广东省深圳市宝安中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（理）试题

2016-2017学年第二学期宝安中学期中测试卷
高一理数
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知倾斜角为的直线经过，两点，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．过点且倾斜角为的直线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
3．下列四个命题中正确的是（
）
①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③垂直于同一平面的两个平面相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
A.
①和③
B.
①和④
C.
①②和④
D.
①③和④
4．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为
(
)
A
B
C
D
5．如图，平面平面，与两平面所成的角分别为和，过分别作两平面交线的垂线，垂足为，若，则（
）
6、已知两条直线和两个不同平面，满足，,,,则
（
）
A．
B．
C.
D．
7．已知向量，，若，则的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形如图②，其中则该几何体的体积为
（
）
B．
C．
D．
9、已知向量满足，，则
（
）
A．
B．
C．
D．2
10．点在所在平面内，给出下列关系式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
则点依次为的（
）
（注：重心是三条中线的交点；垂心是三条高的交点；内心是内切圆的圆心；外心是外接圆的圆心）
A．内心、外心、重心、垂心　　
B．重心、外心、内心、垂心
C．重心、垂心、内心、外心
D．外心、内心、垂心、重心
11．已知是正三角形ABC内部一点，且,则的面积与的面积之比为
（
）
A．
B．
C．2
D．5
12．直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．直线的倾斜角等于
．
14．如图，在直三棱柱中，
，则异面直线与所成角的余弦值是____________．
15．设、是单位向量，其夹角为．若的最小值为，其中．则______．
16．在棱长为1
的正方体中，以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为
。
三、解答题:本大题共6小题，满分70分.
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
（10分）已知直线的方程为
若直线与平行且过点，求直线的方程；
（２）若直线与垂直，且与两坐标轴围成三角形面积为3,
求直线的方程。
18．（12分）已知向量.
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若向量与垂直，求的值；
19．（12分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为2的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN//平面PMB；
（2）证明：平面
PMB平面PAD；
（3）求二面角P-BC-D的余弦。
20．（12分）如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求面与面所成锐二面角的正切值；
（Ⅲ）若，当为何值时，
平面．
21.（12分）已知向量，向量与向量的夹角为，且;
求向量;
(2)设向量，向量，其中，若.求的取值范围.
22.
（12分）如图，在正三棱柱中，为的中点，
为的中点，与的交点为,
求直线与直线所成角的正弦值
求证：
求直线与平面所成角的正弦值。
2016-2017学年第二学期宝安中学期中测试卷
高一
理数
一．CBBB
CDCD
CCAB
二、
13．
14．
15．或
16．
三、17.解（１）与平行，直线的斜率为，设直线的的方程为，
代入，得．直线的方程为．
（２）与垂直，的斜率为，设直线的的方程为，
令得，令得．
，解得
的的方程为
18解：（1）∵，
∴，，，
∴.
（2），，
∵，
∴
解得
19．解：（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为
M、N分别是棱AD、PC中点，所以
QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ.
.
（2）
又因为底面ABCD是、边长为2的菱形，且M为AD中点，所以.又所以.
（3）取BC中点为H,连接DH,PH,则,由三垂线定理知,为二面角P-BC-D的平面角.
,所以二面角P-BC-D的余弦值为.
20．(Ⅰ)证明：因为，，所以为等腰直角三角形，所以．
因为是一个长方体，所以，而,所以,所以．
因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．…4分
(Ⅱ)解：过P点作直线,则为面与面的交线，在平面内作于E，取AB的中点F连接PF，则所以就是所求二面角的平面角．……6分
因为，，,所以．
…8分
(Ⅲ)解：当时，．
…9分
当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以．
而，与在同一个平面内，所以．
…11分
而，所以，所以。…12分
21.（1）设由题意可知，联立解得
所以或（6分）
（2）由，，由（1）得
所以
所以
,.
（结果写成
不扣分）
22.
解：（1）取的中点为，连接
则
直线NS与直线BN所成角即为直线AC与直线BN所成角
，底边上的高为
所以，直线AC与直线BN所成角的正弦值为.
（2）连接
（3）延长CA，交于Q，连接BQ，延长CM交BQ于P，连接OP.
,
为直线CM与平面所成角的平面角
EMBED
Equation.3
，
所以，直线CM与平面所成角的正弦值为.
（（3）思路二：取中点为H，连接则与平面所成角等于直线CM与平面所成角，可等体积法求得H到平面的距离，然后求线面角的正弦值)