第三章
函数的应用
专题一、
函数的零点与方程根的关系
一般结论：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
[例1]
实数a，b，c是图象连续不断的函数f(x)定义域中的三个数，且满足a)
A．2
B．奇数
C．偶数
D．至少是2
[点评]
本题利用零点的存在性定理就可直接判断，但要注意零点存在性定理不能判断零点个数．
[例2]
函数f(x)＝x2＋(m2＋2)x＋m在(－1,1)上零点的个数为(
)
A．1
B．2
C．0
D．不能确定
[点评]
单调函数至多存在一个零点．
专题二、
二分法求方程的近似解
运用二分法求方程f(x)＝0的近似解可转化为求函数y＝f(x)零点的近似值．
要熟悉并掌握用二分法求方程近似解的过程与方法．
[例3]
比较函数的增长速度，从而判断log3x＝x－5解的个数，并用二分法求之(精确到0.1)．
[点评]
用二分法求函数零点近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既包含所求根，又使长度尽量小．其次要依据所给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值，以决定是停止计算还是继续计算．
专题三、
几种函数模型的应用
几类不同增长的函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；
(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(3)指数函数模型：y＝a bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)；
(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)；
(5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)；
(6)分段函数模型：y＝
[例4]
(对数函数模型)测量地震级别的里氏是地震强度(即地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日本1923年地震是8.9级，旧金山1996年地震是8.3级，1989年地震是7.1级，试计算日本1923年地震强度是8.3级的几倍？是7.1级的几倍？(已知lg2＝0.3)
[点评]
由题设知道是对数函数后利用对数的运算性质即可解决．
专题四、
数学思想方法
1．数形结合思想
数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下相互转化，借助背景图形的性质可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论．精选形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要地位．
本章对于数形结合思想的应用主要体现在：一是读图识图，二是由图求解析式．
[例5]
向高为H的水瓶中注水，若注满为止，注水量V与水深h的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是(
)
[分析]
解决这道函数应用题，不可能列出V与h的精确解析式，需要对图形整体把握，取特殊情况加以分析，或通过观察已知图象的特征，取模型函数判断．
2．函数与方程思想
函数与方程的思想是中学数学的基本思想．
函数思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问题获得解决．
方程思想，就是分析数学问题中的变量间等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解决．
[例6]
方程log2(x＋4)＝2x的实数解的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
[点评]
方程f(x)＝0有实数解 函数f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点 相应两函数交点的横坐标．
3．分类讨论思想
分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
[例7]
试讨论函数f(x)＝x2－2|x|－1－a(a∈R)的零点的个数．
[规律方法]
分类讨论的一般步骤：
(1)明确讨论对象，确定讨论范围；
(2)确定分类标准，进行合理分类；
(3)逐类讨论，获得阶段性成果；
(4)归纳总结，得到结论．
PAGE
1§3.1.2用二分法求方程的近似解
一、
教学目标
1．
知识与技能
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2．
过程与方法
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．
情感、态度与价值观
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、
教学重难点
1、教学重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
2、教学难点：为何由︱a
－
b
︳＜
便可判断零点的近似值为a(或b)
三、
教学准备
1．
想－想
2．
教学用具：计算器。
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
CCTV2“幸运52”片段
：
主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数码相机的价格.观众甲:2000!李咏:高了!
观众乙:1000!
李咏:低了!
观众丙:1500!
李咏:还是低了!·······
提出问题：
问题１:你知道这件商品的价格在什么范围内吗
问题２:若接下来让你猜的话,你会猜多少价格比较合理呢
问题4.求函数方程lnx+2x-6=0的实数根？
通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？
（二）研讨新知
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)
f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)
f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。
这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．
生：认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。
2．为什么由︱a
－
b
︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：
0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；
由于︱a
－
b
︳＜，所以
︱x0
－
a
︳＜b－a＜,︱x0
－
b
︳＜∣
a－b∣＜,
即a或b
作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。
㈢巩固深化，发展思维
1．
学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）
问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？
师：引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．
（四）课堂练习
（五）课时小结
在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：
（1）
本节我们学过哪些知识内容？
（2）
你认为学习“二分法”有什么意义？
（3）
在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？
（六）课后作业
P92
习题3.1
A组
第4题
五、板书设计
六、课后反思
§3.1.2用二分法求方程的近似解
1、由引例提出问题：怎样求方程的近似解？
2、由例题得出二分法的步骤；
3、例题和练习
PAGE
1§3.2.1
几类不同增长的函数模型
一、教学目标:
1.
知识与技能
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,
理解它们的增长差异性.
2.
过程与方法
能够借助信息技术,
利用函数图象及数据表格,
对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较,
初步体会它们的增长差异性;
收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等),
了解函数模型的广泛应用.
3.
情感、态度、价值观
体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
二、
教学重难点：
1.
教学重点:将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2．教学难点:选择合适的数学模型分析解决实际问题.
三、教学准备
1.
学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.
2．教学用具：多媒体.
四、教学过程
（一）引入实例，创设情景
1、有人说，一张普通的报纸对折30次后，厚度会超过10座珠穆朗玛峰的高度，会是真的吗？
2、“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有６４格的麦粒，都赏给您的仆人吧！
”
“爱卿，你所求的并不多啊！”
（二）互动交流，探求新知.
教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.
1.
观察数据，体会模型.
教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.
2.
作出图象，描述特点.
教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.
（三）实例运用，巩固提高.
1.
教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.
学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.
2.
教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.
3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。
4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程.
进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求.
5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数（＞0）、指数函数（＞1）、对数函数（＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并从函数的性质上进行研究、论证，同学之间进行交流总结，形成结论性报告.
教师对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示.
6.
课堂练习
教材P101练习1、2，并由学生演示，进行讲评。
（四）课时小结
教师通过计算机作图进行总结，使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的含义及其差异，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值和内在变化规律.
（五）课后作业
P107
习题3.2
A组
1-4
五、板书设计
六、课后反思
§3.2.1
几类不同增长的函数模型
1、引例入手体会指数三种函数的增长情况；
2、分析例1和例2；
3、课堂练习
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1§3.2.2
函数模型的应用实例
一、
教学目标：
1.
知识与技能
能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
2．过程与方法
感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.
3．情感、态度、价值观
体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.
二、
教学重难点
1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
2.
教学难点：将实际问题转变为数学模型.
三、
教学准备
1.
学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.
2.
教学用具：多媒体
四、
教学过程
（一）新课引入
到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？
大家首先来看一个例子
（二）探求新知
例1.（P102
例3）
探索：
1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；
2）所涉及的变量的关系如何？
3）写出本例的解答过程.
老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.
学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.
从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应用问题呢？
例2．（P103
例4）
在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，
老师小结：从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。
课堂练习1
（1）一个月内通话多少分钟，“全球通”与“神州行”通讯费相同？
（2）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种通讯方式合算？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.
课堂练习2
（三）课时小结
引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：
1）
合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为
函数模型问题：
2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；
3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；
4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观
性，研究两变量间的联系.
抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.
（四）布置作业
P121
习题3.2
A组第6题
五、板书设计
六、课后反思
§3.2.2
函数模型的应用实例
1、新课引入；
2、分析例1和例2；
3、课堂练习1和2；
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1§3.1.1方程的根与函数的零点
一、
教学目标
1．
知识与技能
①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
②培养学生的观察能力．
③培养学生的抽象概括能力．
2．
过程与方法
①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．
②让学生归纳整理本节所学知识．
3．
情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
二、教学重难点
1、教学重点:零点的概念及存在性的判定．
2、教学难点:零点的确定．
三、教学准备
1．
学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
2．
教学用具：投影仪。
四、教学设想
(一)创设情景，揭示课题
1、提出问题：一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)的根与二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：（用投影仪给出）
①方程与函数
②方程与函数
③方程与函数
1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．
生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
（二）
互动交流
研讨新知
函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
函数零点的求法：求函数的零点：
①（代数法）求方程的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．
生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
①代数法；
②几何法．
2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数的零点：
二次函数
．
（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
3．零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数的图象：
①
在区间上有零点______；
_______，_______,
·_____0（＜或＞＝）．
②
在区间上有零点______；
·____0（＜或＞＝）．
（Ⅱ）观察下面函数的图象
①
在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞＝）．
②
在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞＝）．
③
在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞＝）．
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？
4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．
生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．
师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
（三）、巩固深化，发展思维
1．学生在教师指导下完成下列例题
例1．
求函数f(x)=㏑x＋2x
－6的零点个数。
问题：（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
例2．求函数，并画出它的大致图象．
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
2．P88页练习第二题的（1）、（2）小题
（四）课时小结
1．
请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；
2．
在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。
（五）课后作业
P102页练习第二题的（3）、（4）小题。
五、板书设计
六、课后反思
§3.1.1方程的根与函数的零点
1、函数零点的定义
2、等价关系
3、零点存在性定理
4、例题分析
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