了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，重点在于它们的灵活运用。
达标检测
.
方程两根的倒数和为，则m=
。
如果一元二次方程的两根互为相反数，那么=
；如果两根互为倒数，那么=
.
3、m为何值时，关于x的方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两实数根都是正数？第3章一元二次方程
十字相乘法分解因式（补充教材）
学习目标：
（1）理解“十字相乘”法的理论根据；
（2）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。
重点：用“十字相乘”法分解某些二次三项式。
难点：二次三项式的分解问题
教学过程：
【温故知新】
1．已有的因式分解方法：
；
2．把下列各式因式分解：
(1)
3ax2+6ax+3a
(2)
(y2+x2)2-4x2y2 (3)x4-8x2+16
【创设情境】你能分解2ax2+6ax+4a吗？
【探索新知】
活动一
1．探求解决：
（1）请直接填写下列结果
（x+2）（x+1）=
；（x+2）（x-1）=
；
（x-2）（x+1）=
；（x-2）（x-1）=
。
我们知道，反过来，就得到二次三项式的因式分解形式，即，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
一般地，由多项式乘法，，反过来，就得到
这就是说，对于二次三项式，如果能够把常数项分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即。可以用交叉线来表示：
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。
（2）把x2+3x+2分解因式
分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。
∵
(+1)
×
(+2)
＝＋2
----------
常数项
(+1)
＋
(+2)
＝+3
----------
一次项系数
----------
十字交叉线
2x
+
x
=
3x
解：x2+3x+2
=
(x+1)
(x+2)
2．归纳概括：像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
3．应用训练：
例1
x2
+
6x
–
7=
（x+7）(x-1)
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
-x
+
7x
=
6x
练习1：
x2-8x+15=
；
练习2：
x2+4x+3=
；
x2-2x-3=
。
小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
活动二
二次项系数是1的很容易就做出来了，系数不为1的应怎样解决呢？
例2
试将
-x2-6x+16
分解因式
提示：当二次项系数为-1时
，先提取-1，再进行分解
。
例3
用十字相乘法分解因式：
（1）2x2-2x-12 （2）
12x2-29x+15
提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。
【巩固提升】
1．把下列各式分解因式：
（1）=
；
(2)
。
2．若(m＋a)(m＋b)，则
a和b的值分别是
或
。
3．(x－3)
(__________)。
4
．分解因式：
（1）；
(2)
；
(3)
(4)
【课堂小结】
【达标检测】
一、选择题
1．如果，那么p等于
( )
A．ab
B．a＋b
C．－ab
D．－(a＋b)
2．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为
( )
A．10和－2
B．－10和2
C．10和2
D．－10和－2
3．不能用十字相乘法分解的是
( )
A．
B．
C．
D．
4．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是
( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．__________．
6．(m＋a)(m＋b)．
a＝__________，b＝__________．
7．(x－3)(__________)．
8．若x－y＝6，，则代数式的值为__________．
三、解答题
9．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
10．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
分组法分解因式（补充教材）
诸城市龙源学校
编写
学习目标：能用分组分解法把分组后可以提公因式或运用公式的多项式进行因式分解。
重点：掌握分组分解法的分组原则。
难点：合理选择分组方法。
教学过程：
【温故知新】
1、我们已学过的因式分解的方法有哪些？
2、分解因式：(1)
a2-ab
(2)
-10ay+5by
(3)
a(m+n)+b(m+n)
(4)
(x2-y2)+a(x+y)
(5)(a-b)2-c2
(6)
am+an
【探索新知】
<一>自学探究之一：分组后能直接提公因式
思考：已知多项式am+an+bm+bn
（1）这个多项式有公因式吗？如果有，是什么？
（2）这个多项式分组后有公因式吗？应怎样分组？
（3）分组后能分解因式吗？怎样分解？
（4）本题还有没有其他分组的办法？若有，怎样分组？
<二>精讲点拨：
1、思考题解答：
法一：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=
a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a
+b）
法二：am+an+bm+bn=（
am
+bm）+（an
+bn）=
m（a+b）+n（a+b）=
（a
+b）（m+n）
2、总结：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。如果把一个多项式的各项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用先分组再提公因式的方法来分解因式，此种情况的分组一般是“二、二”分组。（板书：“二、二”分组）
3、例题：把下列各式分解因式：（1）a2-ab+ac-bc
(2)
2ax-10ay+5by-bx
解：（1）a2-ab+ac-bc=
(a2-ab)+(ac-bc)=a（a-b）+c
(a-b)=(a-b)(a+c)
(2)2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)+b(5y-x)=2a(x-5y)-
b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)
<三>巩固练习一：把下列各式分解因式
（1）3ax+4by+4ay+3bx
（2）m2+5n-mn-5m
（3）p-q+k(p-q)
(4)
2(a2-3mn)+a(4m-3n)
<四>自学探究之二：分组后能运用公式
思考一：已知多项式m2-n2+am+an
(1)这个多项式可以运用先分组再提公因式的方法进行分解吗？
(2)若将m2-n2看做一组，am+an看做一组，各组应该用什么办法？
(3)试将此多项式分解。
思考二：已知多项式a2-2ab+b2-c2
(1)
这个多项式可以运用先分组再提公因式的方法进行分解吗？
(2)若将a2-2ab+b2看做一组，这一组可怎样分解？分解后再与-c2结合，应该用什么方法分解？
(3)试将此多项式分解。
<五>精讲点拨：
1、思考题解答：
（1）m2-n2+am+an=（m2-n2）+（am+an）=（m+n）（m-n）+a(m+n)=
（m+n）（m-n+a）
(2)
a2-2ab+b2-c2=
(a2-2ab+b2)-c2=(a-b)2-
c2=(a-b+c)(
(a-b-
c)
2、总结：(1)有些四项式，经“二、二”分组后，其中两项符合“平方差”公式的特点，需用“平方差”公式进行分解，另两项需用“提公因式”法进行分解，各自分解后再用“提公因式”法继续分解。
（2）有些四项式，需进行“一、三”分组，（板书：“一、三”分组）这就要求四项式具备以下条件：有三个平方项且符号不全相同，试着把其中同号的两项与第四项括在一起，看能不能应用“a2±2ab+b2=(a±b)2”公式，若能，下一步再应用平方差公式即可分解。
<六>
巩固练习二：把下列各式分解因式
（1）x2-y2+ax+ay
(2)
4a2-b2+6a-3b
(3)x2-y2-z2+2yz
【巩固提升】
把下列多项式分解因式：
（1）ac+bc+2a+2b
（2）5m(a+b)-a-b
（3）x2-9y2+2x-6y
（4）4x2+12xy+9y2-25
（5）(z2-x2-y2)2-4x2y2
【课堂小结】
节课你有哪些收获？写下你的心得并与你的同桌交流。
【达标检测】
1.把下列各式分解因式：
(1)a4+a3+a+1；
(2)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；
(3)x3－8y3－x2－2xy－4y2；
(4)x2+x－(y2+y)； (5)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).
（6）
2.求证：无论x,y为何值，
的值恒为正。
+
+一元二次方程根与系数的关系（补充教材）
学习目标：
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积。
（3）经历实践→猜想→证明的思维过程，培养分析能力和解决问题的能力。
重点：一元二次方程根与系数的关系。
难点：运用韦达定理解决问题。
教学过程：
【温故知新】
1.
一元二次方程（）当
时有两个实根，
它们分别是x=
x=
2.
一元二次方程当
时有两个实根，它们分别是
x=
x=
【创设情境】
我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？那我们今天和大家一起来探索。
【探索新知】
探索一
（自主学习）
1、实践：解方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程的系数有什么联系？
方程
x1
x2
x1＋x2
x1 x2
x2－5x＋6＝0；
x2＋3x－4＝0
x2－2x＝0
2、猜想：如果方程（）的两根是x和x，则=
；
=
3、证明：请同学们证明你们的猜想并展示。
探索二
1.
如果方程2的两个根分别是x和x，则=
；
=
2.
对于一元二次方程，若它的两个根是和，则=
；=
3、证明：请同学们证明你们的猜想并展示。
探索三
1.不解方程，求下列方程两根的和与两根的积：
①
②
解：
2.不解方程，检验下列方程的解是否正确？
（1）
=，=
（2）
=，=
3.已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。
【巩固提升】
1.已知方程x的根是x和x，则=
；
=
2.已知方程2x+3x－5=0的根是x和x，则=
；=
3.已知方程的根是x和x，求+的值.
【课堂小结】
韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么
说明：（1）定理成立的条件
（2）注意公式重的负号与b的符号的区别
【达标检测】
1．填空：（1）已知方程的两个根分别是x和x，则=
=
（2）已知方程的两个根分别是2与3，则
，
2．已知方程的一个根是2，求另一个根及c的值。
3．已知方程2的两个根分别是x和x，求下列式子的值：
（1）（x+2）（x+2）
（2）一元二次方程回顾与总结（复习课）
学习目标：
了解一元二次方程的有关概念。
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况，应用韦达定理解决简单的一元二
次方程的题目。
通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。
重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：一元二次方程的应用题
教学过程：
【温故知新】
1.回顾一元二次方程的概念及一般形式。
2.用配方法、公式法、分解因式三种方法法解一元二次方程
（3x－2）x
=（2x－3）
3.说出一元二次方程根的判别式及根与系数的关系定理
【创设情境】
下面这个方程可利用哪几种方法解决？哪种方法最简单？
（3x－2）x
=（2x－3）
【探索新知】
活动一：
1.利用知识树等你自已喜欢的方式对本章知识进行梳理，并在组内进行交流，看谁对本章知识掌握的好。
2.填写下表：
一元二次方程的解法
化成的基本形式
求的解为
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
3.填写下表：
一元二次方程两根分别为、，根的判别式△=
△
根的情况
△﹥0
△﹤0
△=0
4.一元二次方程两根分别为、，则+=
=
活动二：例题展示
1.已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
2.已知关于x的一元二次方程（m—1）x2
—（2m+1）x+m=0,当m取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
3.从一块长80cm，宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？
【巩固提升】
1．关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是
2．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值
3．m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
4．解下列方程：
（1）
x2＋(＋1)x＝0；
（2）（x＋2）（x－5）＝1
；
（3）3（x－5）2＝2（5－x）。
5.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。
6、已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.
【课堂小结】
本节主要学习内容有哪些？用到哪些解题方法？
【达标检测】
1.关于x的方程（+a－2）+ax+b=0是一元二次方程的条件是（
）
A、a≠0
；
B、
a≠－2
；
C
、
a≠－2且
a≠1
；
D、a≠1
2.一元二次方程a+bx
+c=0（a≠0）有一个根为1，则a+b
+c=
。
3.关于x的一元二次方程m－2x
+1=
0有两个相等实数根，则m=
。
4.已知,是方程2+3x
－4=0的两个根，那么
+
=
,
=
。
5.若三角形其中一边为5cm，另两边长是两根，则三角形面积为
。
6.某公司向银行贷款20万元资金,
约定两年到期时一次性还本付息,
年利率是12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余6.
4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数
7.
台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？
⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米．
解：设道路宽为米，根据题意，得
答：本方案的道路宽为
米．
⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．
解：设道路宽为米，根据题意，得
答：本方案的道路宽为
米．
⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．
解：设道路宽为米，根据题意，得
图4.5一元二次方程的应用
学习目标：
1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。
2、提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、培养学生数学应用的意识。
重点：能根据题意找出正确的等量关系
难点：能正确的列出一元二次方程解决实际问题
教学过程：
【温故知新】
1、列方程解应用题的步骤是什么？其中的关键是什么？
2、解方程的方法有几种？通常如何进行选择？请解出课本第76页问题（2）所列方程，并检验结果是否合理。
【创设情境】
前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。
【探索新知】
自主探究
例1有一块长40m,宽30m的矩形铁片,在它的四周截去一个全等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，并使底面积所占面积为原来矩形面积的一半，那么盒子的高是多少？
问题：（1）本题的等量关系是
。
（2）如果设盒子的高是xm，图中的哪些量可以用x来表示？
（3）列方程解应用题。
合作交流：
总结列一元二次方程解应用题的步骤。
精讲点拨：
一元二次方程解应用题的步骤：一审;二设;三列;四解;五验;六答.
变式训练
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2
，则花边多宽
自主学习：
自学例2，进一步明确列一元二次方程解应用题的步骤。
知识升华：
某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
鸡场的面积能达到180m2吗
鸡场的面积能达到200m2吗
鸡场的面积能达到
250m2吗
如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
【巩固提升】
1、一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？
2、某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？
【课堂小结】
请盘点你在本节课中的收获。
【达标检测】
1.一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。
2.如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B出发，
以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是1000？
3.5一元二次方程的应用
（第2课时）
诸城市龙源学校
编写
学习目标：
1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。
2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。
重点：列出一元二次方程解有关变化率的问题
难点：学生分析问题、解决问题的能力
教学过程：
【温故知新】
某商品原价是100元，经两次降价，第一次降价10%,第二次降价20%，求两次降价的价格是多少？
【创设情境】
创设情境
百分数的念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。
1、（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么一年后的销售收入将达到____
_
_万元（用代数式表示）
（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么两年后的销售收入将达到__
____万元（用代数式表示）
2、（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为
。
二次增长后的值为
。
依次类推n次增长后的值为
。
（2）降低率问题
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为
。
二次降低后的值为
。
依次类推n次降低后的值为
。
【探索新知】
活动一：
例题：某商品经两次降价，零售价降为原来的81%，已知两次降价的百分率一样。求每次降价百的分率。（精确到0.1%
思考：
1“两次降价的百分率一样”，是不是减少的绝对数是相同的？
2、设每次降价的百分率为，若原价为，则第一次降价后的零售价为
，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价为
3、找出此题的等量关系
4、列出方程
5、解答题目
(交流展示：组内交流，小组展示
小组评价)
活动二:
某药品两次升价，零售价升为原来的
1.69倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率。
思考：所求、都符合题意吗？说明了什么问题？
（学生先自主学习，后组内交流，小组展示
小组评价）
【巩固提升】
1.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%,
若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
2.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%,
该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3,
4月份平均每月销售额增长的百分率：
【课堂小结】
关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为，设平均变化率为，经第一次变化后数据为；经第二次变化后数据为。在依题意列出方程并解得值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。
【达标检测】
1.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%,
若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
2.某人20010年底买了一栋别墅，到2012年底价格翻了一番，求这两年的平均增长率.
3.我校初三年级从初一入学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
25m4.4用因式分解法解一元二次方程
学习目标：
1．会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归和转化的思想方法 。
2.
理解因式分解法解一元二次方程的根据。
3．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．
重点：用因式分解法解一元二次方程。
难点：将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解
教学过程：
【温故知新】
1．因式分解的常用方法：
、
。
2．平方差公式：a2-b2=(
)(
);
完全平方公式a2±2ab+
b2=(
)2
3．若A·B＝0,则A
或B
；
4.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为
和
，方程的根是
。
5．你能用几种方法解方程x2+7x
=
0？ 试试看。
【创设情境】
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的7倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？你能有更简单的方法吗？
【探索新知】
自主探索：
对于一元二次方程x2+7x=0,除了用配方法和公式法求解外，你还有什么更好的方法？观察方程左右两边有什么特点？
左边可以分解因式吗？分解结果是什么？原方程可写作什么形式？现在你有什么想法？
合作交流：
小莹的解法是：办方程左边的多项式进行因式分解，得：x(x+7)=0.
从而，得
x=0，或x+7=0，所以
x1=0，x2=-7.
小莹的解法对吗？她这样做的依据是什么？
精讲点拨：
1.当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法.
2.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
3.关键是熟练掌握因式分解的知识;
4.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
课堂练习
解方程:
(1)15x2+6x=0;
(2)
4x2-9=0
（3）x2＝3x.
（4）（2x+1）2=(x-3)2
总结归纳
以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的？因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么？
交流提升：
对于方程x2+7x=0，小亮是这样解的：把方程两边同除以x,得x+7=0,所以，x=-7。
怎么少了一个解？你知道小亮的解法错在什么地方吗？
对于方程（2x+1）2=(x-3)2，大刚想到的解法是：把原方程两边开平方，得
2x+1=x-3,
所以
x=-4.怎么也少了一个解？你知道大刚的解法错在什么地方吗？
对于方程x(x+2)=3,小莹的解法是：原方程化为X(x+2)=13,即x(x+2)=1(1+2),从而，x=1,或x+2=3.所以原方程有两个相等的根
x1=x2=1
小莹的解法正确吗？为什么？
精讲点拨：
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
【巩固提升】
解下列方程：
（1）x2－2x＝0；
（2）（t－2）（t
+1）=0；
（3）x（x＋1）－5x＝0.
(4)
x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
【课堂小结】
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.
【达标检测】
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0；
（2）（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0；
（4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
2、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.九年级数学导学稿
第4章一元二次方程
课题一元二次方程（第1课时）
学习目标：1、正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2、知道一元二次方程的一般形式是
是常数，）
，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；
3、理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；
4、通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点：理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程：
【温故知新】
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析:
我们可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
整理可得
x2＋10x－900=0. （1）
【创设情境】
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分析:
设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程
5（1＋x）2=7.2,
整理可得
5x2＋10x－2.2=0. （2）
思考、讨论
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.
那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
（
学生分组讨论，然后各组交流
）
共同特点：（1）
都是整式方程;（2）
只含有一个未知数;（3）
未知数的最高次数是2.
【探索新知】
一元二次方程的概念
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。
其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。
运用新知解决问题
试一试你能行：（老师点评并纠正学生练习中的错误）
1．下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
1）
（2）
（3）
（4）
【巩固提升】
1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）;
(2)
2x(x-1)=3(x-5)-4;
(3）
2、
关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
3、
已知x=0是关于的一元二次方程（k
-
1）x2+3kx+4
-4︱k
︳=0的解，求k.
【课堂小结】
通过这节课的学习你有哪些收获？
【达标检测】
1．
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1）;
(2）（x-2）(x+3)=8;
(3）
2．方程（2a—4）x2
—2bx+a=0,
在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？九年级数学导学稿
第4章
一元二次方程
课题：用配方法解一元二次方程导学案（第一课时）
学习目标：
1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
2．
经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型,增强学生运用数学的意识和能力．
学习重点、难点
重点：形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程的解法。
难点：同重点。
教学过程：
【温故知新】1.平方根的定义，请复述出来。
【探索新知】
1．自主学习
师：不用估算的方法，怎样解以上这两个方程？与同学们交流
生：例如
x2=4
(x+3)2=9
x=±2
x+3=±3
x1=0
x2=
-
6
师：形如x2=4、(x+3)2=9
的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？
（独立思考后，与同桌互相交流）
总结：方程都可以写成
(x+m)2=n(n≥0)
的形式，两边开平方便可求出方程的解，这种方法叫做直接开平方法。
例一
解方程：
（1）4x2_7=0
（2）9（x-1）2=25
（教师板书，）
【巩固检测】
练习：（1）3x2_2=0．
（2）49x2=25
（3）3（x+2）2=21
【课堂小结】
知识回顾：用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程的一般步骤。
总结提升：（结合实例同学生一起总结）
【达标检测】
一个立方体的表面积是384cm2
,求这个立方体的棱长。
解方程（3x+2）2=16
0.5
x2=25
第3章
一元二次方程
课题：用配方法解一元二次方程导学案（第二课时）
枳沟初中
编写
学习目标：
1．利用配方法解一元二次方程的方法步骤。
2．进一步理解配方法的解题思路。
学习重点、难点：
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的思路；给方程进行配方。
教学过程：
【温故知新】
做一做：填上适当的数，使下列等式成立
（1）x2+12x+
=(x+6)2
（2）x2―4x+
=(x―
)2
（3）x2+8x+
=(x+
)2
在上面等时的左边，常数项和一次项有什么关系？
【创设情境】
（提出实际问题，让学生用数学知识解决问题）
用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多4米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？
若想求出舞台的长和宽，需解方程
x2
+
4x-24=0
（学生列方程有困难，教师需引导。）
前面我们可求出了x2
+
4x-24=0方程中x的近似值，你能求出它的精确值吗？今天就学习用配方法解一元二次方程．
【探索新知】
精讲点拨：
师：方程x2+8x-9=0
该如何解呢？（停顿，留给学生时间思考。若仍没有学生想到办法，教师进一步引导。）
师：方程x2+10x＋25=16
(x+5)
2
=16
x+5=±4
x1=
-1
x2=
-
9
师：看来将一个一般形式的一元二次方程,转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式利用开平方法就可以求解。那么，方程x2+8x-9=0你能将它转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式吗？（请同学动手做一做，再与你的小组同学互相交流）请全班同学共同观察比较这两种情况有什么关系？
生：两种方法实质上都是在方程两边同时加上了一次项系数(
8
)一半的平方
(
4
)2，配成了完全平方式。
师：对这种通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法，就称为配方法。（揭示课题）
讲解例2：解方程：x2—3
x=
—2
过程详细板书
讲解挑战自我
【课堂小结】：
用配方法解一元二次方程的一般步骤。
①二次项系数为1
②移项
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方
④配成(x+m)2=n
(n≥0)的形式
⑤两边开平方、求解
【达标检测】：
1．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（
）
A．3
B．-3
C．±3
D．以上都不对
2．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（
）
A．（a-2）2+1
B．（a+2）2-1
C．（a+2）2+1
D．（a-2）2-1
3．把方程x2+3=4x配方，得（
）
A．（x-2）2=7
B．（x+2）2=21
C．（x-2）2=1
D．（x+2）2=2
4、解下列方程：（1）X2－6X=8（
2）Y2＋15Y=25＋5Y
第3章
一元二次方程
课题：用配方法解一元二次方程导学案（第三课时）
枳沟初中
编写
学习目标：
1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路，能通过配方法推导出黄金分割比。
3、经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；
学习重点、难点：
用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。
教学过程：
【温故知新】
1、什么叫配方法？
2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（1）x2+4x+3=0
（2）x2―4x+2=0
【探索新知】
3．精讲点拨：
例3：解3.1节问题3中的方程x2+x―1=0
详细过程板书，并且注意细节，记住结果，结果为黄金分割，比值为黄金分割比。
例4：解方程：2x2+3x―1=0
a分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。过程详细板书。
小结：用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
【巩固检测】：
1．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
2.做一做：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h=15
t―5t2小球何时能达到10m高？
3.
用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2．
（2）
x2-x-4=0
【课后拓展】：
你能用配方法解方程ax2+bx+c0(a0)吗？
利用配方法解一元二次方程式ax2+bx+c=0的步骤：
因为二次项系数a0，所以方程两边同除以a，得
x2+x+=0
移项，得x2+x
-
。
配方，得x2+x+()2
-+()2
即
(x+)2
因为a0，所以>0．当≥0时，是一个非负数．
开平方，得x+，
x
-
所以
x
=
