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课题：11.2.1三角形的内角(2)
教学目标：
掌握直角三角形的两个锐角互余，能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形进行判定．
重点：
探索并掌握直角三角形的两个锐角互余．
难点：
应用直角三角形的性质及判定解决实际问题.
教学流程：
一、知识回顾
1.说一说三角形内角和定理：
答案：三角形的三个内角和等于180°
2.求出下列图形中的x的值.
答案：80，65，35
二、探究
问题：在△ABC 中，∠C =90°，∠A 与∠B有什么关系呢？请将下面的解答过程补充完整.
解： ∠A 与∠B________.
理由如下：
在△ABC 中，
∠A+∠B +∠C=________，
∵ ∠C =90°
即∠A+∠B +______=180°，
∴∠A+∠B =______.
答案：互余，180°，90°，90°
归纳：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定：有两个锐角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
符号语言：
∵∠C =90°
∴∠A+∠B =90°
反之：
∵∠A+∠B =90°
∴∠C =90°
练习：
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
答案：A
2．下列条件中不能使△ABC成为直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
D．∠A＝2∠B＝3∠C
答案：D
3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则△ACE是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案：B
三、应用提高
1.如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：相等.理由如下，
在Rt△AC E中
∠CAE =90°-∠AEC
在Rt△BDE 中，
∠DBE＝90°-∠BED
∵∠AEC =∠BED
∴∠CAE =∠DBE
2.如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
(1)猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；
(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？说明理由．
解：(1)∠1＝∠2. 理由：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE是直角三角形，
∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，
∴∠1＝∠2
(2)结论仍然成立．理由：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠1＋∠CBE＝90°，∠2＋∠DBA＝90°.
∵∠DBA＝∠CBE，
∴∠1＝∠2
四、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说直角三角形的性质及判定？
2.利用直角三角形的性质与判定分别可以解决哪些问题？
五、达标测评
1．如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝ ．
答案：52°
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠B.
试说明：△ABC是直角三角形．
解：∵AD⊥BC，
∴∠1＋∠C＝90°，
又∵∠1＝∠B，
∴∠B＋∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形
4．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证：CF∥AB；
(2)求∠DFC的度数．
(1)证明：∵∠1＋∠2＝90°,∠1＝∠2,∠3＝45°
∴∠3＝∠1＝45°，∴CF∥AB
(2)解：∵∠D＝30°，∠1＝45°，
∴∠DFC＝180°－30°－45°＝105°
六、布置作业
教材16页习题11.2第4、10题．
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【义务教育教科书人教版八年级上册】
11.2.1三角形的内角(2)
学校：________
教师：________
知识回顾
三角形内角和定理：
三角形的三个内角和等于180°
求出下列图形中的x的值.
80
65
35
探究
在△ABC 中，∠C =90°，∠A 与∠B有什么关系呢？请将下面的解答过程补充完整.
A
B
C
解： ∠A 与∠B________.
理由如下：
在△ABC 中，
∠A+∠B +∠C=________，
∵ ∠C =90°
即∠A+∠B +______=180°，
∴∠A+∠B =______.
互余
180°
90°
90°
归纳
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
∵∠C =90°
∴∠A+∠B =90°
符号语言：
反之：
∵∠A+∠B =90°
∴∠C =90°
直角三角形的判定：
有两个锐角互余的三角形是直角三角形.
练习
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．下列条件中不能使△ABC成为直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝∠B＝ ∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
D．∠A＝2∠B＝3∠C
A
D
应用提高
3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则△ACE是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
B
应用提高
1.如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，
∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：相等.理由如下，
在Rt△AC E中
∠CAE =90°-∠AEC
在Rt△BDE 中，
∠DBE＝90°-∠BED
∵∠AEC =∠BED
∴∠CAE =∠DBE
应用提高
2.如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
解：(1)∠1＝∠2. 理由：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE是直角三角形，
∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，
∴∠1＝∠2
(1)猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；
应用提高
解： (2)结论仍然成立．理由：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠1＋∠CBE＝90°，∠2＋∠DBA＝90°.
∵∠DBA＝∠CBE，
∴∠1＝∠2
(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？说明理由．
2.如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说直角三角形的性质及判定？
2.利用直角三角形的性质与判定分别可以解决哪些问题？
体验收获
达标测评
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
1．如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝ ．
B
52°
达标测评
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠B. 试说明：△ABC是直角三角形．
解：∵AD⊥BC，
∴∠1＋∠C＝90°，
又∵∠1＝∠B，
∴∠B＋∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形
达标测评
4．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证：CF∥AB；
(2)求∠DFC的度数．
(1)证明：∵∠1＋∠2＝90°,∠1＝∠2,∠3＝45°
∴∠3＝∠1＝45°，∴CF∥AB
(2)解：∵∠D＝30°，∠1＝45°，
∴∠DFC＝180°－30°－45°＝105°
布置作业
教材16页习题11.2第4、10题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
11.2.1三角形的内角(2)
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．△ABC中，∠A=∠B＞∠C，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
2．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A.有三个直角三角形 B.∠1=∠2
C.∠1和∠B都是∠A的余角 D.∠2=∠A
第2题图 第3题图
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，EF//AB，∠CEF=50°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．60° C．30° D．40°
4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
第4题图 第5题图
5．将一副三角板(含30°、45°的直角三角形)摆放成如图所示，图中∠1的度数是( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于________．
7．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝70°，∠DAE＝18°，则∠C的度数是____________.
第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
8．如图，______．
9．已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为_________.
10．如图，直线a∥b，EF⊥AD于点F，∠2=70°，则∠1的度数是 ______ ．
三、解答题(每小题20分，共40分)
11．如图：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，填写下列空格：
证明：∵∠ACB=90° (已知)
∴∠A+∠B=90° （______________）
∵∠ACD=∠B (已知)
∴∠A+∠ACD=90° （_______________）
∴△ACD是直角三角形 （_______________）
12．已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于D．
（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
参考答案
1．A
【解析】∵△ABC中，∠A=∠B＞∠C，
∴∠C＜60°，∠A=∠B＜90°，△ABC是等腰三角形，故三角形是锐角三角形．
2．B
【解析】解：图中有Rt△ABC、Rt△BCD、Rt△ACD，所以A正确；
由CD是高，所以 ∠1=∠2错误；
由∠1是Rt△ACD的一个内角，∠B是Rt△BCD的一个内角，所以C正确；
由C可得∠1=∠B，∠2与∠B互余，∠A与∠1互余，所以∠2=∠A，故D正确；故选B
3．D.
【解析】∵∠C=90°，∴∠CFE=90°﹣∠CEF=40°，又∵EF∥AB，∴∠B=∠CFE=40°．故选D．
4．C
【解析】∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=40°，∴∠A=90°﹣∠B=50°，∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠A=50°，故选C．
5．B
【解析】根据题意得：∠1=180°－60°=120°.
6．270°
【解析】∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° ∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=270°
故答案为：270°
7．34°
【解析】∵AD是高，∠B＝70°，
∴∠BAD=90°-70°=20°.
∵∠DAE＝18°，
∴∠BAE=20°+18°=38°.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=2×38°=76°.
∴∠C=180-70°-76°=34°.
8．
【解析】解：∵∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°
9．135°
【解析】
∵∠B=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，
∴∠AOC=180° EMBED Equation.DSMT4 (∠BAC+∠BCA)=180° 45°135°.
故答案为：135°.
10．20°
【解析】∵a∥b，∴∠FDE=∠2=70°，∵EF⊥AD，∴∠1=90°-70°=20°．故答案为：20°．
11．直角三角形中两锐角互余，等量代换，有两角互余的三角形是直角三角形，
【解析】证明：∵∠ACB=90° (已知)
∴∠A+∠B=90° （直角三角形中两锐角互余）
∵∠ACD=∠B (已知)
∴∠A+∠ACD=90° （等量代换）
∴△ACD是直角三角形 （有两角互余的三角形是直角三角形）
12．(1) 见解析;(2) 成立,理由见解析.
【解析】 (1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），然后根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解.
解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）
=90°﹣（∠B+∠C），
∵∠FEC=∠B+∠BAE，
则∠FEC=∠B+90°﹣（∠B+∠C）
=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°﹣∠FEC，
则∠EFD=90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]
=（∠C﹣∠B）；
（2）成立．
证明：同（1）可证：∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]
=（∠C﹣∠B）．
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