第二章 有理数及其运算检测B卷

第二章 有理数及其运算单元检测B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共10小题 ）
1.若a＜0，b＞0，则b，b+a，b﹣a中最大的一个数是( )
A．a B．b+a C．b﹣a D．不能确定
2.已知|3m﹣12|+，则2m﹣n=( )
A．13 B．11 C．9 D．15
3.已知31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，…，请你推测32015的个位数字是( )
A．3 B．9 C．7 D．1
4.计算机中常用的十六进制是逢16进l的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
例如，用十六进制表示C+F=1B．19-F=A，18÷4=6，则A×B= ( )
A．72． B．6E ． C．．5F ． D．B0．
5.如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若a+c=0，则b+d（　　）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定
6.a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（　　）
A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a
7.如图，数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t=﹣2，那么，原点应是点（　　）
A．P B．Q C．S D．T
8.丁丁做了以下4道计算题：①（﹣1）2010=2010；②0﹣（﹣1）=﹣1；③；④．请你帮他检查一下，他一共做对了（　　）
A． 1题 B． 2题 C． 3题 D． 4题
9.a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．a+b＜0 B．a+c＜0 C．a－b＞0 D．b－c＜0
10.若|x+2|+|y-3|=0，则 x-y的值为（ ）
A．5 B．-5 C．1或-1 D．以上都不对
、填空题（本大题共8小题 ）
11.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|2a|+|a+b|﹣|a﹣b|的结果为__________．
12.在（﹣1）2010，（﹣1）2011，﹣23，（﹣3）2这四个数中，最大的数与最小的数的差等于_________．
13.已知|x|=3，y2=4，且x＜y，那么x+y的值是_________．
14.已知与互为相反数，与互为倒数，且，则＝___.
15.按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为﹣2，则输出的值为_________．
16.已知四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：b＞a，x+y=a+b，y﹣x＜a﹣b．请将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来是_________．
17.如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是_________．
18.符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H（1）=﹣2，H（2）=3，H（3）=﹣4，H（4）=5…
则H（7）+H（8）+H（9）+…+H（99）的结果为　 　 ．
、解答题（本大题共10小题 ）
19.出租车司机小石某天下午营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：+15，﹣3，+14，﹣11，+10，﹣12．
（1）将最后一名乘客送达目的地时，小石距下午出发地点的距离是多少千米？
（2）若汽车耗油量为a升/千米，这天下午汽车耗油共多少升？
20.已知且，试求的值
21.已知A．B两地相距50米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米…，按此规律行进，如果A地在数轴上表示的数为﹣16．
（1）求出B地在数轴上表示的数；
（2）若B地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点P，第八次行进后到达点Q，点P、点Q到A地的距离相等吗？说明理由？
（3）若B地在原点的右侧，那么经过100次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少？
22.观察下列关于自然数的等式：
2×0+1=12①，
4×2+1=32②，
8×6+1=72③，
16×14+1=152④，
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第五个等式：32×　 　+1=　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
23.这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程）
（3）求国王输给阿基米德的米粒数．
24.阅读：如果一个非负数x四舍五入到个位后得到非负整数为n，记作“x”=n，例如“0.4”=0，“0.6”=1，“1.7”=2等，显然如果“x”=n，则可得n﹣0.5≤x＜n+0.5，反过来如果n﹣0.5≤x＜n+0.5，则可得“x”=n．根据以上知识，请解决以下问题：
（1）当x为非负数，m为非负整数时，请说明“x+m”=m+“x”；
（2）求满足3“x”=4x时，所有非负实数x的值．
25.现有一种计算13×12的方法，具体算法如下：
第一步：用被乘数13加上乘数12的个位数字2，即13+2=15．
第二步：把第一步得到的结果乘以10，即15×10=150．
第三步：用被乘数13的个位数字3乘以乘数12的个位数字2，即3×2=6．
第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即150+6=156．
于是得到13×12=156．
（1）请模仿上述算法计算14×17 并填空．
第一步：用被乘数14加上乘数17的个位数字7，即　 　．
第二步：把第一步得到的结果乘以10，即　 　．
第三步：用被乘数14的个位数字4乘以乘数17的个位数字7，即　 　．
第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即　 　．
于是得到14×17=238．
（2）一般地，对于两个十位上的数字都为1，个位上的数字分别为a，b （0≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数）的两位数相乘都可以按上述算法进行计算．请你通过计算说明上述算法的合理性．
26. “速算”是指在特定的情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．如：末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘，它的方法是：两首位相乘再加上末位得数作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位数则十位补0），前积后面添上后积就是得数．
如：84×24=100×（8×2+4）+42=2016
42×62=100×（4×6+2）+22=2604
（1）仿照上面的方法，写出计算77×38的式子
78×38=　 　=　 　；
（2）如果分别用a，b表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含a、b、c的式子表示上面的规律，并说明其正确性；
（3）猜想4418×5618怎样用上面的方法计算？写出过程．
27.解答下列各题：
（1）试用“＜”“=”“＞”填空：
①|+6|+|+5|　 　|（+6）+（+5）|； ②|+6|+|﹣5|　 　|（+6）+（﹣5）|；
③|0|+|﹣5|　 　|0+（﹣5）|； ④|0|+|+5|　 　|0+（+5）|；
（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数a、b的绝对值的和与它们的和的绝对值的大小关系为：
|a|+|b|　 　|a+b|；
（3）请问：当a、b满足什么条件时？|a|+|b|=|a+b|．
28.请你仔细阅读下列材料：计算：
（﹣）÷（﹣+﹣）
解法1：按常规方法计算
原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣
解法2：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10
故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣
再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．
答案解析
、选择题
1.【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数，由于a＜0，故b+a＜b，b﹣a＞b，进而得出结果．
解：∵a＜0，b＞0，
∴b+a＜b＜b﹣a．
故选C．
2.【分析】 本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出m、n的值，再代入2m﹣n中即可解出本题．
解：依题意得：|3m﹣12|=0，，
即3m﹣12=0，+1=0，
所以m=4，n=﹣5．
故2m﹣n=13．
故选A．
3.【分析】 由31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，…，可知3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，用32015的指数2015除以4得到的余数是几就与第几个数字的末位数字相同，由此解答即可．
解：由题意可知，3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
∵2015÷4=503…3，
∴32015的末位数字与33的末位数字相同是7．
故选C．
4.【分析】首先把A×B利用十进制表示，然后化成16进制即可
解：∵A×B=10×11=110，110÷16=6余14，
∴用十六进制表示110为6E．
故选B．
5.【分析】由a+c=0可知a与c互为相反数，所以原点是AC的中点，利用b、d与原点的距离可知b+d与0的大小关系．
解：∵a+c=0，
∴a，c互为相反数，
∴原点O是AC的中点，
∴由图可知：点D到原点的距离大于点B到原点的距离，且点D、B分布在原点的两侧，
故b+d＜0，
故选（B）．
6.【分析】利用有理数大小的比较方法可得﹣a＜b，﹣b＜a，b＞0＞a进而求解．
解：观察数轴可知：b＞0＞a，且b的绝对值大于a的绝对值．
在b和﹣a两个正数中，﹣a＜b；在a和﹣b两个负数中，绝对值大的反而小，则﹣b＜a．
因此，﹣b＜a＜﹣a＜b．
故选：C．
7.【分析】根据数轴可以分别假设原点在P、Q、S、T，然后分别求出p+q+s+t的值，从而可以判断原点在什么位置，本题得以解决．
解：由数轴可得，
若原点在P点，则p+q+s+t=10，
若原点在Q点，则p+q+s+t=6，
若原点在S点，则p+q+s+t=﹣2，
若原点在T点，则p+q+s+t=﹣14，
∵数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t=﹣2，
∴原点应是点S，
故选C．
8.【分析】 根据乘方的性质：负数的偶次幂得正，可判断①的正误；
根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上它的相反数进行计算即可判断②的正误；
根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再用大的绝对值减去较小的绝对值，即可判断③的正误；
根据有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可判断④的正误．
解答： 解；：①（﹣1）2010=1，故此选项错误；
②0﹣（﹣1）=0+1=1，故此选项错误；
③﹣+=﹣+=﹣（﹣）=﹣，故此选项正确；
④÷（﹣）=﹣（÷）=﹣1，故此选项正确．
故选：B．
9.【分析】根据点在数轴上的位置确定数值和大小
解：根据数轴上点的特点，可知a＜b＜0＜c，且︱a︱＞︱c︱＞︱b︱，因此a+b＜0，故A正确；a+c＜0，故B正确；a-b＜0，故C错误；b-c＜0，故D正确.
故选C
10.【分析】根据非负数的性质求出x和y的值，再代入所求代数式进行计算即可
解：∵|x+2|≥0，|y-3|≥0且|x+2|+|y-3|=0
∴x+2=0，y-3=0
即：x=-2，y=3
∴x-y=-2-3=-5
故选B．
、填空题
11.【分析】根据数轴，可去掉绝对值，再计算即可．
解：原式=﹣2a+a+b+a﹣b
=0，
故答案为0．
12.【分析】 根据有理数的乘方法则算出各数，找出最大的数与最小的数，再进行计算即可．
解：∵（﹣1）2010=1，（﹣1）2011=﹣1，﹣23=﹣8，（﹣3）2=9，
∴最大的数是（﹣3）2，最小的数是﹣23，
∴最大的数与最小的数的差等于=9﹣（﹣8）=17．
故答案为：17．
13.【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，然后相加计算即可得解．
解：∵|x|=3，y2=4，
∴x=±3，y=±4，
∵x＜y，
∴x=±3，y=4，
当x=3，y=4时，x+y=3+4=7，
当x=﹣3，y=4时，x+y=﹣3+4=1，
所以，x+y的值是1或7．
故答案为：1或7．
14.【分析】根据相反数、倒数的定义计算
解：与互为相反数，与互为倒数，且
所以x+y=0,mn=1,=9
所以原式=＝-9.
15.【分析】把x=﹣2代入运算程序中计算即可．
解：把x=﹣2代入运算程序中得：（﹣2）2×3﹣5=12﹣5=7，
故答案为：7
16.【分析】由x+y=a+b得出y=a+b﹣x，x=a+b﹣y，求出b＜x，y＜a，即可得出答案．
解：∵x+y=a+b，
∴y=a+b﹣x，x=a+b﹣y，
把y=a=b﹣x代入y﹣x＜a﹣b得：a+b﹣x﹣x＜a﹣b，
2b＜2x，
b＜x①，
把x=a+b﹣y代入y﹣x＜a﹣b得：y﹣（a+b﹣y）＜a﹣b，
2y＜2a，
y＜a②，
∵b＞a③，
∴由①②③得：y＜a＜b＜x，
故答案为：y＜a＜b＜x．
17.【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A12表示的数为16+3=19，则可判断点An与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．
解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2﹣2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；
…；
则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，
A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，
所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
故答案为：13．
18.【分析】根据题意可知：当a是奇数时，H（a）=﹣（a+1），当a是偶数时，H（a）=a+1，
解：由题意可知：当a是奇数时，H（a）=﹣（a+1），当a是偶数时，H（a）=a+1，
当a是奇数时，a+1是偶数，
∴H（a）+H（a+1）=﹣（a+1）+a+2=1，
∴H（7）+H（8）+H（9）…+H（99）
=1×46+H（99）
=46﹣100
=﹣54
故答案为：﹣54
、解答题
19.【分析】（1）把所有行车里程相加，再根据正数和负数的意义解答；
（2）求出所有行车里程的绝对值的和，再乘以a即可．
解：（1）15﹣3+14﹣11+10﹣12，
=15+14+10﹣3﹣11﹣12，
=39﹣26，
=13千米，
答：将最后一名乘客送达目的地时，小石距下午出发地点的距离是13千米；
（2）15+3+14+11+10+12=65千米，
∵汽车耗油量为a升/千米，
∴这天下午汽车耗油共65a升．
20.【分析】根据绝对值的定义求解
21.【分析】（1）在数轴上表示﹣16的点移动50个单位后，所得的点表示为﹣16﹣50=﹣66或﹣16+50=34；
（2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可；
（3）根据100为偶数可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解．
解：（1）﹣16+50=34，﹣16﹣50=﹣66．
答：B地在数轴上表示的数是34或﹣66．
（2）第七次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7=4，
第八次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8=﹣4，
因为点P、Q与A点的距离都是4米，
所以点P、点Q到A地的距离相等；
（3）当n为100时，它在数轴上表示的数为：
﹣16+1﹣2+3﹣4+…+（100﹣1）﹣100==﹣66，
34﹣（﹣66）=100（米）．
答：小乌龟到达的点与点B之间的距离是100米．
22.【分析】（1）观察已知等式确定出第五个等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，验证即可．
解：（1）根据题意得：32×30+1=312；
故答案为：30；312；
（2）根据题意得：2n（2n﹣2）+1=（2n﹣1）2，
∵左边=22n﹣2n+1+1，右边=22n﹣2n+1+1，
∴左边=右边．
23.【分析】（1）观察发现，第n个格子里的米粒数是2为底数，n﹣1作为指数；
（2）通过计算可以看出，个位数是以4项为一组循环的，用63除以4，余数是几就与第几项的个位数相同．
（3）利用信息，这列数都乘以2，再相减即可求出．
解：（1）第64个格子，应该底数是2，指数63，所以为263；
（2）∵20=1，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…
∴263的末位数字与23的末位数字相同，是8．
（3）设x=1+2+22+…+263①．等式两边同时乘以2，得2x=2+22+23+…+264②，②﹣①，得x=264﹣1．答：国王输给阿基米德的米粒数为264﹣1．
24.【分析】（1）分别表示出“x+m”和m+“x”，即可得到所求不等式；
（2）设这个整数为k，易得这个整数应在应在k﹣0.5和k+0.5之间，包括k﹣0.5，不包括k+0.5，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值．
解：（1）∵“x”=n，则n﹣0.5≤x＜n+0.5，n为非负整数；
∴（n+m）﹣0.5≤x+m＜（n+m）+0.5，且n+m为非负整数，
∴“x+m”=n+m=m+“x”．．
（2）∵x≥0，3“x”=4x，
x为整数，
设x=k，k为整数，
则x=k，
∴“k”=k，
∴k﹣0.5≤k＜k+0.5，k≥0，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，，．
25.【分析】（1）仿照以上四步计算方法逐步计算即可；
（2）对于（10+a）×（10+b），先按照上述方法逐步列式表示，再根据整式的乘法法则计算即可验证其正确性．
解：（1）计算14×17，
第一步：用被乘数14加上乘数17的个位数字7，即14+7=21．
第二步：把第一步得到的结果乘以10，即21×10=210．
第三步：用被乘数14的个位数字4乘以乘数17的个位数字7，即4×7=28．
第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即210+28=238．
于是得到14×17=238．
故答案为：14+7=21，21×10=210，4×7=28，210+28=238；
（2）对于（10+a）×（10+b），
第一步：用被乘数10+a加上乘数10+b的个位数字b，即10+a+b．
第二步：把第一步得到的结果乘以10，即10（10+a+b）．
第三步：用被乘数10+a的个位数字a乘以乘数10+b的个位数字b，即ab．
第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即10（10+a+b）+ab=100+10a+10b+ab．
又（10+a）×（10+b）=100+10b+10a+ab，
故上述算法是合理的．
26.【分析】（1）仿照以上方法求出原式的值即可；
（2）根据题示规律等式右边为十位数的积与个位数和的100倍加上个位数的平方，列式表示即可，验证可根据整式乘法展开结合十位数字和为10变形可得；
（3）类比（2）中方法4418×5618=10000×（44×56+18）+182，验算过程可将4418×5618写成（44×100+18）（56×100+18）后展开、合并可得．
解：（1）78×38=100×（7×3+8）+82=2964；
故答案为：100×（7×3+8）+82，2964；
（2）（10a+c）（10b+c）=10[10ab+（a+b）c]+c2=100（ab+c）+c2；
（3）4418×5618=（44×100+18）（56×100+18）
=44×56×10000+44×100×18+56×100×18+182
=10000×44×56+100×18×（44+56）+182
=10000×44×56+10000×18+182
=10000×（44×56+18）+182，
即4418×5618=10000×（44×56+18）+182．
27.【分析】根据绝对值的性质即可求出求出各数的值，然后找出其规律即可．
解：（1）①左边=6+5=11，右边=6+5=11；
②左边=6+5=11，右边=|1|=1
③左边=0+5=5，右边=|﹣5|=5；
④左边=0+5=5，右边=0+5=5；
（2）由（1）可知：|a|+|b|≥|a+b|；
（3）当a、b同号或a、b至少有一个为零时（当ab≥0时）
故答案为：（1）①=；②＞；③=；④=；
（2）≥；
28.【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解；
观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可．
解：解法1，
（﹣）÷（﹣+﹣）
=﹣÷[+﹣（+）]
=﹣÷[﹣]
=﹣÷
=﹣；
解法2，原式的倒数为：
（﹣+﹣）÷（﹣）
=（﹣+﹣）×（﹣56）
=﹣×56+×56﹣×56+×56
=﹣21+12﹣28+16
=﹣21，
故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣．